Povrch K3

K3-povrch je spojený , jednoduše spojený , kompaktní komplexní povrch (to je komplexní varieta komplexní dimenze dva), který připouští nikde degenerovanou holomorfní diferenciální formu stupně dva. V algebraické geometrii , kde rozmanitosti jsou zvažovány přes pole jiná než komplexní čísla , K3-povrch je algebraický povrch s triviálním kanonickým svazkem , který nepřipouští algebraické 1-formy. [jeden]

Quartic v ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$

Jeden z nejjednodušších příkladů ploch K3 je dán hladkými plochami čtvrtého stupně ve složitém projektivním prostoru . Abychom dokázali, že tyto povrchy splňují definici povrchu K3, je však nutná určitá znalost teorie svazků čar.

Totiž z hlediska liniových svazků jsou homogenními funkcemi stupně na projektivním prostoru úseky liniového svazku , -tý stupeň tautologického svazku . Pokud je nějaký svazek čar a je jeho úsekem, navíc jeho nulová úroveň je hladká podvarieta, pak jeho diferenciál určuje v každém bodě zobrazení, jehož jádro je přesně . Takže, vezmeme-li v úvahu hladkost , máme izomorfismus svazků . Tento faktor se nazývá normální svazek ; konkrétně vidíme, že normální svazek k hladkému kvartiku je izomorfní k . $n$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$ ${\mathfrak {O}}(n)$ $n$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L\to X$ $s\in \Gamma (L)$ $Y=\{x\in X\dvojtečka s(x)=0\}$ $ds$ $y\v Y$ $T_{y}X\to L_{y}$ $T_{y}Y$ $Y$ $TX|_{Y}/TY{\xrightarrow {ds}}L|_{Y}$ $TX|_{Y}/TY=\nu _{Y/X}$ ${\displaystyle Y=Y_{4}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ ${\mathfrak {O}}(4)|_{Y}$

Na druhou stranu normální svazek zapadá do přesné sekvence . Dualizací získáme přesnou posloupnost a výpočtem nejvyšší vnější mocniny a použitím jejích funktorálních vlastností máme izomorfismus svazků čar , neboli dualitou (tato formule se nazývá adjunkční formule ). Aplikováním adjunkčního vzorce na případ when (jehož kanonický svazek je izomorfní podle přesné Eulerovy posloupnosti ), máme . Zejména, když je hladká hyperplocha stupně , je jeho kanonický svazek triviální. Z toho plyne, že hladká kubická křivka v rovině je eliptickou křivkou , neboť z toho vyplývá přítomnost holomorfní 2-formy, která nikde na ploše stupně čtyři v projektivním prostoru nezaniká (obecně z toho vyplývá že hladká hyperplocha stupně c je Calabi-Yauova varieta ). $0\to TY\to TX|_{Y}\to \nu _{Y/X}$ $0\to \nu _{Y/X}^{*}\to T^{*}X|_{Y}\to T^{*}Y\to 0$ $K_{X}|_{Y}\cong K_{Y}\otimes \nu _{Y/X}^{*}$ $K_{Y}\cong K_{X}|_{Y}\otimes \nu _{Y/X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m))$ ${\mathfrak {O}} (-m-1)$ ${\mathfrak {O}}(-m-1)=K_{Y}\otimes \nu _{Y/\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}}^{*}$ $Y$ $m+1$ $m=2$ $m=3$ $m+1$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$

Zbývá dokázat, že kvartika je prostě propojená. Chcete-li to provést, zvažte vložení do lineárního systému , vzhledem k tomu, že sekce nadroviny vyříznou na obrázku přesně nulové úrovně homogenních polynomů stupně čtyři (naše kvartika je tedy vhodným nadrovinným řezem obrazu pod takovýmto vložením). Lefschetzovou větou o nadrovinné sekci zakládá izomorfismus základních grup a základní grupa komplexního projektivního prostoru je známá jako triviální. Hladký kvartik je tedy také jednoduše spojen a je tedy povrchem K3. ${\mathfrak {O}}(4)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{34))$ $Y$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ $\pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3})$ $Y$

Ve výše uvedeném je jedinou základní vlastností to, že svazek duální s kanonickým svazkem má sekci, jejíž nulová úroveň je hladký povrch. Každý trojrozměrný Fano trojnásobek má stejnou vlastnost , například . V tomto případě je antikanonický svazek omezen na každý z faktorů jako jeho vlastní antikanonický svazek, tj. , takže každý antikanonický dělitel protíná každou z těchto "souřadnicových os" ve dvou bodech. Taková plocha K3 tedy bude mít tři involuce : permutaci průsečíků s prvním, druhým a třetím faktorem. Podobná dvojice involucí je také na křivce v , která protíná oba faktory dvakrát. Jak je známo, je biholomorfní ke kvadrice v , a taková křivka je eliptická křivka ležící na kvadrice. Tyto dvě involuce v tomto případě vygenerují akci grupy , volného produktu , izomorfního k nekonečné grupě dihedronu . Buď jsou tedy dráhy této akce na eliptické křivce husté, nebo tato akce prochází konečným faktorem (to je nějaká dihedrální skupina konečného řádu) a všechny její dráhy jsou konečné. Toto tvrzení má inkarnaci v elementární geometrii známé jako Ponceletův porismus . V případě K3-plochy dají tři involuce vzniknout mnohem komplikovanějšímu triple free produktu , který je zajímavý z hlediska holomorfní dynamiky . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\mathfrak {O}}_{\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}(2)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$

Ricciho ploché metrické a Kummer K3 povrchy

Všechny povrchy K3 jsou Kählerian (to dokázal Sioux ). Protože mají nejvyšší stupeň holomorfní formy, která nikde nemizí, platí pro ně Calabiho-Yauův teorém , to znamená, že pro každou třídu reprezentovanou jako symplektická forma Kählerovy metriky existuje v této třídě metrika nulové Ricciho křivosti . . Zároveň tuto metriku nelze zapsat explicitně: Calabi-Yauova věta je pouze existenční věta , ale v žádném případě ne explicitní konstrukce. $[\omega _{g}]$ $G$

Jediný případ, kdy existuje alespoň nějaká aproximace, je případ tzv. Kummerových ploch. Nechť je komplexní torus, tedy faktor , kde je mřížka o hodnosti čtyři. Zvažte varietu kvocientu . Standardní holomorfní 2-forma na (sestupně od ) je invariantní při násobení , takže sestupuje do nesingulárního lokusu ve faktoru. Singularity mají tvar ; nafouknutí v takové singularitě je lokálně kotangens svazek k , a standardní holomorfní 2-forma může být rozšířena na takový rozvětvení. Singularity jsou přesně 2-torzní body na čtyřrozměrném torusu, je jich několik. Rozfouknutím těchto kvadratických singularit lze tedy získat povrch s triviální kanonickou třídou. Je snadné vidět, že je jednoduše připojen. Takový povrch K3 se nazývá povrch Kummer K3 spojený s komplexním torusem . Na rozdíl od předchozích příkladů nemusí být takový povrch již zapuštěn do projektivního prostoru, pokud původní torus nebyl projektivní . $A$ $\mathbb {C} ^{2}/\Lambda$ $\lambda$ $A/\{x\sim -x\}$ $dz\wedge dw$ $A$ $\mathbb {C} ^{2}$ $-jeden$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\))$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ ${\displaystyle A/\{\pm 1\))$ $2^{4}=16$ $16$ $A$ $A$

Ricciho plochá metrika na celkovém prostoru holomorfního kotangentového svazku k je poměrně dobře známá: je to Calabi-Eguchi-Hansonova metrika. Obtížná analytická otázka je, jak to přilepit plochou metrikou na hladkou část faktoru torusu, když jsou nafouknuty nové racionální křivky. K tomu je třeba globálně změnit obě metriky. Tuto otázku studoval Donaldson . [2] Ve své optice se zabývá otázkami konstrukcí variet se speciální holonomií (např. G2-variet ), které na rozdíl od K3-ploch nemají algebraicko-geometrický popis. $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$

Topologie povrchů K3

Topologie povrchů Kummer K3 je obzvláště jasná. Takže její druhé číslo Betty se rovná : pocházejí z původního čtyřrozměrného torusu a - ze šestnácti vyfouknutých křivek. Jejich Eulerova charakteristika je tedy rovna . $b_{2}$ $6+16=22$ $6$ $16$ $1+22+1=24$

Ukazuje se, že totéž platí pro jakýkoli jiný povrch K3: všechny povrchy K3 jsou difeomorfní. Navíc jsou to, co se nazývá deformační ekvivalent : jakékoli dvě složité struktury povrchu K3 mohou být spojeny spojitou cestou v prostoru všech složitých struktur. Mříž s nativním tvarem průniku je izomorfní k , kde je mřížka E8 a je standardní hyperbolickou mřížkou. Konkrétně signatura druhé kohomologické mřížky je . $H_{2}(K3,\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3))$ $E_8$ $U$ $(3,19)$

Protože všechny povrchy K3 jsou Kählerian, má smysl mluvit o jejich Hodgeových číslech : pro všechny povrchy K3 se rovnají , . Odtud je pomocí Hodgeovy věty o indexu snadné odvodit tvrzení o podpisu. $h^{2,0}=h^{0,2}=1$ $h^{1,1}=20$

Eliptické povrchy K3

Geometrie ploch K3, na kterých je eliptická křivka , je poměrně pozoruhodná . Jmenovitě nechť je K3-plocha a nechť je eliptická křivka. Z dodatkového vzorce (viz výše) víme, že . Ale kanonický svazek pro povrch K3 i eliptickou křivku je triviální. Normální svazek eliptické křivky je proto také triviální. To znamená, že eliptická křivka na povrchu K3 připouští rodinu deformací, které tuto křivku (a navzájem) neprotínají. Tyto deformace (včetně degenerovaných) budou parametrizovány racionální křivkou , tj. jedna eliptická křivka na povrchu K3 definuje zobrazení, jehož vlákna jsou a jejich deformace. Tato rodina se nazývá Lefschetzův svazek nebo eliptický svazek . Takový povrch K3 sám se nazývá eliptický povrch K3 . $X$ $E\podmnožina X$ $K_{E}\cong K_{X}|_{E}\otimes \nu _{E/X}$ $E\podmnožina X$ $X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ $E$

Eliptický svazek na povrchu K3 má vždy singulární vlákna (protože Eulerova charakteristika povrchu K3 je , zatímco u eliptické křivky je nulová). Pokud jsou všechny vrstvy co nejjednodušší - tedy pouze kartézské plechy s Eulerovou charakteristikou , pak by měly existovat speciální vrstvy (obecně řečeno, bude jich méně). Na základně mimo hroty, přes které jsou listy singulární, je ploché spojení , nazývané spojení Liouville-Arnold . Monodromie takového spojení spočívá ve skupině . Skupinu získanou považujte za předobraz v univerzálním krytu . Jedná se o centrální rozšíření s . Označte generátor této cyklické podskupiny jako . Ukazuje se, že existuje homomorfismus takový, že . Analoga Gauss-Bonnetovy věty , dokázaná Kontsevičem a Soibelmanem , tvrdí, že existuje-li ploché spojení s monodromií na povrchu s vpichy , pak platí rovnost , kde je monodromie kolem vpichu . Konkrétně, pokud jsou všechny rovny jedné, dostaneme všech stejně dvacet čtyři vpichů. [3] $24$ $jeden$ $24$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ ${\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\pi _{1}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z}$ $u$ $i\colon {\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )))\to \mathbb {Z}$ $i(u)=12$ $S$ $n$ $x_{1},\tečky ,x_{n}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\sum _{k=1}^{n}i(\gamma _{k})=12\chi (S)$ $\gamma _{k}$ $x_k$ $i(\gamma _{k})$

Torelliho věta

Pokud je nad jednotkovým diskem holomorfní rodina povrchů K3, pak je svazek jejich druhé kohomologie trivializován Gauss-Maninovým spojením . Jako variace na Hodgeovy struktury však již nebude triviální (pokud by triviální nebyla samotná rodina).

Hodgeova struktura typu na druhé kohomologii K3 je jednoznačně určena linií generovanou třídou holomorfní 2-formy . Protože existuje objemový tvar Ricciho ploché metriky, a je násobeno samo sebou nulou, tato přímka je izotropní vzhledem k tvaru průsečíku. Může tedy ležet pouze na nějaké hladké kvadrice v . Podmínka vyčleňuje nějakou otevřenou podmnožinu na této kvadrice. Lze jej popsat jako homogenní prostor následovně . $H^{2,0}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $\Omega$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega ))$ $\Omega \wedge \Omega =0$ $\mathrm {P} (H^{2}(K3,\mathbb {C} ))$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$

Uvažujme dvourozměrný prostor . Je invariantní při komplexní konjugaci, a proto je komplexizací nějakého dvourozměrného reálného podprostoru . Skutečný operátor na něm definujeme jako násobení podél a podle podél . Ve skutečné rovině tento operátor funguje jako rotace na a tím definuje orientaci. Ze vztahu vyplývá, že tvar průsečíku na této rovině je kladně určitý. Naopak, pokud existuje taková rovina, pak jsou v komplexizaci právě dvě izotropní čáry a výběr pouze jedné z nich dává požadovanou orientaci. Požadovaná otevřená podmnožina v kvadrice je tedy stejná jako množina orientovaných dvourozměrných rovin s pozitivně určitým skalárním součinem v prostoru signatury . Skupina izometrie takového prostoru působí tranzitivně na takové roviny se stabilizátorem . Tento faktor se tedy nazývá dobový prostor . Toto, jak je vidět z popisu jako otevřená podmnožina v kvadrice, je komplexní varieta (totéž lze vidět ze skutečného popisu, který identifikuje orientovanou dvourozměrnou rovinu s Argandovou rovinou , tedy jednoduše komplexem čísla - ekvivalence těchto popisů je snadné cvičení). S každou rodinou povrchů K3 na disku je spojena holomorfní mapa z disku do tohoto prostoru období, nazývaná mapa období . Torelliho lokální teorém říká, že rodinu povrchů K3 na malém disku lze jedinečně získat z jeho dobové mapy. $\mathrm {span} \{[\Omega ],[{\bar {\Omega }}]\}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $U_{\Omega }\subset H^{2}(K3,\mathbb {R} )$ ${\sqrt {-1}}$ $[\Omega ]$ $-{\sqrt {-1))$ $[{\bar {\Omega ))]$ ${\displaystyle U_{\Omega ))$ $90^{\circ }$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$ $(3,19)$ $\mathrm {SO} (3,19)$ $\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1,19)$ ${\frac {\mathrm {SO} (3.19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1.19))$

Pokud chceme uvažovat pouze algebraické plochy K3, pak je rozumné zafixovat třídu nadrovinného řezu , což je také třída Kählerova formuláře (plochy K3 s pevnou třídou řezu nadrovinou se nazývají polarizované ). Od , máme další omezení: . Protože to znamená, že v tomto případě může nabývat hodnot pouze v podmnožině prostoru teček uspořádaných jako . Je to faktor grupy maximální kompaktní podgrupou a podle Cartanovy věty je biholomorfní k nějaké ohraničené oblasti v komplexním prostoru (v tomto případě ). Tato doména je podobná doméně Siegel a pro rod dva s ní úzce souvisí: mapování abelovského povrchu na jeho povrch Kummer K3 vede k mapování domény Siegel rodu dva na periodickou doménu. Modulární formy v této oblasti poskytují zajímavé spojení mezi klasickou teorií čísel a algebraickou geometrií. $[\omega ]\in H^{1,1}$ $\Omega \wedge \omega =0$ ${\displaystyle [\Omega ]\in [\omega ]^{\perp ))$ $\omega \wedge \omega >0$ $[\Omega ]$ ${\frac {\mathrm {SO} (2,19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (19)))$ $\mathbb {C} ^{1}9$

Působení mřížově zachovávající ortogonální grupy na prostor period je přitom velmi vzdálené tomu, aby faktor tímto působením měl alespoň nějaký geometrický význam. Obraz Siegelovy domény ve výše uvedeném srovnání je tedy analytickou podvarietou velkého rozměru, ale v tomto případě lze jakoukoli algebraickou K3-plochu změnit na Kummer K3-povrch libovolně malou deformací — tedy posuny tohoto obrazu působením mřížky tvoří všude hustou množinu. Proto je pro formulování globálního tvrzení rozumnější hovořit nikoli o izomorfismu faktorů, ale o holomorfním zobrazení, které komutuje působením celočíselné ortogonální grupy. $H^{2}(K3,\mathbb {Z} )$

Konkrétně uvažujme soubor všech složitých struktur typu Kähler na ploše K3. Jeho součinitel působením spojené složky grupy difeomorfismu je hladká komplexní varieta, i když je nehausdorffovská (pro křivky se analogický součinitel ukáže jako Hausdorffův a je dobře známý jako Teichmüllerův prostor ). Pak je mapa identifikující body, které nejsou od sebe odděleny neprotínajícími se sousedstvími, dobře definovaná a její kvocient je hladká komplexní varieta mapovaná mapou period do prostoru period a navíc je biholomorfní. Toto tvrzení je globální Torelliho teorém.

Degenerace povrchů K3

Uvažujme případ holomorfní rodiny nad diskem, jehož všechna vlákna, kromě centrálního, jsou K3-plochy a centrální je nějaký speciální dělitel s normálními průsečíky, jehož složkami jsou hladké povrchy násobnosti jedna, a celý prostor je hladký. Takové rodině se říká dobrá degenerace . Podobnou otázku pro eliptické křivky (viz výše) studoval Kodaira : ukázal, že minimální (tj. nesfouknuté ) degenerace eliptických křivek mají triviální kanonický svazek, a dal klasifikaci takových degenerací (víceméně v termínech Dynkinových diagramů ). V případě povrchových degenerací dochází kromě nafouknutí centrální vrstvy také k tzv. modifikacím - netriviálním biracionálním transformacím celkového prostoru, které zachovávají vrstvy a jsou biregulární na každé hladké vrstvě. Vic. Kulikov dokázal, že po určité úpravě má celkový prostor minimální dobré degenerace povrchů K3 také triviální kanonický svazek a že degeneraci lze redukovat přeskupením na jeden ze tří případů:

střední vrstva je hladký povrch K3,
centrální vrstva je spojením hladkých ploch , navíc se plocha protíná pouze s plochami , všechny průsečíky jsou eliptické křivky, plochy a jsou racionální a plochy jsou řádkované eliptické plochy, ${\displaystyle V_{1}\cup V_{2}\cup \dots \cup V_{n-1}\cup V_{n))$ $V_i$ $V_{i\pm 1}$ $V_{1}$ $V_{n}$ $V_{2},\dots V_{n-1}$
centrální vlákno je spojením racionálních ploch protínajících se podél racionálních křivek; komplex, jehož vrcholy jsou neredukovatelné složky centrální vrstvy, hrany jsou křivky, podél kterých se protínají, a plochy jsou body, ve kterých se tyto křivky sbíhají, je triangulace dvourozměrné koule.

Příkladem degenerace typu II podle Kulikova je degenerace hladké kvartiky do spojení dvou kvadrik (jejich průsečík je eliptická křivka) a degenerace typu III jsou degenerace hladké kvartiky do spojení čtyř rovin ( tedy povrch čtyřstěnu - jsou-li vrcholy tohoto čtyřstěnu skutečné, zmíněná triangulace bude duální vůči té, kterou tento čtyřstěn dává).

Degenerace Ricciho plochých metrik na površích K3

Degenerace povrchů K3 lze ošetřit různými způsoby. Kromě výše popsané algebraicko-geometrické perspektivy na ně lze nahlížet z hlediska diferenciální geometrie. Konkrétně fixujeme složitou strukturu na K3-plochu a uvažujeme Kählerův kužel , tedy kužel tříd takový, že pro nějakou Kählerovu metriku . Toto je nějaký otevřený kužel ležící v kuželu tříd s a pro jakoukoli křivku . Díky Calabi-Yauově větě každý bod tohoto kužele odpovídá jedné Ricciho ploché metrice. A co se stane s touto metrikou, pokud nasměrujeme hrot kužele k jeho hranici? $já$ $X$ ${\mathfrak {C}}_{X}\subset H^{1,1}(X)$ $[\omega ]$ $\omega (x,y)=\omega _{g}(x,y)=g(Ix,y)$ $G$ $\alpha \wedge \alpha >0$ $\int _{C}\alpha >0$ $C\subset X$

Odpověď samozřejmě závisí na bodu na hranici, ke kterému ji směřujeme. Je-li například Kummer K3-plocha a je to -forma vycházející z formy na Abelovské ploše, se kterou je spojena, pak je třída numericky efektivní (to znamená, že leží v uzavření Kählerova kužele), a (takové třídy se nazývají objemové třídy ). Přitom to není Kählerian, protože máme , kde je některá ze šestnácti výjimečných křivek. V tomto případě je limit metrik dobře definovaný (ve smyslu Gromov-Hausdorffovy limity nezávisí na dráze v Kählerově kuželu a konverguje k metrickému dokončení nějaké neúplné Ricci-flat Kählerovy metriky definované mimo šestnáct Obecný výsledek tohoto druhu (pro libovolné manifoldy Calabi-Yau) byl prokázán Tosatti , Zhang a kol., ale pro povrchy Kummer K3 byl získán Lebrunem [ 4]. $X$ $\alpha$ $(1.1)$ $[\alpha]$ $\int _{X}\alpha \wedge \alpha >0$ $\alpha |_{C}=0$ $C$

Přitom pokud třída není objemná, tak dochází k degeneraci jinak a k tzv kolaps - omezující prostor má v určitém smyslu nižší rozměr. Pokud je například eliptický povrch K3 a je inverzním obrazem třídy Fubini-Study ze základny eliptické tužky, pak . Omezující chování Ricciho plochých metrik v takové situaci zkoumali Gross a Wilson. $\alpha$ $X$ $\alpha$ $\alpha \wedge \alpha =0$

Dynamické vlastnosti povrchů K3

Povrchy K3 často připouštějí automorfismy, jejichž dynamika je chaotická (například v tom smyslu, že jejich topologická entropie je kladná a existuje vlastní třída s vlastní hodnotou větší než ). Například automorfismus získaný na povrchu Kummer spojený s torusem má tuto vlastnost odstraněním Arnoldova automorfismu „ okroshka from a cat “ definovaného maticí . Míra maximální entropie je v tomto případě absolutně spojitá s ohledem na Lebesgueovu míru; Kanta a DuPont dokázali, že v algebraickém případě jsou všechny plochy K3 s automorfismem této vlastnosti Kummer (později Tosatti a Philip toto tvrzení rozšířili na nealgebraické plochy K3; tento výsledek použili ke konstrukci tříd na hranici Kählera kužel, konvergence Ricciho ploché metriky při snaze o kterou má patologické vlastnosti). $H^{1,1}$ $jeden$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\mathbb {Z} \oplus {\sqrt {-1))\mathbb {Z} \}^{2))$ ${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$

Holomorfní dynamiku výše popsaného povrchu se třemi involucemi studoval Barry Mazur .

Pomocí Torelliho teorému McMullen zkonstruoval automorfismy povrchů K3, které připouštějí Siegelovy disky – tedy otevřené domény zachované automorfismem a biholomorfní na součin dvou disků, na kterých automorfismus působí konjugovaně s rotací , kde jsou čísla, která nejsou kořeny jednota . $(z,w)\mapsto (az,bw)$ $|a|=|b|=1$

Historie

První příklady povrchů K3 zkoumal Euler v procesu řešení některých diofantických rovnic (jeho myšlenky později rozvinul Ramanujan ). Geometrický přístup k povrchům K3 byl stanoven mnohem později, v práci Cayleyho , Kummera a Henriqueze .

Název „K3-surface“ navrhl v roce 1958 André Weil (po Kummer, Köhler a Kodaira ). Pokusil se také dokázat Torelliho teorém pro algebraické plochy K3. O něco později Kodaira dokázal, že všechny plochy K3, včetně nealgebraických, jsou deformačně ekvivalentní (zejména difeomorfní). Také klasifikoval singulární vlákna eliptických povrchů K3.

Místní Torelliho věta pro algebraické povrchy K3 byla prokázána v roce 1965 Tyurinou a globální Pyatetsky-Shapiro a Shafarevich v roce 1971. Torelliho globální teorém rozšířili Burns a Rapoport v roce 1975 na nealgebraické K3-povrchy. V roce 1977 Viktor Kulikov [5] klasifikoval degenerace K3-povrchů a popsal K3-povrchy s konečnými skupinami automorfismu Nikulin [6] .

Poznámky

↑ Každý algebraický komplexní K3-plocha je K3-plocha ve smyslu diferenciálně-geometrické definice; opak neplatí obecně.
↑ S. K. Donaldson. Calabi-Yauovy metriky na površích Kummer jako problém s lepením modelu , 27. července 2010
↑ Maxim Kontsevich, Yan Soibelman. Afinní struktury a nearchimédské analytické prostory , předloženo 28. června 2004
↑ Valentino Tosati. Collapating Calabi-Yau manifolds , 2020
↑ Vic. S. Kulikov, Degenerace povrchů K3 a Enriquesových povrchů , Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Mat., 41:5 (1977), 1008-1042
↑ V. V. Nikulin, Konečné skupiny automorfismu Kählerových ploch typu K3 , Tr. MMO, 38, Moskevské nakladatelství. un-ta, M., 1979, 75-137