Seznam kvadraturních vzorců

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. ledna 2019; kontroly vyžadují 9 úprav .

Tento článek poskytuje seznam různých kvadraturních vzorců pro numerickou integraci .

Notace

Obecně je numerický integrační vzorec zapsán takto:

\int \limits _{\Omega _{x}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_{g}}({\widetilde {w_{i}}}f( x_{i})}=\součet _{i=1}^{m_{g}}{w_{i}\mathrm {det} (J(\xi _{i}))f(x(\xi _ {i})))}

$f(x)$ je integrovatelná funkce;
$w_{i}$ — integrační váhy;
$\xi$ — souřadnicový systém hlavního prvku;
$J(\xi )={\frac {\částečné (x_{1},\tečky ,x_{n})}{\částečné (\xi _{1},\tečky \xi _{n}) }}$ je Jacobiho matice pro přechod na hlavní prvek.

Vzhledem k aditivitě integrálu budou za integrační oblast uvažovány jednoduché oblasti ( trojúhelník , čtyřúhelník , čtyřstěn atd.) , u složité geometrie lze obsah znázornit jako sjednocení jednoduchých a přes ně vypočítat integrál popř. použijte spline k reprezentaci mapování na hlavní prvek. $\Omega$

V článku budou proměnné použity k označení přirozených souřadnic a k označení souřadnic hlavního prvku - . $x, y, z$ $\xi ,\eta ,\zeta$

Jednorozměrný integrál

Jednorozměrná integrace je vždy integrace přes segment.

Oblast integrace: segment ; $[x_{0},x_{1}]$
Hlavní prvek: řez ; $[-1,1]$
Přejít na hlavní prvek: ; $\xi (x)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1$
Přechod z hlavního prvku: ; ${\displaystyle x(\xi )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2))+x_{0))$
Jakobián: . $\mathrm {det} (J(\xi ))={\frac {x_{1}-x_{0}}{2}}$

Číslo	Počet bodů	Pořadí integrace	$\xi$	$w$	dodatečně
jeden	jeden	jeden	$0$	$2$	Obdélníková metoda
2	2	jeden	$-jeden$	$jeden$	Lichoběžníková metoda
2	2	jeden	$jeden$	$jeden$	Lichoběžníková metoda
3	2	3	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$	Gaussova metoda -2
3	2	3	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$	Gaussova metoda -2
čtyři	3	3	$-jeden$	${\frac {1}{3))$	Simpsonova metoda
			$0$	${\frac {4}{3}}$
			$jeden$	${\frac {1}{3))$
5	3	5	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{5))))$	${\frac {5}{9}}$	Gauss-3 metoda
			$0$	${\frac {8}{9}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5))))$	${\frac {5}{9}}$
6	čtyři	7	$-{\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$	Gauss-4 metoda
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$
			$-{\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
7	5	9	$0$	${\frac {128}{225}}$	Gauss-5 metoda
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$

Dvourozměrný integrál

Čtvercový hlavní prvek

Integrační plocha: obdélník $[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]$
Hlavní prvek: čtverec $[-1,1]\times [-1,1]$
Přepnout na hlavní prvek:

\xi (x,y)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1

\eta (x,y)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1

;

Přechod z hlavního prvku:

x(\xi ,\eta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}

{\displaystyle y(\xi ,\eta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2))+y_{0))

;

Jakobián: . $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4))$

Tyto integrační vzorce lze také použít, když je integrační oblastí konvexní čtyřúhelník, ale pak přechodové vzorce na hlavní prvek (a naopak) nebudou mít tak jednoduchý tvar. Výraz pro přechod můžete získat pomocí interpolačního polynomu .
Mnoho vzorců pro čtvercovou integraci lze získat jako kombinace vzorců pro segment: všechny možné dvojice jednorozměrných bodů jsou brány jako integrační body a odpovídající součiny integračních vah jsou brány jako váhy. Příklady takových metod v tabulce níže jsou metoda obdélníku, metoda lichoběžníku a metoda Gauss-2.

Číslo	Počet bodů	Pořadí integrace	$\xi$	$\eta$	$w$	dodatečně
jeden	jeden	jeden	$0$	$0$	$čtyři$	Obdélníková metoda (průměrná metoda)
2	čtyři	jeden	$-jeden$	$-jeden$	$jeden$	Lichoběžníková metoda
			$-jeden$	$jeden$	$jeden$
			$jeden$	$-jeden$	$jeden$
			$jeden$	$jeden$	$jeden$
3	čtyři	3	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$	Gauss-2 metoda
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$
čtyři	12	7	$-c$	$0$	${\displaystyle w_{c))$	$a={\sqrt {\frac {114-3{\sqrt {583}}}{287}}}$ $b={\sqrt {\frac {114+3{\sqrt {583}}}{287}}}$ ${\displaystyle c={\sqrt {\frac {6}{7))))$ $w_{a}={\frac {307}{810}}+{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{b}={\frac {307}{810}}-{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{c}={\frac {98}{405}}$ Počet uzlů je minimální [1] .
			$C$	$0$	${\displaystyle w_{c))$
			$0$	$-c$	${\displaystyle w_{c))$
			$0$	$C$	${\displaystyle w_{c))$
			$-a$	$-A$	$w_a$
			$A$	$-A$	$w_a$
			$-a$	$A$	$w_a$
			$A$	$A$	$w_a$
			$-b$	$-b$	${\displaystyle w_{b))$
			$b$	$-b$	${\displaystyle w_{b))$
			$-b$	$b$	${\displaystyle w_{b))$
			$b$	$b$	${\displaystyle w_{b))$

Trojúhelníkový hlavní prvek

Oblast integrace: trojúhelník tvořený vrcholy ; $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$
Hlavní prvek: trojúhelník tvořený vrcholy . $(0,0),(1,0),(0,1)$

Pro přechod na hlavní prvek se používají barycentrické souřadnice (L-souřadnice), označené . ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3))$

{\displaystyle \lambda _{i}(x,y)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3))

Pro výpočet koeficientů L-souřadnic se používá matice : $D$

D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix))

Matice koeficientů je inverzní k : . $D$ ${\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1))$

Přejít na hlavní prvek:

\xi (x,y)=\lambda _{1}(x,y)

\eta (x,y)=\lambda _{2}(x,y)

Přechod z hlavního prvku:

{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\1-\xi -\eta \end{pmatrix} }

Jakobián: . $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))=\mathrm {det} (D)$

Číslo	Počet bodů	Pořadí integrace	$\xi$	$\eta$	$w$	dodatečně
jeden	jeden	jeden	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3))$	${\frac {1}{2))$	Průměrná metoda
2	3	2	${\frac {1}{2))$	$0$	${\frac {1}{6}}$	-
			$0$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$
			${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$
2	3	2	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	Gauss-3 metoda
			${\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {2}{3))$	${\frac {1}{6}}$
čtyři	čtyři	3	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3))$	$-{\frac {9}{32}}$	Gauss-4 metoda
			${\frac {3}{5}}$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {25}{96}}$
			${\frac {1}{5}}$	${\frac {3}{5))$	${\frac {25}{96}}$
			${\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {25}{96}}$
5	7	3	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3))$	${\frac {9}{40}}$	Newton - Cotesova metoda _
			${\frac {1}{2))$	$0$	${\frac {1}{15}}$
			${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{15}}$
			$0$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{15}}$
			$jeden$	$0$	${\frac {1}{40}}$
			$0$	$jeden$	${\frac {1}{40}}$
			$0$	$0$	${\frac {1}{40}}$

Trojrozměrný integrál

Krychlový hlavní prvek

Integrační oblast: rovnoběžnostěn $[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]\times [z_{0},z_{1}]$
Hlavní prvek: kostka $[-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]$
Přepnout na hlavní prvek:

\xi (x,y,z)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1

\eta (x,y,z)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1

\zeta (x,y,z)=2{\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1

Přechod z hlavního prvku:

{\displaystyle x(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2))+x_{0))

{\displaystyle y(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2))+y_{0))

;

{\displaystyle z(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(z_{1}-z_{0})(\zeta +1)}{2))+z_{0))

;

Jakobián: . $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_ {1}-z_{0})}{8}}$

Stejně jako pro čtverec lze použít krychli jako hlavní prvek pro libovolný šestiúhelník [ upřesnit ] , ale pak se přechodové a jakobiánské vzorce zkomplikují.
Podobně jako u čtverce lze také mnoho integračních vzorců krychle získat ze vzorců integrace segmentů, souřadnice uzlů jsou všechny možné trojice souřadnic jednorozměrného vzorce a integrační váhy jsou součinem odpovídajících vah jednorozměrný vzorec.

Číslo	Počet bodů	Pořadí integrace	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	dodatečně
jeden	jeden	jeden	$0$	$0$	$0$	$osm$	Obdélníková metoda (průměrná metoda)
2	osm	3	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$	Gauss-2 metoda
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$
3	čtrnáct	5	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30))))$	$0$	$0$	${\frac {320}{361}}$	Počet uzlů ve třídě vzorců s řádem aproximace 5 a neobsahujících počátek je minimální. [2]
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30))))$	$0$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30))))$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30))))$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$0$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30))))$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$0$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30))))$	${\frac {320}{361}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$

Protože integrační vzorce vyššího řádu obsahují mnoho bodů, uvádíme je samostatně.

Pořadí: 7, počet bodů: 34

Číslo bodu	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	dodatečně
jeden	$A$	$0$	$0$	$w_{1}$	${\displaystyle a={\sqrt {\frac {6}{7))))$ , , , , , _ $b={\sqrt {\frac {960-33{\sqrt {238}}}{2726}}}$ $c={\sqrt {\frac {960+33{\sqrt {238}}}{2726}}}$ $w_{1}={\frac {1078}{3645}}$ $w_{2}={\frac {343}{3645}}$ $w_{3}={\frac {43}{135}}+{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$ $w_{4}={\frac {43}{135}}-{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$
2	$-A$	$0$	$0$	$w_{1}$
3	$0$	$A$	$0$	$w_{1}$
čtyři	$0$	$-A$	$0$	$w_{1}$
5	$0$	$0$	$A$	$w_{1}$
6	$0$	$0$	$-A$	$w_{1}$
7	$A$	$A$	$0$	${\displaystyle w_{2))$
osm	$A$	$-A$	$0$	${\displaystyle w_{2))$
9	$-A$	$A$	$0$	${\displaystyle w_{2))$
deset	$-A$	$-A$	$0$	${\displaystyle w_{2))$
jedenáct	$A$	$0$	$A$	${\displaystyle w_{2))$
12	$A$	$0$	$-A$	${\displaystyle w_{2))$
13	$-A$	$0$	$A$	${\displaystyle w_{2))$
čtrnáct	$-A$	$0$	$-A$	${\displaystyle w_{2))$
patnáct	$0$	$A$	$A$	${\displaystyle w_{2))$
16	$0$	$A$	$-A$	${\displaystyle w_{2))$
17	$0$	$-A$	$A$	${\displaystyle w_{2))$
osmnáct	$0$	$-A$	$-A$	${\displaystyle w_{2))$
19	$b$	$b$	$b$	${\displaystyle w_{3))$
dvacet	$b$	$b$	$-b$	${\displaystyle w_{3))$
21	$b$	$-b$	$b$	${\displaystyle w_{3))$
22	$b$	$-b$	$-b$	${\displaystyle w_{3))$
23	$-b$	$b$	$b$	${\displaystyle w_{3))$
24	$-b$	$b$	$-b$	${\displaystyle w_{3))$
25	$-b$	$-b$	$b$	${\displaystyle w_{3))$
26	$-b$	$-b$	$-b$	${\displaystyle w_{3))$
27	$C$	$C$	$C$	$w_{4}$
28	$C$	$C$	$-c$	$w_{4}$
29	$C$	$-c$	$C$	$w_{4}$
třicet	$C$	$-c$	$-c$	$w_{4}$
31	$-c$	$C$	$C$	$w_{4}$
32	$-c$	$C$	$-c$	$w_{4}$
33	$-c$	$-c$	$C$	$w_{4}$
34	$-c$	$-c$	$-c$	$w_{4}$

Tetraedral master element

Oblast integrace: čtyřstěn tvořený vrcholy . $(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{ 3}),(x_{4},y_{4},z_{4})$
Hlavní prvek: čtyřstěn tvořený vrcholy . $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$

Podobně jako u trojúhelníku se L-souřadnice čtyřstěnu používají k přechodu k hlavnímu prvku, označenému : ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4))$

{\displaystyle \lambda _{i}(x,y,z)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}z+\alpha _{i4))

Matice koeficientů je definována jako: , kde ${\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1))$

D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\z_{1 }&z_{2}&z_{3}&z_{4}\\1&1&1&1\end{pmatrix}}

Přepnout na hlavní prvek:

\xi (x,y,z)=\lambda _{1}(x,y,z)

\eta (x,y,z)=\lambda _{2}(x,y,z)

\zeta (x,y,z)=\lambda _{3}(x,y,z)

Přechod z hlavního prvku:

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \\1-\xi - \eta -\zeta \end{pmatrix}}

Jakobián: . $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\mathrm {det} (D)$

Číslo	Počet bodů	Pořadí integrace	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	dodatečně
jeden	jeden	jeden	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{6}}$	Průměrná metoda
2	čtyři	2	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$	Gauss-4 metoda
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
3	5	3	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	$-{\frac {2}{15}}$
			${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {3}{40}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {3}{40}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{2))$	${\frac {3}{40}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {3}{40}}$
čtyři	jedenáct	čtyři	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	$-{\frac {74}{5625}}$	Gauss-11 metoda
			${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
5	čtrnáct	5	$a$	$a$	$a$	$A$	$A,\ B,\ C,\ a,\ b,\ c$ jsou určeny z následujících rovnic: ${\begin{cases}t={\frac {4}{27}}\left(71-4{\sqrt {79}}\sin \left({\frac {1}{3}}\ vlevo[{\frac {\pi }{2}}+\arctan \left({\frac {27{\sqrt {10815}}}{67}}\right)\right]\right)\right)\\ a={\frac {1+\alpha }{4)),\ b={\frac {1+\beta }{4)),\ c={\frac {1+2\gamma }{4)) \\\gamma ={\sqrt {1/t)),\ C=t^{2}/7!,\ \alpha >0\\A\alpha ^{2}+B\beta ^{2}= (1-t/21)/5!\\A\alpha ^{3}+B\beta ^{3}=-2/6!\\A\alpha ^{4}+B\beta ^{4} =10/7!\\A\alpha ^{5}+B\beta ^{5}=-6/7!\\\end{cases}}$ $A\cca 0,01878132095300264180$ $B\cca 0,01224884051939365826$ $C\cca 0,00709100346284691107$ $a\cca 0,31088591926330060980$ $b\cca 0,09273525031089122640$ $c\cca 0,45449629587435035051$
			$1-3a$	$a$	$a$	$A$
			$a$	$1-3a$	$a$	$A$
			$a$	$a$	$1-3a$	$A$
			$b$	$b$	$b$	$B$
			$1-3b$	$b$	$b$	$B$
			$b$	$1-3b$	$b$	$B$
			$b$	$b$	$1-3b$	$B$
			${\frac {1}{2}}-c$	$c$	$c$	$C$
			$c$	${\frac {1}{2}}-c$	$c$	$C$
			$c$	$c$	${\frac {1}{2}}-c$	$C$
			${\frac {1}{2}}-c$	${\frac {1}{2}}-c$	$c$	$C$
			${\frac {1}{2}}-c$	$c$	${\frac {1}{2}}-c$	$C$
			$c$	${\frac {1}{2}}-c$	${\frac {1}{2}}-c$	$C$

Poznámky

↑ Mysovskikh, 1981 , s. 285.
↑ Mysovskikh, 1981 , s. 280.

Literatura

Mysovskikh IP Interpolační kubaturní vzorce. - Moskva: Nauka, 1981. - S. 336.

Odkazy

Numerická integrace přes trojúhelníkovou doménu (anglicky) (odkaz není k dispozici) . — Integrace přes trojúhelníkový prvek. Získáno 12. června 2014. Archivováno z originálu 14. července 2014.
Numerická integrace přes čtyřstěnnou doménu (anglicky) (odkaz není k dispozici) . — Integrace přes čtyřstěnný prvek. Získáno 12. června 2014. Archivováno z originálu 14. července 2014.

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů