Binární skupina dvacetistěnů

Binární grupa dvacetistěnu 2I nebo <2,3,5> je neabelovská grupa řádu 120. Skupina je rozšířením dvacetistěnu grupy I nebo (2,3,5) řádu 60 o cyklická grupa řádu 2 a je inverzním obrazem ikosaedrové grupy v poměru 2:1 pokrývající homomorfismus

\operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)

speciální ortogonální skupina spinorovou skupinou . To znamená, že binární grupa dvacetistěnu je diskrétní podgrupou Spin(3) řádu 120.

Tato skupina by neměla být zaměňována s plnou ikosaedrickou grupou , která má stejný řád 120, ale je podgrupou ortogonální grupy O(3).

Binární grupa dvacetistěnu je nejlépe popsána jako samostatná podgrupa jednotkových čtveřic , pod izomorfismem , kde Sp(1) je multiplikativní grupa jednotkových čtveřic [1] . $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$

Prvky

Binární grupa dvacetistěnu je výslovně dána spojením 24 Hurwitzových čtveřic

{ ±1, ± i , ± j , ± k , ½ (±1 ± i ± j ± k ) }

se všemi 96 kvaterniony odvozenými od

½ (0 ± i ± φ −1 j ± φ k )

sudými permutacemi souřadnic (všechny možné kombinace). Zde je φ \u003d ½ (1 + √5) zlatý řez .

Celkem získáme 120 prvků ( ikosiánů jednotek ). Jejich modul je roven jedné, a proto leží ve skupině jednotek kvaternionů Sp(1). Konvexní trup těchto 120 prvků ve 4-rozměrném prostoru tvoří pravidelný 4-rozměrný mnohostěn , známý jako šest set buněk .

Vlastnosti

Centrální expanze

Binární grupa dvacetistěnu, označovaná jako 2 I , je univerzálním dokonalým centrálním rozšířením grupy dvacetistěnů, a proto je kvazijednoduché dokonalým centrálním rozšířením jednoduché grupy.

Konkrétně skupina zapadá do krátké přesné sekvence

1\to \{\pm 1\}\to 2I\to I\to 1.

Posloupnost není dělení , to znamená, že 2 I není polopřímý součin { ±1 } a I . Ve skutečnosti neexistuje žádná podskupina skupiny 2 I izomorfní k I .

Střed grupy 2 I je podgrupa { ±1 }, takže vnitřní grupa automorfismu je izomorfní k I . Plná skupina automorfismu je izomorfní vůči S 5 ( symetrická permutační skupina 5 písmen), stejně jako každý automorfismus 2 I fixuje netriviální středový prvek ( ), a proto se redukuje na automorfismus I a naopak jakýkoli automorfismus I výtahy k automorfismu 2 I . $I\cong A_{5}$ $-jeden$

Superdokonalost

Binární grupa dvacetistěnu je dokonalá grupa, to znamená, že se shoduje se svým komutantem . Ve skutečnosti je 2 I jedinou dokonalou skupinou řádu 120. To znamená, že 2 I je neřešitelné .

Navíc, binární grupa dvacetistěnu je superdokonalá , což znamená, že její první dvě homologické grupy jsou nulové - To znamená, že její abelizace je triviální (skupina nemá žádné netriviální abelovské kvocienty) a že její Schurův multiplikátor je triviální (skupina nemá netriviální dokonalé centrální rozšíření). Ve skutečnosti je binární grupa dvacetistěnu nejmenší (netriviální) superdokonalou grupou. $H_{1}(2I;\mathbf {Z} )\cong H_{2}(2I;\mathbf {Z} )\cong 0.$

Binární skupina dvacetistěnu však není acyklická , protože H n (2 I , Z ) je cyklický řádu 120 pro n = 4 k +3 a triviální pro ostatní n > 0 [2] .

Izomorfismy

Binární grupa dvacetistěnu je podskupinou Spin(3) a pokrývá skupinu dvacetistěnu, která je podgrupou SO(3). Skupina dvacetistěnů je izomorfní ke skupině symetrie 4-rozměrného simplexu , což je podgrupa SO(4), a binární skupina dvacetistěnů je izomorfní ke svému dvojitému krytu ve Spin(4). Všimněte si, že symetrická grupa má 4rozměrnou reprezentaci (toto je obvykle nejmenší neredukovatelná reprezentace úplných symetrií -rozměrného simplexu), a proto je úplná množina symetrií 4rozměrného simplexu rovna , ale ne úplné ikosaedrická skupina (jedná se o dvě různé skupiny řádu 120). $S_5$ $(n-1)$ $S_{5},$

Binární grupu dvacetistěnu lze považovat za dvojitý kryt střídavé grupy , . Tento izomorfismus pokrývá izomorfismus skupiny dvacetistěnů se střídající se grupou a lze jej považovat za podgrupy Spin(4) a SO(4) (stejně jako podgrupy symetrické grupy a jakékoli její dvojité kryty , které jsou zase podskupiny a skupiny pinů a ortogonální skupina ). $A_{5},$ $2\cdot A_{5}\cong 2I$ $A_{5}\cong I$ $S_5$ $2\cdot S_{5}^{\pm }$ $\operatorname {Pin} ^{\pm }(4)\to \operatorname {O} (4)$

Na rozdíl od ikosaedrické skupiny, která je exkluzivní ve třech dimenzích, tyto čtyřstěnné a střídavé skupiny (a jejich dvojité kryty) existují ve všech dimenzích.

Lze ukázat, že ikosaedrická grupa je izomorfní se speciální lineární grupou SL(2,5), grupou všech matic 2×2 nad konečným polem F 5 s jednotkovým determinantem.

Skupinová mise

Skupina 2 I má úkol

\langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{5}=rst\rangle

což je ekvivalentní

\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{5}\rangle .

Generátory tohoto vztahu jsou dány vzorcem

s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(\varphi +\varphi ^{-1}i +j).

Podskupiny

Jedinou normální podskupinou skupiny 2 I je střed { ±1 }.

Podle třetí věty o izomorfismu existuje Galoisova korespondence mezi podgrupami 2 I a podgrupami I , kde uzávěrový operátor na podgrupách 2 I je násobení { ±1 }.

Prvek je jediným prvkem řádu 2, a proto je obsažen ve všech podgrupách sudého řádu - jakákoli podgrupa grupy 2 I má buď liché uspořádání, nebo je předobrazem podgrupy grupy I . Kromě cyklických skupin tvořených různými prvky (které mohou mít liché pořadí) mohou být další podskupiny skupiny 2 I (až do konjugace) pouze: $-jeden$

Binární dihedrální skupiny řádů 12 a 20 (pokrývající dihedrální skupiny D 3 a D 5 v I ).
Kvaternionová skupina , sestávající z 8 Lipschitzových jednotek , tvoří podskupinu s indexem 15, která je rovněž dicyklickou skupinou Dic 2 . Tato podskupina zahrnuje stabilizátor žeber .
24 Hurwitzových čtveřic tvoří podskupinu s indexem 5, binární skupinu čtyřstěnu . Tato podskupina zahrnuje chirální tetraedrickou skupinu . Ten je samonormalizovaný , takže jeho třída konjugace má 5 prvků (to dává mapování, jehož obrázek je ). $2I\to S_{5}$ $A_{5}$

Vztah se 4-rozměrnými skupinami symetrie

4-rozměrným analogem grupy symetrie dvacetistěnu I h je symetrická grupa šestiset -buňky (stejně jako její duální jedna-dvaceti-buňka ). První je skupina typu H 3 a druhá je skupina typu H 4 se stejným zápisem [3,3,5]. Její rotační podgrupa, v Coxeterově zápisu [3,3,5] + , je skupina řádu 7200 žijící v SO(4) . SO(4) má dvojitou krycí skupinu ( Spin(4) ) přesně stejným způsobem jako Spin(3) je krycí skupina SO(3). Stejně jako izomorfismus Spin(3) = Sp(1) je grupa Spin(4) izomorfní k Sp(1) × Sp(1).

Předobraz [3,3,5] + ve Spin(4) (čtyřrozměrný analog 2 I ) je přesně přímým součinem 2 I × 2 I řádu 14400. Rotační skupina šesti set buněk je

[3,3,5] + = (2 I × 2 I ) / { ±1 }.

Z 2 I lze vytvořit různé další čtyřrozměrné symetrické skupiny . Podrobnosti viz Conway a Smith Conway [3] .

Aplikace

Prostor kosset Spin(3) / 2 I = S 3 / 2 I je kulový 3-variet , nazývaný Poincarého koule . Toto je příklad homologní sféry, tj. 3-manifoldu, jehož homologní skupiny jsou stejné jako homologní skupiny 3-sféry . Základní grupa Poincarého koule je izomorfní s binární grupou dvacetistěnu, protože Poincarého koule je podílovou grupou 3-koule binární grupou dvacetistěnu.

Viz také

Binární grupa mnohostěnu
Binární cyklická grupa
Binární dihedrální skupina
Binární grupa čtyřstěnu
Binární grupa osmistěnu

Poznámky

↑ Popis tohoto homomorfismu lze nalézt v článku " Čtveřice a rotace prostoru ".
↑ Adem, Milgram, 1994 , str. 279.
↑ Conway, Smith, 2003 .

Odkazy

Alejandro Adem, R. James Milgram. Kohomologie konečných grup. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1994. - V. 309. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd]). — ISBN 978-3-540-57025-7 .
H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Generátory a vztahy pro diskrétní skupiny, 4. vydání. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 . 6.5 Binární polyedrické skupiny, strana 68
John H. Conway, Derek A. Smith. Na čtveřice a oktoniony. - Natick, Massachusetts: A. K. Peters, Ltd, 2003. - ISBN 1-56881-134-9 .