Funktor (matematika)
Funktor je speciální typ zobrazení mezi kategoriemi . Lze jej chápat jako mapování zachovávající strukturu. Funktory mezi malými kategoriemi jsou morfismy v kategorii malých kategorií . Kolekce všech kategorií není kategorií v obvyklém smyslu, protože kolekce jejích objektů není třídou . Jedním ze způsobů, jak překonat takové problémy teorie množin, je přidat do ZFC nezávislý axiom o existenci nedosažitelných kardinálů .
Poprvé se o funktorech začalo uvažovat v algebraické topologii , ve které jsou algebraické objekty (například základní skupina ) spojeny s topologickými prostory a homomorfismy mezi těmito objekty jsou spojeny se spojitými zobrazeními . Následně se funktory rozšířily v mnoha oblastech matematiky a používají se ke spojování různých kategorií.
Termín „funktor“ si matematici vypůjčili z děl filozofa Rudolfa Carnapa [1] , zatímco u Carnapa slovo „funktor“ označovalo lingvistický koncept [2] .
Definice
(Kovariantní) funktor z kategorie do kategorie je zobrazení, které:
![{\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
![\mathcal{D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966)
- mapuje každý objekt na objekt
![X\in {\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0f1e44334d39c0ba83ae6d79d31cede4491cc8)
![{\mathcal {F}} (X)\in {\mathcal {D}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0bb6376b7464bb4201cc299943e16039eab7f7)
- mapuje ke každému morfismu v kategorii morfismus v kategorii . Toto mapování musí mít následující vlastnosti:
![f:X\to Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd1e080abef4bbdab67b43819c6431e7561361c)
![{\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
![{\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}(Y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256a0ab8822ebab807f604759ce65becfd52e00c)
![\mathcal{D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966)
,
.
Funktor tedy musí zachovat identitní morfismy a strukturu složení morfismů.
Podobně kontravariantní funktor je mapa, která obrací šipky (tj. přiřadí morfismu morfismu ), zachovává identické morfismy a splňuje rovnost:
![f:X\to Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd1e080abef4bbdab67b43819c6431e7561361c)
![{\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}} (Y)\to {\mathcal {F}} (X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ef07e14595b449162af0ede1b9024c197bd7d8)
![{\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(f)\circ {\mathcal {F}}(g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d50e6dac3a9c4ab786843f1c99a160a7b7e25f4)
.
Kontravariantní funktor lze také definovat jako kovariantní funktor z duální kategorie . Někteří autoři dávají přednost psaní všech výrazů kovariantně a místo slov "kontravariantní funktor od do " říkají "funktor od do " (nebo někdy "funktor od do ").
![{\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2db750fcb75108f0e27b36b05caaaeece86f40f)
![{\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
![\mathcal{D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966)
![{\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2db750fcb75108f0e27b36b05caaaeece86f40f)
![\mathcal{D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966)
![{\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
![{\mathcal {D}}^{{\mathrm {op}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22eb204a41912f43c44ee3e749d456693717cbbb)
Bifunktory a multifunktory
Bifunktor je funktor dvou aktantů. Přirozeným příkladem je funktor Hom , který je v jednom argumentu kovariantní a v jiném kontravariantní.
Formálně jsou bifunktory definovány jako funktory z kategorie součinu . Funktor má například tvar .
![{\mathrm {hom}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea3aafc91ebbd147d45c3c69e88431c48cbe9f8)
![{\mathcal C}^{{\mathrm {op}}}\times {\mathcal C}\to {\mathbf {Set}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e2a33066d5456ee561df2069d2b4503f9f3ac3)
Multifunktor je zobecněním pojmu bifunktor na proměnné.
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
Příklady
Pro specifikaci funktoru je třeba definovat jeho působení nejen na objekty kategorie, ale také (což je důležitější) na morfismy: existují různé funktory, které působí na objekty stejným způsobem, například funktor identity a funktor anti -identity který obrací šipky.
- Nechť je podkategorie v kategorii . V tomto případě je definován funktor embedding , který působí na objekty a morfismy jako odpovídající vložení třídy .
![{\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
![I:{\mathcal {C}}\hookrightarrow {\mathcal {D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8bc924718176823de37fdbf63297555042f5c4d)
- Konstantní funktor: Funktor, který mapuje každý objekt kategorie na objekt s pevnou kategorií a každý morfismus na morfismus identity tohoto objektu.
![{\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
![\mathcal{D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966)
![{\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
- Endofunktory jsou jakékoli funktory z kategorie do sebe.
- Základní grupa : každý topologický prostor s vyznačeným bodem může být spojen se základní grupou, jejíž prvky jsou třídy ekvivalence smyčky až po homotopii . Jde -li o morfismus prostorů s vyznačeným bodem (souvislé zobrazení, které přenese označený bod prvního prostoru do označeného bodu druhého), lze každou smyčku z bodu přiřadit k jejímu obrazu, což je smyčka z bod . Toto zobrazení je v souladu s třídami ekvivalence as operací složení, proto je homomorfismus od do . Je snadné ověřit, že platí všechny ostatní vlastnosti kovariantního funktoru od kategorie topologických prostorů s vyznačenou tečkou až po kategorii grup .
![\pi _{1}(X,x_{0})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04f460bab6f580276cedce44809d2e466df4cbb)
![f:X\to (Y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfa2d40a4cc4d0983d9117177307c40ba25e6da)
![x_{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
![y_0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da)
![\pi (X,x_{0})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ff14353ed05f526f8819399cf975504db67596)
![\pi (Y,y_{0})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0234d97dede16a5feda54abab1f7634273872ec)
- Tangent a kotangens svazek : mapa, která spojuje hladkou varietu s jeho tečným svazkem a difeomorfismus variet s jeho diferenciálem , je kovariantní funktor z kategorie hladkých variet a difeomorfismů do kategorie vektorových svazků . Podobně kotangentní svazek a kodiferenciál difeomorfismu definují kontravariantní funktor.
Zohlednění tečného prostoru v pevném bodě definuje kovariantní funktor z kategorie hladkých variet s vyznačeným bodem a hladkými zobrazeními do kategorie vektorových prostorů.
- Tenzorový součin : je- li kategorie vektorových prostorů nad pevným polem, tenzorový součin dvou prostorů definuje funktor , který je kovariantní v obou aktantech [3] .
![{\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
![{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16780f1e254ecf24b8d2dc3f827affc412272961)
Vlastnosti
- Funktor převádí komutativní diagramy na komutativní diagramy.
- Funktor převádí izomorfismy na izomorfismy.
- Složení dvou funktorů je také funktorem. Kompozice funktoru je asociativní operace (kde je definována), takže funktory mezi malými kategoriemi splňují všechny vlastnosti morfismů v kategorii.
Kategorie jednoho objektu je stejná jako monoid : morfismy v ní odpovídají prvkům monoidu a operace složení morfismů odpovídá operaci definované v monoidu. Funktory mezi kategoriemi s jedním objektem odpovídají jedna ku jedné monoidním homomorfismům; funktor je tedy v jistém smyslu zobecněním pojmu homomorfismus monoidů na "monoidy, u nichž není operace skládání všude definována".
Propojení s jinými kategorickými pojmy
Nechat a být kategoriemi. Za množinu všech morfismů lze považovat množinu objektů jiné kategorie: kategorie funktorů . Morfismy v této kategorii jsou přirozené transformace funktorů.
![{\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
![\mathcal{D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966)
![{\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbfc93bef1f6cd7054d1fa0a205cb68d0e3eb69)
Funktory jsou poměrně často specifikovány pomocí univerzálních vlastností , příkladem jsou tenzorové součiny , součiny grup, množin nebo vektorových prostorů, přímé a inverzní limity. Univerzální konstrukce také často definují dvojici adjungovaných funktorů .
Poznámky
- ↑ McLane, 2004 , str. 42.
- ↑ Carnap R. Logická syntaxe jazyka. - Routledge & Kegan Paul, 1937. - S. 13-14.
- ↑ Hazewinkel M., Gubareni N. M., Kirichenko V. V. . Algebry, kruhy a moduly. sv. 1 . - Dordrecht: Springer Science & Business Media , 2004. - 380 s. - (Matematika a její aplikace, sv. 575). - ISBN 978-1-4020-2690-4 . - S. 99-100.
Literatura
- Bucur I., Delyanu A. . Úvod do teorie kategorií a funktorů. — M .: Mir , 1972. — 259 s.
- Maclain S. Kapitola 2. Konstrukce v kategoriích // Kategorie pro pracujícího matematika. — M .: Fizmatlit , 2004. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 . - S. 43-67.
- Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. . Základy teorie kategorií. — M .: Nauka , 1974. — 256 s.
Odkazy
- Markýz, Jean-Pierre. Teorie kategorií (anglicky) . Stanfordská encyklopedie filozofie. — Obsahuje velmi obsáhlou bibliografii. Získáno 30. července 2013. Archivováno z originálu 13. srpna 2013.