Matematická analýza

Matematická analýza ( klasická matematická analýza ) - soubor úseků matematiky , odpovídající historickému úseku pod názvem " analýza infinitesimál ", kombinuje diferenciální a integrální počet.

Moderní analýza je založena na klasické matematické analýze , která je považována za jednu ze tří hlavních oblastí matematiky (spolu s algebrou a geometrií ). Pojem „matematická analýza“ v klasickém slova smyslu se přitom používá především v učebních plánech a materiálech [1] . Klasická matematická analýza v angloamerické tradici odpovídá programům kurzů s názvem „ calculus “ ( angl. Calculus ).

Historie

Předchůdci matematické analýzy byly starověká metoda vyčerpání a metoda nedělitelných . Všechny tři směry včetně analýzy mají společnou výchozí myšlenku: rozklad na nekonečně malé prvky , jehož povaha se však autorům nápadu zdála poněkud vágní. Algebraický přístup ( infinitezimální počet ) se začíná objevovat u Wallise , Jamese Gregoryho a Barrowa . Nový kalkul jako systém vytvořil v plné míře Newton , který však své objevy dlouho nepublikoval [2] .

Za oficiální datum narození diferenciálního počtu lze považovat květen 1684 , kdy Leibniz publikoval první článek „Nová metoda maxim a minim...“ [3] . Tento článek ve stručné a nepřístupné podobě nastínil principy nové metody zvané diferenciální počet.

Leibniz a jeho studenti

Na konci 17. století se kolem Leibnize vytvořil okruh , jehož nejvýraznějšími představiteli byli bratři Bernoulliové ( Jacob a Johann ) a Lopital . V roce 1696 napsal Lopital na základě přednášek I. Bernoulliho první učebnici [4] , která nastínila novou metodu aplikovanou na teorii rovinných křivek . Nazval to Analýza infinitesimálů , čímž dal jedno ze jmen novému odvětví matematiky. Prezentace je založena na konceptu proměnných, mezi nimiž existuje určitá souvislost, díky níž změna jedné znamená změnu druhé. V Lopitalu je toto spojení dáno pomocí rovinných křivek: jestliže je pohyblivý bod rovinné křivky, pak jeho kartézské souřadnice a , nazývané úsečka a ordináta křivky, jsou proměnné a změna znamená změnu . Koncept funkce chybí: Lopital chce říci, že závislost proměnných je dána, a říká, že „povaha křivky je známa“. Pojem diferenciál je zaveden takto: $M$ $X$ $y$ $X$ $y$

Infinitezimální část, o kterou se proměnná plynule zvětšuje nebo zmenšuje, se nazývá její diferenciál... K označení diferenciálu proměnné, která sama o sobě je vyjádřena jedním písmenem, použijeme znaménko nebo symbol . [5] ... Infinitezimální část, o kterou se diferenciál proměnné plynule zvětšuje nebo zmenšuje, se nazývá ... druhý diferenciál. [6] $d$

Tyto definice jsou vysvětleny geometricky, s Obr. infinitezimální přírůstky jsou zobrazeny jako konečné. Úvaha se opírá o dva požadavky ( axiomy ). První:

Vyžaduje se, aby dvě veličiny, které se od sebe liší jen o nekonečně malé množství, mohly být brány [při zjednodušování výrazů?] lhostejně jedna místo druhé. [7]

Z toho vyplývá , dále $x+dx=x$

$dxy = (x+dx)(y+dy)-xy= xdy+ydx + dxdy= (x+dx)dy+ ydx=xdy+ydx$

a tak dále. pravidla diferenciace .

Druhý požadavek je:

Je požadováno, aby bylo možné považovat zakřivenou čáru za soubor nekonečné sady nekonečně malých přímých čar. [osm]

Pokračování každé takové přímky se nazývá tečna ke křivce. [9] Při zkoumání tečny procházející bodem přikládá L'Hopital velký význam množství $M = (x, y)$

y\frac{dx}{dy}-x

dosažení extrémních hodnot v inflexních bodech křivky, přičemž vztahu k není přikládán žádný zvláštní význam. $dy$ $dx$

Nalezení extrémních bodů je pozoruhodné . Jestliže se s kontinuálním zvyšováním úsečky osa y nejprve zvětšuje a pak klesá, pak je diferenciál nejprve kladný ve srovnání s a poté záporný. $X$ $y$ $dy$ $dx$

Ale jakákoliv neustále rostoucí nebo klesající veličina se nemůže změnit z kladné na zápornou, aniž by prošla nekonečnem nebo nulou... Z toho plyne, že diferenciál největší a nejmenší velikosti se musí rovnat nule nebo nekonečnu. [deset]

Tato formulace pravděpodobně není bezchybná, pokud si vzpomeneme na první požadavek: dejme tomu, pak na základě prvního požadavku $y=x^2$

2xdx+ dx^2=2xdx

;

při nule je pravá strana nula, ale levá není. Zřejmě mělo být řečeno, že je možné transformovat v souladu s prvním požadavkem tak, že v maximálním bodě . [11] V příkladech je vše samovysvětlující a pouze v teorii inflexních bodů L'Hopital píše, že se v maximálním bodě rovná nule, přičemž je děleno [10] . $dy$ $dy=0$ $dy$ $dx$

Dále, pomocí samotných diferenciálů, jsou formulovány podmínky pro extrém a je zvažováno velké množství komplexních problémů, týkajících se především diferenciální geometrie v rovině. Na konci knihy, v kap. 10 je uvedeno to, co se nyní nazývá L'Hopitalovo pravidlo , i když v ne zcela běžné podobě. Nechť je hodnota pořadnice křivky vyjádřena zlomkem, jehož čitatel a jmenovatel zanikají v . Potom bod křivky s má pořadnici rovnou poměru diferenciálu v čitateli k diferenciálu ve jmenovateli, zaujatém v . $y$ $x=a$ $x=a$ $y$ $x=a$

Podle L'Hopitalovy představy to, co napsal, byla první část Analýzy, zatímco druhá měla obsahovat integrální počet, tedy metodu hledání spojení proměnných pomocí známého spojení jejich diferenciálů. Její první výklad podal Johann Bernoulli ve svých Matematických přednáškách o integrální metodě [12] . Zde je uvedena metoda pro získání většiny elementárních integrálů a jsou uvedeny metody pro řešení mnoha diferenciálních rovnic prvního řádu.

S poukazem na praktickou užitečnost a jednoduchost nové metody Leibniz napsal:

To, co může člověk zběhlý v tomto kalkulu získat ve třech řádcích, byli nuceni hledat další nejučenější muži, kteří šli složitými oklikami.

Euler

Změny, ke kterým došlo v průběhu následujícího půlstoletí, se odrážejí v rozsáhlém Eulerově pojednání . Prezentace analýzy otevírá dvoudílný „Úvod“, který obsahuje výzkum různých reprezentací elementárních funkcí. Termín „funkce“ se poprvé objevuje až v roce 1692 od Leibnize [13] , ale byl to Euler, kdo jej předložil k prvním rolím. Původní výklad pojmu funkce byl, že funkce je výraz pro počítání ( německy: Rechnungsausdrϋck ) nebo analytický výraz . [čtrnáct]

Funkce proměnné veličiny je analytický výraz složený nějakým způsobem z této proměnné veličiny a čísel nebo konstantních veličin. [patnáct]

Euler zdůrazňuje, že „hlavní rozdíl mezi funkcemi spočívá ve způsobu, jakým jsou složeny z proměnných a konstant“, vyjmenovává akce, „kterými lze veličiny kombinovat a vzájemně mísit; tyto akce jsou: sčítání a odčítání, násobení a dělení, umocňování a extrakce odmocnin; řešení [algebraických] rovnic by zde mělo být také zahrnuto. Kromě těchto operací, nazývaných algebraické, existuje mnoho dalších, transcendentálních, jako jsou: exponenciální, logaritmické a nesčetné další, poskytované integrálním počtem. [16] Taková interpretace umožnila snadno se vypořádat s vícehodnotovými funkcemi a nevyžadovala vysvětlení, nad kterým polem je funkce považována: počítací výraz je definován pro komplexní hodnoty proměnných, i když to není nutné. pro zvažovaný problém.

Operace ve výrazu byly povoleny pouze v konečném počtu a transcendentno proniklo pomocí nekonečně velkého počtu [17] . Ve výrazech se toto číslo používá spolu s přirozenými čísly. Například takový výraz pro exponent je považován za platný $\infty$

e^x=\left(1+\frac{x}{\infty}\right)^\infty

ve kterém až pozdější autoři spatřili přechod na limit. Byly provedeny různé transformace s analytickými výrazy, které Eulerovi umožnily najít reprezentace pro elementární funkce ve formě řad, nekonečných součinů atd. Euler transformuje výrazy pro počítání stejným způsobem jako v algebře, aniž by věnoval pozornost možnosti výpočet hodnoty funkce v bodě pro každou z napsaných vzorců.

Na rozdíl od L'Hôpital se Euler podrobně zabývá transcendentálními funkcemi a zejména dvěma nejstudovanějšími třídami z nich, exponenciální a trigonometrické. Zjistil, že všechny elementární funkce lze vyjádřit pomocí aritmetických operací a dvou operací - logaritmu a exponentu [18] .

Samotný průběh důkazu dokonale demonstruje techniku použití nekonečně velkého. Poté, co Euler určil sinus a kosinus pomocí trigonometrické kružnice, odvodil ze sčítacích vzorců následující:

(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)(\cos y + \sqrt{-1}\sin y)=\cos{(x+y)}+ \sqrt{-1} \sin{ (x+y)},

a odtud

2\cos nx =(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)^n+(\cos x - \sqrt{-1}\sin x)^n

Uvedení a , dostane $n=\infty$ $z=nx$

2\cos z =\left (1 + \frac{\sqrt{-1} z}{\infty}\right)^\infty+\left (1 - \frac{\sqrt{-1}z}{\infty }\right)^\infty=e^{\sqrt{-1}z}+e^{-\sqrt{-1}z}

vyřazení nekonečně malých hodnot vyššího řádu. Pomocí tohoto a podobného výrazu získává Euler také svůj slavný vzorec

e^{\sqrt{-1}x}=\cos{x}+\sqrt{-1}\sin{x}

Po naznačení různých výrazů pro funkce, které se nyní nazývají elementární, Euler pokračuje v uvažování křivek v rovině, nakreslených volným pohybem ruky. Podle jeho názoru není možné pro každou takovou křivku najít jediné analytické vyjádření (viz též Stringová debata ). [19] V 19. století bylo toto tvrzení na návrh Casoratiho [20] považováno za chybné: podle Weierstrassovy věty lze jakoukoli spojitou křivku v moderním smyslu přibližně popsat polynomy. Eulera to ve skutečnosti jen stěží přesvědčilo, protože ještě musíme pasáž přepsat na limit pomocí symbolu . $\infty$

Eulerova prezentace diferenciálního počtu začíná teorií konečných diferencí, po níž ve třetí kapitole následuje filozofické vysvětlení, že „nekonečně malá veličina je přesně nula“, což Eulerovým současníkům ze všeho nejvíc nevyhovovalo. Pak se z konečných rozdílů s nekonečně malým přírůstkem vytvoří diferenciály a z Newtonova interpolačního vzorce Taylorův vzorec . Tato metoda se v podstatě vrací k práci Taylora (1715). V tomto případě má Euler stabilní poměr , který je však považován za poměr dvou infinitezimálů. Poslední kapitoly jsou věnovány přibližnému výpočtu pomocí řad. $\frac{d^ky}{dx^k}$

V třísvazkovém integrálním počtu zavádí Euler pojem integrálu takto:

Ta funkce, jejíž diferenciál se nazývá její integrál a je označen znaménkem umístěným vpředu. [21] $=Xdx$ $S$

Celkově je tato část Eulerova pojednání věnována obecnějšímu problému integrace diferenciálních rovnic z moderního hlediska. Euler zároveň nachází řadu integrálů a diferenciálních rovnic, které vedou k novým funkcím, například -funkcím, eliptickým funkcím atd. Důkladný důkaz jejich neelementarity podal ve 30. letech 19. století Jacobi pro eliptické funkce a od Liouville (viz elementární funkce ). $\Gamma$

Lagrange

Další hlavní prací, která hrála významnou roli ve vývoji konceptu analýzy, byla Lagrangeova Teorie analytických funkcí [22] a Lacroixovo rozsáhlé převyprávění Lagrangeových prací [23] poněkud eklektickým způsobem.

Lagrange, který se chtěl nekonečně malého čísla úplně zbavit, obrátil spojení mezi derivacemi a Taylorovou řadou. Pod analytickou funkcí Lagrange chápal libovolnou funkci zkoumanou metodami analýzy. Samotnou funkci označil jako , což dává grafický způsob zápisu závislosti - dříve si Euler vystačil pouze s proměnnými. Pro aplikaci metod analýzy je podle Lagrangea nutné, aby se funkce rozšířila do řady $f(x)$

f(x+h)=f(x)+ph+qh^2+\tečky

jehož koeficienty budou novými funkcemi . Zbývá zavolat derivaci (diferenciální koeficient) a označit ji jako . Pojem derivace je tedy zaveden na druhé straně pojednání a bez pomoci infinitesimálů. Zbývá poznamenat, že $X$ $p$ $f'(x)$

f'(x+h)=p+2qh+\tečky

takže koeficient je dvojnásobkem derivace derivace , tzn. $q$ $f(x)$

q=\frac{1}{2!}f''(x)

atd. [24]

Tento přístup k výkladu pojmu derivace se používá v moderní algebře a sloužil jako základ pro vytvoření Weierstrassovy teorie analytických funkcí .

Lagrange operoval na takových řadách jako formální a získal řadu pozoruhodných teorémů. Zejména poprvé a zcela důsledně dokázal řešitelnost počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice ve formálních mocninných řadách. [25]

Otázku odhadu přesnosti aproximací dodávaných částečnými součty Taylorovy řady poprvé nadnesl Lagrange: na konci Teorie analytických funkcí odvodil to, co se nyní nazývá Taylorův vzorec se zbytkovým členem v Lagrangeově formě. [26] Na rozdíl od moderních autorů však Lagrange neviděl potřebu použít tento výsledek k ospravedlnění konvergence Taylorovy řady.

Předmětem diskuse se následně stala otázka, zda lze funkce používané v analýze skutečně rozšířit v mocninné řadě. Lagrange samozřejmě věděl, že v některých bodech se elementární funkce nemusí rozšiřovat do mocninné řady, ale v těchto bodech je v žádném případě nelze diferencovat. Cauchy ve své Algebraické analýze uvedl jako protipříklad funkci

f(x)=e^{-1/x^2},

prodloužena o nulu při nule. Tato funkce je všude hladká na reálné ose a má nulovou Maclaurinovu řadu na nule, která tedy nekonverguje k . Proti tomuto příkladu Poisson namítl, že Lagrange definoval funkci jako jediný analytický výraz, zatímco v Cauchyho příkladu je funkce dána odlišně v nule a v . Teprve na konci 19. století Pringsheim [27] dokázal, že existuje nekonečně diferencovatelná funkce daná jediným výrazem, pro kterou se Maclaurinova řada rozchází. Příkladem takové funkce je výraz $f(x)$ $x\ne=0$

\Psi(x)=\sum \limits_{k=0}^\infty \frac{\cos{(3^kx))){k!}

Další vývoj

V 18. století byly na základě klasické analýzy vyvinuty a prakticky aplikovány nové obory jako variační počet , obyčejné diferenciální rovnice a parciální diferenciální rovnice , Fourierovy transformace a generující funkce . Matematická fyzika vznikla na základě analýzy a analytické metody pronikly hluboko do geometrie a dokonce i do teorie čísel .

V 19. století , Cauchy byl první dát analýzu solidní zdůvodnění, představovat představu o limitu sekvence , on také otevřel novou stránku v komplexní analýze . Poisson , Liouville , Fourier a další studovali parciální diferenciální rovnice a harmonickou analýzu .

V poslední třetině 19. století provedl Weierstrass aritmetizaci analýzy, protože považoval geometrické zdůvodnění za nedostatečné, a navrhl klasickou definici limity prostřednictvím -jazyka . Vytvořil také první rigorózní teorii množiny reálných čísel . Ve stejné době vedly pokusy o zlepšení Riemannovy věty o integrovatelnosti k vytvoření klasifikace diskontinuity reálných funkcí. Byly také objeveny "patologické" příklady (nikde diferencovatelné spojité funkce , křivky vyplňující prostor ). V tomto ohledu Jordan vyvinul teorii míry a Cantorovu teorii množin a na začátku 20. století byla s jejich pomocí formalizována matematická analýza. Dalším důležitým vývojem 20. století byl Robinsonův vývoj nestandardní analýzy - alternativního přístupu k ospravedlnění analýzy; navíc bylo pomocí nestandardní analýzy objeveno několik nových výsledků, které nebyly známy v klasické analýze, ale v zásadě by se daly získat klasickými prostředky [28] .

Diferenciální počet

Diferenciální počet studuje definici, vlastnosti a aplikace derivačních funkcí . Proces hledání derivace se nazývá diferenciace . Vzhledem k funkci a bodu v její doméně je derivace v tomto bodě způsobem kódování chování této funkce v blízkosti tohoto bodu v jemném měřítku. Nalezením derivace funkce v každém bodě v oboru lze definovat novou funkci, nazývanou derivační funkce nebo jednoduše derivace původní funkce. V matematickém jazyce je derivace lineární zobrazení , které má jednu funkci jako vstup a jinou jako výstup. Tento koncept je abstraktnější než většina procesů studovaných v elementární algebře, kde funkce obvykle mají jedno číslo jako vstup a jiné jako výstup. Pokud je například funkci zdvojení dán vstup tři, výstup bude šest; pokud je vstup kvadratické funkce tři, výstup bude devět. Derivace může mít také kvadratickou funkci jako vstup. To znamená, že derivace bere všechny informace o kvadratické funkci, to znamená: když jsou dvě na vstupu, dává čtyři jako výstup, převádí tři na devět, čtyři na šestnáct atd., a použije tyto informace k získání další funkce. . (Derivace kvadratické funkce je pouze zdvojovací funkce.)

Nejběžnějším symbolem pro označení derivátu je znak podobný apostrofu nazývaný mrtvice . Derivace funkce f je tedy f , vyslovená jako "f prvočíslo". Například, je-li f ( x ) = x 2 kvadratická funkce, pak f′ ( x ) = 2 x je její derivace, jedná se o zdvojovací funkci.

Pokud je vstupem funkce čas, pak derivace je změna vzhledem k času. Například, jestliže f je funkce, která závisí na čase a vygeneruje polohu míče v čase, pak derivace f určuje změnu polohy míče v čase, to znamená rychlost míče.

Je-li funkce lineární (tj. je- li graf funkce přímka), lze funkci zapsat jako y = mx + b , kde x je nezávislá proměnná, y je závislá proměnná a b je hranice y s:

m= \frac{\text{rise}}{\text{run}}= \frac{\text{změna v } y}{\text{změna v } x} = \frac{\Delta y}{\Delta X}.

Tento výraz udává přesnou hodnotu úhlu sklonu přímky. Pokud graf funkce není přímka, pak se změna y dělená změnou x mění bod od bodu. Derivace dává přesný význam pojmu změny výstupní hodnoty vzhledem ke změně vstupu. Abychom byli konkrétní, nechť f je funkce a fixujeme bod a v definičním oboru f . ( a , f ( a )) je bod na grafu funkce. Jestliže h je číslo blízké nule, pak a + h je číslo blízké a . Proto je bod ( a + h , f ( a + h )) blízko bodu ( a , f ( a )). Úhel sklonu mezi těmito dvěma body je:

m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Tento výraz se nazývá rozdílový vztah . Čára procházející dvěma body na křivce se nazývá sečna , takže m je úhel sečny mezi ( a , f ( a )) a ( a + h , f ( a + h )). Sečna je pouze aproximací chování funkce v bodě, protože nebere v úvahu chování funkce mezi body a a ( a + h , f ( a + h )). Určení tohoto chování nastavením h na nulu není možné, protože by to vyžadovalo dělení nulou, což je vyloučeno. Derivace je určena tím, že se vezme limit, když h jde k nule, což znamená, že bere v úvahu chování f pro všechny malé hodnoty h a extrahuje přijatelnou hodnotu pro případ, kdy h je nula:

\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.

Geometricky je derivace rovna úhlu sklonu tečny ke grafu funkce f v bodě a . Tečna je limitou sečnic, stejně jako derivace je limitou diferenčních relací. Z tohoto důvodu se derivace někdy nazývá směrnice funkce f .

Zde je konkrétní příklad, derivace kvadratické funkce v bodě 3. Nechť f ( x ) = x 2 je kvadratická funkce.

\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} {9 + 6h + h^2 - 9\přes{h}} \\ &=\lim_{h \do 0}{6h + h^2\přes{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\ &= 6. \end{align}

Sklon tečny ke kvadratické funkci v bodě (3;9) je 6, to znamená, že roste nahoru šestkrát rychleji, než se pravá odchyluje. Výše popsaný limitní výpočet lze provést pro libovolný bod v oboru kvadratické funkce. Toto definuje derivační funkci nebo jednoduše derivaci kvadratické funkce zkráceně . Provedené výpočty ukazují, že derivace kvadratické funkce je zdvojovací funkce.

Integrální počet

Integrální počet je studiem definice, vlastností a aplikací dvou souvisejících pojmů: neurčitého integrálu a určitého integrálu . Proces hledání hodnoty integrálu se nazývá integrace. Z technického hlediska je integrální počet studií dvou spojených lineárních operátorů .

Neurčitý integrál je primitivní , tj. operace inverzní k derivaci. F je neurčitý integrál f , když f je derivace F . (Toto použití velkých a malých písmen pro funkci a její neurčitý integrál je v kalkulu běžné.)

Určitý integrál vstupní funkce a výstupní hodnoty je číslo, které se rovná ploše plochy ohraničené funkčním grafem, osou úsečky a dvěma úsečkami z funkčního grafu k ose úsečky v body výstupních hodnot. V odborných termínech je určitý integrál limitou součtu ploch obdélníků, nazývanou Riemannův součet .

Příkladem z fyziky je výpočet ujeté vzdálenosti při chůzi v daném čase.

\mathrm{Vzdálenost} = \mathrm{Rychlost} \cdot \mathrm{Čas}

Pokud je rychlost konstantní, operace násobení je dostatečná, ale pokud se rychlost mění, musíme použít výkonnější metodu výpočtu vzdálenosti. Jednou z těchto metod je přibližný výpočet rozdělením času do samostatných krátkých období. Vynásobením času v každém intervalu kteroukoli z rychlostí v tomto intervalu a následným sečtením všech přibližných vzdáleností (Riemannův součet) ujetých v každém intervalu dostaneme celkovou ujetou vzdálenost. Základní myšlenkou je, že pokud použijete velmi krátké intervaly, pak rychlost na každém z nich zůstane víceméně konstantní. Riemannův součet však udává pouze přibližnou vzdálenost. Abychom našli přesnou vzdálenost, musíme najít limitu všech takových Riemannových součtů.

Pokud f(x) v diagramu vlevo představuje změnu rychlosti v čase, pak ujetá vzdálenost (mezi časy aab ) je plocha stínované oblasti s .

Pro přibližný odhad této oblasti je možná intuitivní metoda, spočívající v rozdělení vzdálenosti mezi a a b na určitý počet stejných segmentů (segmentů) délky Δx . Pro každý segment můžeme zvolit jednu hodnotu funkce f ( x ). Nazvěme tuto hodnotu h . Potom plocha obdélníku se základnou Δx a výškou h udává vzdálenost (čas Δx krát rychlost h ) ujetou v tomto segmentu. Každý segment je spojen se střední hodnotou funkce na něm f(x) =h. Součet všech takových obdélníků dává aproximaci plochy pod křivkou, což je odhad celkové ujeté vzdálenosti. Snížením Δx získáte více obdélníků a ve většině případů je to lepší aproximace, ale abychom získali přesnou odpověď, musíme vypočítat limit, protože Δx jde k nule.

Symbol pro integraci je , podlouhlé písmeno S (S znamená "součet"). Určitý integrál se zapisuje takto: $\int$

\int_a^bf(x)\, dx.

a zní: "integrál od a do b funkce f od x do x ". Zápis dx navržený Leibnizem má rozdělit oblast pod křivkou na nekonečný počet obdélníků tak, že jejich šířka Δx je nekonečně malá hodnota dx . Při formulaci kalkulu na základě limit, notace

\int_a^b \ldots\,dx

by měl být chápán jako operátor, který bere funkci jako vstup a vydává číslo rovné ploše. dx není číslo a nenásobí se f(x) .

Neurčitý integrál nebo primitivní derivace se zapisuje jako:

\int f(x)\, dx.

Funkce, které se liší konstantou, mají stejné derivace, a proto je primitivní funkce dané funkce vlastně rodinou funkcí, které se liší pouze konstantou. Protože derivace funkce y \ u003d x ² + C , kde C je libovolná konstanta, je rovna y′ \u003d 2 x , pak je její primitivní derivace určena vzorcem:

\int 2x\, dx = x^2 + C.

Neurčitá konstanta typu C v primitivní derivaci je známá jako integrační konstanta .

Newtonova-Leibnizova věta

Newton-Leibniz teorém, také volal základní teorém analýzy , říká, že diferenciace a integrace jsou vzájemně inverzní operace. Přesněji řečeno, jedná se o hodnotu primitivních funkcí pro určité integrály. Protože je obecně snazší vypočítat primitivní prvek než použít vzorec určitého integrálu, tato věta poskytuje praktický způsob, jak vypočítat určité integrály. Lze to také interpretovat jako přesné tvrzení, že diferenciace je inverzní k integraci.

Věta říká: je-li funkce f spojitá na intervalu [ a , b ] a je-li F funkce, jejíž derivace je rovna f na intervalu ( a , b ), pak:

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).

Také pro libovolné x z intervalu ( a , b )

\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\, dt = f(x).

Tento pohled, který učinili Newton i Leibniz, kteří své výsledky založili na dřívější práci Isaaca Barrowa , byl klíčem k rychlému šíření analytických výsledků poté, co se jejich práce stala známou. Základní teorém poskytuje algebraickou metodu pro výpočet mnoha určitých integrálů bez omezujících procesů tím, že najde primitivní vzorec . Navíc se objevil prototyp pro řešení diferenciálních rovnic . Diferenciální rovnice spojují neznámé funkce s jejich derivacemi, používají se všude v mnoha vědách.

Aplikace

Matematická analýza je široce používána ve fyzice , informatice , statistice , strojírenství , ekonomii , obchodu , financích , medicíně , demografii a dalších oblastech, ve kterých lze sestavit matematický model k řešení problému a je nutné najít jeho optimální řešení .

Zejména téměř všechny pojmy v klasické mechanice a elektromagnetismu jsou nerozlučně spojeny právě pomocí klasické matematické analýzy. Například, daný známý hustotní distribuce objektu, jeho hmota , momenty setrvačnosti , stejně jako celková energie v potenciálním poli může být nalezená pomocí diferenciálního počtu. Dalším nápadným příkladem aplikace matematické analýzy v mechanice je druhý Newtonův zákon : historicky přímo používá termín „rychlost změny“ ve formulaci „Síla \u003d hmotnost × zrychlení“, protože zrychlení je derivace času nebo rychlosti. druhá derivace času z trajektorie nebo prostorové polohy.

Maxwellova teorie elektromagnetismu a Einsteinova obecná teorie relativity jsou také vyjádřeny jazykem diferenciálního počtu. V chemii se počet používá při určování rychlosti reakcí a rychlosti radioaktivního rozpadu. V biologii se pomocí kalkulu počítá populační dynamika s přihlédnutím k údajům o reprodukci a úmrtnosti druhu.

Počet lze použít ve spojení s jinými matematickými disciplínami. Například může být použit ve spojení s lineární algebrou k nalezení "nejlepší" lineární aproximace pro sadu bodů v doméně. Nebo jej lze použít v teorii pravděpodobnosti k určení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny v závislosti na hustotě rozdělení. V analytické geometrii , když studuje grafy funkcí, počet se používá k nalezení maximálních a minimálních bodů, sklonu, zakřivení a inflexních bodů .

Greenův teorém , který stanoví vztah mezi křivočarým integrálem na jednoduché uzavřené křivce C a dvojitým integrálem na ploché ploše D ohraničené touto křivkou C, je aplikován v přístroji známém jako planimetr , který se používá k výpočtu plochy rovný povrch na výkresu. Například jej lze použít k výpočtu plochy nepravidelně tvarované postavy: květinová zahrada nebo bazén při navrhování vašeho webu.

Diskrétní Greenův teorém, který stanoví vztah mezi dvojným integrálem funkce přes obvod obdélníku a lineární kombinací hodnot primitivní funkce přes rohové body obdélníku, umožňuje rychle vypočítat součet oblasti pravoúhlých oblastí. Lze jej například použít k efektivnímu výpočtu součtu pravoúhlých oblastí v obrazech, aby bylo možné rychle najít vlastnosti a identifikovat objekty.

V oblasti medicíny se matematická analýza používá k nalezení optimálního úhlu větvení krevních cév, který maximalizuje průtok. Vzhledem k tomu, že známe zákon rozkladu aplikovaný na odstranění jakékoli drogy z těla, používá se k odhadu úrovně dávkování těchto léků počet. V nukleární medicíně se počet používá k vývoji modelů přenosu záření v cílené léčbě nádorů.

Nástroje matematické analýzy umožňují v ekonomii určit maximální zisk pomocí pojmů mezních nákladů a mezního příjmu .

Matematická analýza se také používá k nalezení přibližných řešení rovnic. V praxi se jedná o standardní způsob řešení diferenciálních rovnic a hledání kořenů ve většině aplikací. Příklady jsou Newtonova metoda, metoda jednoduché iterace a metoda lineární aproximace. Například při výpočtu trajektorie kosmické lodi se používá varianta Eulerovy metody pro aproximaci křivočarých pohybových průběhů za nepřítomnosti gravitace.

Bibliografie

Články z encyklopedie

Analýza // Encyklopedický lexikon : V 17 svazcích - Petrohrad. : Typ. A. Plushara , 1835-1841.
Matematická analýza // Encyklopedický slovník Brockhausa a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Naučná literatura

Standardní učebnice

Po mnoho let jsou v SSSR, SNS a Rusku populární následující učebnice:

Courant, R. Kurz diferenciálního a integrálního počtu (ve dvou svazcích). Hlavní metodické zjištění kurzu: nejprve jsou jednoduše formulovány hlavní myšlenky a poté jsou důsledně dokazovány. Napsal Courant, když byl profesorem na univerzitě v Göttingenu ve 20. letech pod vlivem Kleinových myšlenek , poté se ve 30. letech přenesl na americkou půdu. Ruský překlad z roku 1934 a jeho přetisk uvádí text podle německého vydání, překlad z 60. let (tzv. 4. vydání ) je kompilací z německé a americké verze učebnice a je tedy velmi podrobný.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu (ve třech svazcích) a problémová kniha.
Demidovich B.P. Sbírka úloh a cvičení v matematické analýze.
Lyashko I. I. et al. Referenční kniha o vyšší matematice, díl 1-5.

Některé univerzity mají své vlastní pokyny pro analýzu:

Moskevská státní univerzita , MehMat:

Arkhipov G.I., Sadovnichiy V.A., Chubarikov V.N. Přednášky o matematice. analýza.
Zorich V. A. Matematická analýza. Část I. M.: Nauka, 1981. 544 s.
Zorich V. A. Matematická analýza. Část II. M.: Nauka, 1984. 640 s.
Kamynin L. I. Kurz matematické analýzy (ve dvou svazcích). Moskva: Moscow University Press, 2001.

Moskevská státní univerzita , VMK:

V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M .: Prospekt, 2006. - ISBN 5-482-00445-7 .

Moskevská státní univerzita , Fakulta fyziky:

Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Základy matematické analýzy (ve dvou částech). — M. : Fizmatlit, 2005. — 648 s. - ISBN 5-9221-0536-1 .
Butuzov V. F. a kol., Mat. analýza v otázkách a úkolech

MSTU im. N. E. Bauman :

Matematika na VUT Sbírka učebnic ve 21 svazcích.

St. Petersburg State University , Fyzikální fakulta:

Smirnov V. I. Kurz vyšší matematiky, v 5 svazcích. M.: Nauka, 1981 (6. vydání), BHV-Petersburg, 2008 (24. vydání).

NSU , mekhmat:

Reshetnyak Yu.G. Kurz matematické analýzy. Část I. Kniha 1. Úvod do matematické analýzy. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Novosibirsk: Nakladatelství Ústavu matematiky, 1999. 454 s . ISBN 5-86134-066-8 .
Reshetnyak Yu.G. Kurz matematické analýzy. Část I. Kniha 2. Integrální počet funkcí jedné proměnné. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Novosibirsk: Nakladatelství Matematického ústavu, 1999. 512 s . ISBN 5-86134-067-6 .
Reshetnyak Yu.G. Kurz matematické analýzy. Část II. Kniha 1. Základy hladké analýzy ve vícerozměrných prostorech. Teorie řádků. Novosibirsk: Nakladatelství Ústavu matematiky, 2000. 440 s . ISBN 5-86134-086-2 .
Reshetnyak Yu.G. Kurz matematické analýzy. Část II. Kniha 2. Integrální počet funkcí mnoha proměnných. Integrální počet na rozdělovačích. Vnější diferenciální formy. Novosibirsk: Nakladatelství Ústavu matematiky, 2001. 444 s . ISBN 5-86134-089-7 .
Shvedov I. A. Kompaktní kurz matematické analýzy, 2003 : Část 1. Funkce jedné proměnné , Část 2. Diferenciální počet funkcí více proměnných .

MIPT , Moskva

Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy (ve třech svazcích).
Jakovlev G. N. Přednášky o matematické analýze: [ve 3 hodiny]. 2. vyd., revidováno. a doplňkové - M. : Fizmatlit, 2004. - 3000 výtisků. (1. díl. 340 s. ISBN 5-94052-083-9 , 2. díl. 332 s. ISBN 5-94052-085-5 . 3. díl. 312 s. ISBN 5-94052-086-3 ).

BSU , FPMI:

Bogdanov Yu.S. Přednášky o matematické analýze (ve dvou částech). - Minsk: BGU, 1974.

Učebnice pro pokročilé

Návody:

Natanson, I. P. Teorie funkcí reálné proměnné. - M. : Nauka, 1974. - 484 s.
Rudin U. Základy matematické analýzy. M., 1976

Úkoly se zvýšenou složitostí:

G. Polia, G. Szege, Problémy a věty z analýzy. Část 1 , Část 2 , 1978
Pascal, E. (Neapol). Esercizi, 1895; 2. vyd., 1909 // Internetový archiv

Humanitní učebnice

AM Akhtyamov Matematika pro sociology a ekonomy. — M.: Fizmatlit, 2004.
N. Sh. Kremer a kol. Vyšší matematika pro ekonomy. Učebnice. 3. vyd. - M.: Jednota, 2010

Sešity úkolů

G. N. Berman. Sbírka úloh pro kurz matematické analýzy: Učebnice pro vysoké školy. — 20. vyd. M.: Věda. Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1985. - 384 s.
P. E. Danko, A. G. Popov, T. Ja. Koževnikov. Vyšší matematika ve cvičeních a úlohách. (ve 2 částech) - M .: Vyssh.shk, 1986.
GI Zaporozhets - průvodce řešením problémů v matematické analýze. - M .: Vyšší škola, 1966.
I. A. Kaplan. Praktická cvičení z vyšší matematiky, v 5 částech .. - Charkov, Izd. Charkovský stát. un-ta, 1967, 1971, 1972.
K. N. Lungu, V. P. Norin, D. T. Pismenny, Yu. A. Shevchenko. Sbírka úloh z vyšší matematiky. Kurz 1. - 7. vyd. - M.: Iris-press, 2008.
I. A. Maron. Diferenciální a integrální počet v příkladech a úlohách (Funkce jedné proměnné). - M., Fizmatlit, 1970.
V. D. Černěnko. Vyšší matematika v příkladech a úlohách: učebnice pro střední školy. Ve 3 svazcích - Petrohrad: Polytechnika, 2003.

Klasika

Lopital. Analýza infinitezimálů
Bernoulli, Johann. Die erste Integralrechnung / Lipsko-Berlín, 1914.
Euler. Úvod do analýzy, diferenciální počet, integrální počet
Cauchy. Shrnutí lekcí diferenciálního a integrálního počtu
Bouřka. Kurz analýzy. T.1,2 - Klasický kurz pařížské polytechnické školy 30. let 19. století.
Gursa E. Mat . analýza. T. 1.1, 1.2

Spisy o historii analýzy

Kestner, Abraham Gottgelf . Geschichte der Mathematik . 4 svazky, Göttingen, 1796-1800
Kantor, Moritz . Vorlesungen über Geschichte der Mathematik Leipzig: BG Teubner , 1894-1908 . bd. 1 , Bd. 2 , Bd. 3 , Bd. čtyři
Historie matematiky, editoval A. P. Juškevič (ve třech svazcích):

Svazek 1 Od starověku do počátku novověku. (1970)
2. díl Matematika 17. století. (1970)
3. díl Matematika 18. století. (1972)

Markushevich AI Eseje o historii teorie analytických funkcí. 1951
Vileitner G. Dějiny matematiky od Descarta do poloviny 19. století. 1960
E. Hairer, G. Wanner. Analýza podle jeho historie. 2000

Poznámky

↑ Matematická analýza // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Newton, I. Mathematical Works . M, 1937.
↑ Leibniz // Acta Eroditorum, 1684. LMS, vol. V, str. 220-226. Rus. per.: Úspěch Mat. Nauk, díl 3, c. 1 (23), str. 166-173.
↑ Lopital. Analýza infinitezimálů . M.-L.: GTTI, 1935. (dále: Lopital) // Mat. analýza na EqWorld Archivováno 4. června 2018 na Wayback Machine
↑ Lopital, kap. 1, def. 2.
↑ Lopital, kap. 4, def. jeden.
↑ Lopital, kap. 1, požadavek 1.
↑ Lopital, kap. 1, požadavek 2.
↑ Lopital, kap. 2, def.
↑ 1 2 Lopital, § 46.
↑ Lopital se obává něčeho jiného: pro něj délka segmentu a vy musíte vysvětlit, co znamená jeho negativa. Poznámka v § 8-10 lze dokonce chápat tak, že při poklesu s růstem se má psát , ale dále se to nepoužívá. $dy$ $y$ $X$ $dxy=ydx-xdy$
↑ Bernoulli, Johann. Die erste Integralrechnung. Archivováno 29. listopadu 2003 ve Wayback Machine Leipzig-Berlin, 1914.
↑ Viz: Úspěch mat. Nauk, díl 3, c. 1 (23)
↑ Viz Markushevich A. I. Elements of the theory of analytických funkcí , Uchpedgiz, 1944, s. 21 a násl.; Koenig F. Kommentierender Anhang zu Funktionentheorie von F. Klein . Lipsko: Teubner, 1987; stejně jako Historický nástin v článku Funkce
↑ Euler. Úvod do analýzy . T. 1. Ch. čtrnáct
↑ Euler. Úvod do analýzy . T. 1. Ch. 16
↑ Euler toto číslo označuje jako , což nemůže moderního čtenáře zmást. $i$
↑ Úvod do analýzy , díl 1, kap. osm
↑ Někteří badatelé (viz např. Dějiny matematiky, sv. 2) chtějí v tom, co bylo řečeno ve druhém díle Úvodu do rozboru , vidět zárodky nové interpretace pojmu funkce, ale text říká pouze že křivky, a už vůbec ne funkce, nemohou být reprezentovatelné jako jeden výraz pro účet, tedy jedna funkce.
↑ Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse . Pavia, 1868. S. 191
↑ Euler. Integrální počet . T. 1, def. 2
↑ Lagrange. OEvres . sv. 9 Archivováno 23. srpna 2017 na Wayback Machine
↑ Lacroix. Traite du calcul diferenciál a du calcul integrál . sv. 1-3. 1 ed., 1798. (Great Lacroix)// http://gallica.bnf.fr Archivováno 18. prosince 2016 na Wayback Machine
↑ Viz také: Markushevich A.I. Prvky teorie analytických funkcí . M., 1944. C. 22-24
↑ Lacroix. Traite , sv. 2, § 594.
↑ Viz též: Dějiny matematiky , díl 3., str. 297-300
↑ Pringssheim A.// Math. Ann. bd. 43 (1893); viz také: Markushevich A.I. Prvky teorie analytických funkcí . M., 1944. C. 16-17.
↑ Matematická analýza - článek z Mathematical Encyclopedia . Dragalin A. G. S pomocí N. a. byla zjištěna řada nových skutečností. Mnoho klasických. důkazy znatelně prospívají v jasnosti, když jsou prezentovány metodami nestandardní analýzy

Odkazy

Analýza // Encyklopedický lexikon : V 17 svazcích - Petrohrad. : Typ. A. Plushara , 1835-1841.
Matematická analýza // Encyklopedický slovník Brockhausa a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velký Rus Brockhaus a Efron okolo světa Encyklopedický lexikon Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 119891944 J9U : 987007293765505171 LCCN : sh85018802 NKC : ph1034721

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"