Numerické metody

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. ledna 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Numerické (výpočtové) metody - metody řešení matematických úloh v numerické podobě [1] .

Reprezentace jak počátečních dat v problému, tak jeho řešení - ve formě čísla nebo množiny čísel .

Mnoho numerických metod je součástí knihoven matematických programů [2] . V systému přípravy inženýrů technických oborů jsou důležitou součástí.

Základy výpočetních metod jsou:

řešení soustav lineárních rovnic ;
interpolace a přibližný výpočet funkcí ;
numerická integrace ;
numerické řešení soustavy nelineárních rovnic ;
numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic ;
numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic (rovnice matematické fyziky );
řešení optimalizačních problémů .

Metodika

Všechny problémy výpočetní matematiky jsou řešeny v následujícím pořadí [3] :

Původní matematický problém je nahrazen jiným problémem - výpočtovým algoritmem. Hlavní požadavky na výpočetní algoritmus jsou: vysoká přesnost , stabilita a účinnost. Při přechodu na diskrétní model se objeví chyba aproximace a při implementaci výpočtů chyba zaokrouhlení , proto se u skutečných výpočetních algoritmů provádí analýza chyb a stability výpočetního algoritmu [2] . V moderní vědě je k řešení problémů aplikované matematiky formulován matematický model v podmínkách integrálních a diferenciálních rovnic funkcí spojitého argumentu . Přechod od kontinua k diskrétnímu matematickému modelu se provádí nahrazením funkcí spojitého argumentu funkcemi diskrétního argumentu . Ve výsledných konečně-diferenčních rovnicích jsou integrál a derivace reprezentovány konečným součtem, respektive diferenčním poměrem [2] . Výsledným modelem je systém algebraických rovnic , pro jehož řešení je s určitou přesností sestaven výpočetní algoritmus , který je implementován na počítačích [2] [4] . Při řešení velkých systémů je nutné vypočítat vlastní čísla a vektory matic , redukovat nelineární systémy rovnic na lineární. Pro některé problémy ( neurální fyzika , fyzika plazmatu , ekonomie ) je model postaven přímo na statistickém vzorku nebo na velkých objektech. Kromě toho jsou konstruovány nepravidelné systémy, pro které jsou numerické metody kombinovány s teorií grafů . Samostatnou třídu představují špatně položené problémy [2] .
Výpočetní algoritmus obsahuje parametr , který není v původním problému přítomen; $N$
Volbou tohoto parametru lze dosáhnout libovolné blízkosti řešení druhého problému k řešení prvního. Pro mnoho důležitých tříd problémů byly vyvinuty různé numerické metody řešení. Podle metody diskretizace se numerické metody dělí na projekční a metody konečných rozdílů, podle metody řešení - na přímé a iterační. V metodách konečných rozdílů je úkolem určit hodnoty funkce na diskrétní množině bodů, zatímco v metodách projekce je funkce reprezentována lineární kombinací prvků. V tomto případě lze diskrétní funkci také považovat za lineární kombinaci polynomů. Metody přímého řešení mají slabou stabilitu, zatímco iterační metody jsou stabilnější a poskytují rychlou konvergenci [2] . $N$
Nepřesná implementace algoritmu způsobená zaokrouhlováním ve výpočtech výrazně nemění jeho vlastnosti. Je třeba mít na paměti, že počítač provádí pouze čtyři základní aritmetické operace [5] . Přesnost řešení by v tomto případě měla být poněkud vyšší než očekávaná přesnost fyzikálního experimentu [6] . Při stanovení kritérií a podmínek pro růst chyby se se zaokrouhlovací chybou dlouho nepočítalo. Potřeba garantovaných odhadů přesnosti reálných výpočtů vedla ke vzniku intervalové analýzy . Optimální algoritmus je algoritmus s minimální chybou nebo s minimálním počtem operací pro danou chybu. Současně se rozvíjí teorie paralelních výpočetních algoritmů [2] .

Matematický aparát

Symbolicky je problém hledání neznámé veličiny zapsán jako . Pro vyhledávání ve výpočetní matematice se používá jedna nebo více substitucí prostorů, ve kterých jsou definovány veličiny , , nebo funkce , aby byly výpočty pohodlnější. Výsledný nový problém by měl mít řešení blízké řešení původního problému. Například při výpočtu integrálu lze spojitou funkci na segmentu vždy nahradit polynomem , pro který je integrál snadno určen; nebo nahraďte integrál konečným součtem a vyřešte výsledný problém. Aby bylo možné takovou výměnu provést, je nutné najít konečnou množinu prvků, které dobře aproximují hlavní prostor. Poslední podmínka ukládá omezení na metrický prostor . Hlavním omezením je přítomnost -netu, od kterého je prostor sám o sobě kompaktní a oddělitelný . Toto omezení však není povinné. Moderní metody funkcionální analýzy umožňují vybrat metrické prostory, které jsou nejvhodnější pro podmínky úlohy [7] . $y=A(x)$ $y$ $X$ $y$ $A$ $\bar{y}=\bar{A}(\bar{x})$ $\int_a^bf(x) dx$ $[a,b]$ $P(x)$ $\sum^{n}_{i=1} {f(x_i) \Delta x_i}$ $\epsilon$

Při použití numerických metod vzniká několik typů chyb. Když se k jednomu číslu přiblíží druhé, dojde k zaokrouhlovací chybě, chyba spojená s nepřesnými počátečními údaji se nazývá fatální, navíc kvůli nahrazení původního problému za přibližný je chyba v metodě. Celková chyba je v tomto případě součtem chyby metody a chyby výpočtů, jinými slovy, místo rovnice se řeší rovnice , jejíž přesnost řešení je určena vzorcem [8] $y=A(x)$ $\bar{\bar{y}}=\bar{\bar{A}}(\bar{\bar{x}})$

y-\bar{\bar{y}}=(y-\bar{y})+(\bar{y}-\bar{\bar{y}})

Pro určení velikosti chyby se používají pojmy absolutní a relativní chyba , mezní absolutní a relativní chyba, přičemž teorie chyb určuje změnu velikosti chyb při různých aritmetických operacích [9] . Spolu s metodami pro přesné posouzení chyb, v jejichž důsledku se určují mezní hodnoty chyb, se statistické metody používají k určení možnosti dosažení jednotlivých chyb [10] a také zohledňují matematické charakteristiky náhodných chyb. spojené s odchylkou od zadaných experimentálních podmínek, kdy u více výsledků měření je fyzikální veličina určena její přibližnou hodnotou [11] .

Základní způsoby aproximace funkcí

Interpolace

Pro získání hodnoty funkce dané tabulkou hodnot je na mezilehlých hodnotách argumentu postavena přibližná funkce , která v daných bodech , které se nazývají interpolační uzly, nabývá hodnot a v dalších bodech patří do domény funkce. Nejčastěji je přibližná funkce konstruována jako algebraický polynom, který zahrnuje první prvky lineárně nezávislého systému. V praxi jako prvky lineárně nezávislého systému posloupnost mocnin : , goniometrické funkce : , exponenciální funkce : [12] . $f(x)$ $\varphi(x)$ ${\displaystyle x_{0},\tečky ,x_{m))$ $f(x_{0}),\tečky ,f(x_{m})$ $n+1$ $X$ $1,x,x^{2},\dots$ $1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\tečky$ $1,e^{\alpha _{1}x},e^{\alpha _{2}x},\dots$

Pro konstrukci interpolační funkce je v tomto případě nutné vyřešit soustavu rovnic s neznámými. Na výslednou matici systému jsou kladeny určité podmínky: hodnost matice musí být rovna , a — aby byla zaručena podmínka lineární nezávislosti , — aby řešení problému bylo jednoznačné, determinant matice — tak že existuje řešení a navíc jedinečné [13] . Konstrukce Lagrangeova interpolačního polynomu je základní metodou řešení takových problémů, velmi náročná na zdroje a obtížně rozšiřitelná [14] . $m+1$ $n+1$ $m+1$ $n\geq m$ $n=m$ $\Delta \neq 0$ $L_n(x)$

Dalším krokem je zavedení konceptu děleného rozdílu -tého řádu založeného na poměru rozdílu hodnoty funkce v sousedních uzlech ke vzdálenosti mezi uzly, která má ze své definice číslo užitných vlastností, zejména dělené řádové rozdíly od stupňového polynomu mají stupeň , to znamená, že řádové rozdíly jsou konstantní , zatímco rozdíly vyšších řádů jsou [15] . Dělené rozdíly umožňují přepsat Lagrangeův interpolační polynom ve formě, která je pro výpočty pohodlnější. Nový vzorec se nazývá Newtonův interpolační polynom [16] , v případě stejných intervalů je vzorec značně zjednodušen [17] . Pomocí dělených diferencí jsou sestrojeny interpolační vzorce Gauss , Stirling , Bessel , Everett [18] . V obecném případě dělené rozdíly nejprve klesají s rostoucím řádem a pak začnou znovu růst, jinými slovy nemá smysl používat ve výpočtech rozdíly vyšších řádů [19] . To vyvolává otázku konvergence interpolačního procesu, na jehož řešení se podílejí různé metody matematické analýzy [20] . $k$ $k$ $n$ $nk$ $n$ $0$

Jednotné aproximace

Při řešení praktických problémů je nutné opakovaně počítat hodnoty dané funkce, což je v obecném případě operace náročná na zdroje. Je potřeba najít funkci nejlepší jednotné aproximace [21] . Pro aproximaci tvoří funkce v lineárním normovaném prostoru podprostor dimenze všech možných lineárních kombinací, pro které je norma definována a existuje její infimum . Prvek, ve kterém je této hrany dosaženo, se nazývá prvek nejlepší aproximace neboli projekce [22] . Lze dokázat, že v podprostoru vždy existuje prvek nejlepší aproximace [23] a za podmínky přísné normalizace prostoru je takový prvek jedinečný [24] . V prostoru spojitých funkcí s normou $n+1$

\lVert f\rVert =\sup _{x\in {[a,b)))|f(x)|

existuje i prvek nejlepší aproximace [25] , ale podmínkou jeho jednoznačnosti je přítomnost maximálně zřetelných nul zobecněného polynomu na intervalu ( Chebyshev polynomials ) [26] . $n$

Teorie funkcí je aplikovatelná na systém mocninných funkcí, protože se jedná o Čebyševův systém na libovolném intervalu [27] . Podle Weierstrassovy věty se s rostoucí dimenzí podprostoru ( ) blíží rozdíl mezi projekcí a danou funkcí nule [28] . Řád této aproximace závisí na strukturálních vlastnostech funkce, lze jej určit pomocí Bernsteinových polynomů [29] . Systém goniometrických funkcí má také vlastnosti Čebyševova systému na intervalu , pro něj má také rozdíl mezi projekcí a danou funkcí tendenci k nule [30] . $n\to\infty$ $[0,2\pi )$

Navzdory prokázané existenci nejlepšího aproximačního polynomu neexistují žádné způsoby, jak jej přesně sestavit. Místo toho se používá několik metod k aproximaci konstrukce polynomů nejlepší jednotné aproximace [31] .

Aproximace RMS

Požadavek jednotné aproximace je v mnoha případech nadbytečný a postačuje „celková“ blízkost funkcí, navíc hodnoty aproximačních funkcí získané z experimentu nesou náhodné chyby a není vhodné vyžadovat shodu funkcí. aproximační a aproximační funkce, pokud tato obsahuje nepřesnosti. Metoda aproximace střední hodnoty čtverce bere jako míru blízkosti následující hodnotu

\delta ={\sqrt {\int _{a}^{b}p(x)[f(x)-\phi (x)]^{2}dx)),

což umožňuje upustit od interpolace integrandu a požadavku spojitosti a zachovat pouze požadavky čtvercové integrability [32] .

Numerická diferenciace a integrace

Rovnice tvaru , definovaná na funkčním prostoru, může obsahovat operátory derivace a integrace , pro které není možné najít přesné řešení. Metody numerické derivace a integrace jsou založeny na interpolaci [33] . $y=A(x)$

Derivace hlavní funkce je považována přibližně za stejnou jako derivace interpolační funkce, zatímco derivace zbývajícího členu interpolačního vzorce může být velká, zejména u derivací vyšších řádů [34] . Numerické derivační vzorce jsou z velké části založeny na přímé derivaci interpolačních vzorců Newtona [35] , Gausse, Stirlinga a Bessela [36] , postavené na distribuovaných diferencích, ale existují i bezrozdílné vzorce. Zejména když se pro numerický diferenciál použije přímo Lagrangeův vzorec pro stejné intervaly [37] , metoda neurčitých koeficientů a další [38] .

V případě integrace samotná definice integrálu naznačuje možnost jeho nahrazení integrálním součtem , ale tato technika má pomalou konvergenci a je málo použitelná. Integrál hlavní funkce se považuje přibližně za rovný integrálu interpolační funkce a v budoucnu se používají interpolační vzorce s více uzly [39] . Použití Lagrangeova interpolačního polynomu pro stejné intervaly jako integrandu vede k Newton-Cotesovým vzorcům [40] a jeho konkrétním případům, lichoběžníkovému vzorci , kdy je integrandová křivka nahrazena tětivou a integrál je roven ploše lichoběžník a Simpsonův vzorec , když je integrandová křivka nahrazena parabolou procházející třemi body [41] . Opuštěním požadavku stejných intervalů pomocí Lagrangeova interpolačního polynomu lze získat přesnější vzorce pro numerickou integraci, zejména Gaussovy vzorce [42] , Hermitovy vzorce [43] , Markovovy vzorce [44] , Čebyševovy vzorce [45 ] . Kvadraturní procesy postavené na Gaussových interpolačních vzorcích vždy konvergují, zatímco Newton-Cotesovy vzorce tyto vlastnosti v obecném případě nemají [46] .

Existují i další způsoby numerické integrace, hlavní je použití Eulerových vzorců , ve kterých změna proměnných a následná integrace po částech vede ke vzorci pro numerickou integraci lichoběžníkem a korekčnímu členu, na který se změna proměnných a integrace po částech se znovu použije. V obecném případě Eulerův vzorec používá jako koeficienty čísla a Bernoulliho polynomy [47] . Otázka použití té či oné metody numerické integrace závisí na takových faktorech, jako jsou výpočetní nástroje, požadovaná přesnost a způsob specifikace integrandu. Pro ruční výpočty se doporučuje používat vzorce obsahující rozdíly, zatímco pro automatické výpočty - nediferenční vzorce, zejména Gaussovy vzorce [48] .

Pro přibližný výpočet vícenásobných integrálů se opakovaně používají vzorce pro numerickou integraci jednotlivých integrálů, přičemž v závislosti na vlastnostech funkce lze pro různé integrály použít různé vzorce. Při použití této metody je nutné počítat integrand na velkém počtu bodů, proto je vhodné použít Gaussův a Čebyševův vzorec, které jsou přesnější [49] . Dalším způsobem je nahrazení integrandu interpolačním polynomem ve dvou nebo více proměnných [50] . Lyusternik a Ditkin navrhli použít Maclaurinovy vzorce pro přibližný výpočet násobného integrálu [51] . Zároveň se zvyšující se násobností integrálu prudce roste počet bodů, pro které je nutné znát hodnoty integrandu, aby bylo možné použít metody založené na interpolaci. Pro výpočet vícenásobných integrálů se častěji používají pravděpodobnostní metody Monte Carlo , přičemž potřeba získat stejně možné posloupnosti vytváří další chyby, které se obtížně odhadují [52] .

Řešení soustav lineárních algebraických rovnic

Existují dvě skupiny metod řešení soustav lineárních algebraických rovnic: exaktní metody umožňují pomocí konečného počtu operací získat přesné hodnoty neznámých a zahrnují transformaci soustavy do jednoduchého tvaru a řešení zjednodušený systém; postupné aproximační metody založené na počátečních aproximacích umožňují získat „vylepšené“ přibližné hodnoty, pro které by se operace „zlepšení“ měla postupně opakovat; Metody Monte Carlo umožňují na základě matematického očekávání náhodných veličin získat řešení systému [53] .

Metoda eliminace známá ze školního kurzu algebry umožňuje redukovat matici soustavy na diagonální nebo trojúhelníkový tvar [54] . Gaussovo eliminační schéma s volbou hlavního prvku, který je nutný pro snížení výpočetní chyby, zahrnuje pohyb vpřed (samotný proces eliminace) a zpětný pohyb (řešení soustavy s trojúhelníkovou maticí) [55] . Její kompaktní verze se používá pro určení inverzní matice, která může být užitečná, pokud se v soustavě lineárních rovnic mění pouze pravá strana [56] a pro výpočet determinantů [57] . Jordanovo schéma umožňuje usnadnit zpětný pohyb [58] a ve schématu bez zpětného pohybu, které je založeno na transformaci buněčné matrice , není druhý nutný [59] . Podmínka symetrie matice nám umožňuje provést řadu zjednodušení a použít metodu druhé odmocniny, ve které je systémová matice reprezentována jako součin spodní trojúhelníkové matice maticí transponovanou vzhledem k ní, ve které jsou prvky trojúhelníkové matice se určují pomocí vzorců přes součiny prvků původní matice (při absenci podmínky kladně definitních matic mohou některé vzorce obsahovat imaginární prvky) a systém je pak řešen ve dvou fázích řešením pomocných systémy postavené na trojúhelníkových maticích [60] . Existuje také ortogonalizační metoda založená na vlastnostech skalárního součinu [61] , metoda konjugovaného gradientu, při které se zkonstruuje pomocná funkce, která tvoří rodinu elipsoidů se společným středem a pro kterou je nutné najít vektor. pro kterou nabývá minimální hodnoty [62] . Pro matice vyšších řádů se používá metoda dělení buněk, kdy je problém redukován na řešení úloh pro matice nižších řádů [63] . ${\begin{pmatrix}A&b\\-I&0\end{pmatrix}}$

V případě postupných aproximací se používá rekurentní vzorec

{\overline {x}}_{k+1}=F_{k}({\overline {x}}_{0},\tečky ,{\overline {x}}_{k}),

kde je funkce, která závisí na matici systému, pravé straně, aproximačním čísle a předchozích aproximacích , kde je počáteční vektor. V tomto případě je metoda považována za metodu prvního řádu, pokud funkce závisí pouze na poslední z předchozích aproximací. V tomto případě lze vzorec zapsat jako , kde . Pro usnadnění výpočtů je žádoucí použít diagonální nebo trojúhelníkovou matici , kterou bude vhodné převrátit. V závislosti na volbě této matice se metody nazývají celokrokové, respektive jednokrokové [64] . Mezi lineární celokrokové metody patří jednoduchá iterace [65] , Richardsonova metoda [66] ; k lineárním jednokrokovým metodám - Seidelova metoda [67] , relaxační metoda [68] ; k nelineárním metodám - metoda nejstrmějšího klesání [69] . $F_{k}$ ${\overline {x}}_{0},\tečky ,{\overline {x}}_{k}$ ${\overline {x}}_{0}$ ${\overline {x}}_{k+1}=B_{k}{\overline {x}}_{k}+{\overline {c}}_{k}$ $D_{k}{\overline {x}}_{k+1}+E_{k}{\overline {x}}_{k}={\overline {b}}$ $D_{k}+E_{k}=A$ $D_{k}$

Řešení algebraických rovnic vyšších stupňů a transcendentálních rovnic

Řešení algebraické rovnice , kde je funkce reálného nebo komplexního argumentu na levé straně, leží v komplexní rovině [70] . K jeho určení je v první řadě nutné každý kořen uzavřít na dostatečně malou plochu, tedy oddělit, k čemuž se často používají grafické metody [71] . Pro reálné kořeny se dále používá zobecněné Descartovo pravidlo, Sturmova věta [72] , Fourierova metoda [73] . Široké uplatnění nalezla metoda druhé odmocniny neboli Lobačevského metoda [74] . Ve své základní formulaci se vztahuje na reálné kořeny [75] , které jsou od sebe daleko, ale existují zobecnění jak na komplexní [76] , tak na skutečné stejné nebo blízké kořeny [77] . $f(z)=0$

Iterační metody řešení algebraických rovnic se dělí na stacionární, kdy je funkce spojena s jinou funkcí se stejnými kořeny, nezávislou na iteračním čísle [78] , a nestacionární, kdy funkce může záviset na iteračním čísle. Mezi nejjednodušší stacionární iterační metody patří metoda sečny (nebo metoda lineární interpolace) a metoda tečny (nebo Newtonova metoda), což jsou metody prvního a druhého řádu. Kombinace těchto metod, kdy po sobě jdoucí aproximace leží na opačných stranách odmocniny, umožňuje dosáhnout rychlejší konvergence [79] . Čebyševova metoda založená na rozšíření inverzní funkce o Taylorův vzorec umožňuje konstruovat metody vyšších řádů s velmi rychlou konvergencí [80] . Existuje také metoda založená na Koenigově větě [81] a Aitkenově metodě [82] . K prokázání konvergence iteračních metod se využívá principu komprimovaných zobrazení [83] .

Viz také

Metoda konečných prvků

Poznámky

↑ Mucha V.S. Výpočtové metody a počítačová algebra: učebnicová metoda. příspěvek. — 2. vyd., opraveno. a doplňkové - Minsk: BGUIR, 2010. - 148 s.: bahno, ISBN 978-985-488-522-3 , MDT 519,6 (075,8), BBK 22,19ya73, M92
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Encyklopedie kybernetiky / Glushkov V. M., Amosov N. M., Artemenko I. A. - Kyjev, 1974. - T. 2. - S. 530-532.
↑ Djačenko V. F. Základní pojmy výpočetní matematiky. - M., Nauka, 1972. - Náklad 45 000 výtisků. - str. 10
↑ Kalitkin, 1978 , str. 3.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 33.
↑ Kalitkin, 1978 , str. 2.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 13-16.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 57-58.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 53.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 63.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 65.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 77-79.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 79-80.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 84-87.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 102-106.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 106-109.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 112.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 125-135.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 111-112.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 149-150.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 331-333.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 333-334.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 334-336.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 336-337.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 337.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 337-342.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 347-348.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 349-352.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 352-355.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 355-357.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 364-365.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 386-387.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 217.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 217-220.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 220-226.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 226-228.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 230-234.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 234-236.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 237-240.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 240-243.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 243-254.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 254-258.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 264-266.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 266-269.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 269-276.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 279-284.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 289-297.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 305-306.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 315-318.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 318-320.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 320-324.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 1, 1962 , str. 324-325.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 9-10.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. deset.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 10-13.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 17-18.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 18-19.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 19-20.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 20-23.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 23-25.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 25-30.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 30-31.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 41.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 54-56.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 56-59.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 59-61.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 61-62.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 66-67.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 67-73.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 76.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 76-79.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 83-88.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 88-94.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 103.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 103-107.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 107-114.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 115.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 128-129.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 135-140.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 140-143.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 143-146.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 146-148.
↑ Berezin, Zhidkov, vol. 2, 1959 , str. 129-134.

Literatura

Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. V. Výpočetní metody pro inženýry. — 1994.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Výpočtové metody. - M .: Nauka , 1962. - T. 1.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Výpočtové metody. - M .: Nauka, 1959. - T. 2.
Kalitkin N. N. Numerické metody. — M .: Nauka, 1978.
Numerické metody: teorie a praxe: učebnice pro bakaláře, pro studenty vysokých škol studujících ve směru přípravy „Matematika. Aplikovaná matematika / U. G. Pirumov , Gidaspov V. Yu., Ivanov I. E., Reviznikov D. L. , Streltsov V. Yu., Formalev V. F. ; Moskevské letectví in-t-nat. výzkum un-t. - 5. vyd., revidováno. a doplňkové - Moskva : Yurayt, 2012. - 421 s. : ill., tab.; 22 cm - (bakalářský. Základní kurz).; ISBN 978-5-9916-1867-0
Ryzhikov Yu. Výpočetní metody. - Petrohrad: BHV, 2007. - 400 s. — ISBN 978-5-9775-0137-8

Odkazy

Vědecký časopis „Computational Methods and Programming. Nové výpočetní technologie »
Materiály o numerických metodách
Numerické metody
Computational Methods in Applied Mathematics , International Journal, ISSN 1609-4840

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	BNF : 11930888x GND : 4042805-9 J9U : 987007538744005171 LCCN : sh85093237 NKC : ph425906 , ph115471

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"