Konformní skupina

Konformní grupa prostoru je grupou transformací prostoru do sebe při zachování úhlů. Formálněji jde o skupinu transformací, která zachovává konformní geometrii prostoru.

Některé specifické konformní skupiny jsou zvláště důležité:

• Konformní ortogonální grupa . Jestliže V  je vektorový prostor s kvadratickou formou Q , pak konformní ortogonální grupa je grupa lineárních transformací T prostoru V tak, že pro každé x ve V existuje skalár takový, že Pro znaménko-definitivní kvadratickou formu (tj. buď kladně-definitivní nebo záporně-definitivní) je konformní ortogonální grupa rovna ortogonální grupě krát dilatační grupa .

• Konformní skupina koule generovaná inverzemi vzhledem ke kružnicím. Tato skupina je také známá jako Möbiova skupina .
• V euklidovském prostoru n > 2 je konformní grupa generována inverzemi vzhledem k hypersférám .
• V pseudoeuklidovském prostoru je konformní skupina [1] .

Všechny konformní grupy jsou Lieovy grupy .

Analýza úhlu

V euklidovské geometrii by se dalo očekávat, že charakteristika bude standardní úhel , ale v pseudoeuklidovském prostoru existuje také hyperbolický úhel . Ve speciální relativitě jsou různé referenční body pro změnu rychlosti vzhledem k jiným referenčním bodům spojeny s rychlostí , hyperbolickým úhlem. Jedním ze způsobů, jak popsat Lorentzovo zesílení  , je hyperbolická rotace , která zachovává úhlový rozdíl mezi rychlostmi. Jedná se tedy o konformní transformace s ohledem na hyperbolické úhly.

Jeden přístup k popisu vhodné konformní skupiny má napodobit Möbiovu skupinu jako konformní skupinu běžného komplexního letadla . Pseudoeuklidovská geometrie odpovídá alternativním komplexním rovinám, kde jsou body rozdělené komplexní čísla nebo dvojitá čísla namísto obvyklých komplexních čísel. Stejně jako Möbiova skupina vyžaduje pro úplný popis Riemannovu kouli , kompaktní prostor , tak alternativní komplexní roviny vyžadují pro úplný popis zhutnění konformního zobrazení. V každém případě je konformní grupa dána lineárně-zlomkovými transformacemi na vhodné rovině [2] .

Konformní časoprostorová skupina

V roce 1908 Harry Bateman a Ebenezer Cunningham [3] , dva mladí výzkumníci z University of Liverpool, oznámili myšlenku konformní časoprostorové skupiny [4] [5] [6] (nyní běžně označované jako ) [ 7] . Argumentovali tím, že kinematické grupy jsou konformní, protože zachovávají kvadratickou formu časoprostoru a jsou tedy podobné ortogonálním transformacím , považovaným za izotropní kvadratickou formu . Volnosti elektromagnetického pole se nevztahují na kinematické pohyby, ale vyžadují pouze to, aby byly lokálně úměrné kvadraticky zachovávajícím transformacím. V článku Harryho Batemana z roku 1910 studuje jakobiánskou matici transformace, která zachovává světelný kužel a ukazuje, že transformace má vlastnost konformity [8] . Bateman a Cunningham ukázali, že tato konformní skupina je „největší skupinou transformací, které ponechávají Maxwellovy rovnice strukturálně neměnné“ [9] .

Isaac Moiseevich Yaglom přispěl k matematice časoprostoru zvažováním konformních transformací ve dvojitých číslech [10] . Protože se zdvojnásobí vlastnosti prstenu , ale ne pole , lineární zlomkové transformace vyžadují, aby projektivní čára přes prsten byla bijektivním zobrazením.

Tradičně, v návaznosti na článek Ludwika Silbersteina (1914), se k reprezentaci Lorentzovy skupiny používá biquaternionový prsten . Pro konformní časoprostorovou skupinu stačí uvažovat lineárně zlomkové transformace na projektivní čáře nad tímto prstencem. Prvky časoprostorové konformní grupy nazývá Bateman sférická transformace vlny . Specifická studie kvadratické formy časoprostoru byla pohlcena Lieovou sférickou geometrií .

Poznámky

1. ↑ Vaz, da Rocha, 2016 , str. 140.
2. ↑ Takasu, 1941 , str. 330–8.
3. ↑ V knize Kosjakova - Harry Bateman a Ebenezer Canningham
4. ↑ Bateman, 1908 , str. 70–89.
5. ↑ Bateman, 1910 , str. 223–264.
6. ↑ Cunningham, 1910 , str. 77–98.
7. ↑ Kosyakov, 2017 , s. 225.
8. ↑ Warwick, 2003 , str. 416–24.
9. ↑ Gilmore, 1994 , str. 349.
10. ↑ Yaglom, 1969 .

Literatura

• Jayme Vaz Jr., Roldão da Rocha Jr. Úvod do Cliffordových algeber a Spinorů. - Oxford University Press, 2016. - S. 140. - ISBN 9780191085789 .
• Tsurusaburo Takasu. Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometri //Sborník Císařské akademie . - 1941. - T. 17.
• Harry Bateman . Konformní transformace prostoru čtyř dimenzí a jejich aplikace v geometrické optice // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1908. - T. 7 . - doi : 10.1112/plms/s2-7.1.70 .
• Harry Bateman . Transformace elektrodynamických rovnic // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1910. - T. 8 . - doi : 10.1112/plms/s2-8.1.223 .
• Ebenezer Cunningham. Princip relativity v elektrodynamice a jeho rozšíření // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1910. - T. 8 . — s. 77–98 . - doi : 10.1112/plms/s2-8.1.77 .
• Kosjakov B.P. Úvod do klasické teorie částicových polí. - Moskva, Iževsk, 2017. - ISBN 978-5-4344-0450-1 .
• Andrew Warwick. Mistři teorie: Cambridge a vzestup matematické fyziky. - Chicago: University of Chicago Press , 2003. - ISBN 0-226-87375-7 .
• Robert Gilmore. Lžiové grupy, lživé algebry a některé jejich aplikace. - Robert E. Krieger Publishing, 1994. - ISBN 0-89464-759-8 . První vydání 1974
• Galileův princip relativity a neeuklidovská geometrie. - Moskva: "Nauka", 1969. - (Knihovna Matematického kroužku).

Čtení pro další čtení

• Kobayashi Sh . Transformační grupy v diferenciální geometrii. - "Věda", 1986.
• Isaev A.P., Rubakov V.A. Teorie grup a symetrií. koncové skupiny. Lieovy grupy a algebry. - Vydavatelství URSS. 2018. 491 s
• Sharpe RW diferenciální geometrie: Cartanovo zobecnění Kleinova Erlangenova programu. - New York: Springer-Verlag, 1997. - ISBN 0-387-94732-9 .
• Peter Sherk. Některé koncepty konformní geometrie // American Mathematical Monthly . - 1960. - T. 67 , čís. 1 . — S. 1−30 . - doi : 10.2307/2308920 .