Vepsaný čtyřúhelník

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. září 2022; kontroly vyžadují 9 úprav .

Vepsaný čtyřúhelník je čtyřúhelník , jehož vrcholy leží na stejné kružnici . Tento kruh se nazývá opsaný . Obvykle se předpokládá, že čtyřúhelník je konvexní , ale existují také samoprotínající se vepsané čtyřúhelníky. Níže uvedené vzorce a vlastnosti platí pouze pro konvexní čtyřúhelníky.

Všechny trojúhelníky mají opsané kružnice , ale ne všechny čtyřúhelníky. Příkladem čtyřúhelníku, který nelze vepsat do kruhu, je kosočtverec (pokud to není čtverec). Níže uvedená část "Vlastnosti" uvádí nezbytné a dostatečné podmínky pro opsání kruhu kolem čtyřúhelníku.

Zvláštní příležitosti

Jakékoli čtverce , obdélníky , rovnoramenné lichoběžníky nebo antiparalelogramy mohou být vepsány do kruhu. Deltoid může být vepsán právě tehdy, když má dva pravé úhly. Bicentrický čtyřúhelník je cyklický čtyřúhelník, který je také opsaný čtyřúhelník, a externě bicentrický čtyřúhelník je cyklický čtyřúhelník, který je rovněž opsaným čtyřúhelníkem [ .

Vlastnosti

První kritérium pro zapsání čtyřúhelníku . Konvexní nedegenerovaný čtyřúhelník je vepsán tehdy a jen tehdy , když se čtyři střední kolmice nakreslené ke každé ze stran protínají v jednom bodě [1] .
Druhé kritérium pro čtyřúhelník, který má být vepsán . Konvexní čtyřúhelník je vepsán právě tehdy, když součet protilehlých úhlů je 180°, tedy [2] . $\displaystyle ABCD$

A+C=B+D=\pi =180^{{\circ }}.

Další varianta prvního kritéria pro vepsání čtyřúhelníku . Věta byla Tvrzení 22 v knize 3 Euklidových prvků [3] . Ekvivalentně, konvexní čtyřúhelník je vepsaný právě tehdy, když se sousední úhel rovná opačnému vnitřnímu úhlu.
Třetí kritérium pro zapsání čtyřúhelníku . Kruhu lze opsat kolem čtyřúhelníku tehdy a jen tehdy, je-li některý pár jeho protilehlých stran antiparalelní .
Čtvrté kritérium pro zapsání čtyřúhelníku . Další kritérium pro vepsání konvexního čtyřúhelníku vyžaduje, aby úhel mezi stranou a úhlopříčkou byl roven úhlu mezi protější stranou a druhou úhlopříčkou [4] . Například, $\displaystyle ABCD$

\úhel ACB=\úhel ADB.

Páté kritérium pro vepsání čtyřúhelníku . Ptolemaiova nerovnost říká, že součin délek dvou úhlopříček p a q čtyřúhelníku se rovná součtu součinů protilehlých stran pouze tehdy, je-li čtyřúhelník vepsán: [5]

\displaystyle pq=ac+bd.

Šesté kritérium pro čtyřúhelník, který má být vepsán . Kružnici lze opsat kolem čtyřúhelníku tehdy a jen tehdy, když je kterýkoli pár jeho protilehlých stran antiparalelní . Pokud se dvě úsečky, z nichž jedna obsahuje úsečku AC a druhá úsečka BD , protínají v bodě E , pak čtyři body A , B , C , D leží na kružnici právě tehdy, když [6]

AE\cdot EC=BE\cdot ED.

Průsečík E může ležet uvnitř i vně kružnice. V prvním případě to bude vepsaný čtyřúhelník ABCD a ve druhém případě to bude vepsaný čtyřúhelník ABDC . Leží-li průsečík uvnitř, rovnost znamená, že součin úseček, na které bod E rozděluje jednu úhlopříčku, je roven součinu úseček druhé úhlopříčky. Toto tvrzení je známé jako teorém protínajících se tětiv , protože úhlopříčky vepsaného čtyřúhelníku jsou tětivami kružnice opsané.

Sedmé kritérium pro čtyřúhelník, který má být vepsán . Konvexní čtyřúhelník ABCD je vepsán tehdy a jen tehdy, když [7]

$\tan {{\frac {A}{2}}\tan {{\frac {C}{2}}}=\tan {{\frac {B}{2}}}\tan {{\frac { D}{2}}}=1.$

Osmé kritérium pro vepsání čtyřúhelníku . Nechť konvexní čtyřúhelník, ve kterém - průsečík úhlopříček, - průsečík prodloužení stran a , - průsečík prodloužení stran a . A nechť je obvod devíti bodů trojúhelníku . je cyklický čtyřúhelník právě tehdy, když průsečík jeho středových os leží na kružnici . [8] [9] [10] (viz obrázek) $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle E$ $\displaystyle F$ $\displaystyle AD$ $\displaystyle BC$ $\displaystyle G$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$ $\displaystyle \omega$ $\displaystyle EFG$ $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle \omega$

Deváté kritérium pro zapsání čtyřúhelníku . Kruhu lze opsat kolem čtyřúhelníku tehdy a jen tehdy, když je kterýkoli pár jeho protilehlých stran antiparalelní V konvexním čtyřúhelníku , Nechť je průsečík úhlopříček, je průsečík prodloužení stran a , A nechť je kružnice, jejíž průměr je úsečkou tvořící Pascalovy body a po stranách a .(viz obr.) $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle E$ $\displaystyle F$ $\displaystyle AD$ $\displaystyle BC$ $\displaystyle \omega$ $\displaystyle F$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$

(1) je cyklický čtyřúhelník právě tehdy, když body a jsou kolineární se středem kružnice . [10] [11] (2) je cyklický čtyřúhelník právě tehdy, když body a jsou středy stran a . [10] [11] . $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle O$ $\displaystyle \omega$
$\displaystyle ABCD$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$

Poznámka . Sedmé a osmé kritérium pro zahrnutí čtyřúhelníku jsou velmi podobné a jejich kresby jsou velmi podobné. Je možné, že se jedná o stejné kritérium pro zápis čtyřúhelníku, převzaté z různých primárních zdrojů. Na obou obrázcích a jsou Pascalovy body. Existují další podobné body. Ačkoli formálně znějí obě kritéria odlišně. $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$
Desáté kritérium pro zapsání čtyřúhelníku . Podmínka, za níž spojením dvou trojúhelníků s jednou stejnou stranou vznikne čtyřúhelník vepsaný do kruhu [12] . Takže dva trojúhelníky s trojnásobnými délkami stran (a, b, f) a (c, d, f), pokud se spojí podél společné strany o délce rovné f, dávají jako výsledek čtyřúhelník vepsaný do kruhu s posloupností stran ( a , b , c , d ), podmínka [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd))).

Poznámka . Poslední podmínka dává výraz pro úhlopříčku f čtyřúhelníku vepsaného do kružnice z hlediska délek jeho čtyř stran ( a , b , c , d ). Tento vzorec bezprostředně následuje, když násobíme a dáváme rovnítko mezi levou a pravou část vzorců vyjadřujících podstatu první a druhé Ptolemaiovy věty .

Jedenácté kritérium pro čtyřúhelník, který má být vepsán . Konvexní čtyřúhelník (viz obrázek vpravo) tvořený čtyřmi danými Miquelovými úsečkami je vepsán do kruhu právě tehdy, když Miquelův bod M čtyřúhelníku leží na čáře spojující dva ze šesti průsečíků úseček (těch, které nejsou vrcholy čtyřúhelníku). To znamená, když M leží na EF (viz obrázek vpravo).

Oblast

Obsah S vepsaného čtyřúhelníku o stranách a , b , c , d je dán Brahmaguptovým vzorcem [14]

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)}}

kde p , semiperimetr , je . Toto tvrzení je důsledkem Bretschneiderova vztahu , protože opačné úhly tvoří 180°. Pokud d \u003d 0, vepsaný čtyřúhelník se stane trojúhelníkem a rovnost se změní na Heronův vzorec . $p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$

Vepsaný čtyřúhelník má maximální plochu ze všech čtyřúhelníků se stejnou sekvencí délek stran. To je další důsledek Bretschneiderova vztahu. Tvrzení lze dokázat pomocí matematické analýzy [15] .

Čtyři nestejné délky, z nichž každá je menší než součet ostatních tří, jsou stranami tří neshodných vepsaných čtyřúhelníků [16] , a podle Brahmaguptovy vzorce mají všechny tyto trojúhelníky stejnou plochu. Konkrétně pro strany a , b , c a d může být strana a protilehlá kterékoli straně b , c nebo d . Libovolné dva z těchto tří vepsaných čtyřúhelníků mají úhlopříčku stejné délky [17] .

Obsah vepsaného čtyřúhelníku s po sobě jdoucími stranami a , b , c , d a úhlem B mezi stranami a a b lze vyjádřit vzorcem [5]

S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}

nebo [18]

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }

kde θ je libovolný úhel mezi úhlopříčkami. Pokud úhel A není správný, lze plochu vyjádřit vzorcem [18]

S={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.

Další plošný vzorec [19]

S=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }

kde R je poloměr kružnice opsané . Přímým důsledkem bude [20]

{\displaystyle S\leq 2R^{2))

a nerovnost se změní v rovnost právě tehdy, když je čtyřúhelník čtverec.

Úhlopříčky

Ve vepsaném čtyřúhelníku s vrcholy A , B , C , D (v uvedené posloupnosti) a stranami a = AB , b = BC , c = CD a d = DA mohou délky úhlopříček p = AC a q = BD být vyjádřen pomocí stran [21] [22] [17]

p={\sqrt {{\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd))))

q={\sqrt {{\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc))))

což dává ptolemaiovskou rovnici

pq=ac+bd.

Podle druhé Ptolemaiovy věty [21] [22] ,

{\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}

se stejným zápisem jako dříve.

Pro součet úhlopříček máme nerovnost [23]

p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.

Nerovnice se stane rovností právě tehdy, když jsou úhlopříčky stejně dlouhé, což lze ukázat pomocí nerovnosti mezi aritmetickým průměrem a geometrickým průměrem .

Navíc [24 ]

(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.

V jakémkoli konvexním čtyřúhelníku dvě úhlopříčky rozdělují čtyřúhelník na čtyři trojúhelníky. Ve vepsaném čtyřúhelníku jsou opačné dvojice těchto čtyř trojúhelníků podobné .

Jestliže M a N jsou středy úhlopříček AC a BD , pak [25]

{\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|

kde E a F jsou průsečíky protilehlých stran.

Pokud je ABCD vepsaný čtyřúhelník a AC protíná BD v bodě P , pak [26]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.

Úhlové vzorce

Pro vepsaný čtyřúhelník se stranami a , b , c , d , semiperimetrem p a úhlem A mezi stranami a a d jsou goniometrické funkce úhlu A [27]

\cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc))),

\sin A={\frac {2{\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)))}{(ad+bc)))),

\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(pa)(pd)}{(pb)(pc)))}.

Pro úhel θ mezi úhlopříčkami [18]

\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pd)}{(pa)(pc)))}.

Pokud se prodloužení protilehlých stran a a c protínají pod úhlem , pak $\phi$

\cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pd)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc )}}}

kde p je semiperimetr [28]

Vzorec Parameshvara

Pro vepsaný čtyřúhelník se stranami a , b , c , d (v uvedené posloupnosti) a půlobvodem p je poloměr kružnice opsané dán vzorcem [22] [29]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(pa)(pb)(pc)(pd )}}}.

Vzorec byl vyvinut indickým matematikem Vatasseri Paramesvara v 15. století.

Pomocí Brahmaguptova vzorce lze Parameswarův vzorec převést na

4SR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)))

kde S je plocha vepsaného čtyřúhelníku.

Anticentrum a kolinearita

Čtyři úsečky kolmé k jedné straně vepsaného čtyřúhelníku a procházející středem protilehlé strany se protínají v jednom bodě [30] [31] . Tento průsečík se nazývá anticentrum . Antistřed je symetrický ke středu opsané kružnice vzhledem k "centroidu vrcholu" . Ve vepsaném čtyřúhelníku tedy střed opsané kružnice, "těžiště vrcholu" a antistřed leží na stejné přímce [31] .

Pokud se úhlopříčky vepsaného čtyřúhelníku protínají v bodě P a středy úhlopříček jsou V a W , pak antistřed čtyřúhelníku je ortocentrum trojúhelníku VWP a těžiště vrcholu je uprostřed segmentu spojujícího středy úhlopříček [31] .

Ve vepsaném čtyřúhelníku leží "těžiště oblasti" G a , "těžiště vrcholů" G v a průsečík P úhlopříček na stejné přímce. Vzdálenosti mezi těmito body splňují rovnost [32]

PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.

Další vlastnosti

Mongeova věta o ortocentru vepsaného čtyřúhelníku. V ortocentru H tohoto čtyřúhelníku se protínají 4 přímé úsečky (4 antimedatrisy ) nakreslené ze středů 4 stran vepsaného čtyřúhelníku kolmého k opačným stranám . [33] , [34]

Japonský vepsaný čtyřúhelníkový teorém . Ve vepsaném čtyřúhelníku ABCD jsou středy kružnic trojúhelníků ABC , BCD , CDA a DAB vrcholy obdélníku . Toto je jeden z teorémů známý jako Japonský teorém . Ortocentra stejných čtyř trojúhelníků jsou vrcholy čtyřúhelníku rovného ABCD . Těžiště těchto čtyř trojúhelníků jsou vrcholy dalšího vepsaného čtyřúhelníku [4] .

Důsledek věty o vepsaném úhlu . Ve vepsaném čtyřúhelníku ABCD se středem O nechť P je průsečík úhlopříček AC a BD . Potom úhel APB je aritmetickým průměrem úhlů AOB a COD . Toto je přímý důsledek věty o vepsaném úhlu a věty o vnějším úhlu trojúhelníku .

Věta o kolmosti vnitřních os úhlů ve vrcholech E a F, vytvořených na průsečících dvou dvojic protilehlých stran vepsaného čtyřúhelníku . Pokud jsou protilehlé strany vepsaného čtyřúhelníku prodlouženy k průsečíku v bodech E a F , pak jsou vnitřní osy úhlů v E a F kolmé [16] .

Věta o 4 průmětech 4 vrcholů vepsaného čtyřúhelníku . Dovolit být vepsaný čtyřúhelník, být základna kolmice klesla z vrcholu na úhlopříčku ; body jsou definovány podobně . Potom body leží na stejné kružnici. [35] $abeceda$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

Věta o počtu čtyřúhelníků . Neexistují žádné vepsané čtyřúhelníky s racionální plochou a nestejnými racionálními stranami, které tvoří aritmetickou nebo geometrickou posloupnost [36] .

Věta o počtu čtyřúhelníků . Pokud má vepsaný čtyřúhelník délky stran, které tvoří aritmetický průběh , pak je čtyřúhelník také externě opsán .

Čtyřúhelníky Brahmagupty

Brahmaguptův čtyřúhelník [37] je vepsaný čtyřúhelník s celočíselnými délkami stran, celočíselnými délkami úhlopříčky a celočíselnou plochou. Všechny Brahmaguptovy čtyřúhelníky se stranami a, b, c, d , úhlopříčkami e, f , plochou S a poloměrem R kružnice opsané lze získat zbavením se jmenovatele v následujících výrazech (s racionálními parametry t , u a v ):

a=[t(u+v)+(1-uv)][u+vt(1-uv)]

b=(1+u^{2})(vt)(1+tv)

c=t(1+u^{2})(1+v^{2})

d=(1+v^{2})(ut)(1+tu)

e=u(1+t^{2})(1+v^{2})

f=v(1+t^{2})(1+u^{2})

S=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2} )]

4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).

Vlastnosti ortodiagonálních vepsaných čtyřúhelníků

Plocha a poloměr kružnice opsané

Nechť pro vepsaný čtyřúhelník, který je také pravoúhlý (tj. má na sebe kolmé úhlopříčky), průsečík úhlopříček rozděluje jednu úhlopříčku na úseky délky p 1 a p 2 a druhou rozděluje na úseky délky q 1 a q 2 . Potom [38] (první rovnost je výrok 11 v Archimédových lemmatech )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^ {2}=b^{2}+d^{2}

kde D je průměr kružnice opsané . Rovnost platí díky tomu, že úhlopříčky jsou kolmé tětivy kružnice . To znamená, že poloměr kružnice opsané R splňuje rovnost

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2 }}}

nebo přes strany čtyřúhelníku

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+ d^{2}}}.

Z toho také vyplývá, že

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Podle Eulerova vzorce lze tedy poloměr vyjádřit pomocí úhlopříček p a q a vzdálenosti x mezi středy úhlopříček.

R={\sqrt {{\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}}.

Vzorec pro plochu K vepsaného pravoúhlého čtyřúhelníku lze získat přímo z hlediska stran kombinací Ptolemaiovy věty (viz výše) a vzorce pro obsah pravoúhlého čtyřúhelníku. V důsledku toho dostáváme

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Další vlastnosti

Ve vepsaném ortodiagonálním čtyřúhelníku se anticentrum shoduje s průsečíkem úhlopříček [39] .

Brahmaguptův teorém říká, že ve vepsaném čtyřúhelníku, který je také kolmý, kolmice z obou stran přes průsečík úhlopříček půlí protilehlou stranu [39] .

Je-li vepsaný čtyřúhelník zároveň ortodiagonální, je vzdálenost od středu kružnice opsané na obě strany poloviční délky protilehlé strany [39] .

Ve vepsaném ortodiagonálním čtyřúhelníku je vzdálenost mezi středy úhlopříček rovna vzdálenosti mezi středem kružnice opsané a průsečíkem úhlopříček [39] .

Viz také

Poznámky

↑ Usiskin, 2008 , str. 63–65, kapitola 10. Cyklické čtyřúhelníky.
↑ Usiskin, 2008 , str. 63–65.
↑ Joyce, 1997 , str. Kniha 3, Návrh 22.
↑ 1 2 Andreescu, Enescu, 2004 , str. 2.3 Cyklické čtyřkolky.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , str. 25.
↑ Bradley, 2007 , str. 179.
↑ Hajja, 2008 , str. 103–6.
↑ Fraivert, David. Nové body, které patří do devítibodového kruhu // The Mathematical Gazette : deník. - 2019. - Červenec ( roč. 103 , č. 557 ). - str. 222-232 . - doi : 10.1017/mag.2019.53 .
↑ Fraivert, David. Nové aplikace metody komplexních čísel v geometrii cyklických čtyřúhelníků (anglicky) // International Journal of Geometry : journal. - 2018. - Sv. 7 , č. 1 . - str. 5-16 .
↑ 1 2 3 Fraivert, David; Sigler, Avi & Stupel, Moshe (2020), Nezbytné a dostatečné vlastnosti pro cyklický čtyřúhelník , International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , < https://doi.org/10.1080/0020739X.2019.1683772 > Archivováno 20. června 10 Wayback Machine
↑ 1 2 Freivert, D. M. (2019), Nové téma v euklidovské geometrii v rovině: Teorie „pascalových bodů“ tvořených kružnicí na stranách čtyřúhelníku , Matematické vzdělávání: Stav umění a perspektivy: sborník příspěvků the International Scientific Conference , < http ://libr.msu.by/handle/123456789/9675 > Archivováno 10. listopadu 2019 ve Wayback Machine
↑ Viz podsekce "Úhlopříčky" článku " Vepsaný čtyřúhelník "
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. co., 2007
↑ Durell a Robson 2003 , str. 24.
↑ Petr, 2003 , str. 315–6.
↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , str. 57, 60.
↑ 12 Johnson , 2007 , s. 84.
↑ 1 2 3 Durell a Robson, 2003 , str. 26.
↑ Prasolov, 2006 , s. 86, úloha 4.44.
↑ Alsina, Nelsen, 2009 , str. 64.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , str. 25,.
↑ 1 2 3 Alsina, Nelsen, 2007 , str. 147–9.
↑ Crux, 2007 , str. 123, #2975.
↑ Crux, 2007 , str. 64, #1639.
↑ ABCD je cyklický čtyřúhelník. Nechť M , N jsou středy úhlopříček AC , BD resp.... . Umění řešení problémů (2010). (neurčitý)
↑ A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles , [1] Archivováno 28. května 2019 na Wayback Machine , zpřístupněno 18. března 2014.
↑ Siddons, Hughes, 1929 , str. 202.
↑ Durell a Robson 2003 , str. 31.
↑ Hoehn, 2000 , str. 69–70.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 131.
↑ 1 2 3 Honsberger, 1995 , str. 35–39, 4.2 Cyklické čtyřúhelníky.
↑ Bradley, 2011 .
↑ Pozoruhodné body a čáry čtyřúhelníků// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Mongeův teorém// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ Kolem problému Archiméda. Archivováno 29. dubna 2016 na Wayback Machine 7, Obr. 11, důsledek, str. 5
↑ Buchholz, MacDougall, 1999 , str. 263–9.
↑ Šastrý, 2002 , str. 167–173.
↑ Posamentier, Salkind, 1970 , str. 104–5.
↑ 1 2 3 4 Altshiller-Court, 2007 , str. 131,137-8.

Literatura

Claudi Alsina, Roger Nelsen. Když méně je více: Vizualizace základních nerovností, Kapitola 4.3 Cyklické, tečné a bicentrické čtyřúhelníky. - Mathematical Association of America, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9 .
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Na úhlopříčkách cyklického čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. - 2007. - T. 7 .
Nathan Altshiller-Court. Vysokoškolská geometrie: Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. — 2. - Kurýr Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2 . (org. 1952)
=Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Poklady matematické olympiády. - Springer, 2004. - ISBN 978-0-8176-4305-8 .
Christopher Bradley. Tři centroidy vytvořené cyklickým čtyřúhelníkem. — 2011.
Christopher J. Bradley. Algebra geometrie: kartézské, plošné a projektivní souřadnice. - Highperception, 2007. - ISBN 1906338000 .
RH Buchholz, JA MacDougall. Volavčí čtyřúhelníky se stranami v aritmetickém nebo geometrickém postupu // Bulletin Australské matematické společnosti. - 1999. - T. 59 , no. 2 . - doi : 10.1017/S0004972700032883 .
Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometrie přehodnocena. 3.2 Cyklické čtyřúhelníky; Brahmaguptův vzorec. - Mathematical Association of America, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2 . Přeložili G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Nová setkání s geometrií. 3.2 Vepsané čtyřúhelníky; Brahmaguptova věta. - Moskva: "Nauka", 1978. - (Knihovna Matematického kroužku).
Crux Mathematicorum. Nerovnosti navržené v Crux Mathematicorum . — 2007.
D. Fraivert. Teorie popsatelného čtyřúhelníku a kružnice, která tvoří Pascalovy body // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 42 . — S. 81–107. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121742 .
C. V. Durell, A. Robson. pokročilá trigonometrie. - Kurýr Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8 . (orig. 1930)
Mowaffaq Hajja. Podmínka, aby byl opsaný čtyřúhelník cyklický // Forum Geometricorum. - 2008. - T. 8 .
Larry Hoehn. Circumradius cyklického čtyřúhelníku // Mathematical Gazette. - 2000. - T. 84 , čís. 499 březen . — .
Ross Honsberger. Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století. - Cambridge University Press, 1995. - V. 37. - (New Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0 .
Roger A. Johnson. Pokročilá euklidovská geometrie. — Dover Publ, 2007. (orig. 1929)
Tomáš Petr. Maximalizace plochy čtyřúhelníku // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34 , no. 4. září . — .
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Náročné problémy v geometrii. — 2. - Kurýr Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1 . Kapitola: Řešení: 4-23 Dokažte, že součet druhých mocnin mír úseček tvořených dvěma kolmými tětivami je roven druhé mocnině míry průměru dané kružnice.

, < http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf > Archivováno 21. září 2018 na Wayback Machine Z ruského vydání přeložil V.V. Prasolov. Problémy v planimetrii. Tutorial. - 5. - Moskva: MTSNMO OAO "Moskva učebnice", 2006. - ISBN 5-94057-214-6 .
KRS Šastrý. Brahmagupta čtyřúhelníky // Forum Geometricorum. - 2002. - T. 2 .
A.W. Siddons, R.T. Hughes. trigonometrie. — Cambridge University Press, 1929.
Zalman Usiskin, Jennifer Griffin, David Witonsky, Edwin Willmore. Klasifikace čtyřúhelníků: Studie definic. - IAP, 2008. - (Výzkum v matematickém vzdělávání). - ISBN 978-1-59311-695-8 .
D. E. Joyce. Euklidovy prvky . — Clark University, 1997.
D. Fraivert. Čtyřúhelníky pascalových bodů vepsané do cyklického čtyřúhelníku // The Mathematical Gazette. - 2019. - T. 103 , č.p. 557 .

Externí odkazy

Odvození vzorce pro oblast cyklického čtyřúhelníku
Středy v cyklickém čtyřúhelníku při rozříznutí uzlu
Čtyři souběžné čáry v cyklickém čtyřúhelníku při rozříznutí uzlu
Weisstein, Eric W. Cyclic quadrilateral (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Eulerův střed a maltitudes cyklického čtyřúhelníku na Dynamic Geometry Sketches , interaktivní dynamická geometrie skic.

Polygony

Podle počtu stran

Monogon
Bigon
Trojúhelník
Čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmiúhelník
Osmiúhelník
Pentagon
Decagon
Hendecagon
dvanáctiúhelník
Třináct
čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmnáct
osmiúhelník
Devatenáctiúhelník
dvanáctiúhelník
jednadvacetistranný
Dvacet dva úhlů
Twentytrigon
Dvacet čtyřúhelníkové
Dvacet pětiúhelník
Dvacet osmiúhelník
Trojúhelník
Thirty-Biagon
čtyřicet čtverečních
Čtyřicet dvouúhelník
letniční
letniční
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ en
Millagon
Deset tisíc gon
Stotisícina
Miliogon
nekonečno

opravit

konvexní	Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
hvězdicový	Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram

trojúhelníky

Čtyřúhelníky

viz také