Ortocentrum

Ortocentrum
Výšky a ortocentrum
barycentrické souřadnice	$\tan A:\tan B:\tan C$
Trilineární souřadnice	${\frac {1}{\cos A)):{\frac {1}{\cos B)):{\frac {1}{\cos C))$
ECT kód	X(4)
Spojené tečky
izogonálně konjugovat	střed opsané kružnice
další	střed opsané kružnice
antikomplementární	de Longchamp point

Ortocentrum (z jiného řeckého ὀρθός „rovný“) – průsečík výšek trojúhelníku nebo jejich prodloužení. Tradičně se označuje latinkou . V závislosti na typu trojúhelníku může být ortocentrum uvnitř trojúhelníku (v ostroúhlém), mimo něj (v tupoúhlém) nebo se shodovat s vrcholem (v obdélníkovém se shoduje s vrcholem v pravém úhlu). Orthocenter odkazuje na pozoruhodné body trojúhelníku a je uveden v Clark Kimberling 's Encyclopedia of Triangle Centers jako bod X(4). $H$

Vlastnosti

Jestliže ve čtyřech bodech , , , je bod průsečíkem výšek trojúhelníku , pak kterýkoli ze čtyř bodů je ortocentrem trojúhelníku tvořeného dalšími třemi body. Taková čtveřice se někdy nazývá ortocentrický systém bodů (viz obrázek). $A$ $B$ $C$ $D$ $D$ $ABC$
- Navíc pro jakékoli rozdělení množiny ortocentrického systému bodů např. na dvě dvojice a nebo pro jakékoli jiné podobné rozdělení platí, že výsledné dva segmenty úseček s konci v daných bodech množin (v našem případě kolmých ) jsou vždy kolmé, bez ohledu na volbu těchto dvou párů $\{ABECEDA\}$ ${\displaystyle \{B,C\))$ ${\displaystyle \{A,D\))$ $před naším letopočtem$ $INZERÁT$
- Poloměry kružnic procházejících libovolnými třemi body ortocentrického systému jsou stejné (důsledek Hamiltonovy věty pro Eulerovu kružnici ). Často jsou označovány jako Johnsonovy kruhy .
- Poslední tvrzení lze formulovat následovně: Tři úsečky spojující ortocentrum s vrcholy ostroúhlého trojúhelníku jej rozdělují na tři trojúhelníky se stejnými poloměry kružnic opsaných (důsledek Hamiltonovy věty pro Eulerovu kružnici ). V tomto případě je stejný poloměr těchto tří kružnic roven poloměru kružnice opsané kolem původního ostroúhlého trojúhelníku.

Orthocenter leží na stejné čáře jako těžiště , střed opsané kružnice , a střed kružnice devíti bodů (viz Eulerova čára ).
Orthocenter ostrého trojúhelníku je střed kruhu vepsaného v jeho ortotrojúhelníku .
Střed kružnice opsané trojúhelníku slouží jako ortocentrum trojúhelníku s vrcholy ve středních bodech stran daného trojúhelníku. Poslední trojúhelník se nazývá dodatečný trojúhelník vzhledem k prvnímu trojúhelníku.
Poslední vlastnost lze formulovat následovně: Střed kružnice opsané trojúhelníku slouží jako ortocentrum dalšího trojúhelníku .
Body symetrické k ortocentru trojúhelníku vzhledem k jeho stranám leží na kružnici opsané (viz obrázek) [1] .
Body symetrické k ortocentru trojúhelníku vzhledem ke středům stran také leží na opsané kružnici a shodují se s body diametrálně opačnými k odpovídajícím vrcholům.
Jestliže je střed opsané kružnice , pak . $Ó$ $\trojúhelník ABC$ $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
- $OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C))={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b ^{2}+c^{2})}}$ [2] [3] :str. 449 , kde je poloměr kružnice opsané ; jsou délky stran trojúhelníku; jsou vnitřní úhly trojúhelníku. $R$ $a,b,c$ $A, B, C$
Při izogonální konjugaci jde ortocentrum do středu opsané kružnice.
Jakýkoli segment nakreslený od ortocentra k průsečíku s kružnicí opsané je vždy půlen Eulerovou kružnicí . Vyplývá to ze skutečnosti, že ortocentrum je středem homotety těchto dvou kružnic s koeficientem . $1/2$
Čtyři párově se protínající čáry, z nichž žádné tři neprocházejí stejným bodem (čtyřúhelníkem), tvoří čtyři trojúhelníky, když se protínají. Jejich ortocentra leží na stejné přímce ( na Aubertově linii ).
Pokud předpokládáme, že ortocentrum trojúhelníku rozděluje první výšku na části délky a , druhou výšku na části délky a , třetí výšku na části délky a , pak [4] [5] . $u$ $proti$ $w$ $X$ $y$ $z$ $uv=wx=yz$
Řetězec rovnic v posledním odstavci: v podstatě znamená, že tři páry segmentů, na které ortocentrum rozděluje tři výšky ostroúhlého trojúhelníku, se řídí pravidlem tětiv protínajících se uvnitř kruhu, například :. Odtud automaticky vyplývá, že přes čtyři konce libovolných dvou výšek ostroúhlého trojúhelníku je vždy možné nakreslit kružnici (výšky v ní budou protínající se tětivy). Ukazuje se, že toto tvrzení platí pro tupoúhlý i pravoúhlý trojúhelník. $uv=wx=yz$ $uv=wx$
Vzdálenost od strany ke středu kružnice opsané je poloviční než vzdálenost od opačného vrcholu k ortocentru [6] [7] .
Součet druhých mocnin vzdáleností od vrcholů k ortocentru plus součet druhých mocnin stran je roven dvanácti čtvercům poloměru kružnice opsané [8] .
Tři základny výšek ostroúhlého trojúhelníku nebo tři průměty ortocentra na strany trojúhelníku tvoří ortotrojúhelník .

Trilineární polára ortocentra je ortická osa (viz obrázek) $DEF$

Čtyři ortocentra čtyř trojúhelníků tvořených čtyřmi párově se protínajícími přímkami, z nichž žádné tři neprocházejí stejným bodem, leží na jedné přímce ( Auberova čára čtyřúhelníku ) . Jsou zde použity stejné čtyři trojúhelníky jako v bodě Miquel .

Existuje Carnotův vzorec [9] : $R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})$ ,

kde , , jsou vzdálenosti od středu kružnice opsané , respektive ke stranám , , trojúhelníku, , , jsou vzdálenosti od ortocentra, respektive k vrcholům , , trojúhelníku.

{\displaystyle k_{a))

{\displaystyle k_{b))

{\displaystyle k_{c))

A

b

C

d_{A}

d_{B}

d_{C}

A

B

C

Vzdálenost od středu opsané kružnice ke straně je: $A$ $k_{a}={\frac {a}{2\operatorname {tg} A}}$ ;

vzdálenost od ortocentra k vrcholu je: $A$ $d_{A}={\frac {a}{\operatorname {tg} A}}$ .

Ortocentrický systém . Zde jsou O 1 , O 2 , O 3 a O 4 středy kružnic čtyř možných trojúhelníků vytvořených z ortocentrických bodů A 1 , A 2 , A 3 a A 4 (viz obr.). Tři z nich jsou vrcholy původního trojúhelníku a čtvrtý je jeho ortocentrum. Poloměry všech čtyř kruhů jsou stejné. Středy tří ze čtyř kružnic (kromě popsaného původního trojúhelníku) tvoří vrcholy trojúhelníku rovného původnímu, se stranami rovnoběžnými ve dvojicích se stranami původního trojúhelníku.

*Pokud přímka ℓ ortopólu P prochází ortocentrem Q trojúhelníku, pak bod nacházející se na pokračování úsečky PQ spojující ortopol s ortocentrem na druhé straně ve vzdálenosti rovné PQ leží na Eulerově kružnici tohoto trojúhelníku. [deset]

Historie

Výrok: "Všechny 3 výšky trojúhelníku se protínají v jednom bodě," nyní nazývané ortocentrum , v Euklidových prvcích chybí . Orthocenter bylo použito poprvé v řecké matematice v Archimédově knize Lemmas , ačkoli Archimedes neposkytl explicitní důkaz o existenci orthocentera.

Někteří historici připisují tento výrok Archimédovi a nazývají jej Archimédova věta [11] . Až do poloviny devatenáctého století se ortocentrum často nazývalo Archimédův bod [12] .

V explicitní podobě se toto tvrzení („Všechny 3 výšky trojúhelníku protínají v jednom bodě“) nachází u Prokla (410-485) – komentátora Euklida [13] .

Jiní historici matematiky považují za autora prvního důkazu Williama Chapplea .( Miscellanea Curiosa Mathematica , 1749) [14] .

Termín ortocentrum poprvé použil W. H. Besantv „Kuželosečky zkoumané geometricky (1869)“ ( [15] ) [16] .

Viz také

Poznámky

↑ Honsberger, 1995 , str. osmnáct.
↑ Marie-Nicole Gras, "Vzdálenosti mezi circumcenter of extouch trojúhelníku a klasickými středy", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Archivováno 28. dubna 2021 na Wayback Machine
↑ Smith, Geoff a Leversha, Gerry, "Euler a trojúhelníková geometrie", Mathematical Gazette 91, listopad 2007, 436-452.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 94.
↑ Honsberger, 1995 , str. dvacet.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 99.
↑ Honsberger, 1995 , str. 17, 23.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 102.
↑ Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. Průvodce pro učitele . - 2. vyd. - M .: Uchpedgiz, 1962. - S. 120-125 (úkol), odstavec 57, s. 73. (Ruština)
↑ Vysokoškolská geometrie: Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. Nathan Altshiller-Court. (Odstavec: G. Orthopole. Položka. 699. Věta. Obr. 156. S.290-291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.
↑ Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku. Odessa, 1902, s. 9, s. 16. Výšky trojúhelníku. Archimedova věta.
↑ Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. Geometrie: Čára a kruh . Datum přístupu: 10. dubna 2020. (neurčitý)
↑ Nathan Altshiller-Court. Vysokoškolská geometrie. Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. druhé vydání. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. S. 298, § 175.
↑ Bogomolny, Alexander, Posssible First Proof of the Concurrence of Altitudes , < https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml > . Staženo 17. listopadu 2019. Archivováno 7. května 2021 na Wayback Machine
↑ Kuželosečky zpracované geometricky, 1869. Ref: 1895: Kuželosečky zpracované geometricky Archivováno 18. dubna 2018 na Wayback Machine z Cornell University Historical Math Monographs.
↑ Nathan Altshiller-Court. Vysokoškolská geometrie. Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. druhé vydání. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. § 176, str. 94; § 176, s. 298

Literatura

Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M . : MTSNMO , 2004. - S. 37-39. — ISBN 5-94057-170-0 .
Nathan Altshiller-Court. Vysokoškolská geometrie: úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu . - Dover Publications, Inc., 2007. - ISBN 0-486-45805-9 .
Ross Honsberger. Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století . - Mathematical Association of America , 1995. - Sv. 37. - S. 17-26. - (Nová matematická knihovna). - ISBN 0-88385-639-5 (sv. 37). - ISBN 0-88385-600-X (kompletní sada).

Odkazy

Živý plán
Weisstein, Eric W. Orthocenter (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Bernard Gibert Circumcubic K006 (nedostupný odkaz)
Clark Kimberling, Encyklopedie trojúhelníkových center .
Weisstein, Eric W. "Orthocentrický systém." Z MathWorld – webový zdroj Wolfram. [jeden]

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní