Dvanáctiúhelník

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. září 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

dvanáctiúhelník
Pravidelný osmiúhelník
Typ	pravidelný mnohoúhelník
žebra	$dvacet$
symbol Schläfli	$\{20\},\mathrm {t} \{10\},\mathrm {tt} \{5\}$
Coxeter-Dynkinův diagram
Nějaká symetrie	Dihedrální skupina ( ) $D_{20}$
Náměstí	$5t^{2}(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})$
Vnitřní roh	${\displaystyle 162^{\circ ))$
Vlastnosti
konvexní , vepsaný , rovnostranný , rovnoúhelníkový , izotoxální
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Dvanáctúhelník je mnohoúhelník s dvaceti stranami a dvaceti úhly. Součet vnitřních úhlů libovolného šestiúhelníku je . ${\displaystyle 3240^{\circ ))$

Pravidelný osmiúhelník

Pravidelný desetiúhelník má symbol Schläfli a může být zkonstruován jako zkrácený desetiúhelník ,nebo dvojitě zkrácený pětiúhelník ,. ${\displaystyle \{20\))$ ${\displaystyle \mathrm {t} \{10\))$ $\mathrm {tt} \{5\}$

Každý z vnitřních úhlů v pravidelném šestiúhelníku je , což znamená, že každý z vnějších úhlů je . ${\displaystyle 162^{\circ ))$ ${\displaystyle 18^{\circ ))$

Plocha pravidelného šestiúhelníku s délkou strany je $t$

A={5}t^{2}(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})\simeq 31.5687\cdot t^{2 }.

Plocha mnohoúhelníku vyjádřená jako poloměr jeho opsané kružnice je $R$

A={\frac {5R^{2}}{2}}({\sqrt {5}}-1);

Protože se plocha kruhu rovná pravidelnému osmiúhelníku, vyplňuje přibližně svůj opsaný kruh. $\pi R^{2},$ $98,36~\%$

Budova

Protože , pravidelný desetiúhelník může být postaven pomocí kružítka a pravítka , nebo rozdělením stran pravidelného desetiúhelníku , nebo dvojitým rozdělením stran pravidelného pětiúhelníku . $20=2^{2}\cdot 5$

Zlatý řez v pravidelném šestiúhelníku

Při konstrukci s danou délkou strany, kruhový oblouk se středem a poloměrem , rozděluje segment v poměru rovném zlatému řezu . $C$ ${\overline {CD}}$ ${\overline {E_{20}F))$

{\frac {\overline {E_{20}E_{1}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{20}F}}{\overline {E_{20}E_{1))))={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \cca 1,618

Symetrie

Symetrie pravidelného šestiúhelníku tvoří dihedrální grupu . Obsahuje pět podskupin dihedrálních symetrií ( a ) a šest cyklických podskupin ( a ). Všechny různé podmnožiny symetrií pravidelného šestiúhelníku lze graficky znázornit diagramem prvků. $\mathrm {D} _{20}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{10},\mathrm {D} _{5},\mathrm {D} _{4},\mathrm {D} _{2))$ $\mathrm {D} _{1}$ $\mathrm {Z} _{20},\mathrm {Z} _{10},\mathrm {Z} _{5},\mathrm {Z} _{4},\mathrm {Z} _{ 2}$ $\mathrm {Z} _{1}$ $16$

V tomto diagramu navrženém Johnem Conwayem je každá podskupina symetrie označena písmenem a svým vlastním pořadím . [1] Celá skupina symetrie je pojmenována a triviální podskupina odpovídající úplné absenci symetrie je označena jako . Dihedrální skupiny symetrie se dělí na ty, jejichž osy symetrie procházejí pouze vrcholy ( -diagonální), pouze hranami ( -perpendicular) nebo oběma (taková podskupina je označena písmenem ). Cyklické symetrie jsou označeny písmenem ( angl. gyration ) a jejich pořadím . $\mathrm {r} 40$ $\mathrm {a} 1$ $\mathrm {d}$ $\mathrm {p}$ ${\mathrm {i}}$ $\mathrm {g}$

Skupina symetrie jakéhokoli nepravidelného šestiúhelníku tvoří podgrupu . Mezi nimi jsou nejvíce symetrické obrazce odpovídající symetriím ( izogonální šestiúhelník zkonstruovaný pomocí deseti zrcadel se střídajícími se dlouhými a krátkými hranami) a ( izotoxální šestiúhelník , ve kterém jsou všechny strany stejné, ale vnitřní úhly ve vrcholech se střídají ). Tyto dvě formy jsou vzájemně duální a každá z nich má poloviční symetrii pravidelného šestiúhelníku $\mathrm {D} _{20}$ $\mathrm {d} 20$ $\mathrm {p} 20$

Příčky

Desetiúhelník rozdělený na 180 kosočtverců

Správný oddíl	Izotoxální oddíl

Podle Coxetera lze jakýkoli zonogon ( -gon, jehož protilehlé strany jsou stejné a vzájemně rovnoběžné) rozdělit na rovnoběžníky [2] . To platí zejména pro všechny pravidelné mnohoúhelníky se sudým počtem stran – v tomto případě jsou všechny rovnoběžníky kosočtverce. Pro šestiúhelník , což znamená, že jej lze rozdělit na rovnoběžníky: čtverce a sadu kosočtverců - každý. Tento oddíl je založen na projekci Decheract jako Petriho polygon s plochami z . Podle údajů ze sekvence A006245 je počet možných popsaných oddílů -gon roven , pokud jsou zrcadlené a otočené kopie oddílu považovány za odlišné. $2m$ $m(m-1)/2$ $m=10$ $45$ $5$ $čtyři$ $deset$ $45$ $11520$ $dvacet$ $18410581880$

Deckeract obrázek a příklady rozdělení 20-úhelníku na 45 kosočtverců

Deceract

Související polygony

Ikosagram je dvacetistranný mnohoúhelník hvězdy se symbolem Schläfli . Existují tři pravidelné ikosagramy se symboly Schläfli a . Existuje také 5 dalších hvězdicových polygonů se stejným relativním uspořádáním vrcholů : , , , a . ${\displaystyle \{20/n\))$ ${\displaystyle \{20/3\))$ $\{20/7\}$ $\{20/9\}$ $2\{10\}$ $4\{5\}$ $5\{4\}$ $2\{10/3\}$ $4\{5/2\}$ $10\{2\}$

n	jeden	2	3	čtyři	5
Formulář	Konvexní mnohoúhelník	Kompozitní	hvězdný mnohoúhelník	Kompozitní
Fotka	$\{20/1\}=\{20\}$	$\{20/2\}=2\{10\}$	${\displaystyle \{20/3\))$	$\{20/4\}=4\{5\}$	$\{20/5\}=5\{4\}$
Vnitřní roh	${\displaystyle 162^{\circ ))$	${\displaystyle 144^{\circ ))$	${\displaystyle 126^{\circ ))$	${\displaystyle 108^{\circ ))$	$90^{\circ }$
n	6	7	osm	9	deset
Formulář	Kompozitní	hvězdný mnohoúhelník	Kompozitní	hvězdný mnohoúhelník	Kompozitní
Fotka	$\{20/6\}=2\{10/3\}$	$\{20/7\}$	$\{20/8\}=4\{5/2\}$	$\{20/9\}$	$\{20/10\}=10\{2\}$
Vnitřní roh	${\displaystyle 72^{\circ ))$	${\displaystyle 54^{\circ ))$	${\displaystyle 36^{\circ ))$	${\displaystyle 18^{\circ ))$	$0^{\circ }$

Hlubší zkrácení pravidelného desetiúhelníku a dekagramu může vést k izogonálním ( vertex-tranzitivním ) přechodným formám ikosagramů se stejně rozmístěnými vrcholy a dvěma délkami hran. [3]

Poznámky

↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (kapitola 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symetry of a polygon str. 275- 278)
↑ Coxeter , Matematické rekreace a eseje, Třinácté vydání, s. 141
↑ Lehčí stránka matematiky: Sborník příspěvků z Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons , Branko Grünbaum

Polygony

Podle počtu stran

Monogon
Bigon
Trojúhelník
Čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmiúhelník
Osmiúhelník
Pentagon
Decagon
Hendecagon
dvanáctiúhelník
Třináct
čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmnáct
osmiúhelník
Devatenáctiúhelník
dvanáctiúhelník
jednadvacetistranný
Dvacet dva úhlů
Twentytrigon
Dvacet čtyřúhelníkové
Dvacet pětiúhelník
Dvacet osmiúhelník
Trojúhelník
Thirty-Biagon
čtyřicet čtverečních
Čtyřicet dvouúhelník
letniční
letniční
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ en
Millagon
Deset tisíc gon
Stotisícina
Miliogon
nekonečno

Opravit

konvexní	Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
hvězdicový	Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram

trojúhelníky

Čtyřúhelníky

viz také