Funktor (matematika)

Funktor je speciální typ zobrazení mezi kategoriemi . Lze jej chápat jako mapování zachovávající strukturu. Funktory mezi malými kategoriemi jsou morfismy v kategorii malých kategorií . Kolekce všech kategorií není kategorií v obvyklém smyslu, protože kolekce jejích objektů není třídou . Jedním ze způsobů, jak překonat takové problémy teorie množin, je přidat do ZFC nezávislý axiom o existenci nedosažitelných kardinálů .

Poprvé se o funktorech začalo uvažovat v algebraické topologii , ve které jsou algebraické objekty (například základní skupina ) spojeny s topologickými prostory a homomorfismy mezi těmito objekty jsou spojeny se spojitými zobrazeními . Následně se funktory rozšířily v mnoha oblastech matematiky a používají se ke spojování různých kategorií.

Termín „funktor“ si matematici vypůjčili z děl filozofa Rudolfa Carnapa [1] , zatímco u Carnapa slovo „funktor“ označovalo lingvistický koncept [2] .

Definice

(Kovariantní) funktor z kategorie do kategorie je zobrazení, které: ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$

mapuje každý objekt na objekt $X\in {\mathcal {C}}$ ${\mathcal {F}} (X)\in {\mathcal {D}},$
mapuje ke každému morfismu v kategorii morfismus v kategorii . Toto mapování musí mít následující vlastnosti: $f:X\to Y$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}(Y)$ $\mathcal{D}$
- ${\mathcal {F}}({\mathrm {id}}_{A})={\mathrm {id}}_{({\mathcal {F}}(A)))$ ,
- ${\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(g)\circ {\mathcal {F}}(f)$ .

Funktor tedy musí zachovat identitní morfismy a strukturu složení morfismů.

Podobně kontravariantní funktor je mapa, která obrací šipky (tj. přiřadí morfismu morfismu ), zachovává identické morfismy a splňuje rovnost: $f:X\to Y$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}} (Y)\to {\mathcal {F}} (X)$

{\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(f)\circ {\mathcal {F}}(g)

Kontravariantní funktor lze také definovat jako kovariantní funktor z duální kategorie . Někteří autoři dávají přednost psaní všech výrazů kovariantně a místo slov "kontravariantní funktor od do " říkají "funktor od do " (nebo někdy "funktor od do "). ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{\mathrm {op}}}$

Bifunktory a multifunktory

Bifunktor je funktor dvou aktantů. Přirozeným příkladem je funktor Hom , který je v jednom argumentu kovariantní a v jiném kontravariantní.

Formálně jsou bifunktory definovány jako funktory z kategorie součinu . Funktor má například tvar . ${\mathrm {hom}}$ ${\mathcal C}^{{\mathrm {op}}}\times {\mathcal C}\to {\mathbf {Set}}$

Multifunktor je zobecněním pojmu bifunktor na proměnné. $n$

Příklady

Pro specifikaci funktoru je třeba definovat jeho působení nejen na objekty kategorie, ale také (což je důležitější) na morfismy: existují různé funktory, které působí na objekty stejným způsobem, například funktor identity a funktor anti -identity který obrací šipky.

Nechť je podkategorie v kategorii . V tomto případě je definován funktor embedding , který působí na objekty a morfismy jako odpovídající vložení třídy . ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ $I:{\mathcal {C}}\hookrightarrow {\mathcal {D}}$

Konstantní funktor: Funktor, který mapuje každý objekt kategorie na objekt s pevnou kategorií a každý morfismus na morfismus identity tohoto objektu. ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}$

Endofunktory jsou jakékoli funktory z kategorie do sebe.

Duální vektorový prostor : Mapování, které přiřazuje každému vektorovému prostoru jeho duální a každému lineárnímu mapování jeho duální (nebo transponované) mapování, je kontravariantní endofunktor kategorie vektorových prostorů.

Nechť je specifická kategorie , tedy kategorie vybavená univalentním funktorem do kategorie množin (zvláštní případ zapomnětlivého funktoru ). Pomocí tohoto funktoru jsou množiny asociovány s objekty kategorie a lze si morfismy představit jako funkce na těchto množinách, které zachovávají další strukturu (příklad: kategorie skupin , kategorie kruhů , kategorie množin ). Levý adjunkt (pokud existuje) k zapomnětlivému funktoru je funktor volného objektu (příklad: volný modul ). ${\mathcal {C}}$

Presheaves : nechť je topologický prostor , pak otevřené podmnožiny tvoří částečně uspořádanou množinu s ohledem na zahrnutí, označovanou . Jako u každého posetu lze přiřadit kategorii přidáním jediného morfismu tehdy a jen tehdy, když . Kontravariantní funktory od se nazývají presheaves . Například v kategorii reálných algeber existuje funktor , který spojuje otevřenou množinu s algebrou reálně hodnotných spojitých funkcí na ní. $X$ $X$ $VŮL)$ $VŮL)$ $U\to V$ $U\subseteq V$ $VŮL)$

Základní grupa : každý topologický prostor s vyznačeným bodem může být spojen se základní grupou, jejíž prvky jsou třídy ekvivalence smyčky až po homotopii . Jde -li o morfismus prostorů s vyznačeným bodem (souvislé zobrazení, které přenese označený bod prvního prostoru do označeného bodu druhého), lze každou smyčku z bodu přiřadit k jejímu obrazu, což je smyčka z bod . Toto zobrazení je v souladu s třídami ekvivalence as operací složení, proto je homomorfismus od do . Je snadné ověřit, že platí všechny ostatní vlastnosti kovariantního funktoru od kategorie topologických prostorů s vyznačenou tečkou až po kategorii grup . $X$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $f:X\to (Y)$ $x_{0}$ $y_0$ $\pi (X,x_{0})$ $\pi (Y,y_{0})$

Tangent a kotangens svazek : mapa, která spojuje hladkou varietu s jeho tečným svazkem a difeomorfismus variet s jeho diferenciálem , je kovariantní funktor z kategorie hladkých variet a difeomorfismů do kategorie vektorových svazků . Podobně kotangentní svazek a kodiferenciál difeomorfismu definují kontravariantní funktor. Zohlednění tečného prostoru v pevném bodě definuje kovariantní funktor z kategorie hladkých variet s vyznačeným bodem a hladkými zobrazeními do kategorie vektorových prostorů.

Tenzorový součin : je- li kategorie vektorových prostorů nad pevným polem, tenzorový součin dvou prostorů definuje funktor , který je kovariantní v obou aktantech [3] . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$

Simpliciální objekty jsou libovolné kontravariantní funktory od simpliciální kategorie do různých kategorií (do kategorie množin - simpliciální množina , do kategorie grup - simpliciální grupa a další); konstrukce, které zobecňují představu simpliciálního komplexu , hrají důležitou roli v algebraické topologii.

Funktor přiřazuje tělesu jeho absolutní Galoisovu grupu a homomorfismu tělesa odpovídající $Gal:{\mathbf {Fld}}^{{\mathrm {op}}}\to {\mathbf {Grp}}$ $F$ $Gal({\bar F}/F)$ [ objasnit ] homomorfismus Galoisových grup.

Vlastnosti

Funktor převádí komutativní diagramy na komutativní diagramy.
Funktor převádí izomorfismy na izomorfismy.
Složení dvou funktorů je také funktorem. Kompozice funktoru je asociativní operace (kde je definována), takže funktory mezi malými kategoriemi splňují všechny vlastnosti morfismů v kategorii.

Kategorie jednoho objektu je stejná jako monoid : morfismy v ní odpovídají prvkům monoidu a operace složení morfismů odpovídá operaci definované v monoidu. Funktory mezi kategoriemi s jedním objektem odpovídají jedna ku jedné monoidním homomorfismům; funktor je tedy v jistém smyslu zobecněním pojmu homomorfismus monoidů na "monoidy, u nichž není operace skládání všude definována".

Propojení s jinými kategorickými pojmy

Nechat a být kategoriemi. Za množinu všech morfismů lze považovat množinu objektů jiné kategorie: kategorie funktorů . Morfismy v této kategorii jsou přirozené transformace funktorů. ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

Funktory jsou poměrně často specifikovány pomocí univerzálních vlastností , příkladem jsou tenzorové součiny , součiny grup, množin nebo vektorových prostorů, přímé a inverzní limity. Univerzální konstrukce také často definují dvojici adjungovaných funktorů .

Poznámky

↑ McLane, 2004 , str. 42.
↑ Carnap R. Logická syntaxe jazyka. - Routledge & Kegan Paul, 1937. - S. 13-14.
↑ Hazewinkel M., Gubareni N. M., Kirichenko V. V. . Algebry, kruhy a moduly. sv. 1 . - Dordrecht: Springer Science & Business Media , 2004. - 380 s. - (Matematika a její aplikace, sv. 575). - ISBN 978-1-4020-2690-4 . - S. 99-100.

Literatura

Bucur I., Delyanu A. . Úvod do teorie kategorií a funktorů. — M .: Mir , 1972. — 259 s.
Maclain S. Kapitola 2. Konstrukce v kategoriích // Kategorie pro pracujícího matematika. — M .: Fizmatlit , 2004. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 . - S. 43-67.
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. . Základy teorie kategorií. — M .: Nauka , 1974. — 256 s.

Odkazy

Markýz, Jean-Pierre. Teorie kategorií (anglicky) . Stanfordská encyklopedie filozofie. — Obsahuje velmi obsáhlou bibliografii. Získáno 30. července 2013. Archivováno z originálu 13. srpna 2013.