Pravidelný čtyřrozměrný mnohostěn
Pravidelné čtyřrozměrné mnohostěny jsou čtyřrozměrné analogy pravidelných mnohostěnů v trojrozměrném prostoru a pravidelných mnohoúhelníků v rovině.
Pravidelné 4-rozměrné polytopy byly poprvé popsány švýcarským matematikem Ludwigem Schläflim v polovině 19. století, ačkoli celá sada byla objevena mnohem později.
Existuje šest konvexních a deset hvězdných pravidelných 4-polytopů, celkem šestnáct.
Historie
Konvexní čtyřrozměrné mnohostěny poprvé popsal švýcarský matematik Ludwig Schläfli v polovině 19. století. Schläfli zjistil, že takových těl je přesně šest.
Schläfli také našel čtyři pravidelné hvězdicové 4-rozměrné mnohostěny : velkou 120-buněčnou , velkou 120-buněčnou hvězdu velkou 600- buněčnou a velkou velkou 120-buněčnou hvězdu . Zbývajících šest přeskočil, protože nedovolil narušení Eulerovy charakteristiky na buňkách nebo vertexových obrazcích ( F − E + V = 2). To vylučuje buňky a tvary vrcholů jako {5,5/2} a {5/2,5} .
Edmund Hess (1843–1903) publikoval úplný seznam ve své německé knize Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder theory of izochiohedral a 8heedra
Konstrukce
Existence pravidelného 4-rozměrného mnohostěnu je omezena existencí pravidelných (3-rozměrných) mnohostěnů , které tvoří jeho buňky a ohraničují úhel dvojstěnu.
tak, že buňky jsou uzavřené 3-rozměrné plochy.
Šest konvexních a zde popsaných deset hvězdicových mnohostěnů jsou jedinými řešeními, která splňují omezení.
Existují čtyři nekonvexní Schläfliho symboly {p,q,r}, které mají platné buňky {p,q} a vrcholy {q,r}, které projdou testem dihedrálního úhlu, ale nevytvářejí konečné tvary - {3,5/ 2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.
Pravidelné konvexní 4-polyedry
Pravidelné konvexní čtyřrozměrné mnohostěny jsou čtyřrozměrné analogy platónských těles v trojrozměrném prostoru a konvexních pravidelných mnohoúhelníků ve dvourozměrném prostoru.
Pět z nich lze chápat jako blízké analogy platónských těles. Existuje ještě jedno další číslo, buňka dvacet čtyři , která nemá blízký trojrozměrný ekvivalent.
Každý konvexní pravidelný 4-polytop je ohraničen sadou 3-rozměrných buněk , což jsou platónská tělesa stejného typu a velikosti. Buňky jsou ve vzájemném kontaktu podél okrajů a tvoří správnou strukturu.
Vlastnosti
Následující tabulky uvádějí některé vlastnosti šesti konvexních pravidelných 4-rozměrných mnohostěnů. Všechny grupy symetrie těchto 4-polyedrů jsou Coxeterovy grupy a jsou uvedeny v tomto článku. Číslo za názvem skupiny je pořadí skupiny .
| Jména | Obrázek | Rodina | Schläfli Coxeter |
Vrcholy | žebra | Fazety | Buňky | Versh. postava |
Duální _ |
Skupina symetrie | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| pětičlánkový pětistěn 4-simplexní |
n -simplexní (rodina A n ) |
{3,3,3}   |
5 | deset | 10 {3} |
5 {3,3} |
{3,3} | (self-duální ) |
A 4 [3,3,3] |
120 | |
| osmičlánkový tesseract 4-kostka |
n -kostka (rodina B n ) |
{4,3,3} |
16 | 32 | 24 {4} |
8 {4,3} |
{3,3} | 16-článkový | B 4 [4,3,3] |
384 | |
| šestnáctibuněčný 4-ortoplex |
n -orthoplex (rodina B n ) |
{3,3,4} |
osm | 24 | 32 {3} |
16 {3,3} |
{3,4} | 8-článkový | B 4 [4,3,3] |
384 | |
| dvacetičtyřbuněčný oktaplexní polyoktaedr (pO) |
Rodina F n | {3,4,3} |
24 | 96 | 96 {3} |
24 {3,4} |
{4,3} | (self-duální ) |
F4 [ 3,4,3 ] |
1152 | |
120-buněčný dodekakontichoron dodekaplexní polydodekaedr (pD) |
n-pentagonální mnohostěn (rodina H n ) |
{5,3,3} |
600 | 1200 | 720 {5} |
120 {5,3} |
{3,3} | 600 buněk | H 4 [5,3,3] |
14400 | |
| šestisetbuněčný tetraplexní polytetraedr (pT) |
n-pentagonální mnohostěn (rodina H n ) |
{3,3,5} |
120 | 720 | 1200 {3} |
600 {3,3} |
{3,5} | 120 buněk | H 4 [5,3,3] |
14400 | |
John Conway je zastáncem názvů simplex, ortoplex, tesseract, oktaplex nebo polyoktaedr (pO), dodekaplex nebo polydodekaedr (pD) a tetraplex nebo polytetrahedron (pT) [1] .
Norman Johnson je zastáncem názvů n-cell nebo pentachoron, tesseract nebo octachoron, hexadecachoron, icositetrachoron, hekatonikosahedron (neboli dodekacontachoron) a hexacosichoron. [2] [3] [4]
Eulerova charakteristika pro všechny 4-rozměrné mnohostěny je nulová. Existuje 4rozměrný analog Eulerova vzorce pro mnohostěny:
kde N k je počet k -ploch v mnohostěnu (vrchol je 0-plocha, hrana je 1-plocha atd.).
Vizualizace
Následující tabulka ukazuje některé 2D projekce 4D mnohostěnů. Různé další vizualizace najdete v externích odkazech. Grafy Coxeter-Dynkinových diagramů jsou také uvedeny pod symbolem Schläfli .
| A4 = [3,3,3 ] | BC4 = [4,3,3 ] | F4 = [3,4,3 ] | H4 = [5,3,3 ] | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Pětibuňkový | 8-článkový | 16-článkový | 24-článkový | 120 buněk | 600 buněk |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
|
|
|
|
|
|
|
| 3D ortografické projekce | |||||
čtyřboká skořepina (centrovaná buňka/vrchol) |
krychlový plášť (střed buněk) |
krychlový plášť (střed buněk) |
kuboktaedrický plášť (střed buněk) |
Zkrácený kosočtverečný kosočtverečný triakontaedr (centrovaný na buňky) |
pentakiikosi - dodekaedrická skořápka (střed buněk) |
| Drátové modely Schlegelových diagramů ( perspektivní projekce ) | |||||
soustředěný na buňku |
soustředěný na buňku |
soustředěný na buňku |
soustředěný na buňku |
soustředěný na buňku |
nahoře uprostřed |
| Drátové modely stereografických projekcí ( 3sférické ) | |||||
Pravidelné hvězdicovité 4-polyedry (Schläfli–Hess)
Schläfli-Hess 4- polyhedra je kompletní seznam deseti pravidelných samo se protínajících stelovaných 4-polytopů [5] . Mnohostěny jsou pojmenovány po svých objevitelích Ludwigu Schläflim a Edmundu Hessovi. Každý mnohostěn je reprezentován Schläfliho symbolem { p , q , r }, ve kterém je jedno z čísel 5/2 . Mnohostěny jsou podobné běžným nekonvexním mnohostěnům Kepler-Poinsot .
Jména
Jména zde uvedená pocházejí od Johna Conwaye a jsou rozšířením Cayleyho jmen pro mnohostěny Kepler-Poinsot - přidal grand k hvězdicovitým a velkým modifikátorům . Conway definoval následující operace:
- stellation (tvorba stellation) nahrazuje hrany delšími na stejných liniích. (Příklad – pětiúhelník se převede na pentagram )
- zvětšení nahradí plochy většími plochami ve stejných rovinách. (Příklad – dvacetistěn se zvětší na velký dvacetistěn )
- agrandizace (exaltace) nahrazuje buňky velkými ve stejných 3-rozměrných prostorech. (Příklad - 600-buňka je povýšena na velkou 600-buňku )
Conwayova jména pro 10 tvarů 3 4-rozměrných mnohostěnů s pravidelnými buňkami - pT=polytetraedr (polytetraedr) {3,3,5} (čtyřstěn se šesti sty buňkami), pI=polyicoshedron (mnohostěn) {3,5,5/2} ( ikosaedrický 120-buňkový ) a pD=polydodekaedr (polydodekaedr) {5,3,3} (dvanáctstěnný 120-buňkový ) s modifikujícími předponami g , a a s pro velký (velký), velký (velký) a hvězdicový ( hvězdný). Poslední stelace, velký velký stellovaný mnohostěn, by pak byla označena gaspD .
Symetrie
Všech deset polychór má [3,3,5] ( H 4 ) hexakosichorovou symetrii . Jsou generovány šesti sdruženými skupinami symetrie racionálního řádu Goursatských tetraedrů — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2 ,5,5/ 2], [5,5/2,3] a [3,3,5/2].
Každá skupina má 2 pravidelné hvězdicové polytopy, kromě dvou self-duálních skupin obsahujících každý jeden polytop. Mezi deseti pravidelnými hvězdnými mnohostěny jsou tedy 4 duální páry a 2 autoduální formy.
Vlastnosti
Poznámka:
- Existují dvě jedinečná uspořádání vrcholů , vyskytující se ve 120-buňce a 600 -buňce .
- Existují čtyři jedinečná umístění okrajů , která jsou zobrazena jako drátové modely ortografické projekce .
- Existuje sedm jedinečných uspořádání ploch , zobrazených jako tělesa (s barevnými plochami) ortografických projekcí.
Buňky (3-rozměrné mnohostěny), jejich plochy (polygony), obrazce polygonálních hran a obrazce mnohostěnných vrcholů jsou reprezentovány jejich symboly Schläfli .
| Jméno Zkratka Conway |
ortogonální projekce |
Schläfli Coxeter |
Buňky {p, q} |
Hrany {p} |
žebra {r} |
Vrcholy {q, r} |
Hustota [ en | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Icosahedral 120-cell polyikosahedr (pI) |
{3,5,5/2} 
|
120 {3,5} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
čtyři | 480 | |
| Malý hvězdicový 120-buňkový hvězdicový polydodekaedr (spD) |
{5/2,5,3}
|
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
120 {5,3} |
čtyři | −480 | |
| Velký 120-buňkový velký polydodekaedr (gpD) |
{5,5/2,5}
|
120 {5,5/2} |
720 {5} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
6 | 0 | |
| Velký 120-buňkový velký mnohostěn (apD) |
{5,3,5/2}
|
120 {5,3} |
720 {5} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
dvacet | 0 | |
| Great stellated 120-cell velký stellated polydodecahedron (gspD) |
{5/2,3,5}
|
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
720 {5} |
120 {3,5} |
dvacet | 0 | |
| Great stellated 120-cell velký stellated polydodecahedron (aspD) |
{5/2,5,5/2}
|
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
66 | 0 | |
| Skvělý skvělý 120-buňkový skvělý velký mnohostěn (gapD) |
{5,5/2,3}
|
120 {5,5/2} |
720 {5} |
1200 {3} |
120 {5/2,3} |
76 | −480 | |
| Velký ikosaedrický 120-buňkový velký polyikosaedr (gpI) |
{3,5/2,5}
|
120 {3,5/2} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
76 | 480 | |
| Velkých šest set buněk velký polytetraedr (apT) |
{3,3,5/2}
|
600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
191 | 0 | |
| Skvělý velký hvězdicový 120-článkový velký velký hvězdicový mnohostěn (gaspD) |
{5/2,3,3}
|
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
191 | 0 |
Viz také
- Pravidelné vícerozměrné mnohostěny
- Seznam pravidelných mnohostěnů a sloučenin
- Nekonečné pravidelné 4 mnohostěny:
- Běžná euklidovská plástev : {4,3,4}
- Čtyři kompaktní pravidelné hyperbolické plástve : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
- Jedenáct parakompaktních pravidelných hyperbolických plástů : {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3 ,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} a {6,3,6}.
- Abstraktní pravidelné 4 mnohostěny:
- Elevencell {3,5,3}
- Padesát sedm buněk {5,3,5}
- Rodiny homogenních čtyřrozměrných mnohostěnů postavené na základě těchto 6 pravidelných tvarů.
- Platonická tělesa
- Kepler-Poinsotovo tělo - pravidelné stelovité mnohostěny
- Hvězdný mnohoúhelník - pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky
Poznámky
- ↑ Conway, 2008 .
- ↑ Johnson také navrhl termín polychoron pro název 4-rozměrného mnohostěnu jako analogu trojrozměrného mnohostěnu (mnohostěnu) a dvourozměrných mnohoúhelníků (polygon) jako derivát řeckých slov πολύ ("mnoho") a χώρος ( "prostor", "místnost")
- ↑ "Konvexní a abstraktní polytopy", Program a souhrny, MIT, 2005 . Datum přístupu: 23. února 2016. Archivováno z originálu 29. listopadu 2014.
- ↑ Johnson (2015), kapitola 11, oddíl 11.5 Spherical Coxeter Groups
- ↑ Coxeter, hvězdicové polytopy a Schläfliho funkce f{α,β,γ) Str. 122 2. Schlafli-Hessovy polytopy
Literatura
- HSM Coxeter . Úvod do geometrie. — 2. - John Wiley & Sons Inc., 1969. - ISBN 0-471-50458-0 .
- HSM Coxeter . Pravidelné polytopy . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
- DMY Sommerville. Úvod do geometrie n dimenzí. — New York.
- Dover Publications, 1958
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Kapitola 26, Pravidelné hvězdné polytopy // Symmetrie věcí. - 2008. - S. 404-408. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
- Edmund Hess. Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder. — 1883.
- Edmund Hess. Uber die regulären Polytope höherer Art. - Marburg: Sitzungsber Gesells Beförderung gesammten Naturwiss, 1885. - S. 31-57.
- HSM Coxeter . Kaleidoskopy: Vybrané spisy HSM Coxetera / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (Paper 10) HSM Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- HSM Coxeter . Pravidelné komplexní polytopy. — 2. - Cambridge University Press, 1991. - ISBN 978-0-521-39490-1 .
- Peter McMullen, Egon Schulte. Abstraktní pravidelné polytopy. - Cambridge University Press, 2004. - ISBN 0511058675 .
Odkazy
- Weisstein, Eric W. Regular polychoron (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
- Jonathan Bowers, 16 běžných 4-polytopů Archivováno 13. prosince 2013 na Wayback Machine
- Pravidelné 4D polytopové skládání
- Katalog obrázků polytopů archivován 4. března 2016 na Wayback Machine Sbírka stereografických projekcí 4 polytopů.
- Katalog uniformních polytopů byl archivován 3. března 2016 na Wayback Machine
- Rozměry Archivováno 19. září 2009 na Wayback Machine 2hodinový film o čtvrté dimenzi (obsahuje stereografickou projekci všech běžných 4-polytopů)
- George Olshevsky Hecatonicosachoron ] o Glosáři pro hyperprostor
- George Olshevsky Hexacosichoron ] o Glosáři pro hyperprostor
- George Olshevsky Stellation ] o Glosáři pro hyperprostor
- George Olshevsky Greatening ] ve slovníku pro hyperprostor
- George Olshevsky Aggrandizement ] na Glosáři pro hyperprostor
- Běžný polytop
- Pravidelná hvězda Polychora
| Pravidelné čtyřrozměrné mnohostěny | |||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| konvexní |
| ||||||||||||||||||||
| hvězdicový |
| ||||||||||||||||||||