Vesmírný čas

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. září 2022; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Časoprostor ( space-time continuum ) je fyzikální model , který doplňuje prostor stejnou [1] časovou dimenzí a vytváří tak teoreticko-fyzikální konstrukci zvanou časoprostorové kontinuum. Časoprostor je spojitý a, matematicky řečeno, je různý s Lorentzovou metrikou .

V nerelativistické klasické mechanice je vhodné použití euklidovského prostoru , který nezávisí na jednorozměrném čase, místo časoprostoru, protože čas je považován za univerzální a neměnný, nezávislý na stavu pohybu pozorovatele. . V případě relativistických modelů nelze čas oddělit od tří dimenzí prostoru, protože pozorovaná rychlost, kterou pro objekt plyne čas, závisí na jeho rychlosti vůči pozorovateli a také na síle gravitačního pole, které může zpomalit běh času.

V kosmologii a relativistické fyzice obecně pojem časoprostor spojuje prostor a čas do jednoho abstraktního vesmíru . Matematicky se jedná o varietu sestávající z „událostí“ popsaných souřadnicovým systémem . Obvykle to trvá tři prostorové rozměry (délka, šířka, výška) a jeden časový rozměr ( čas ). Měření jsou nezávislé součásti souřadnicové sítě, nezbytné pro lokalizaci bodu v nějakém omezeném "prostoru". Například na Zemi jsou zeměpisná šířka a délka dvě nezávislé souřadnice, které společně jednoznačně definují polohu. V časoprostoru mřížka, která se rozprostírá do dimenzí 3+1, lokalizuje události (místo pouze bodu v prostoru), což znamená, že čas je přidán jako další dimenze do mřížky. Souřadnice tedy určují, kde a kdy k událostem dojde. Jednotná povaha časoprostoru a jeho nezávislost na volbě souřadnic však naznačuje, že k vyjádření časové souřadnice v jednom souřadnicovém systému jsou potřeba jak časové, tak prostorové souřadnice v jiném souřadnicovém systému. Na rozdíl od běžných prostorových souřadnic vzniká v časoprostoru koncept světelného kužele , který ukládá omezení přípustných souřadnic, pokud jedna z nich musí být všude časová. Tato omezení se striktně vztahují ke speciálnímu matematickému modelu, který se od euklidovského prostoru liší svou zjevnou symetrií .

V souladu s teorií relativity má Vesmír tři prostorové dimenze a jednu časovou dimenzi a všechny čtyři dimenze jsou organicky propojeny do jediného celku, jsou si téměř rovny v právech a v určitých mezích (viz poznámky níže), schopné přecházet do každého z nich. jiný, když pozorovatel změní vztažnou soustavu.

V rámci obecné teorie relativity má také časoprostor jedinou dynamickou povahu a jeho interakce se všemi ostatními fyzikálními objekty (tělesy, poli) je gravitace . Teorie gravitace v rámci obecné teorie relativity a dalších metrických teorií gravitace je tedy teorií časoprostoru, o které se předpokládá, že není plochá, ale je schopná dynamicky měnit své zakřivení .

Až do počátku dvacátého století se předpokládalo, že čas je nezávislý na stavu pohybu, plyne konstantní rychlostí ve všech vztažných soustavách ; pozdější experimenty však ukázaly, že čas se zpomaluje při vysokých rychlostech jedné vztažné soustavy vůči druhé. Toto zpomalení, nazývané relativistická dilatace času , je vysvětleno ve speciální teorii relativity . Dilatace času byla potvrzena mnoha experimenty, jako je relativistické zpomalení rozpadu mionu v proudu kosmického záření a zpomalení atomových hodin na palubě raketoplánu , raket a letadel vzhledem k hodinám instalovaným na Zemi. Doba trvání se proto může lišit v závislosti na událostech a referenčním rámci.

Termín časoprostor se rozšířil daleko za hranice interpretace časoprostoru s normálními rozměry 3+1. Je to skutečně spojení prostoru a času. Jiné navrhované teorie časoprostoru zahrnují další dimenze, obvykle prostorové, ale existují některé spekulativní teorie, které zahrnují zvláštní časové dimenze , a dokonce i ty, které zahrnují dimenze, které nejsou ani časové, ani prostorové (jako je superprostor ) [2] . Otázka, kolik dimenzí je potřeba k popisu vesmíru, je stále otevřená. Spekulativní teorie, jako je teorie strun, předpovídají 10 nebo 26 dimenzí (s M-teorií předpovídá 11 dimenzí: 10 prostor a 1 čas), ale na existenci více než čtyř dimenzí by záleželo pouze na subatomární úrovni .

Úvod

Nerelativistická klasická mechanika považuje čas za univerzální veličinu měření, která je homogenní v celém prostoru a která je oddělena od prostoru. Klasická mechanika předpokládá, že čas má konstantní průtok, který je nezávislý na stavu pohybu pozorovatele .nebo něco vnějšího. [3]

V kontextu speciální teorie relativity nelze čas oddělit od tří dimenzí prostoru, protože pozorovaná rychlost toku času objektu závisí na rychlosti objektu vzhledem k pozorovateli. Obecná teorie relativity také poskytuje vysvětlení, jak mohou gravitační pole zpomalit plynutí času pro objekt pozorovaný mimo toto pole.

V běžném prostoru je pozice definována třemi čísly, známými jako dimenze . V kartézském souřadnicovém systému se nazývají x, y a z. Poloha v časoprostoru se nazývá událost a vyžaduje specifikaci čtyř čísel: trojrozměrné umístění v prostoru a také polohu v čase (obr. 1). Časoprostor je tedy čtyřrozměrný . Událost je něco, co se stane v určitém okamžiku v jednom bodě časoprostoru, reprezentované množinou souřadnic: x , y , z a t .

Slovo „událost“ používané v teorii relativity by se nemělo zaměňovat s použitím slova „událost“ v běžné konverzaci, kde může znamenat něco jako koncert, sportovní událost nebo bitvu. Nejsou to matematické „události“ ve smyslu, ve kterém se toto slovo používá v teorii relativity, protože mají konečné a nenulové trvání. Na rozdíl od událostí, jako je ohňostroj nebo blesk, mají matematické události nulové trvání a představují jeden bod v časoprostoru.

Na cestu částice časoprostorem lze pohlížet jako na sled událostí. Sérii událostí lze propojit a vytvořit čáru, která představuje pohyb této částice prostoročasem. Tato čára se nazývá světová čára částice. [4] : 105

Matematicky je časoprostor mnohočetný , tj. lokálně „plochý“ blízko každého bodu stejným způsobem, jako se v dostatečně malých měřítcích jeví zeměkoule jako plochá. [5] Velmi velký faktor měřítka (běžně nazývaný rychlost světla ) spojuje vzdálenosti měřené v prostoru se vzdálenostmi měřenými v čase. Velikost tohoto měřítka (téměř 300 000 km ve vesmíru, což odpovídá 1 sekundě v čase) a skutečnost, že časoprostor je mnohočetný, znamená, že při běžných, nerelativistických rychlostech a při běžných vzdálenostech na lidské úrovni je lidé si mohou všimnout odlišností od euklidovského prostoru. Teprve s příchodem vysoce přesných vědeckých měření v polovině 19. století, jako byl Fizeauův experiment a Michelsonův experiment , vznikly záhadné rozpory mezi pozorováními a předpověďmi založenými na implicitním předpokladu euklidovského prostoru. [6] $C$

Ve speciální teorii relativity termín „pozorovatel“ ve většině případů znamená referenční rámec, ve kterém se provádějí měření objektů nebo událostí. Toto použití se výrazně liší od obvyklého významu termínu. Vztažné rámce jsou nelokální konstrukce a podle tohoto použití termínu nedává smysl říkat, že pozorovatel má nějakou pozici. Na Obr. 1-1 si představte, že uvažovaná referenční soustava je vybavena hustou hodinovou mřížkou, synchronizovanou v této referenční soustavě, která se neomezeně rozprostírá přes tři rozměry prostoru. Jakékoli konkrétní umístění na mřížce je irelevantní. Hodinová mřížka hodin se používá k určení času a polohy událostí vyskytujících se v celém referenčním rámci. Termín pozorovatel se vztahuje na celý soubor hodin spojených s jednou inerciální vztažnou soustavou. [7] : 17-22 V tomto idealizovaném případě má každý bod v prostoru spojené hodiny, a proto hodiny zaznamenávají každou událost okamžitě, bez zpoždění mezi událostí a jejím záznamem. Skutečný pozorovatel však uvidí zpoždění mezi emisí signálu a jeho detekcí kvůli konečnosti rychlosti světla. Při synchronizaci hodin se bere v úvahu doba šíření signálu a hodiny se korigují o velikost doby jejich šíření.

V mnoha knihách o speciální teorii relativity, zejména starších, se slovo „pozorovatel“ používá v konvenčnějším smyslu. Obvykle je význam termínu jasný z kontextu.

Fyzici rozlišují mezi pojmy měření a pozorování (po stanovení zpoždění šíření signálu) od toho, co je vizuálně viditelné bez těchto úprav. Chyby v chápání rozdílu mezi tím, co je měřeno/pozorováno a co je viděno, jsou zdrojem mnoha chyb mezi začátečníky ve studiu relativity. [osm]

Časoprostor ve speciální teorii relativity

Interval

Ve třech rozměrech lze vzdálenost mezi dvěma body určit pomocí Pythagorovy věty : $\Delta {d}$

{\left(\Delta {d}\right)}^{2}={\left(\Delta {x}\right)}^{2}+{\left(\Delta {y}\right )}^{2}+{\left(\Delta {z}\right)}^{2}

Ačkoli dva pozorovatelé mohou měřit polohy x, y a z dvou bodů pomocí různých souřadnicových systémů, vzdálenost mezi body bude pro oba stejná (za předpokladu, že měří pomocí stejných jednotek). Vzdálenost je tedy „invariant“.

Ve speciální teorii relativity však již není vzdálenost mezi dvěma body zachována při měření dvěma různými pozorovateli kvůli Lorentzově kontrakci , pokud se jeden z pozorovatelů pohybuje. Situace se ještě zkomplikuje, pokud jsou tyto dva body odděleny jak vzdáleností, tak časem. Pokud například jeden pozorovatel vidí dvě události nastávající na stejném místě, ale v různých časech, pozorovatel pohybující se vzhledem k prvnímu uvidí dvě události, ke kterým dochází na různých místech. Pro měření efektivní "vzdálenosti" mezi dvěma událostmi tedy budete muset použít jiný způsob měření.

Ve čtyřrozměrném časoprostoru je analogií vzdálenosti „interval“. Přestože je čas zahrnut do čtvrté dimenze, zachází se s ním jinak než s prostorovými dimenzemi, a proto se Minkowského prostor výrazně liší od čtyřrozměrného euklidovského prostoru . Hlavním důvodem pro sloučení prostoru a času do časoprostoru je to, že prostor a čas nejsou invariantní, tj. za vhodných podmínek se různí pozorovatelé nebudou shodnout na rozpětí času (kvůli dilataci času ) nebo vzdálenosti (kvůli délce Lorentzovy kontrakce) mezi dvě akce . Speciální teorie relativity však poskytuje nový invariant zvaný časoprostorový interval , který sjednocuje vzdálenosti v prostoru a čase. Všichni pozorovatelé, kteří měří čas a vzdálenost, obdrží stejný časoprostorový interval mezi libovolnými dvěma událostmi. Předpokládejme, že pozorovatel měří dvě události oddělené v čase a v prostoru pomocí . Pak časoprostorový interval mezi dvěma událostmi oddělenými vzdáleností v prostoru a v -koordinaci: $\Delta t$ $\Delta x$ ${\displaystyle {\left(\Delta {s}\right)}^{2))$ $\Delta {x}$ $\Delta {ct}=c\Delta t$ $ct$

{\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2))

, nebo pro tři prostorové rozměry, [9]

(\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{ 2}

Konstanta , rychlost světla, převádí jednotky času (v sekundách) na jednotky vzdálenosti (v metrech). ${\textrm {c))$

Poznámka k notaci: Ačkoli se pro stručnost často setkáváme s intervalovými výrazy vyjádřenými bez delt, včetně většiny z následujících diskusí, je třeba chápat, co atd. znamenáobecně $X$ $\Delta {x}$

Výše uvedená rovnice je podobná Pythagorově větě, s výjimkou znaménka mínus mezi výrazy a . Všimněte si také, že časoprostorový interval je veličina a ne . Důvodem je to, že na rozdíl od vzdáleností v euklidovské geometrii mohou být intervaly v Minkowského časoprostoru záporné. Namísto toho, aby se fyzikové zabývali odmocninami záporných čísel, obvykle s nimi zacházejí jako s jediným symbolem jako takovým, spíše než s druhou mocninou velikosti. $(\Deltact)^{2}$ ${\displaystyle (\Delta x)^{2))$ $s^{2}$ $s$ $s^{2}$

Kvůli znaménku mínus může být časoprostorový interval mezi dvěma samostatnými událostmi nulový. Pokud je kladné, časoprostorový interval je podobný času , což znamená, že dvě události jsou odděleny více časem než prostorem. Je-li záporný, interval časoprostoru je podobný prostoru , což znamená, že tyto dvě události odděluje více prostoru než času. Časoprostorové intervaly jsou rovné nule, když . Jinými slovy, interval něčeho, co se pohybuje rychlostí světla mezi dvěma událostmi na světové čáře, je nulový. Takový interval se nazývá lightlike nebo zero . Foton, který zasáhne naše oko ze vzdálené hvězdy, nemá věk, přestože (z našeho pohledu) strávil roky na cestách. $s^{2}$ $s^{2}$ $x=\pm {\textrm {c}}\,t$

Časoprostorový diagram se obvykle kreslí pouze s jedním prostorem a jednou časovou osou. Na Obr. Obrázek 2-1 je časoprostorový diagram znázorňující světočáry (tj. cesty v časoprostoru) dvou fotonů A a B pocházejících ze stejné události a pohybujících se v opačných směrech. Navíc, C ilustruje světovou linii objektu při podsvětelné rychlosti. Vertikální časová souřadnice má měřítko , takže má stejné jednotky (metry) jako prostorová osa. Protože se fotony pohybují rychlostí světla, jejich světočáry mají sklon ± 1. Jinými slovy, každý metr, který foton urazí doleva nebo doprava, trvá přibližně 3,3 nanosekundy času. ${\textrm {c))$

Poznámka k notaci: V literatuře relativity existují dvě formy notace:

s^{2}=({\textrm {c}}t)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

s^{2}=-({\textrm {c}}t)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}

Tyto formy zápisu jsou spojeny s metrickým podpisem (+ − − −) a (− + + +). Rozdíl spočívá v umístění časové souřadnice. Obě formy jsou široce používány ve vědecké oblasti.

Referenční systém

Při porovnávání měření prováděných pozorovateli, kteří se vzájemně pohybují v různých inerciálních vztažných soustavách , je užitečné pracovat se vztažnými soustavami ve standardní konfiguraci. Obrázek 2-2 ukazuje dva Galliovy vztažné soustavy pohybující se vůči sobě (tj. běžné trojrozměrné prostorové vztažné soustavy). Systém S patří prvnímu pozorovateli O a systém S' patří druhému pozorovateli O'.

Osy x , y , z soustavy S jsou orientovány rovnoběžně s odpovídajícími osami soustavy S'.

Rám S' se pohybuje ve směru osy x rámu S konstantní rychlostí v měřenou v rámu S.

Referenční body systémů S a S' se shodují, když čas t = 0 pro systém S a t' = 0 pro systém S'. [4] : 107

Rýže. 2‑3a je otočený v opačném směru Obr. 2‑2. Rýže. 2‑3b znázorňuje časoprostorový diagram z pohledu pozorovatele O. Protože S a S' jsou ve standardní konfiguraci, jejich počátky se shodují v čase t = 0 v rámci S a t ′ = 0 v rámci S'. Osa ct „prochází událostmi v rámci S“, které mají x ′ = 0. Ale body s x ′ = 0 se pohybují ve směru x soustavy S rychlostí v , takže nejsou zarovnány s osou ct v libovolném nenulovém čase. Proto je osa ct' nakloněna vzhledem k ose ct o úhel θ daný vzorcem

\tan \ \theta =v/c.

Osa x je také nakloněna kolem osy x . Pro určení úhlu tohoto sklonu si připomeňme, že sklon světové čáry světelného pulzu je vždy ±1. Rýže. 2‑3c je časoprostorový diagram z pohledu pozorovatele O'. Událost P je emise světelného pulsu při x ′ = 0, ct ′ = − a . Puls se odráží od zrcadla umístěného ve vzdálenosti a od světelného zdroje (událost Q) a vrací se do světelného zdroje při x ′ = 0, ct ′ = a (událost R).

Stejné události P, Q, R jsou znázorněny na Obr. 2‑3b v pozorovatelském snímku O. Světelné dráhy mají sklon = 1 a −1, takže △PQR tvoří pravoúhlý trojúhelník. Protože OP = OQ = OR, úhel mezi x' a x musí být také θ .

Zatímco referenční soustava v klidu má prostorové a časové osy, které se protínají v pravých úhlech, pohyblivá referenční soustava má mezi osami ostrý úhel. Ale ve skutečnosti jsou referenční systémy ekvivalentní. Asymetrie obrázku je způsobena nevyhnutelnými zkresleními v tom, jak jsou souřadnice časoprostoru mapovány do pravoúhlého souřadnicového systému , a to by nemělo být považováno za nic podivnějšího než to, jak jsou relativní velikosti povrchové plochy na projekci Země Mercator . blízko pólů (Grónsko a Antarktida) jsou mnohem větší ve srovnání s povrchem poblíž rovníku.

Světelný kužel

Na obrázku 2-4 je událost O na počátku časoprostorového diagramu, dvě diagonální čáry představují všechny události, které mají nulový časoprostorový interval vzhledem k události v počátku. Tyto dvě čáry tvoří to, co se nazývá světelný kužel události O, protože přidáním druhé prostorové dimenze (obr. 2‑5) vzniknou dva kužely , které se vzájemně dotýkají ve vrcholech v bodě O. Jeden kužel se šíří do budoucnosti ( t>0) a druhý do minulosti (t<0).

Světelný (dvojitý) kužel vzhledem ke svému vrcholu rozděluje časoprostor na samostatné oblasti. Vnitřek budoucího světelného kužele (horní část, budoucí světelný kužel) se skládá ze všech událostí, které jsou od vrcholu odděleny větší „časovou“ vzdáleností, než je nutné k překonání jejich „vesmírné vzdálenosti“ rychlostí světla; tyto události tvoří časovou budoucnost události O. Podobně časová minulost zahrnuje vnitřní události minulého světelného kužele (spodní část, minulý světelný kužel). Časové intervaly Δct jsou tedy větší než Δx , díky čemuž jsou časové intervaly kladné. Oblast vně světelného kužele sestává z událostí, které jsou odděleny od události O větším prostorem, než je možné překonat rychlostí světla v daném čase . Tyto události zahrnují takzvanou prostorovou oblast události O, naznačenou na Obr. 2-4 jako "jinde" (jinde). O událostech na světelném kuželu samotném se říká, že jsou podobné světlu (nebo nulovému oddělitelnému ) od O. Vzhledem k invarianci časoprostorového intervalu budou mít všichni pozorovatelé stejný světelný kužel pro jakoukoli danou událost, a tak souhlasí s takovým obecným dělení časoprostoru . [10] : 220

V konceptu kauzality hraje důležitou roli světelný kužel . Je možné, že se podsvětelný signál přesune z polohy a času O do polohy a času D (obr. 2-4). Proto událost O může být kauzálním vlivem události D. Budoucí světelný kužel obsahuje všechny události, které mohou být kauzálně ovlivněny O. Podobně je možné, že podsvětelný signál přejde z polohy a času A do polohy a čas O. Minulý světelný kužel obsahuje všechny události, které mohou mít kauzální účinek na O. Také za předpokladu, že signály nemohou cestovat rychleji než rychlostí světla, jakákoli událost, jako je B nebo C, například v oblasti podobné prostoru ("někde jinde"), nemohou ovlivnit událost O a nemohou být ovlivněny vlivem události O. Za tohoto předpokladu je vyloučen jakýkoli kauzální vztah mezi událostí O a jakýmikoli událostmi v prostorové oblasti světelného kužele. . [jedenáct]

Relativita simultánnosti

Všichni pozorovatelé budou souhlasit s tím, že pro jakoukoli danou událost nastane jakákoli událost ve světelném kuželu budoucnosti (vzhledem k dané události) po dané události. Stejně tak pro jakoukoli danou událost událost ve světelném kuželu minulosti (vzhledem k dané události) nastane před danou událostí. Vztah před-po pozorovaný pro události s časovým oddělením zůstává stejný bez ohledu na referenční rámec pozorovatele, tedy bez ohledu na pohyb pozorovatele. Zcela jiná je situace u vesmírně oddělených událostí. Obrázek 2-4 je nakreslen pro vztažnou soustavu pozorovatele pohybujícího se s v = 0 . V tomto referenčním rámci nastává událost C po události O a událost B nastává před událostí O. V jiném referenčním rámci může být pořadí těchto nekauzálně souvisejících událostí obráceno. Konkrétně, pokud jsou dvě události současné v určitém referenčním rámci, jsou nutně odděleny intervalem podobným prostoru, a proto spolu nejsou v kauzálním vztahu. Skutečnost, že simultánnost není absolutní, ale závisí na vztažné soustavě pozorovatele, se nazývá relativita simultánnosti . [12]

Na Obr. 2-6 ukazují použití časoprostorových diagramů při analýze relativity simultánnosti. Události v časoprostoru jsou neměnné, ale souřadnicové systémy jsou transformovány, jak je uvedeno výše na obr. 2-3. Ze vztažné soustavy pozorovatele pohybujícího se rychlostí v = 0 jsou simultánní tři události (A, B, C) . Ze vztažné soustavy pozorovatele pohybující se rychlostí v = 0,3 c probíhají události v pořadí C, B , A. Z počtu snímků pozorovatele pohybujícího se rychlostí v = -0,5 s dochází k událostem v pořadí A, B, C . Bílá čára představuje rovinu simultánnosti , která se pohybuje z minulosti pozorovatele do budoucnosti pozorovatele a zvýrazňuje události, které se na ní odehrávají. Šedá plocha je světelný kužel pozorovatele, který zůstává nezměněn.

Prostorový interval časoprostoru udává stejnou vzdálenost, jakou by pozorovatel mohl změřit, pokud by s ním byly měřené události simultánní. Prostorový interval časoprostoru tedy poskytuje míru své vlastní vzdálenosti , tj. skutečná vzdálenost = Podobně časový interval časoprostoru poskytuje stejnou míru času, která by byla reprezentována kumulativním tikáním hodin, které se pohybují podél dané světové linie. . Časoprostorový interval podobný časoprostoru tedy poskytuje míru správného času = . [10] :220–221 ${\textstyle {\sqrt {-s^{2}}}.}$ ${\textstyle {\sqrt {s^{2))))$

Invariantní hyperbola

V euklidovském prostoru (mající pouze prostorové rozměry) tvoří množina bodů stejně vzdálených (pomocí euklidovské metriky) od nějakého bodu kruh (ve dvou rozměrech) nebo kouli (ve třech rozměrech). V (1+1)-rozměrném Minkowského prostoročasu (majícím jeden časový a jeden prostorový rozměr) tvoří body s konstantním časoprostorovým intervalem od počátku (pomocí Minkowského metriky) křivky dané dvěma rovnicemi:

(ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2}\;

kde je kladná skutečná konstanta.

s^{2}\;

Tyto rovnice popisují dvě rodiny hyperbol na časoprostorovém diagramu x ; ct , které se nazývají invariantní hyperboly .

Na Obr. 2-7a, každá fialová hyperbola spojuje všechny události, které mají nějakou pevnou prostorovou separaci od počátku, zatímco zelené hyperboly spojují události se stejnou časovou separací.

Na Obr. 2-7b ukazuje situaci v (1+2)-rozměrném Minkowského časoprostoru (jedna časová a dvě prostorové dimenze) s odpovídajícími hyperboloidy. Každý časový interval tvoří jednovrstvý hyperboloid a každý prostorový interval tvoří dvouvrstvý hyperboloid.

(1+2)-rozměrná hranice mezi prostorově a časově podobnými hyperboloidy je tvořena událostmi, které mají nulový časoprostorový interval před počátkem souřadnic, které se tvoří, když hyperboloidy degenerují do světelného kužele. V (1+1)-rozměrném Minkowského prostoru se hyperboly degenerují do dvou šedých čar s 45° úhly znázorněnými na Obr. 2-7a.

Poznámka k notaci: Fialové hyperboly, které protínají osu x , se nazývají hyperboly podobné času (na rozdíl od prostorových ), protože všechny "vzdálenosti" k počátku podél hyperbol jsou časové intervaly. Z tohoto důvodu jsou tyto hyperboly cestami, které mohou mít (neustále se zrychlující) částice v časoprostoru: mezi libovolnými dvěma událostmi na téže hyperbole je možný kauzální vztah, protože zadní sklon – představující potřebnou rychlost – pro všechny sekanty je menší než . Na druhé straně zelené hyperboly, které protínají osu ct , se nazývají prostorové , protože všechny intervaly podél těchto hyperbol jsou prostorové intervaly: neexistuje žádná kauzalita mezi žádnými dvěma body na jedné z těchto hyperbol, protože všechny sekanty představují rychlosti přesahující $C$ $C$

Dilatace času a kontrakce délky

Na Obr. 2-8 ukazuje invariantní hyperbolu pro všechny události, které lze dosáhnout z počátku ve správném čase 5 metrů (přibližně 1,67⋅10 −8 sec ). Různé světové čáry představují hodiny pohybující se různou rychlostí. Hodiny, které jsou vzhledem k pozorovateli nehybné, mají svislou světovou čáru a čas měřený pozorovatelem je stejný jako správný čas. Pro hodiny pohybující se rychlostí 0,3 c je čas naměřený pozorovatelem 5,24 metru ( 1,75⋅10 −8 sec ) a pro hodiny pohybující se rychlostí 0,7 c je čas naměřený pozorovatelem 7,00 metrů ( 2,34⋅10 -8 sekund ). To ilustruje jev známý jako dilatace času . Hodinám, které se pohybují rychleji, trvá déle (v referenčním rámci pozorovatele), než přečtou stejné množství správného času, a posunou se dále podél osy x, než by mohly bez dilatace času. [10] :220–221 Časová zpomalení dvěma pozorovateli v různých inerciálních vztažných soustavách jsou vzájemná. Jestliže pozorovatel O pozoruje hodiny pozorovatele O' jako pomalejší ve své vztažné soustavě, pozorovatel O' bude také pozorovat hodiny pozorovatele O jako pomalé.

kontrakce délky , stejně jako dilatace času, je projevem relativity simultánnosti. Měření délky vyžaduje měření časoprostorového intervalu mezi dvěma událostmi, které jsou současně ve stejném referenčním rámci. Ale události, které jsou simultánní v jedné vztažné soustavě, obecně nejsou simultánní v jiných vztažných soustavách.

Obrázky 2-9 ukazují pohyby metrové tyče pohybující se rychlostí 0,5 c podél osy x . Okraje modrého pruhu představují světové čáry dvou krajních bodů pruhu. Invariantní hyperbola ilustruje události oddělené od počátku prostorovým intervalem 1 m. Koncové body O a B, měřené při t' = 0, jsou simultánní události v referenční soustavě S'. Ale pro pozorovatele v rámci S nejsou události O a B současné. Pro měření délky změří pozorovatel v referenčním rámci S koncové body tyče promítnuté na osu x podél jejich světočar. Průmět "světového listu" tyče na osu x dává zkrácenou délku OC. [4] : 125

(nezobrazeno). Nakreslení svislé čáry skrz A tak, že protíná osu x' ukazuje, že i když je OB zkrácen z pohledu pozorovatele O, OA je zkrácen také z pohledu pozorovatele O'. Stejně jako každý pozorovatel pozoruje, že hodiny toho druhého jsou pomalejší, každý pozorovatel pozoruje pravítka toho druhého jako zkrácené.

Vzájemná dilatace času a paradox dvojčat

Vzájemná dilatace času

Vzájemná dilatace času a kontrakce délky mají tendenci zmást začátečníky svým rozporuplným konceptem. Nedorozumění spočívá v tom, že pokud pozorovatel A pozoruje hodiny pozorovatele B jako pomalé, jednoduše proto, že se B pohybuje rychlostí v vzhledem k A, pak princip relativity vyžaduje, aby pozorovatel B také sledoval hodiny A jako pomalé. To je důležitá otázka, která „je základem chápání speciální teorie relativity“. [10] : 198

Obecně A a B provádějí dvě různá měření.

K měření rychlosti tikání jedněch z hodin B musí A použít dvě své vlastní hodiny, první k zaznamenání času, kdy jsou hodiny B poprvé označeny na prvním místě B , a druhé k zaznamenání času na druhém místě B. . Pozorovatel A potřebuje dvě hodiny, protože B se pohybuje, takže do měření se zapojují pouze tři hodiny. Dvě hodiny A musí být synchronizovány v referenční soustavě A. Naproti tomu B vyžaduje dvě synchronizované hodiny ve své vztažné soustavě, aby mohly zaznamenávat hodnoty hodin A na dvou různých místech. Proto A a B provádějí svá měření s různými sadami po třech měřeních. Vzhledem k tomu, že neměří s jednou sadou hodin, není potřeba, aby měření byla vzájemně "v souladu" s tím, že jeden pozorovatel vidí hodiny druhého zpomalit a druhý pozorovatel pozoruje zrychlené hodiny prvního. [10] :198–199

Pokud jde o kontrakci vzájemné délky, Obr. 2-9 znázorňuje, že správné a nesprávné vztažné soustavy jsou vzájemně natočeny o hyperbolický úhel(podobně jako obyčejné úhly v euklidovské geometrii). [pozn. 1] Díky tomuto natočení se zkracuje průmět vlastní značky měřidla na osu x nevlastní a také se zkracuje průmět značky cizího měřidla na vlastní osu x.

Obrázek 2-10 posiluje předchozí diskuse o vzájemné dilataci času. Na tomto obrázku jsou události A a C odděleny od události O stejnými časovými intervaly. Z nesprávné referenční soustavy jsou události A a B měřeny jako simultánní, ale pro nesprávného pozorovatele uplynulo více času než pro pozorovatele vlastního. Ve vnitřní vztažné soustavě jsou události C a D měřeny jako simultánní, ale pro vnitřního pozorovatele uplynulo více času než pro neintrinsického pozorovatele. Každý pozorovatel měří hodiny druhého pozorovatele jako pomalé. [4] : 124

Všimněte si důležitosti slova „měřit“. Pohybový stav pozorovatele nemůže ovlivnit pozorovaný objekt, ale může ovlivnit měření objektu.

Na obrázku 2-10 každá přímka probíhající rovnoběžně s osou x představuje linii simultánnosti pro nesprávného pozorovatele. Všechny události na tomto řádku mají stejnou časovou hodnotu ct . Podobně každá čára nakreslená rovnoběžně s osou x představuje čáru simultánnosti pro svého vlastního pozorovatele. Všechny události na tomto řádku mají stejnou časovou hodnotu ct' .

Paradox dvojčat

Základní úvody do speciální teorie relativity často ilustrují rozdíly mezi galileovskou relativitou a speciální relativitou a vytvářejí řadu předpokládaných „paradoxů“. Všechny paradoxy jsou ve skutečnosti jen nepochopené nebo nepochopené problémy způsobené naší neznalostí rychlostí srovnatelných s rychlostí světla. Východiskem je řešení mnoha problémů ve speciální teorii relativity a seznámení se s jejími tzv. kontraintuitivními předpověďmi. Geometrický přístup ke studiu časoprostoru je považován za jednu z nejlepších metod rozvoje moderní intuice. [13]

Paradox dvojčat je myšlenkový experiment zahrnující identická dvojčata, z nichž jedno cestuje do vesmíru na vysokorychlostní raketě a vrací se domů, aby zjistilo, že dvojče, které zůstalo na Zemi, zestárlo více než on sám. Tento výsledek se zdá podivný, protože každé dvojče pozoruje druhé dvojče, jak se pohybuje, a tak se na první pohled zdá, že by každé mělo to druhé detekovat v mladším věku. Paradox dvojčat se vyhýbá vzájemné dilataci časového zdůvodnění prezentovaného výše tím, že se vyhýbá požadavku na třetí hodiny. [10] :207 Nicméně „paradox dvojčat“ není skutečným paradoxem, protože je snadno pochopitelný v kontextu speciální teorie relativity.

Zdá se, že paradox existuje kvůli nepochopení toho, co říká speciální teorie relativity. Speciální teorie relativity prohlašuje ne všechny vztažné soustavy za ekvivalentní, ale pouze inerciální. Vztažná soustava pohybujícího se dvojčete není inerciální v okamžicích, kdy zrychluje. Rozdíl mezi dvojčaty v pozorovatelném světě je ten, že cestující dvojče zapíná raketové motory, aby se vrátilo domů, zatímco dvojče, které zůstalo doma, nedělá nic. [čtrnáct]

Než pochopíme, proč by tyto rozdíly měly vést k rozdílům ve věku dvojčat, je zapotřebí více analýzy. Uvažujme časoprostorový diagram na obr. 2-11. Jde o jednoduchý případ, kdy se dvojče pohybuje rovně na ose x a hned se otočí zpět. Z pohledu dvojčete v domácím prostředí není na paradoxu dvojčete nic složitého. Správný čas měřený podél světové linie putujícího dvojčete z O do C plus správný čas měřený z C do B je kratší než správný čas pobytu dvojčete měřený z O přes A do B. Složitější trajektorie vyžadují integraci správného času mezi příslušnými událostmi podél křivky (tj. křivočarý integrál ) pro výpočet celkového množství času, který zabral cestující double. [čtrnáct]

Komplikace nastávají, pokud je dvojitý paradox analyzován z pohledu pohybujícího se dvojníka.

Pro zbytek této diskuse převezmeme Weissovu nomenklaturu pro dvojče v domácnosti, jako je Terence, a dvojče cestující, jako je Stella. [čtrnáct]

Již dříve jsme poznamenali, že Stella není v inerciální vztažné soustavě. Vzhledem k této skutečnosti se někdy tvrdí, že úplné vyřešení dvojitého paradoxu vyžaduje obecnou relativitu. To není pravda. [čtrnáct]

Analýza využívající pouze SRT by byla následující: v Stellině referenčním rámci je ona sama během celé cesty nehybná. Když aktivuje trysky rakety, aby se otočily, zažije pseudosílu, která je podobná gravitační síle. [14] Obr. 2-6 a 2-11 ilustrují koncept čar (rovin) simultánnosti: čáry rovnoběžné s pozorovatelovou osou x (rovina xy) představují soubor událostí, které jsou současné v referenčním rámci tohoto pozorovatele. Na Obr. 2-11 modrých čar spojuje události na Terenceově světové čáře, které jsou z pohledu Stelly simultánní s událostmi na její světové čáře. (Terence bude zase pozorovat řadu vodorovných linií simultánnosti.) Během vzdalujících se i přibližujících se částí Stelliny cesty měří Terenceovy hodiny, jako by běžely pomaleji než ty její. Ale během otočky (tedy mezi tlustými modrými čarami na obrázku) dochází ke změně úhlu jejích linií simultánnosti, což odpovídá rychlému přeskakování událostí na Terenceově světové čáře, kterou Stella považuje za simultánní. s ní. Stella proto na konci cesty věří, že Terence je starší než ona. [čtrnáct]

Ačkoli obecná teorie relativity není vyžadována pro analýzu paradoxu dvojčete, aplikace principu ekvivalence obecné teorie relativity poskytuje nějaký další vhled do předmětu. Již dříve jsme si všimli, že Stella není v inerciální vztažné soustavě stacionární. Ve svém klidovém referenčním rámci je Stella po celou dobu cesty nehybná. Dokud se bude pohybovat rovnoměrně, jeho vztažná soustava se stane inerciální a Terenceovy hodiny se zpomalí. Ale když aktivuje trysky rakety, aby se otočily, její vztažná soustava se zrychlí a ona zažije sílu, která ji tlačí, jako by byla v gravitačním poli. Terence bude na vrcholu tohoto pole a díky gravitační dilataci času budou jeho hodiny běžet rychleji, takže Terence bude nakonec starší než Stella, až se znovu setkají. [14] Jak bude diskutováno níže, teoretické argumenty předpovídající gravitační dilataci času nejsou výlučné pro obecnou relativitu. Jakákoli teorie gravitace bude předpovídat gravitační dilataci času, pokud bude respektovat princip ekvivalence, včetně Newtonovy teorie. [10] :16

Gravitace

Tato úvodní část se zaměřila na prostoročas speciální teorie relativity, protože je jednodušší. Minkowského časoprostor je plochý, vzdoruje gravitaci, je jednotný a slouží jen jako statické pozadí pro události, které se v něm odehrávají. Přítomnost gravitace značně komplikuje popis časoprostoru. V obecné relativitě už prostoročas není statické pozadí, ale aktivně interaguje s fyzickými systémy, které obsahuje. Zakřivení časoprostoru v přítomnosti hmoty může šířit vlny, ohýbat dráhu světla a projevovat se v mnoha dalších jevech [10] :221 Některé z těchto jevů jsou popsány v dalších částech tohoto článku.

Základy matematiky časoprostoru

Galileovské transformace

Hlavním cílem je mít možnost porovnat měření provedená pozorovateli, kteří jsou vůči sobě v pohybu. Řekněme, že máme pozorovatele O v rámci S, který změřil časové a prostorové souřadnice události tak, že této události přiřadil tři kartézské souřadnice a čas změřený na její synchronizované hodinové mřížce ( x , y , z , t ) (viz obrázek 1- jedna). Druhý pozorovatel O' v jiném referenčním rámci S' měří stejnou událost ve svém souřadnicovém systému a jeho synchronizované mřížce hodin ( x' , y' , z' , t' ) . Protože máme co do činění s inerciálními vztažnými soustavami, ani jeden pozorovatel není pod vlivem zrychlení. Jednoduchá sada rovnic dává do vztahu souřadnice ( x , y , z , t ) a ( x' , y' , z' , t' ) . Vzhledem k tomu, že dva souřadnicové systémy jsou ve standardní konfiguraci, což znamená, že jsou zarovnány rovnoběžně se souřadnicemi ( x , y , z ) a že t = 0 , když t' = 0 , je transformace souřadnic následující: [15] [16]

x'=x-vt

y'=y

z'=z

t'=t.

Obrázek 3-1 ukazuje, že v Newtonově teorii je čas univerzální. [17] :36-37 Zvažte následující myšlenkový experiment: červená šipka představuje vlak, který se pohybuje o 0,4 s vzhledem k nástupišti. Ve vlaku cestující vypálí kulku rychlostí 0,4 c v referenčním rámci vlaku. Modrá šipka ukazuje, že osoba stojící na železniční trati měří rychlost střely 0,8 s. To je v souladu s našimi naivními očekáváními.

Obecněji předpokládejme, že se snímek S' pohybuje rychlostí v vzhledem k snímku S. V rámci snímku S' pozorovatel O' měří objekt pohybující se rychlostí u' . Jaká je jeho rychlost u vzhledem k rámu S? Protože x = ut , x' = x − vt a t = t' , můžeme psát x' = ut − vt = ( u − v ) t = ( u − v ) t' . To vede k u' = x' / t' a nakonec

u'=uv

nebo

u=u'+v,

což je obvyklý galileovský zákon sčítání rychlostí .

Relativistický zákon sčítání rychlostí

Sčítání rychlostí v relativistickém časoprostoru je velmi odlišné od toho klasického. Abychom trochu snížili složitost rovnic, zavedeme zkratku pro poměr rychlosti objektu k rychlosti světla,

\beta =v/c

Obrázek 3-2a ukazuje červený vlak pohybující se vpřed rychlostí danou v / c = β = s / a . V referenčním rámci vlaku cestující vystřelí kulku rychlostí u' / c = β' = n / m , kde se vzdálenost měří podél čáry rovnoběžné s červenou osou x' , nikoli s černou osou x . Jaká je složená rychlost u střely, znázorněná modrou šipkou, vzhledem k plošině? S odkazem na Obr. 3-2b:

Z platformy je složená rychlost střely definována jako u = c ( s + r )/( a + b ) .
Dva žluté trojúhelníky jsou podobné , protože jsou to pravoúhlé trojúhelníky, které mají společný úhel α . Ve velkém žlutém trojúhelníku je poměr s / a = v / c = β .
Poměry odpovídajících stran dvou žlutých trojúhelníků jsou konstantní, takže r / a = b / s = n / m = β' . Potom b = u 's / ca r = u'a / c . _ _
Dosazením výrazů pro b a r do výrazu pro u v kroku 1 získáte Einsteinův vzorec pro sčítání rychlostí: [17] :42–48

u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.

Výše uvedený relativistický vzorec pro sčítání rychlostí ukazuje několik důležitých vlastností:

Pokud jsou u' a v velmi malé ve srovnání s rychlostí světla, pak se součin vu' / c 2 stává mizejícím malým a celkový výsledek se stává nerozeznatelným od Galileova vzorce (Newtonův vzorec) pro sčítání rychlostí: u = u' + v . Galileův vzorec je speciální případ relativistického vzorce použitelného pro nízké rychlosti.
Pokud je u' rovno c , pak vzorec dává u = c bez ohledu na počáteční hodnotu v . Rychlost světla je pro všechny pozorovatele stejná, bez ohledu na jejich pohyb vůči zdroji záření. [17] :49

Ještě jednou o dilataci času a redukci délky

Dříve jsme kvalitativně diskutovali o dilataci času a kontrakci délky. Je snadné získat kvantitativní vyjádření těchto účinků. Obrázek 3-3 je složený obrázek obsahující jednotlivé referenční snímky převzaté ze dvou předchozích animací, zjednodušené a přeznačené pro účely této části.

Aby se trochu snížila složitost rovnic, v literatuře existuje mnoho různých zkratek pro ct :

Společné a .

\mathrm {T} =ct

w=ct

Velmi běžné je také používání konvence

c = 1.

Na obr. 3-3a jsou segmenty OA a OK stejné časové intervaly. Časová dilatace je reprezentována poměrem OB / OK . Invariantní hyperbola má rovnici kde k = OK a červená čára reprezentující světovou čáru částice v pohybu má rovnici w = x / β = xc / v . Trochu algebraických transformací dá ${\displaystyle w={\sqrt {x^{2}+k^{2))))$ ${\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Výraz obsahující odmocninu je v teorii relativity velmi běžný a jednotka dělená výrazem se nazývá Lorentzův koeficient, označovaný řeckým písmenem gamma : [18] $\gamma$

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2 }}}}}

Všimněte si, že je-li v větší nebo rovno c , výraz pro fyzicky ztrácí smysl, což znamená, že c je v přírodě maximální možná rychlost. Dále si všimněte, že pro jakékoli v větší než nula bude Lorentzův koeficient větší než jedna, ačkoli tvar křivky je takový, že pro nízké rychlosti je Lorentzův koeficient velmi blízký jednotce. $\gamma$

Na obr. 3-3b představují segmenty OA a OK stejné časoprostorové intervaly. Zkrácení délky je reprezentováno poměrem OB / OK . Invariantní hyperbola zná rovnici , kde k = OK , a okraje modrého pruhu, představující světočáry koncových bodů tyče v pohybu, mají sklon 1/ β = c / v . Událost A má souřadnice ( x , w ) = ( γk , γβk ). Protože tečna přes A a B má rovnici w = ( x − OB )/ β , dostáváme γβk = ( γk − OB )/ β a ${\displaystyle w={\sqrt {x^{2}+k^{2))))$

OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}

Lorentzovy transformace

Galileovské transformace a jejich sekvenční zákon o součtu rychlostí dobře fungují v našem obvyklém nízkorychlostním světě letadel, aut a balónů. Od poloviny 19. století však citlivé vědecké přístroje začaly odhalovat anomálie, které neodpovídaly normálnímu zvýšení rychlosti.

Ve speciální teorii relativity k transformaci souřadnic události z jednoho referenčního rámce do druhého používáme Lorentzovy transformace.

Přímé Lorentzovy transformace:

{\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2))}\right)\\x'&=\gamma \left(x- vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}

Inverzní Lorentzovy transformace:

{\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2))}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt '\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}

Když je v ≪ c a x dostatečně malé, v 2 /c 2 a vx / c 2 mají tendenci k nule a Lorentzova transformace se blíží Galileově transformaci.

Jak již bylo zmíněno dříve, když píšeme atd., nejčastěji myslíme opravdu atd. Ačkoli Lorentzovy transformační rovnice píšeme pro stručnost bez delt, je třeba chápat, že x znamená Δ x atd. Zpravidla jsme vždy zajímá se o intervaly prostoru a času mezi událostmi. $t'=\gamma (t-vx/c^{2}),$ $x'=\gamma (x-vt)$ $\Delta t'=\gamma (\Delta tv\Delta x/c^{2}),$ $\Delta x'=\gamma (\Delta xv\Delta t)$

Poznámka k notaci: Pojmenování jedné sady transformací jako přímé Lorentzovy transformace a druhé jako inverzní transformace může být zavádějící, protože mezi referenčními soustavami není žádný významný rozdíl. Různí autoři označují jednu nebo druhou sadu transformací jako inverzní . Dopředná a zpětná transformace spolu triviálně souvisejí, protože referenční soustava S se může vzhledem k S' pohybovat pouze dopředu nebo dozadu . Proto invertování rovnic jednoduše znamená přepnutí vlastních hodnot a nesprávných proměnných a nahrazení v za -v . [19] :71–79

Příklad: Terence a Stella se účastní vesmírného závodu Země-Mars. Terence je oficiální na startovní čáře a Stella je soutěžící. V okamžiku t = t' = 0 se Stellina kosmická loď okamžitě zrychlí rychlostí 0,5 s . Vzdálenost od Země k Marsu je 300 světelných sekund (asi 90,0⋅106 km ) . Terence sleduje, jak Stella protne cílovou čáru v čase t = 600,00 s. Ale Stella poznamenává, že když projede cílovou čárou, čas na chronometru její lodi je t' = (t − vx/c 2 ) = 519,62 s a vzdálenost mezi počáteční a koncovou čárou dostane ve svém vztažném rámci 259,81 světelných sekund (asi 77,9⋅10 6 km ). $\gamma$

Odvození Lorentzových transformací

Od původního Einsteinova díla v roce 1905 existuje mnoho desítek odvozenin Lorentzovy transformace , z nichž každá se zaměřuje na něco jiného. Přestože Einsteinův závěr vycházel z neměnnosti rychlosti světla, existují i jiné fyzikální principy, které mohou sloužit jako výchozí body pro odvození transformací. Nakonec lze tato alternativní východiska považovat za různá vyjádření základního principu lokality , který říká, že vliv, který má jedna částice na druhou, nelze přenášet okamžitě. [dvacet]

Zde uvedený závěr ilustrovaný na Obr. 3-5 je založen na jedné z derivací prezentovaných Bayesem [17] :64–66 a využívá předchozí výsledky z relativistického sčítání rychlostí, dilatace času a kontrakce délky. Událost P má souřadnice ( w , x ) v černém "klidovém rámci" a souřadnice ( w' a x' ) v červeném referenčním rámci, který se pohybuje s parametrem rychlosti β = v / c . Jak definujeme w' a x' z hlediska w a x ? (Nebo naopak)

Nejprve je snazší získat inverzní Lorentzovu transformaci.

Začněme tím, že v příčných směrech nemůže existovat nic takového jako zvětšení / zmenšení délky. y' se musí rovnat y a z' se musí rovnat z , jinak by schopnost rychle se pohybující 1 m koule projít 1 m kulatým otvorem závisela na pozorovateli. První postulát relativity říká, že všechny inerciální vztažné soustavy jsou ekvivalentní a příčné zvýšení/snížení by porušilo tento zákon. [19] :27–28
Z obrázku w = a + b a x = r + s
Z předchozích výsledků s použitím podobných trojúhelníků víme, že s / a = b / r = v / c = β .
Víme, že díky dilataci času je a = γ w'
Dosazením rovnice (4) do s / a = β dostaneme s = γw'β .
Kontrakce délky a podobné trojúhelníky nám dávají r = γx' a b = βr = βγ x'
Zapojením výrazů pro s , a , r a b do rovnic v kroku 2 okamžitě dostaneme $w=\gamma w'+\beta \gamma x'$ $x=\gamma x'+\beta \gamma w'$

Výše uvedené rovnice jsou alternativními výrazy pro rovnice t a x inverzní Lorentzovy transformace, jak je vidět při dosazení ct za w , ct' za W a v / c za β . Z inverzní transformace lze získat rovnice přímé transformace řešením pro t' a x' .

Linearita Lorentzových transformací

Lorentzovy transformace mají matematickou vlastnost zvanou linearita, protože x' a t' jsou získány jako lineární kombinace x a t , bez účasti vyšších mocnin. Linearita transformace odráží základní vlastnost časoprostoru, kterou jsme mlčky předpokládali při odvozování, totiž že vlastnosti inerciálních vztažných soustav jsou nezávislé na místě a čase. Bez gravitace vypadá časoprostor všude stejně. [17] :67 Všichni inerciální pozorovatelé se shodnou na tom, co tvoří zrychlený a nezrychlený pohyb. [19] :72–73 Každý pozorovatel může používat své vlastní dimenze prostoru a času, ale není v nich nic absolutního. [10] : 190

Výsledkem linearity je, že pokud jsou aplikovány dvě Lorentzovy transformace za sebou, pak výsledkem bude také Lorentzova transformace.

Příklad: Terence pozoruje Stellu, jak od něj odlétá rychlostí 0,500 s, a může použít Lorentzovy transformace s β = 0,500 ke spojení svých měření s měřeními Stelly. Stella ve svém referenčním rámci sleduje, jak Ursula od ní odlétá v 0,250 s, a může použít Lorentzovy transformace s β = 0,250, aby vztáhla Ursulina měření k jejím vlastním. Kvůli linearitě transformací a relativistickému sčítání rychlostí může Terence použít Lorentzovy transformace s β = 0,666, aby vztáhl Ursulina měření k jeho vlastním.

Dopplerův efekt

Dopplerův jev je změna frekvence nebo vlnové délky zdroje a přijímače, které se vzájemně pohybují. Pro jednoduchost zde uvažujeme dva hlavní případy: (1) Pohyby zdroje a/nebo přijímače jsou přesně podél spojnice (podélný Dopplerův jev) a (2) pohyby jsou v pravém úhlu k zadané linii ( příčný Dopplerův jev). Ignorujeme případy, kdy se přesunou do středních rohů.

Podélný Dopplerův jev

Klasická Dopplerova analýza se zabývá vlnami šířícími se médiem, jako jsou zvukové vlny nebo vlnění vody, které se přenášejí mezi zdroji a přijímači, když se pohybují k sobě nebo od sebe. Analýza takových vln závisí na tom, zda se zdroj, přijímač nebo oba pohybují vzhledem k médiu. Pro případ, kdy je přijímač vzhledem k médiu nehybný a zdroj se vzdaluje přímo od přijímače rychlostí v s pro rychlostní parametr β s , vlnová délka se zvětšuje a pozorovaná frekvence f je dána vzorcem

f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}

Na druhou stranu pro případ, kdy zdroj stojí a přijímač se pohybuje přímo od zdroje rychlostí v r pro rychlostní parametr β r , se vlnová délka nemění , ale rychlost přenosu vlny vůči přijímači klesá, a pozorovaná frekvence f je dána vztahem

f=(1-\beta _{r})f_{0}

Světlo se na rozdíl od zvuku nebo vlnění vody nešíří médiem a není žádný rozdíl mezi tím, zda se zdroj vzdaluje od přijímače nebo přijímač od zdroje. Obrázek 3-6 znázorňuje relativistický časoprostorový diagram ukazující, že se zdroj vzdaluje od přijímače s parametrem rychlosti β tak, že vzdálenost mezi zdrojem a přijímačem v čase w je βw . Kvůli dilataci času w = γw' . Protože sklon zeleného paprsku světla je −1, T = w+βw = γẃ (1 +β ). Proto je relativistický Dopplerův jev dán výrazem [17] :58–59

f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.

Příčný Dopplerův jev

Předpokládejme, že zdroj pohybující se v přímce je v nejbližším bodě k přijímači. Zdálo by se, že klasická analýza předpovídá, že přijímač nedetekuje žádný Dopplerův posun. Vzhledem k jemnostem analýzy nemusí být tento předpoklad nutně pravdivý. Pokud je však příčný Dopplerův posun správně definován, je relativistický efekt, který nemá klasický protějšek. Tyto jemnosti jsou následující: [19] :94–96

Obrázek 3-7a. Pokud zdroj pohybující se v přímce protíná zorné pole přijímače, jaký je výsledek měření frekvence, když je zdroj nejblíže přijímači?
Obrázek 3-7b. Pokud se zdroj pohybuje přímočaře, jaký je výsledek měření frekvence, když přijímač vidí zdroj v jeho nejbližší poloze?
Obrázek 3-7c. Pokud se přijímač pohybuje v kruhu kolem zdroje, jakou frekvenci přijímač měří?
Obrázek 3-7d. Pokud se zdroj pohybuje v kruhu kolem přijímače, jakou frekvenci přijímač měří?

Ve scénáři (a), kdy je zdroj nejblíže k přijímači, světlo dopadající na přijímač ve skutečnosti přichází ze směru, kterým byl zdroj před nějakou dobou, a má významnou podélnou složku, což ztěžuje analýzu z referenčního rámce přijímače. Je jednodušší provést analýzu z S', referenční soustavy zdroje. Bod nejbližší aproximace je nezávislý na snímku a představuje bod, ve kterém nedochází k žádné změně vzdálenosti s časem (tj. dr/dt = 0, kde r je vzdálenost mezi přijímačem a zdrojem), a proto nedochází k žádné podélné Dopplerově posun. Zdroj pozoruje přijímač jako osvětlený světlem o frekvenci f' a má pomalé hodiny. Proto v referenčním rámci S je přijímač osvětlen světlem s modrým posunem

{\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2))))

Scénář (b) se nejlépe analyzuje z S, referenční soustavy přijímače. Obrázek ukazuje, že přijímač svítí, když byl zdroj nejblíže přijímači, ačkoli se zdroj již pohnul. Protože zdrojové hodiny jsou pomalé a dr/dt je v tomto bodě nula, světlo ze zdroje vyzařované z tohoto nejbližšího bodu je posunuto červeně.

{\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2))))

Scénáře (c) a (d) lze analyzovat pomocí jednoduchých argumentů časové dilatace. V (c) přijímač vidí světlo ze zdroje jako s modrým posunem faktorem a v (d) jako s červeným posunem. Jedinou zjevnou obtíží je, že objekty mají orbitální pohyb, a tudíž mají zrychlení. Z hlediska inerciálního pozorovatele je však při výpočtu dilatace času důležitá pouze okamžitá rychlost hodin. (Opak však není pravda.) [19] :94–96 Většina zpráv o příčném Dopplerově posunu odkazuje na efekt rudého posuvu a analyzuje tento efekt z hlediska scénářů (b) nebo (d). [poznámka 2] $\gamma$

Energie a hybnost

Rozšíření hybnosti na čtyři rozměry

V klasické mechanice je pohybový stav částice charakterizován její hmotností a její rychlostí. Hybnost jako součin hmotnosti a rychlosti částice je vektorová veličina, která má stejný směr jako rychlost: p = m v . Jedná se o konzervativní hodnotu, což znamená, že pokud na uzavřený systém nepůsobí vnější síly, nemůže se jeho celková lineární hybnost změnit.

V relativistické mechanice je vektor hybnosti rozšířen na čtyři rozměry. K vektoru hybnosti je přidána časová složka, která umožňuje vektoru hybnosti prostoročasu transformovat jako (x, t) polohový vektor v časoprostoru. Při studiu vlastností hybnosti v časoprostoru (viz obrázek 3-8a) začneme pohledem na částici v klidu. V klidové vztažné soustavě je prostorová složka hybnosti rovna nule, tj. p = 0 , ale časová složka je rovna mc .

Transformované složky tohoto vektoru můžeme získat v pohyblivém rámci pomocí Lorentzových transformací nebo je můžeme číst přímo z obrázku, protože známe (mc)‚ = γmc a ṕ = −βγmc , protože červené osy jsou škálovány gama faktor . Na Obr. 3-8b ukazuje situaci v pohyblivém referenčním rámci. Je zřejmé, že prostorové a časové složky čtyřhybnosti jdou do nekonečna, jak se rychlost pohybující se vztažné soustavy blíží c . [17] :84–87

Tuto informaci později použijeme k odvození výrazu pro čtyřhybnost .

Světelný puls

Částice světla nebo fotony se pohybují konstantní rychlostí c , která je známá jako rychlost světla . Proto se fotony šíří podél světočáry podobné světlu a ve vhodných jednotkách mají stejnou prostorovou a časovou složku pro každého pozorovatele.

Důsledkem Maxwellových rovnic je, že světlo nese energii a hybnost a že jejich poměr je vždy konstantní: E/p = c . Nebo transformací E/c = p . Protože prostorová a časová složka jsou pro fotony stejné, znamená to, že E/c by měla být ztotožněna s časovou složkou vektoru hybnosti v časoprostoru.

Fotony se pohybují rychlostí světla, ale mají omezenou hybnost a energii. K tomu musí být hmotnostní člen v γmc nula, což znamená, že fotony jsou částice bez hmotnosti . Nekonečno nulou není platná hodnota, ale E/c je dobře definováno.

Je-li v této analýze energie fotonu rovna E v klidovém rámci, v pohyblivém souřadnicovém systému je rovna É = (1 − β)γE . Tento výsledek lze získat zkoumáním Obr. 3-9 nebo použitím Lorentzových transformací a je v souladu s analýzou Dopplerova jevu uvedenou výše. [17] :88

Vztah mezi hmotou a energií

Zvažování vztahu mezi různými složkami relativistického vektoru hybnosti vedlo Einsteina k několika dobře známým závěrům.

Při nízkých rychlostech, kdy se β = v/c blíží nule, se blíží 1, takže prostorová složka relativistické hybnosti βγmc = γmv se blíží mv , tedy klasické hybnosti. V návaznosti na to lze γm interpretovat jako relativistické zobecnění m . Einstein navrhl, že relativistická hmotnost objektu roste s rychlostí podle vzorce m rel = γm . $\gamma$
Podobně při porovnání časové složky relativistické hybnosti s hybností fotonu, γmc = m rel c = E/c , dospěl Einstein ke vztahu E = m rel c 2 . Zjednodušeno pro případ nulové rychlosti, toto je slavná Einsteinova rovnice týkající se energie a hmotnosti.

Dalším způsobem, jak se podívat na vztah mezi hmotností a energií, je zvážit řadu expanzí γmc 2 při nízkých rychlostech:

E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

\approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}...

Druhý člen je jednoduše výraz pro kinetickou energii částice. Hmotnost je skutečně jiná forma energie [17] :90–92 [19] :129–130 180

Koncept relativistické hmoty, zavedený Einsteinem v roce 1905, m rel , ačkoli je každý den testován v urychlovačích částic po celém světě (nebo dokonce v jakémkoli zařízení, jehož použití závisí na částicích s vysokou rychlostí, jako jsou elektronové mikroskopy, [21] staré barevné televizory atd.), přesto se neprokázalo, že jde o plodný koncept ve fyzice v tom smyslu, že nejde o koncept, který by sloužil jako základ pro další teoretický vývoj. Například relativistická hmotnost nehraje v obecné relativitě žádnou roli.

Z tohoto důvodu, stejně jako u pedagogických otázek, dnes většina fyziků dává přednost jiné terminologii, pokud jde o vztah mezi hmotou a energií. [22] „Relativistická hmotnost“ je zastaralý termín. Samotný termín "hmotnost" odkazuje na klidovou hmotnost nebo invariantní hmotnost a je roven invariantní délce vektoru relativistické hybnosti. Vyjádřeno jako vzorec,

{\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4))

Tento vzorec platí pro všechny částice, jak bezhmotné, tak hmotné. Pro bezhmotné fotony dává stejný vztah, jaký jsme stanovili dříve, E = ±pc . [17] :90–92

Viz také: Okun' LB „Pojem hmoty (hmotnost, energie, relativita)“ UFN 158 511-530 (1989)

Fourthimpulse

Kvůli úzkému vztahu mezi hmotou a energií je čtyřhybnost (také nazývaná 4-hybnost) často označována jako vektor 4-hybnosti. Použitím velkého P k označení čtyř hybnosti a malého p k označení prostorového pulsu lze čtyřpulz zapsat jako

P\equiv (E/c,{\vec {p)))=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})

nebo,

P\equiv (E,{\vec {p)))=(E,p_{x},p_{y},p_{z})

pomocí konvence [19] :129–130,180

c=1.

Zákony na ochranu

Ve fyzice zákony zachování říkají, že určité měřitelné vlastnosti izolovaného fyzikálního systému se nemění, jak se systém vyvíjí v průběhu času. V roce 1915 Emmy Noether zjistila, že základem každého zákona o ochraně je základní symetrie přírody. [23] Skutečnost, že fyzikálním procesům je jedno , kde se v prostoru vyskytují ( Translační symetrie ), vzniká zákon zachování hybnosti, skutečnost, že takovým procesům je jedno , kdy k nim dojde ( Translační symetrie času) dává zákon zachování energie a tak dále. V této části se budeme zabývat newtonovskými pohledy na zachování hmoty, hybnosti a energie z relativistického hlediska.

Plná hybnost

Abychom pochopili, jak je třeba změnit newtonovský pohled na zachování hybnosti v relativistickém kontextu, budeme uvažovat o problému dvou srážkových těles omezených na jednu dimenzi.

V newtonské mechanice existují dva extrémní případy tohoto problému, které dávají matematice minimální složitost: (1) Dvě tělesa se od sebe odrazí při plně elastické srážce. (2) Dvě těla se slepí a pokračují v pohybu jako jedna částice. Tento druhý případ je případ plně nepružné srážky. V obou případech (1) a (2) se zachovává hybnost, hmotnost a celková energie. Kinetická energie však není zachována v případech nepružné srážky. Určitý podíl počáteční kinetické energie se přemění na teplo.

V případě (2) se dvě hmoty s hybností p 1 = m 1 v 1 a p 2 = m 2 v 2 srazí a vytvoří jedinou částici o zachování hmotnosti m = m 1 + m 2 pohybující se rychlostí středu hmotnost původní soustavy, v cm = (m 1 v 1 + m 2 v 2 )/(m 1 + m 2 ) . V tomto případě je zachována celková hybnost p = p 1 + p 2 .

Rýže. 3-10 ilustruje nepružnou srážku dvou částic z relativistického hlediska. Časové složky E 1 /c a E 2 /c se sčítají k úplnému výslednému vektoru E/c , což znamená, že energie je zachována. Podobně prostorové složky p 1 a p 2 se sečtou a vytvoří p výsledný vektor. Čtyřhybnost je podle očekávání konzervovaná veličina. Invariantní hmotnost slepené částice, daná bodem, kde invariantní hyperbola celkové hybnosti protíná energetickou osu, však není rovna součtu invariantních hmotností jednotlivých částic, které se srazily. Ve skutečnosti je větší než součet jednotlivých hmotností: m > m 1 + m 2 . [17] :94–97

Když se podíváme na události tohoto scénáře v opačném pořadí, vidíme, že nezachování hmoty je běžný jev: když se nestabilní elementární částice samovolně rozpadne na dvě lehčí částice, celková energie se zachová, ale hmotnost nikoli. Část hmoty se přemění na kinetickou energii. [19] :134–138

Volba referenčních rámců

Svoboda výběru libovolného referenčního systému pro analýzu vám umožňuje vybrat si ten, který vám bude vyhovovat. Pro analýzu problémů hybnosti a energie je obvykle nejvhodnější vztažnou soustavou „ soustava těžiště “ (také nazývaná soustava nulové hybnosti nebo CCM). Jedná se o systém, ve kterém je prostorová složka celkové hybnosti systému nulová. Obr. 3-11 ilustruje rozpad vysokorychlostní částice na dvě dceřiné částice. V laboratorním systému jsou dětské částice výhodně emitovány ve směru orientovaném podél dráhy mateřské částice. V systému CCM jsou však dvě dceřiné částice emitovány v opačných směrech, ačkoli jejich hmotnosti a rychlosti nejsou stejné.

Zachování energie a hybnosti

V newtonovské analýze interagujících částic je transformace mezi systémy jednoduchá, protože vše, co je potřeba, je aplikovat Galileovu transformaci na všechny rychlosti. Protože v́ = v − u , pak hybnost ṕ = p − mu . Pokud je celková hybnost interagujícího systému částic zachována v jednom systému, bude zachování také pozorováno v jakémkoli jiném systému. [19] :241–245

Zachování hybnosti v systému CCM tvoří požadavek, aby p = 0 před i po srážce. V newtonovské analýze zachování hmoty vyžaduje, aby m = m 1 + m 2 . Ve zjednodušených jednorozměrných scénářích, které jsme uvažovali, je zapotřebí pouze jedno dodatečné omezení, než bude možné určit výstupní hybnost částic - energetický stav. V jednorozměrném případě plně elastické srážky bez ztráty kinetické energie budou rychlosti částic po srážce v systému CCM přesně stejné a opačného směru. V případě zcela nepružné srážky s totální ztrátou kinetické energie budou rychlosti částic po srážce nulové. [19] :241–245

Newtonovská hybnost vypočítaná jako p = mv se při Lorentzově transformaci nemůže chovat správně. Lineární transformace rychlosti v´ = v − u je nahrazena vysoce nelineární transformací v´ = (v − u)/(1 − vu/c 2 ) , takže výpočet demonstrující zachování hybnosti v jedné vztažné soustavě bude v jiných referenčních rámcích neplatné. Einstein stál před volbou buď opustit zachování hybnosti, nebo změnit definici hybnosti. Jak jsme viděli v předchozí části, zvolil druhou možnost a zavedl čtyřimpuls . [17] : 104

Relativistický zákon zachování energie a hybnosti nahrazuje tři klasické zákony zachování energie, hybnosti a hmotnosti. Hmota se již nezachovává, protože je zahrnuta do celkové relativistické energie. Díky tomu je relativistické zachování energie jednodušší než v nerelativistické mechanice, protože celková energie je zachována bez jakéhokoli upřesnění. Kinetická energie přeměněná na teplo nebo vnitřní potenciální energii se projevuje jako nárůst hmoty. [19] :127

Příklad: Vzhledem k ekvivalenci hmotnosti a energie se hmotnosti elementárních částic obvykle uvádějí v energetických jednotkách, kde 1 MeV = 1 × 10 6 elektronvoltů. Nabitý pion je částice o hmotnosti 139,57 MeV (asi 273krát větší než hmotnost elektronu). Je nestabilní a rozpadá se na mion o hmotnosti 105,66 MeV (asi 207násobek hmotnosti elektronu) a antineutrino, které má zanedbatelnou hmotnost. Rozdíl mezi hmotností pionu a hmotností mionu je 33,91 MeV.

π−
→ μ−
+ vμ

Na Obr. 3-12a ukazuje diagram energie-hybnost pro tuto rozpadovou reakci v rámu odpočinku pionu. Kvůli jejich zanedbatelné hmotnosti se neutrina šíří téměř rychlostí světla. Relativistický výraz pro jeho energii, stejně jako pro foton, je E ν = pc , , což je také hodnota prostorové složky jeho hybnosti. Pro zachování hybnosti má mion stejnou hodnotu složky prostorové hybnosti neutrina, ale v opačném směru.

Algebraické výpočty rozpadové energie této reakce jsou dostupné na internetu, [24] , takže Obr. 3-12b. Energie neutrin je 29,79 MeV a energie mionu je 33,91 - 29,79 = 4,12 MeV. Většinu energie odnesou neutrina téměř nulové hmotnosti.

Kromě základů

Témata v této části jsou matematicky složitější než témata v předchozích částech a nejsou nezbytná pro pochopení Úvodu do zakřiveného prostoročasu.

Rychlost

Lorentzovy transformace spojují souřadnice událostí v jedné vztažné soustavě se souřadnicemi v jiné vztažné soustavě. Pro sčítání dvou rychlostí se používá relativistický zákon sčítání rychlostí, jehož vzorce jsou nelineární, což jej činí složitějším než odpovídající Galileův zákon.

Tato nelinearita je artefaktem našeho výběru parametrů. [7] : 47-59 Již dříve jsme si všimli, že v časoprostorovém diagramu x–ct tvoří body konstantního intervalu od počátku invariantní hyperbolu. Také jsme si všimli, že souřadnicové systémy dvou časoprostorových referenčních systémů ve standardní konfiguraci jsou vůči sobě hyperbolicky pootočeny.

Přirozené funkce pro vyjádření těchto vztahů jsou hyperbolické analogy goniometrických funkcí . Na Obr. 4-1a ukazuje jednotkovou kružnici se sin ( a ) a cos ( a ), jediný rozdíl mezi tímto diagramem a známou jednotkovou kružnicí elementární trigonometrie je v tom, že a není interpretováno jako úhel mezi paprskem a osou x , ale jako dvojnásobná plocha sektoru, zametená paprskem z osy x . (Číselně jsou úhel a 2 × plocha jednotkového kruhu stejné.) 4-1b ukazuje jednotkovou hyperbolus sinh( a ) a cosh( a ), kde a je také interpretováno jako dvakrát barevná oblast. [25] Na Obr. 4-2 jsou grafy funkcí sinh, cosh a tanh.

Pro jednotkovou kružnici je sklon paprsku dán vztahem

{\text{slope}}=\tan a={\frac {\sin a}{\cos a)).

V pravoúhlém souřadnicovém systému je natočení bodu ( x, y ) k bodu ( x‚, ý ) pod úhlem θ dáno vztahem

{\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \ theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}.

V časoprostorovém diagramu je parametr rychlosti analogický se sklonem (sklonem). Rychlost φ je definována jako [19] :96–99 $\beta$

\beta \equiv \tanh \phi \equiv {\frac {v}{c)),

kde

\tanh \phi ={\frac {\sinh \phi }{\cosh \phi }}={\frac {e^{\phi }-e^{-\phi }}{e^{\phi }+e^{-\phi }}}.

Výše definovaná rychlost je velmi užitečná ve speciální teorii relativity, protože mnoho výrazů nabývá zjednodušené formy vyjádřené v jejích termínech. Například rychlost je jednoduše aditivní ve vzorci pro sčítání kolineární rychlosti [7] :47–59

\beta ={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}=

{\frac {\tanh \phi _{1}+\tanh \phi _{2}}{1+\tanh \phi _{1}\tanh \phi _{2}}}=

\tanh(\phi _{1}+\phi _{2}),

nebo jinými slovy, $\phi =\phi _{1}+\phi _{2}.$

Lorentzovy transformace nabývají jednoduché podoby, když jsou vyjádřeny v termínech rychlosti. Faktor γ lze zapsat jako

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2))))={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\phi )) }

=\cosh \phi ,

\gamma \beta ={\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2))))={\frac {\tanh \phi }{\sqrt {1-\tanh ^{ 2}\phi }}}

=\sinh \phi .

Transformace, které popisují relativní pohyb s rovnoměrnou rychlostí a bez rotace prostorových souřadnicových os, se nazývají zesílení .

Dosazením γ a γβ do transformací, které byly zavedeny dříve a přepsány do maticové formy, lze Lorentzovu podporu ve směru x zapsat jako

{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi \\-\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}},

a reverzní Lorentzovo zesílení ve směru x lze zapsat jako

{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &\sinh \phi \\\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix }}{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}.

Jinými slovy, Lorentzova podpora představuje hyperbolickou rotaci v Minkowského časoprostoru. [19] :96–99

Výhody použití hyperbolických funkcí jsou takové, že některé učebnice, jako je klasická Taylor a Wheeler, zavádějí jejich použití ve velmi rané fázi [7] [26] [pozn.

4-vektory

4-vektory byly zmíněny výše v souvislosti se 4-vektorovou energetickou hybností. Celkově je žádný ze základních závěrů speciální teorie relativity nevyžaduje. Ale jakmile to pochopíme, pojem 4-vektoru a obecnější pojem tenzoru značně zjednodušují matematiku a konceptuální chápání speciální teorie relativity. Zacházení výhradně s takovými objekty vede ke vzorcům, které jsou jasně relativisticky invariantní, což je v netriviálních kontextech značná výhoda. Například demonstrovat relativistickou invarianci Maxwellových rovnic v jejich obvyklé podobě není triviální a použití tenzoru elektromagnetického pole z nich udělá jen rutinní výpočet. Na druhou stranu obecná teorie relativity se od samého počátku opírá především o 4-vektory a tenzory reprezentující fyzikálně relevantní entity. Propojení těchto rovnic s rovnicemi, které nezávisí na konkrétních souřadnicích, vyžaduje tenzory schopné propojit takové 4-vektory i v zakřiveném časoprostoru, a to nejen v plochém , jako je tomu ve speciální relativitě. Studium tenzorů je nad rámec tohoto článku, který poskytuje pouze základní diskusi o časoprostoru.

Definice 4-vektoru

Množina čtyř čísel A = (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) se nazývá „4-vektor“, pokud jsou tyto složky A i transformovány mezi referenčními systémy podle Lorentzových transformací. Při použití (ct, x, y, z) souřadnic je A 4 -vektorový , pokud A transformuje (ve směru x ) podle

{\begin{aligned}A_{0}'&=\gamma \left(A_{0}-(v/c)A_{1}\right)\\A_{1}'&=\gamma \ vlevo(A_{1}-(v/c)A_{0}\vpravo)\\A_{2}'&=A_{2}\\A_{3}'&=A_{3}\end{aligned} }

který je tvořen jednoduchým nahrazením ct za A 0 a x za A 1 v dřívější verzi Lorentzových transformací.

Jako obvykle, když píšeme x , t atd., obvykle máme na mysli Δx , Δt atd.

Poslední tři složky 4-vektoru musí být standardní vektor ve 3D prostoru. Proto se 4-vektor musí transformovat jako (c Δt, Δx, Δy, Δz) při Lorentzových transformacích a během rotace. [13] :36–59

Vlastnosti 4-vektorů

Uzavřená lineární kombinace: Jestliže A a B jsou 4-vektorové , pak C = aA + aB je také 4-vektorové .
Invariance bodového součinu : Jsou -li A a B 4-vektorové , pak je jejich bodový součin invariantní, to znamená, že nezávisí na referenční soustavě, ve které se počítá. Všimněte si, jak se liší výpočet bodového součinu od výpočtu bodového součinu 3-vektoru . Předpokládejme, že a jsou 3-vektorové : $\vec{A}$ ${\vec {B}}$

A\cdot B\equiv

A_{0}B_{0}-A_{1}B_{1}-A_{2}B_{2}-A_{3}B_{3}\equiv

A_{0}B_{0}-{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}

Kromě invariance Lorentzovy transformace je tečkový součin výše také invariantní při rotaci ve 3-prostoru . O dvou vektorech se říká , že jsou ortogonální , pokud na rozdíl od případu 3 vektorů nejsou ortogonální 4 vektory nutně navzájem kolmé. Dva 4-vektory jsou ortogonální, pokud jsou posunuty o stejné a opačné úhly od linie 45°, což je světová linie světelného paprsku. To znamená, že 4-vektor podobný světlu je sám k sobě ortogonální .

A\cdot B=0.

Invariance velikosti vektoru: Velikost vektoru je skalárním součinem 4-vektoru sama se sebou a je to vlastnost nezávislá na snímku. Stejně jako u intervalů může být velikost kladná, záporná nebo nulová, takže vektory se nazývají časové, prostorové nebo světelné. Všimněte si, že vektor podobný světlu se neshoduje s nulovým vektorem. Světelný vektor je ten, pro který je , a nulový vektor je ten, jehož složky se rovnají nule. Speciální případy ilustrující invariantnost normy zahrnují invariantní interval a invariantní délku vektoru relativistické hybnosti [19] :178–181 [13] :36–59 $A\cdot A=0,$ ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2))$ $E^{2}-p^{2}c^{2}.$

Příklady 4-vektorů

4-vektorové posunutí: Nazývá se také dělení časoprostoru , je to ( Δt, Δx, Δy, Δz ), nebo pro infinitezimály ( dt, dx, dy, dz ) .

dS\equiv (dt,dx,dy,dz)

4-vektor rychlosti: Tento vektor se získá vydělením 4-vektoru posunutí číslem , kde je správný čas mezi dvěma událostmi, které jsou odděleny dt, dx, dy a dz . $d\tau$ $d\tau$

V\equiv {\frac {dS}{d\tau }}={\frac {(dt,dx,dy,dz)}{dt/\gamma }}=

\gamma \left(1,{\frac {dx}{dt)),{\frac {dy}{dt)),{\frac {dz}{dt))\right)=

(\gamma ,\gamma {\vec {v)))

4-rychlostní vektor se dotýká světové linie částice a má délku rovnou jedné časové jednotce v referenční soustavě částice. Urychlená částice nemá inerciální vztažnou soustavu, ve které je vždy v klidu. Nicméně, jak bylo uvedeno dříve v dřívější diskusi o příčném Dopplerově jevu , je vždy možné najít inerciální vztažnou soustavu, která okamžitě doprovází částici. Takto okamžitě se pohybující inerciální referenční soustava (ICFR) umožňuje aplikovat speciální teorii relativity na analýzu urychlených částic. Protože se fotony pohybují po liniích podobných světlu, nelze pro ně určit ani 4-rychlost . Neexistuje žádný referenční rámec, ve kterém je foton v klidu, a podél dráhy fotonu není možné najít ISFR.

d\tau=0

Vektor 4-energie-hybnost: Jak je uvedeno v odstavci Energie a hybnost ,

P\equiv (E/c,{\vec {p)))=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})

Jak bylo uvedeno dříve, existují různé způsoby, jak znázornit 4-vektorovou energetickou hybnost. Lze ji vyjádřit buď jako První složka je celková energie (včetně hmotnosti) částice (nebo systému částic) v dané vztažné soustavě a zbývající složky jsou její prostorová hybnost. Vektor 4-energie-hybnosti je konzervovaná veličina.

(E,{\vec {p)))

(E,{\vec {p}}c).

4-vektorové zrychlení: Toto je výsledek odvození 4-vektorové rychlosti s ohledem na $\tau .$

A\equiv {\frac {dV}{d\tau }}=

{\frac {d}{d\tau ))(\gamma ,\gamma {\vec {v)))=

\gamma \left({\frac {d\gamma }{dt)),{\frac {d(\gamma {\vec {v)))}{dt))\right)

'4-vektor síly:' Toto je derivace 4-vektoru hybnosti vzhledem k $\tau .$

F\equiv {\frac {dP}{d\tau }}=

\gamma \left({\frac {dE}{dt)),{\frac {d{\vec {p))}{dt))\right)=

\gamma \left({\frac {dE}{dt)),{\vec {f))\right)

Jak se dalo očekávat, konečné složky výše uvedených 4-vektorů jsou standardní 3-vektory odpovídající prostorové 3-hybnosti , 3-síle atd. [19] :178–181 [13] :36–59

4-vektory a fyzikální zákony

První postulát speciální teorie relativity deklaruje ekvivalenci všech inerciálních vztažných soustav. Fyzikální zákon, který funguje v jedné vztažné soustavě, musí nadále fungovat ve všech vztažných soustavách, protože jinak bychom mohli tyto vztažné soustavy rozlišovat. Jak bylo uvedeno v předchozí diskuzi o zachování energie a hybnosti , newtonovská hybnost se při Lorentzově transformaci nemůže chovat správně a Einstein se rozhodl změnit definici hybnosti na takovou, která se vztahuje ke 4-vektorům , spíše než opustit zachování hybnosti.

Fyzikální zákony musí být založeny na strukturách, které jsou nezávislé na vztažných soustavách. To znamená, že fyzikální zákony mohou mít podobu rovnic týkajících se skalárů, které jsou vždy nezávislé na vztažných soustavách. Avšak rovnice obsahující 4-vektory vyžadují použití tenzorů vhodné úrovně, které lze samy považovat za sestavené ze 4-vektorů . [19] :186

Zrychlení

Společný[ kdo? ] mylná představa je, že speciální teorie relativity je použitelná pouze pro inerciální vztažné soustavy a že není schopna pracovat se zrychlujícími se objekty nebo zrychlenými vztažnými soustavami. Akcelerující objekty lze obvykle analyzovat, aniž bychom se museli zabývat zrychlenými snímky. Obecná teorie relativity je vyžadována pouze pro silná gravitační pole. [27]

Správná práce se zrychlenými vztažnými soustavami však vyžaduje určitou opatrnost. Rozdíl mezi speciální a obecnou relativitou je v tom, že (1) Ve speciální relativitě jsou všechny rychlosti relativní, ale zrychlení je absolutní. (2) V obecné teorii relativity jsou všechny typy pohybu relativní, inerciální, zrychlené a rotace. K vysvětlení tohoto rozdílu používá obecná teorie relativity zakřivený časoprostor. [27]

V této části budeme analyzovat několik scénářů souvisejících se zrychlenými referenčními soustavami.

Bellův paradox

Bell Spaceship Paradox je dobrým příkladem problému, kde intuitivní uvažování, které není spojeno s geometrickým chápáním časoprostorového přístupu, může vést k problémům.

Na obr. 4-4 visí dvě identické kosmické lodě v prostoru a jsou vůči sobě v klidu. Jsou spojeny lanem, které má limit na natažení před přetržením. V tuto chvíli, v naší vztažné soustavě, v rámci pozorovatele, obě kosmické lodě zrychlují stejným směrem podél čáry mezi nimi se stejným vlastním konstantním zrychlením [pozn. 4] Otázkou je, přetrhne se lano?

Hlavní článek říká, že když byl paradox nový a špatně pochopený, i profesionální fyzici měli potíže s nalezením řešení. Tyto dva směry uvažování vedou k opačným závěrům. Existují dva argumenty, které jsou uvedeny níže, jeden z nich je nesprávný, přestože dává správnou odpověď. [19] :106,120–122

Pro pozorovatele v záběru v klidu se kosmické lodě začnou pohybovat se vzdáleností L mezi nimi a zůstávají ve stejné vzdálenosti od sebe během zrychlení. Během zrychlování je L zkrácená délka z délky Ĺ = γL v systémech urychlujících kosmických lodí. Po dostatečně dlouhé době se γ zvětší natolik, že by se lano mělo přetrhnout.
Nechť A a B jsou zadní a přední vesmírné lodě. V referenčních snímcích kosmické lodi každá kosmická loď vidí druhou kosmickou loď dělat totéž, co dělá. A říká, že B má stejné zrychlení jako on, a B vidí, že A kopíruje každý jeho pohyb. Vesmírné lodě tak zůstávají ve stejné vzdálenosti od sebe a lano zůstává neporušené. [19] :106,120–122

Problém s prvním vysvětlením je, že neexistuje žádný referenční rámec kosmické lodi . To nemůže být, protože obě kosmické lodě měří rostoucí vzdálenost mezi nimi. Vzhledem k tomu, že neexistuje jediný referenční systém pro kosmické lodě, není délka lana definována. Závěr je však správný a vysvětlení většinou správné. Ale druhé vysvětlení zcela ignoruje relativitu simultánnosti. [19] :106,120–122

Řešení tohoto paradoxu je zřejmé, pokud použijeme časoprostorový diagram (obr. 4-5). Dva pozorovatelé v Minkowského prostoročasu zrychlují s konstantním množstvím zrychlení ve správném čase (zrychlení a uplynulý čas jsou měřeny samotnými pozorovateli, nikoli vnějším inerciálním pozorovatelem). Před a po zrychlovací fázi se pohybují a jsou inerciální. Jak Bell poznamenal, v geometrii Minkowského se délka prostorově podobného segmentu A ′ B ″ " ukazuje být větší než délka prostorového segmentu AB . $k$ $\sigma$

Nárůst délky lze vypočítat pomocí Lorentzovy transformace. Pokud, jak je znázorněno na Obr. 4-5, zrychlení je u konce, lodě zůstanou s konstantním posunem v nějaké vztažné soustavě . Pokud a jsou pozice lodí v této poloze v referenční soustavě : [28] $S'.$ $x_{A}$ $x_{B}=x_{A}+L$ $S,$ $S'$

{\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A} +L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}=\gamma L\end{aligned}}

"Paradox" pochází z toho, jak Bell vybudoval svůj příklad. V obvyklé diskusi o Lorentzových kontrakcích je pravítko v klidu fixní, zatímco pohybující se pravítko je redukováno na měření v referenčním rámci . Jak je znázorněno na obrázku 4-4, Bellův příklad zavádí pohyblivé délky a měřené v referenční soustavě jako pevné, čímž se zvětšuje klidová délka v referenční soustavě . $S$ $AB$ $A'B'$ $S$ $A'B''$ $S'$

Zrychlený pozorovatel s horizontem

Některé speciální problémy v teorii relativity mohou vést k pochopení věcí obvykle spojených s obecnou relativitou. Jedná se například o horizont událostí . V doprovodném textu Obr. 2-7 v sekci invariantní hyperboly jsme si všimli, že purpurové hyperboly představují skutečné cesty, kterými cestuje neustále se zrychlující cestovatel v časoprostoru. Během období kladného zrychlení se rychlost pohybu blíží rychlosti světla, zatímco v našem referenčním rámci cestovatelovo zrychlení neustále klesá.

Obrázky 4-6 podrobně popisují různé rysy pohybů cestovatele. V každém okamžiku je jeho prostorová osa tvořena přímkou procházející počátkem a jeho aktuální polohou na hyperbole a jeho časová osa je tečnou k hyperbole v jejím místě. Parametr rychlosti se blíží v mezích jednoty jako . Stejně tak se blíží k nekonečnu. $\beta$ $ct$ $\gamma$

Tvar invariantní hyperboly odpovídá dráze konstantního správného zrychlení. To lze ukázat takto:

Víme, že $\beta =ct/x.$
Protože jsme dospěli k závěru, že $c^{2}t^{2}-x^{2}=s^{2},$ $\beta (ct)=ct/{\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2))}.$
$\gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2))}=$ ${\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2))}/s$
Z pohledu relativistického zákona síly $F=dp/dt=$ $dpc/d(ct)=d(\beta \gamma mc^{2})/d(ct).$
Dosazením z kroku 2 a výrazu z kroku 3 dostaneme , což je konstantní výraz. [17] :110–113 $\beta (ct)$ $\gamma$ $F=mc^{2}/s,$

Obrázek 4-6 znázorňuje konkrétní návrhový scénář. Terence (A) a Stella (B) zpočátku stojí spolu 100 světelných hodin od počátku. Stella startuje v čase 0, její vesmírná loď zrychluje rychlostí 0,01 s za hodinu. Každých dvacet hodin hlásí Terence Stelle do rádia o situaci doma (plné zelené čáry). Stella přijímá tato pravidelná vysílání, ale zvyšující se vzdálenost (částečně kompenzovaná dilatací času) způsobuje, že Terenceovy zprávy dostává později a později podle svých hodin a nikdy nepřijímá žádné zprávy od Terence po 100 hodinách na jeho hodinách (přerušované zelené čáry) . [17] :110–113

Po 100 hodinách, podle Terenceových hodin, Stella vstoupí do temné oblasti. Cestovala mimo Terencovu časovou budoucnost. Na druhou stranu Terence může i nadále dostávat Stelliny zprávy donekonečna. Jen musí dost dlouho čekat. Časoprostor byl rozdělen do samostatných oblastí zjevným horizontem událostí. Dokud Stella pokračuje ve zrychlování, nemůže zjistit, co se děje za tímto horizontem [17] :110–113

Úvod do zakřiveného časoprostoru

Základy

Newtonovy teorie předpokládaly, že pohyb se odehrává na pozadí tuhé euklidovské vztažné soustavy, která se šíří celým prostorem a v každé době. Gravitaci zprostředkovává tajemná síla působící okamžitě na dálku, jejíž působení nezávisí na meziprostoru. [poznámka 5] Einstein popřel, že by v pozadí existovala nějaká euklidovská vztažná soustava, která se šíří vesmírem. Stejně jako neexistuje nic takového jako gravitace, pouze struktura samotného časoprostoru. [7] :175–190

V časoprostoru není dráha družice obíhající kolem Země diktována vzdálenými vlivy Země, Měsíce a Slunce. Místo toho se satelit pohybuje ve vesmíru pouze pod vlivem místních podmínek. Protože časoprostor je při pohledu v dostatečně malém měřítku všude lokálně plochý, satelit vždy sleduje přímku ve své lokální inerciální vztažné soustavě. Říkáme, že satelit vždy sleduje dráhu geodetika. Gravitaci nelze nalézt vedle pohybů pouze jedné částice. [7] :175–190

V jakékoli analýze časoprostoru vyžaduje dokazování gravitace pozorování relativních zrychlení dvou těles nebo dvou samostatných částic. Na Obr. Na obrázku 5-1 dvě oddělené částice volně padající v gravitačním poli Země vykazují slapová zrychlení v důsledku místních nehomogenit v gravitačním poli, takže každá částice prochází prostoročasem jinou cestou. Slapová zrychlení, která tyto částice vůči sobě vykazují, nevyžadují k jejich vysvětlení síly. Einstein je spíše popsal z hlediska geometrie časoprostoru, tedy zakřivení časoprostoru. Tato přílivová zrychlení jsou přísně lokální. Jedná se o kumulativní celkový efekt mnoha lokálních projevů zakřivení, jejichž výsledkem je gravitační síla působící ve velké vzdálenosti od Země. [7] :175–190

Obecná teorie relativity je založena na dvou hlavních ustanoveních.

První důležitý koncept je souřadnicová nezávislost: fyzikální zákony nemohou záviset na tom, který souřadnicový systém použít. Jde o důležité rozšíření principu relativity z verze používané ve speciální relativitě, která říká, že fyzikální zákony musí být stejné pro každého pozorovatele pohybujícího se v nezrychlených (inerciálních) vztažných soustavách. V obecné relativitě, abychom použili Einsteinova vlastní (přeložená) slova, „fyzikální zákony musí být takové povahy, aby se vztahovaly na vztažné soustavy při jakémkoli druhu pohybu“. [29] :113 To vede k problému: ve zrychlených vztažných soustavách působí síla, která nám umožní detekovat přítomnost zrychlení v absolutním smyslu. Einstein tento problém vyřešil principem ekvivalence. [30] :137–149
Princip ekvivalence říká, že v žádné dostatečně malé oblasti prostoru se účinky gravitace neliší od zrychlení.

Na obrázku 5-2 je osoba A ve vesmírné lodi, daleko od jakýchkoli masivních objektů, která je vystavena rovnoměrnému zrychlení g . Osoba B je v krabici spočívající na Zemi. Za předpokladu, že kosmická loď je dostatečně malá, že slapové efekty nejsou měřitelné (vzhledem k citlivosti gravitačního přístroje by A a B byly pravděpodobně trpaslíci ), neexistují žádné experimenty, které by mohly provést A a B, které by jim umožnily určit, kde se nacházejí. [30] :141–149 Alternativní formulace principu ekvivalence je taková, že v Newtonově univerzálním gravitačním zákoně F = GMm g /r 2 = m g g a ve druhém Newtonově zákoně F = m i a neexistuje žádný apriorní důvod, proč by gravitační hmotnost m g měla být rovna setrvačné hmotnosti m i . Princip ekvivalence říká, že obě hmoty jsou totožné. [30] :141–149

Přechod od elementárního popisu zakřiveného časoprostoru výše ke kompletnímu popisu gravitace vyžaduje tenzorový počet a diferenciální geometrii, které vyžadují seriózní studium. Bez těchto matematických nástrojů lze psát o obecné relativitě, ale nelze demonstrovat nějaké netriviální závěry.

Namísto snahy nabídnout (ještě jiný) relativně nematematický pohled na obecnou relativitu je čtenář vyzván, aby si přešel na již publikované články Úvod do obecné relativitya Obecná teorie relativity .

V této části se zaměříme na studium několika základních případů, které slouží jako povrchní úvod do obecné teorie relativity.

Zakřivení času

V diskuzi o speciální teorii relativity hrály síly sekundární roli. Speciální teorie relativity předpokládá možnost nastavení inerciálních vztažných soustav, které vyplňují celý časoprostor, a jejichž všechny hodiny běží stejným tempem jako hodiny v počátku. Je to opravdu možné? V nehomogenním gravitačním poli experiment říká ne. Gravitační pole neumožňují vybudovat globální inerciální vztažnou soustavu. V dostatečně malých oblastech časoprostoru jsou stále možné lokální inerciální vztažné soustavy . Obecná teorie relativity zahrnuje systematické sešívání těchto lokálních referenčních rámců do většího obrazu časoprostoru. [13] :118–126

Krátce po zveřejnění obecné teorie relativity v roce 1916 řada vědců poukázala na to, že obecná teorie relativity předpověděla existenci gravitačního rudého posuvu. Sám Einstein navrhl následující myšlenkový experiment : (i) Předpokládejme, že byla postavena věž o výšce h (obrázek 5-3). (ii) Hoďte částici s klidovou hmotností m z vrcholu věže. Volně padá se zrychlením g , k zemi dopadá rychlostí v = (2 gh ) 1/2 , jeho celková energie E , měřená pozorovatelem na zemi, je rovna m + ½ mv 2 / c 2 = m + mgh/ c2 . (iii) Konvertor hmoty a energie přeměňuje celkovou energii částice na jeden vysokoenergetický foton, který vystřeluje vzhůru. (iv) Na vrcholu věže převádí konvertor energie-hmotnost energii fotonu É zpět na částici klidové hmotnosti ḿ . [13] :118–126

Výsledek musí být m = ḿ , jinak by mohl být sestrojen perpetum mobile . Proto předpovídáme, že É = m , takže

{\frac {E'}{E}}={\frac {h\nu \,'}{h\nu }}=

{\frac {m}{m+mgh/c^{2))}=

{\displaystyle 1-{\frac {gh}{c^{2))))

Při stoupání v gravitačním poli Země ztrácí foton energii a dostává rudý posuv. První pokusy změřit tento rudý posuv pomocí astronomických pozorování byly poněkud neprůkazné, ale finální laboratorní pozorování byla provedena v experimentu Pounda a Rebky (1959) a později Pounda a Schneidera (1964). [31]

Světlo má odpovídající frekvenci a tuto frekvenci lze použít k ovládání hodin. Gravitační rudý posuv vede k důležitému závěru o čase: gravitace zpomaluje čas. Předpokládejme, že sestrojíme dvě identické hodiny, jejichž rychlost je řízena nějakým stabilním atomovým přechodem. Umístíme jedny hodiny na vrchol věže, zatímco druhé necháme na zemi. Experimentátor na vrcholu věže registruje signály z pozemních hodin jako mající nižší frekvenci než signály z hodin vedle něj na věži. Světlo stoupající do věže je jen vlna a je nemožné, aby hřebeny vln zmizely na cestě nahoru. Počet oscilací světla vstupujících do horní části věže se rovná počtu emitovaných ve spodní části. Experimentátor dochází k závěru, že pozemní hodiny jsou pomalejší, a to lze potvrdit sklopením hodin z věže, aby se porovnaly vedle pozemních hodin. [10] :16-18 U věže o délce 1 km by rozdíl činil asi 9,4 nanosekundy za den, což lze snadno změřit moderními přístroji.

Hodiny v gravitačním poli neběží stejnou rychlostí. Experimenty, jako je experiment Pound-Rebka, s jistotou prokázaly zakřivení časové složky časoprostoru. Experiment Pound-Rebka neříká nic o zakřivení prostorové složky časoprostoru. Všimněte si ale, že teoretické argumenty předpovídající gravitační dilataci času vůbec nezávisí na argumentech obecné teorie relativity. Jakákoli teorie gravitace bude předpovídat gravitační dilataci času, pokud bude respektovat princip ekvivalence. [10] :16 Včetně newtonovské gravitace. V obecné relativitě lze snadno ukázat, že v Newtonově limitě (tj. když se částice pohybují pomalu, gravitační pole je slabé a statické), zakřivení jednoho času stačí k získání Newtonova gravitačního zákona. [32] :101–106

Newtonovská gravitace je teorie zakřiveného času. Obecná teorie relativity je teorie zakřiveného času a zakřiveného prostoru. Za předpokladu , že G jako gravitační konstanta, M jako hmotnost Newtonovy hvězdy a obíhající tělesa se zanedbatelnou hmotností ve vzdálenosti r od hvězdy, je v časoprostorovém intervalu pro newtonovskou gravitaci proměnný pouze časový faktor: [10] : 229-232

\Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}

{\displaystyle}

{\displaystyle -\,(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2))

Zakřivení prostoru

Koeficient výše popisuje zakřivení času v newtonovské gravitaci a toto zakřivení plně odpovídá za všechny newtonovské gravitační efekty. Jak se očekávalo, tento korekční faktor je přímo úměrný a a díky jmenovateli se korekční faktor zvyšuje, když se přibližujete ke gravitujícímu tělesu, což znamená časovou deformaci. $(1-2GM/(c^{2}r))$ ${\displaystyle (c\Delta t)^{2))$ $G$ $M$ $r$

Obecná teorie relativity je však teorií zakřiveného prostoru a zakřiveného času, takže pokud existují pojmy, které mění prostorové složky výše uvedeného časoprostorového intervalu, neměly by být účinky na oběžné dráhy planet a satelitů považovány za výsledek zakřivení? koeficienty prostorových členů?

Odpověď je, že jsou viditelné , ale účinky jsou nepatrné. Důvodem je, že rychlosti planet jsou extrémně malé ve srovnání s rychlostí světla, takže pro planety a satelity sluneční soustavy se tento termín překrývá s vesmírnými pojmy. [10] :234-238 ${\displaystyle (c\Delta t)^{2))$

Navzdory maličkosti vesmírných pojmů byly první známky toho, že něco není v pořádku s newtonovskou gravitací, objeveny již před stoletím a půl. V roce 1859 Urbain Le Verrier v analýze dostupných časových pozorování posunů Merkuru nad slunečním diskem v letech 1697 až 1848 uvedl, že známá fyzika nemůže vysvětlit oběžnou dráhu Merkuru, kromě toho, že připustila existenci jiného. planeta nebo pás asteroidů na oběžné dráze Merkuru. Perihelium oběžné dráhy Merkuru ukázalo přítomnost nadměrné precesní rychlosti ve srovnání s tím, co lze vysvětlit vlivem jiných planet. [33] Schopnost detekovat a přesně měřit minutovou hodnotu této anomální precese (pouze 43 obloukových sekund za tropický rok ) je důkazem velké přesnosti astrometrie 19. století .

Stejně jako slavný astronom, který kdysi objevil existenci Neptunu „na špičce pera“ analýzou oscilací na oběžné dráze Uranu, Le Verrierovo oznámení vyvolalo dvouleté období „Vulcanománie“, kdy profesionální a amatérští astronomové hledali hypotetický nová planeta. Toto hledání zahrnovalo několik falešných pozorování Vulcanu. Nakonec se zjistilo, že žádná planeta ani pás asteroidů neexistuje. [34]

V roce 1916 Einstein konečně ukázal, že tato anomální precese Merkuru byla vysvětlena prostorovými pojmy v zakřivení časoprostoru. Zakřivení v časovém členu, které je pouze vyjádřením newtonovské gravitace, nemá nic společného s vysvětlením této anomální precese. Úspěch jeho výpočtu byl silným znamením pro Einsteinovy vrstevníky, že obecná teorie relativity může být správná.

Nejpůsobivější z Einsteinových předpovědí byl výpočet, že členy zakřivení v prostorových složkách časoprostorového intervalu lze měřit ohybem světla kolem masivního tělesa. Světlo má na časoprostorovém diagramu sklon ±1. Jeho pohyb v prostoru se rovná jeho pohybu v čase. Pro vyjádření slabého pole invariantního intervalu vypočítal Einstein přesně stejné, ale opačné znaménkové zakřivení v prostorových složkách. [10] :234–238

\Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}

-\,\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2 }+(\Delta z)^{2}\right]

V newtonovské gravitaci koeficient předpovídá ohyb světla kolem hvězdy . V obecné relativitě koeficient před předpovídá dvakrát větší ohyb. [10] :234–238 $(1-2GM/(c^{2}r))$ ${\displaystyle (c\Delta t)^{2))$ $(1+2GM/(c^{2}r))$ $\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]$

Historii Eddingtonova pozorování z roku 1919 a Einsteinova zatmění lze studovat v dalším zdroji. [35]

Zdroje zakřivení časoprostoru

Podle Newtonova zákona univerzální gravitace je jediným zdrojem gravitační síly hmotnost .

Obecná teorie relativity ukazuje kromě hmotnosti na několik zdrojů zakřivení časoprostoru. V Einsteinových rovnicích pole jsou zdroje gravitace reprezentovány na pravé straně v tenzoru energie-hybnosti . $T_{\mu \nu },$

Na Obr. 5-5 jsou různé zdroje gravitace klasifikovány v tenzoru energie napětí:

$T^{00}$ (červená): celková hmotnostní hustota, včetně všech příspěvků k potenciální energii sil mezi částicemi, stejně jako kinetická energie z náhodných tepelných pohybů.
${\displaystyle T^{0i))$ a (oranžová): Toto jsou faktory hustoty pulzu. I když nedochází k žádnému pohybu hmot, energie může být přenášena tepelným vedením a energie vedení bude mít hybnost. ${\displaystyle T^{i0))$
${\displaystyle T^{ij))$ — rychlost proudění i - složky impulsu na jednotku plochy ve směru J. I když nedochází k žádnému pohybu hmoty, náhodné tepelné pohyby částic povedou k impulzivnímu proudění, takže složky i = j (zelená) představují izotropní tlak a složky i ≠ j (modrá) představují smyková napětí. [36]

Jeden důležitý závěr lze vyvodit z rovnic, které lze v hovorovém jazyce nazvat, jak gravitace sama vytváří gravitaci . [poznámka 6] Energie má hmotnost. I v newtonovské gravitaci je gravitační pole spojeno s energií E = mgh , zvanou gravitační potenciální energie . V obecné teorii relativity se energie gravitačního pole vrací k vytvoření gravitačního pole. Díky tomu jsou rovnice nelineární a obtížně řešitelné ve všech případech kromě případu slabého pole. [10] :240 Numerická relativita je odvětví obecné relativity a používá numerické metody podporované superpočítačem ke studiu černých děr , gravitačních vln , neutronových hvězd a dalších jevů se silnými poli.

Energie-hybnost

Ve speciální teorii relativity je hmotnostní energie úzce spjata s hybností . Jak jsme diskutovali dříve v sekci Energie a hybnost , stejně jako prostor a čas jsou různé aspekty komplexnější entity zvané časoprostor, hmota-energie a hybnost jsou jen různé aspekty jediné, čtyřrozměrné veličiny zvané čtyřhybnost . Pokud je tedy zdrojem gravitace hmota-energie, musí být takovým zdrojem také hybnost. Zahrnutí hybnosti jako zdroje gravitace vede k předpovědi, že pohybující se nebo rotující hmoty mohou vytvářet pole podobná magnetickým polím generovaným pohybujícími se náboji, což je fenomén známý jako gravitomagnetismus . [37]

Je dobře známo, že sílu magnetismu lze odvodit aplikací pravidel speciální teorie relativity na pohybující se náboje. (Výmluvnou demonstraci toho představil Feynman ve svazku II, kapitola 13-6 jeho Lectures on Physics , dostupné online. [38] ) Podobnou logiku lze použít k prokázání původu gravitomagnetismu. Na obr. 5-7a mají dva paralelní nekonečně dlouhé proudy masivních částic stejné a opačné rychlosti -v a +v vzhledem k nehybné testovací částici uprostřed mezi nimi. Vzhledem k symetrii nastavení je celková síla na centrální částici nulová. Předpokládejme, že v << c , takže rychlosti se prostě sčítají. Obrázek 5-7b ukazuje přesně stejné nastavení, ale v referenčním rámci proti proudu. Testovaná částice má rychlost +v a spodní proud má rychlost + 2v . Vzhledem k tomu, že se situace fyzicky nezměnila, ale změnila se pouze referenční soustava, ve které experiment pozorujeme, testovací částice by neměla být přitahována k žádnému z proudů. Není však zřejmé, že síly působící na testovací částici jsou stejné. (1) Protože se spodní proud pohybuje rychleji než horní proud, každá částice ve spodním proudu má větší hmotnostní energii než částice v horním proudu. (2) Díky Lorentzově kontrakci je více částic na jednotku délky ve směru po proudu než ve směru proti proudu. (3) Další příspěvek k aktivní gravitační hmotě po proudu pochází z dodatečného tlakového členu, pro který v tuto chvíli nemáme dostatečné školení. Zdá se, že všechny tyto účinky dohromady vyžadují, aby testovací částice byla přitahována k po proudu.

Testovaná částice není přitahována směrem po proudu kvůli síle závislé na rychlosti, která odpuzuje částici pohybující se ve stejném směru jako po proudu . Tento na rychlosti závislý gravitační efekt je gravitomagnetismus. [10] :245–253

Hmota pohybující se gravitamagnetickým polem tedy podléhá takzvaným tahovým účinkům inerciálních vztažných soustav , podobně jako elektromagnetická indukce . Bylo navrženo, že takové gravitamagnetické síly jsou základem generování relativistických výtrysků (viz obr. 5-8) vyvržených některými rotujícími supermasivními černými dírami . [39] [40]

Tlak a stres

Zdrojem gravitace musí být i veličiny, které přímo souvisejí s energií a hybností. Jedná se o vnitřní tlak a mechanické namáhání . Dohromady hmota-energie , hybnost, tlak a napětí slouží jako zdroje gravitace: v souhrnu je to vše, co zakřivuje časoprostor.

Obecná teorie relativity předpovídá, že tlak působí jako zdroj gravitace se stejnou silou jako hustota energie. Zahrnutí tlaku jako zdroje gravitace vede k výrazným rozdílům mezi předpovědí obecné teorie relativity a předpovědí newtonovské gravitace. Například tlakový člen klade maximální limit na hmotnost neutronové hvězdy . Čím hmotnější je neutronová hvězda, tím větší tlak potřebuje k udržení její gravitace. Zvýšený tlak však zvyšuje gravitační sílu působící na hmotnost hvězdy. Při určité hmotnosti, určené Tolman-Oppenheimer-Volkovovým limitem , se proces stává nevratným a neutronová hvězda se smršťuje na černou díru . [10] : 243 280

Tlakové členy se stávají poměrně významnými při provádění výpočtů, jako jsou hydrodynamické simulace kolapsu supernovy. [41]

Experimentální ověření

Tyto předpovědi o úloze tlaku, hybnosti a mechanického napětí jako zdrojů zakřivení časoprostoru hrají důležitou roli v obecné relativitě. Pokud vezmeme v úvahu tlak, ranému vesmíru dominovalo záření [42] a je nepravděpodobné, že by bylo možné reprodukovat jakékoli relevantní kosmologické údaje (např. stejnou sílu jako zdroj gravitace, jako hmota-energie . Podobně by byla narušena matematická konzistence Einsteinových rovnic pole, pokud by mechanické napětí nepřispívalo ke gravitační síle.

To vše je dobré, ale existují nějaká přímá , kvantitativní experimentální nebo pozorovaná měření, která potvrzují, že tyto pojmy ovlivňují gravitaci?

Aktivní, pasivní a setrvačné hmoty

Než probereme experimentální data o různých zdrojích gravitace, musíme nejprve prodiskutovat Bondyho rozdíly mezi možnými typy hmoty: (1) aktivní hmota ( ) $m_{a}$ hmota, která působí jako zdroj gravitačního pole; (2) pasivní hmota ( ) $m_{p}$ - hmota, která reaguje na gravitační pole; (3) setrvačná hmotnost ( ) $m_i$ je hmotnost, která reaguje na zrychlení. [43]

$m_{p}$ se shoduje s tím, co jsme dříve nazývali gravitační hmotnost ( ) ${\displaystyle m_{g))$ v naší diskusi o principu ekvivalence v sekci Základy .

V Newtonově teorii,

Třetí zákon akce a reakce to určuje a musí být stejný. ${\displaystyle m_{a))$ $m_{p}$
Na druhou stranu, zda a jsou si rovni, je empirický výsledek. $m_{p}$ $m_{i}$

V obecné relativitě,

Rovnost je dána zásadou ekvivalence. $m_{p}$ $m_{i}$
Neexistuje žádný princip „akce a reakce“ s diktátem jakéhokoli vztahu mezi a . [43] $m_{a}$ $m_{p}$

Tlak jako zdroj gravitace

Klasický experiment pro měření síly zdroje gravitace (tj. jeho aktivní hmoty) byl poprvé proveden v roce 1797, Cavendishův experiment (obrázek 5-9a). Dvě malé, ale husté kuličky jsou zavěšeny na tenkém drátu a tvoří torzní rovnováhu. Přiblížení dvou velkých hmot blízko kuliček má za následek znatelný točivý moment. S přihlédnutím k rozměrům zařízení a naměřenému koeficientu pružnosti závěsu je možné určit gravitační konstantu G .

Studium účinků tlaku mačkáním zkušebních hmot je zbytečné, protože dosažitelné laboratorní tlaky jsou zanedbatelné ve srovnání s energií hmoty kovové koule.

Odpudivý elektromagnetický tlak vznikající při husté kompresi protonů uvnitř atomových jader je však obvykle řádově 10 28 atm ≈ 10 33 Pa ≈ 10 33 kg s −2 t 1 . To je asi 1 % hustoty hmoty jádra asi 10 18 kg/m 3 (po faktorizaci v c 2 ≈ 9 × 10 16 t 2 s −2 ). [44]

Pokud tlak není zdrojem gravitace, pak by měl být poměr nižší pro jádra Z s vyšším atomovým číslem , která mají větší elektrostatický tlak. LB Kreizer (1968) provedl Cavendishův experiment s použitím hmoty teflonu suspendované ve směsi trichlorethylenových a dibromethanových kapalin se stejnou vztlakovou hustotou jako teflon (obr. 5-9b). Fluor má atomové číslo Z =9 a brom má Z =35 . Kreutzer zjistil, že změna hmotnosti teflonu nezpůsobuje rozdílné vychýlení torzní tyče, takže nastavení aktivní hmotnosti a pasivní hmotnosti je ekvivalentní s přesností 5 × 10 −5 . [45] $m_{a}/m_{p}$

Ačkoli Kreutzer původně považoval tento experiment za pouhý test poměru aktivní hmoty k pasivní hmotě, Clifford Will (1976) tento experiment reinterpretoval jako základní test pro asociaci zdrojů s gravitačními poli. [46]

V roce 1986 Bartlett a Van Buren poznamenali, že měsíční laserové měření detekovalo 2 km posun mezi středem tvaru měsíce a jeho těžištěm. To ukazuje na asymetrii v distribuci Fe (hodně v měsíčním jádru) a Al (hodně v jeho kůře a plášti). Pokud by tlak nepřispíval k rovnoměrnosti zakřivení časoprostoru, jako je hmotnost-energie, Měsíc by nebyl na oběžné dráze předpovídané klasickou mechanikou. Použili svá měření k zúžení jakýchkoli nesrovnalostí mezi aktivní a pasivní hmotou na přibližně 1 × 10 −12 . [47]

Gravitomagnetismus

Existence gravitomagnetismu byla prokázána sondou Gravity Probe B (GP-B) , satelitní misí, která byla vypuštěna 20. dubna 2004 [48] . Fáze vesmírných letů pokračovala až do roku 2005. Účelem mise bylo změřit zakřivení časoprostoru v blízkosti Země se zvláštním odkazem na gravitomagnetismus .

Prvotní výsledky potvrdily poměrně velkou geodetickou precesi (která je jednoduše způsobena zakřivením časoprostoru a je známá také jako de Sitterova precese) s přesností asi 1 %. Mnohem menší inerciální tahový efekt rámu (který je způsoben gravitomagnetismem a je také známý jako Lense-Thirring Effect ) bylo obtížné měřit kvůli neočekávaným efektům náboje způsobujícím proměnný drift v gyroskopech. Nicméně, abysrpna 2008, odpor inerciálních referenčních soustav byl potvrzen v rozmezí 15 % očekávaného výsledku [49] , zatímco geodetická precese byla potvrzena až do 0,5 % [50] [51] .

Následná měření odporu inerciálního rámu pomocí pozorování laserového určování vzdálenosti ze satelitů LARES , LAGEOS - 1 a LAGEOS-2 zlepšila měření GP-B , přičemž výsledky (stav z roku 2016) prokázaly účinek do 5 % jeho teoretické hodnoty [52] , i když tam byla nějaká debata o správnosti tohoto výsledku [53] .

Další pokus, experiment Gyroskopy v obecné relativitě (GINGER), zahrnuje použití tří 6palcových prstencových laserů ., instalované v pravém úhlu k sobě ve výšce 1400 m nad zemským povrchem pro měření tohoto efektu [54] [55] .

Technické problémy

Je časoprostor skutečně zakřivený?

V Poincarého konvenčních názorech jsou základními kritérii, podle kterých by měla být zvolena euklidovská nebo neeuklidovská geometrie, hospodárnost a jednoduchost. Realista by řekl, že Einstein objevil, že časoprostor není euklidovský. Tradicionalista by řekl, že Einsteinovi prostě přišlo pohodlnější použít neeuklidovskou geometrii. Tradicionalista by tvrdil, že Einsteinova analýza neřekla nic o tom, jaká je skutečná geometrie časoprostoru. [56]

Jinými slovy,

1. Může být obecná teorie relativity reprezentována pomocí plochého časoprostoru? 2. Existují situace, kdy plochá časoprostorová interpretace obecné relativity může být výhodnější než obvyklá zakřivená časoprostorová interpretace?

V odpovědi na první otázku řada autorů, včetně Desera, Grischuka, Rosena, Weinberga atd., předložila různé formulace gravitace jako pole v plochém manifoldu. Tyto teorie mají různé názvy jako „bimetrická gravitace“, „teorií pole přístup k obecné teorii relativity“ atd. [57] [58] [59] [60] Kip Thorne má populární přehled těchto teorií. [61] :397–403

Paradigma plochého časoprostoru říká, že hmota vytváří gravitační pole, které způsobuje smršťování pravítek, když jsou rotována z periferní do radiální orientace, a to způsobuje zpomalení rychlosti tikání hodin. Paradigma plochého časoprostoru je zcela ekvivalentní paradigmatu zakřiveného časoprostoru v tom, že oba představují stejné fyzikální jevy. Jejich matematické formulace jsou však zcela odlišné. Pracující fyzici obvykle přecházejí mezi používáním metod zakřiveného a plochého časoprostoru v závislosti na požadavcích problému. Ploché časoprostorové paradigma se ukazuje jako zvláště výhodné při provádění přibližných výpočtů ve slabých polích. Následně budou při řešení problémů gravitačních vln použity metody plochého časoprostoru a při analýze černých děr metody zakřiveného časoprostoru.

Riemannova geometrie

Zakřivené rozdělovače

Privilegovaná pozice 3+1 časoprostor

Existují dva typy dimenzí: prostorová a časová. Prostorová dimenze se označuje písmenem N a časová písmenem T. Časoprostorové kontinuum s dimenzí N=3 a T=1 má výhodu z hlediska antropického principu .

Časoprostor v kultuře

Arthur Schopenhauer napsal v § 18 díla „O čtyřnásobném kořenu zákona dostatečného rozumu“ (1813): „... reprezentace koexistence je nemožná pouze v čase; ve své druhé polovině je podmíněna zobrazením prostoru, protože pouze v čase je vše jedno za druhým, v prostoru je jedno vedle druhého: toto zobrazení tedy vzniká pouze spojením času a prostoru.

Myšlenku jednotného časoprostoru vysvětluje Edgar Allan Poe ve své eseji o kosmologii nazvané „Eureka“ (1848): „Prostor a trvání jsou jedno“.

V roce 1895 v románu Stroj času HG Wells napsal: „Není žádný rozdíl mezi časem a třemi dimenzemi prostoru, kromě toho, že naše vědomí se pohybuje v čase“ a že „... každé skutečné tělo musí mít čtyři dimenze. : musí mít délku, šířku, výšku a dobu existence.

Závěr

První rozšířenou verzi modelu přirozeného sjednocení prostoru a času, Minkowského prostor , vytvořil Hermann Minkowski v roce 1908 [62] na základě Einsteinovy speciální teorie relativity a o něco dříve (v roce 1905 ) klíčový pokrok na této cestě učinil Henri Poincaré , který položil základy čtyřrozměrného časoprostorového formalismu.

Pojem časoprostoru umožňuje i klasická mechanika [63] , v ní je však toto spojení umělé, neboť časoprostor klasické mechaniky je přímým produktem prostoru a času, tedy prostor a čas jsou nezávislé na navzájem. Již klasická elektrodynamika však vyžaduje při změně vztažné soustavy souřadnicové transformace, které zahrnují čas „na stejné úrovni“ s prostorovými souřadnicemi (tzv. Lorentzovy transformace ), pokud chcete, aby rovnice elektrodynamiky měly stejný tvar v libovolném inerciální vztažná soustava. Přímo pozorované časové charakteristiky elektromagnetických dějů (periody kmitů, doby šíření elektromagnetických vln atd.) se již v klasické elektrodynamice ukazují jako závislé na vztažné soustavě (nebo jinými slovy na relativním pohybu pozorovatele a objektu). pozorování), to znamená, že nejsou „absolutní“, ale určitým způsobem spojené s prostorovým pohybem a dokonce i polohou vztažného systému v prostoru, což bylo prvním impulsem pro vznik moderního fyzikálního systému. koncept jediného časoprostoru.

Klíčový matematický rozdíl mezi časoprostorem ( Minkowského prostor , nebo v případě obecné relativity čtyřrozměrná varieta s Lorentzovou metrikou ) od obvyklého euklidovského čtyřrozměrného prostoru spočívá v tom, že při výpočtu vzdálenosti ( intervalu ) čtverce hodnot časových rozdílů a délek prostorových souřadnic se berou s opačnými znaménky (v běžném prostoru jsou odpovídající hodnoty stejné pro jakoukoli souřadnicovou osu a mají stejné znaménko). Z toho vyplývá: přímka mezi dvěma body tohoto kontinua (přímka je chápána jako pohyb setrvačností) udává maximální dobu trvání vlastního času (intervalu). Pro prostorovou délku je přímka minimální, nikoli maximální hodnotou [64] .

V kontextu teorie relativity je čas neoddělitelný od tří prostorových dimenzí a závisí na rychlosti pozorovatele [poznámka 7] (viz správný čas ).

Koncept časoprostoru hrál historicky klíčovou roli při vytváření geometrické teorie gravitace. V rámci obecné teorie relativity je gravitační pole redukováno na projevy geometrie čtyřrozměrného časoprostoru, který v této teorii není plochý (gravitační potenciál se v něm ztotožňuje s metrikou časoprostoru ) .

Počet dimenzí potřebných k popisu vesmíru nebyl definitivně určen. Teorie strun (superstruny) například vyžadovala 10 (počítání času) a nyní dokonce 11 dimenzí (v rámci M-teorie ). Předpokládá se, že dalších (nepozorovatelných) 6 nebo 7 rozměrů je složeno ( zhutněno ) na Planckovy rozměry, takže je zatím nelze experimentálně detekovat. Očekává se ale, že se tato měření nějak projeví v makroskopickém měřítku. Ve své nejstarší, bosonické, verzi vyžaduje teorie strun 26rozměrný okolní prostoročas; předpokládá se, že „extra“ dimenze této teorie by také měly nebo mohou být zhutněny nejprve na 10, tedy redukovány na teorii superstrun, a pak, jak je zde zmíněno o něco výše, na 4 běžné dimenze.

Viz také

Poznámky

Komentáře

↑ V pravoúhlém souřadnicovém systému ponechává normální rotace kružnici nezměněnou. V časoprostoru hyperbolická rotace zachovává hyperbolickou metriku.
↑ Ale ne všechny experimenty charakterizují efekt z hlediska rudého posuvu. Například byl vybrán experiment Ives-Stilwellk měření příčného blueshiftu pomocí Mössbauerova nastavení ve středu rotoru odstředivky a přijímače na ráfku.
↑ Rychlost přirozeně vzniká jako souřadnice na čistém generátoru zesílení uvnitř Lieovy algebry Lorentzovy grupy. Podobně rotační úhly přirozeně vznikají jako souřadnice (modulo 2 $\pi$ ) na čisté Lieově rotaci v Lieově algebře. (Společně koordinují celou Lieovu algebru). Pozoruhodný rozdíl je v tom, že výsledné rotace jsou periodické v úhlu rotace a výsledná zrychlení nejsou periodická v rychlosti (ale spíše jedna ku jedné). Podobnost mezi zrychleními a rotacemi je formální podobností.
↑ V teorii relativity je správné zrychlení fyzické zrychlení (tj. zrychlení měřené akcelerometrem), které zažívá objekt. Jinými slovy, toto je zrychlení vzhledem k volně visícímu nebo inerciálnímu pozorovateli, který je okamžitě v klidu vzhledem k měřenému objektu.
↑ Sám Newton si byl velmi dobře vědom obtíží spojených s těmito předpoklady, ale předpoklady byly jediným způsobem, jak mohl dosáhnout pokroku. V roce 1692 napsal svému příteli Richardu Bentleymu: „Tato gravitace musí být hmotě vrozená, inherentní a esenciální, aby jedno tělo mohlo působit na druhé na dálku, prostřednictvím vakua, bez zprostředkování čehokoli jiného, prostřednictvím kterého by jejich působení a síla, kterou lze přenášet z jednoho na druhého, je pro mě tak velká, že nevěřím, že se do ní nikdy nemůže dostat žádná Osoba, která je kompetentní ve filozofických záležitostech.
↑ Přesněji řečeno, gravitační pole se spojuje samo se sebou. V newtonovské gravitaci je potenciál dvou hmotných bodů jednoduše součtem potenciálů těchto dvou hmot, ale v obecné teorii relativity tomu tak není. To lze vidět jako výsledek principu ekvivalence: pokud by se gravitace nespojila sama se sebou, dvě částice vázané jejich vzájemnou gravitační přitažlivostí by neměly stejnou setrvačnou hmotnost (v důsledku negativní vazebné energie) jako jejich gravitační hmotnost. [32] :112–113
↑ Navzdory tomu, že formálně je přechod na pohyblivou vztažnou soustavu podobný rotaci os v Minkowského prostoru (a to dává jednoduchý a kompaktní způsob přepočítávání reálných fyzikálních veličin, to znamená, že má zcela pozorovatelné netriviální fyzikální důsledky!), nicméně jak nevykládat tuto formální analogii s rotací v běžném prostoru, na rotace v časoprostoru jsou uvalena významná fyzikální omezení, která rovněž určují omezení analogie časoprostoru s obyčejným euklidovským prostorem, a to i je-li čtyřrozměrný (tedy to, co je popsáno v této poznámce, je druhá stránka kvalitativního rozdílu mezi časoprostorem teorie relativity od „jen“ čtyřrozměrného prostoru). V rámci speciální teorie relativity je tedy nemožné a v rámci obecné teorie (kde je spolehlivá analýza všech složitých případů velmi obtížná) je nanejvýš pochybná plynulá plynulá rotace pohybu pozorovatele v směr zpětného pohybu v čase (zatímco v běžném prostoru se můžete otočit libovolným směrem) .

↑ Různí novináři, kteří si prohlížejí scénáře prezentované na tomto obrázku, je interpretují různě v závislosti na své znalosti situace. (i) První reportér, ve středu hmoty částic 2 a 3 , ale neznalý velké hmotnosti 1 , dochází k závěru, že mezi částicemi ve scénáři A existuje odpudivá síla , zatímco mezi částicemi ve scénáři existuje přitažlivá síla. B _ (ii) Druhý reportér, vědom si velkého množství 1 , se usmívá naivitě prvního reportéra. Tento druhý reportér ví, že ve skutečnosti zdánlivé síly mezi částicemi 2 a 3 jsou skutečně slapové efekty vyplývající z jejich rozdílné přitažlivosti k hmotnosti 1 . (iii) Třetí reportér vyškolený v obecné teorii relativity ví, že mezi těmito třemi objekty ve skutečnosti nepůsobí žádné síly. S největší pravděpodobností se všechny tři objekty pohybují po geodeskách v časoprostoru.

Prameny

↑ Přesněji řečeno, téměř stejné: ve skutečnosti téměř v každé moderní formulaci si časová dimenze zachovává určitý rozdíl od prostorové dimenze, i když je to často zastřené. Tento rozdíl se objevuje především v podpisu metriky časoprostoru (viz Minkowského prostor ).
↑ George Musser. Co je časoprostor? // Ve světě vědy . - 2018. - č. 8-9 . - S. 78-82 .
↑ Rynasiewicz, Robert. „Newtonovy pohledy na prostor, čas a pohyb“ archivováno 11. prosince 2015. . Stanfordská encyklopedie filozofie. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Staženo 24. března 2017.
↑ 1 2 3 4 Collier, Peter. Nejnepochopitelnější věc: Poznámky k velmi jemnému úvodu do matematiky relativity (anglicky) . — 3. - Nesrozumitelné knihy, 2017. - ISBN 9780957389465 .
↑ Rowland, Todd Manifold . Wolfram Mathworld . Wolfram Research. Získáno 24. března 2017. Archivováno z originálu 13. března 2017. (neurčitý)
↑ French, A. P. Speciální teorie relativity. - Boca Raton, Florida : CRC Press , 1968. - s. 35-60. — ISBN 0748764224 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald. Fyzika prostoročasu : Úvod do speciální teorie relativity . — 1. - San Francisco: Freeman, 1966. - ISBN 071670336X .
↑ Scherr, Rachel E.; Shaffer, Peter S.; Vokos, Stamatis. Studentské chápání času ve speciální teorii relativity: Simultaneita a referenční soustavy (anglicky) // American Journal of Physics : journal. - 2001. - Červenec ( roč. 69 , č. S1 ). - P.S24-S35 . - doi : 10.1119/1.1371254 . - . — arXiv : fyzika/0207109 .
↑ Curtis, W.D.; Miller, F. R. Diferenciální variety a teoretická fyzika . - Academic Press , 1985. - S. 223. - ISBN 978-0-08-087435-7 . Výňatek ze strany 223 Archivováno 13. června 2020 na Wayback Machine
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Schutz, Bernard. Gravity from the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity and General Relativity (anglicky) . — Dotisk. - Cambridge: Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0521455065 .
↑ Curiel, Erik; Bokulich, Peter Lightcones a kauzální struktura . Stanfordská encyklopedie filozofie . Metaphysics Research Lab, Stanford University. Získáno 26. března 2017. Archivováno z originálu 17. května 2019. (neurčitý)
↑ Savitt, Steven Bytí a stávání se v moderní fyzice. 3. Speciální teorie relativity . Stanfordská encyklopedie filozofie . Metaphysics Research Lab, Stanford University. Získáno 26. března 2017. Archivováno z originálu 11. března 2017. (neurčitý)
↑ 1 2 3 4 5 6 Schutz, Bernard F. První kurz obecné relativity. - Cambridge, UK: Cambridge University Press , 1985. - S. 26. - ISBN 0521277035 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Weiss, Michael Paradox dvojčat . Fyzika a teorie relativity FAQ . Získáno 10. dubna 2017. Archivováno z originálu 27. dubna 2017. (neurčitý)
↑ Mould, Richard A. Základní teorie relativity . — 1. - Springer, 1994. - S. 42. - ISBN 9780387952109 .
↑ Lerner, Lawrence S. Physics for Scientists and Engineers, Volume 2 . — 1. - Jones & Bartlett Pub, 1997. - S. 1047. - ISBN 9780763704605 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Bais, Sander. Velmi speciální teorie relativity: Ilustrovaný průvodce . - Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press , 2007. - ISBN 067402611X .
↑ Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin. Dynamika a relativita . - John Wiley & Sons , 2014. - S. 118. - ISBN 9781118933299 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Morin, David. Speciální teorie relativity pro nadšeného začátečníka . — Nezávislá publikační platforma CreateSpace, 2017. - ISBN 9781542323512 .
↑ Landau, L.D.; Lifshitz, E. M. The Classical Theory of Fields, Course of Theoretical Physics, Volume 2 . — 4. - Amsterdam: Elsevier , 2006. - S. 1-24. — ISBN 9780750627689 .
↑ Rose, HH Optika vysoce výkonných elektronových mikroskopů // Science and Technology of Advanced Materials : časopis . - 2008. - 21. dubna ( roč. 9 , č. 1 ). — S. 014107 . - doi : 10.1088/0031-8949/9/1/014107 . - . Archivováno z originálu 3. července 2017.
↑ Griffiths, David J. Revolutions in Twentieth-Century Physics . - Cambridge: Cambridge University Press , 2013. - S. 60. - ISBN 9781107602175 .
↑ Byers, Nina (1998), E. Noetherův objev hlubokého spojení mezi symetriemi a zákony zachování, arΧiv : fyzika/9807044 .
↑ Nave, R. Energetics of Charged Pion Decay . hyperfyzika . Katedra fyziky a astronomie, Georgia State University. Staženo 27. 5. 2017. Archivováno z originálu 21. 5. 2017. (neurčitý)
↑ Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel; Giordano, Frank R. Thomasův počet: Rané transcendentály . — Jedenáctý. — Boston: Pearson Education, Inc., 2008. - S. 533 . — ISBN 0321495756 .
↑ Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald. fyzika časoprostoru. — 2. — W. H. Freeman, 1992. - ISBN 0716723271 .
↑ 1 2 Gibbs, Philip Dokáže speciální teorie relativity zvládnout zrychlení? . Fyzika a teorie relativity FAQ . math.ucr.edu. Staženo 28. 5. 2017. Archivováno z originálu 7. 6. 2017. (neurčitý)
↑ Franklin, Jerrold. Lorentzova kontrakce, Bellovy vesmírné lodě a pohyb tuhého tělesa ve speciální teorii relativity (anglicky) // European Journal of Physics : journal. - 2010. - Sv. 31 , č. 2 . - str. 291-298 . - doi : 10.1088/0143-0807/31/2/006 . - . - arXiv : 0906.1919 .
↑ Lorentz, H.A.; Einstein, A.; Minkowski, H.; Weyl, H. Princip relativity: Sbírka původních vzpomínek na speciální a obecnou teorii relativity (anglicky) . - Dover Publications , 1952. - ISBN 0486600815 .
↑ 1 2 3 Mook, Delo E.; Vargish, Thomas s. Uvnitř relativity. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press , 1987. - ISBN 0691084726 .
↑ Mester, John Experimentální testy obecné teorie relativity . Laboratoire Univers et Theories. Získáno 9. června 2017. Archivováno z originálu 9. června 2017. (neurčitý)
↑ 1 2 Carroll, Sean M. (2. prosince 1997), Poznámky k přednáškám o obecné relativitě, arΧiv : gr-qc/9712019 .
↑ Le Verrier, Urbain. Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la théorie de Mercure a sur le mouvement du périhélie de cette planet (francouzsky) // Comptes rendus hebdomadaires des seances de l'Académie des Sciences :časopis. - 1859. - Sv. 49 . - str. 379-383 .
↑ Worrall, Simon Hon na Vulkána, planetu, která tam nebyla . National Geographic . Národní geografie. Získáno 12. června 2017. Archivováno z originálu 24. května 2017. (neurčitý)
↑ Levine, Alaina G. 29. května 1919: Eddington pozoruje zatmění Slunce, aby otestoval obecnou relativitu . APS News: Tento měsíc v historii fyziky . Americká fyzikální společnost. Získáno 12. června 2017. Archivováno z originálu 2. června 2017. (neurčitý)
↑ Hobson, poslanec; Efstathiou, G.; Lasenby, AN Obecná teorie relativity. - Cambridge: Cambridge University Press , 2006. - s. 176-179. — ISBN 9780521829519 .
↑ Thorne, Kip S. Near zero: New Frontiers of Physics / Fairbank, JD; Deaver Jr., B.S.; Everitt, WF; Michelson, P.F. — W. H. Freeman and Company, 1988. - S. 573-586.
↑ Feynman, R.P.; Leighton, R. B.; Sands, M. The Feynman Lectures on Physics, sv. 2 . — Nové tisíciletí. - Základní knihy , 1964. - S. 13-6 až 13-11. — ISBN 9780465024162 .
↑ Williams, RK Extrakce rentgenových paprsků, paprsků Ύ a relativistických e − –e + párů ze supermasivních Kerrových černých děr pomocí Penroseova mechanismu // Physical Review D : journal . - 1995. - Sv. 51 , č. 10 . - S. 5387-5427 . - doi : 10.1103/PhysRevD.51.5387 . - . — PMID 10018300 .
↑ Williams, RK Kolimované unikající vírové polární výtrysky e − –e + vnitřně vytvářené rotujícími černými dírami a Penrosovými procesy // The Astrophysical Journal : journal. - IOP Publishing , 2004. - Sv. 611 , č.p. 2 . - S. 952-963 . - doi : 10.1086/422304 . - . — arXiv : astro-ph/0404135 .
↑ Kuroda, Takami; Kotake, Kei; Takiwaki, Tomoya. Plně obecné relativistické simulace supernov s kolapsem jádra s přibližným transportem neutrin // The Astrophysical Journal : journal. - IOP Publishing , 2012. - Sv. 755 . — Str. 11 . - doi : 10.1088/0004-637X/755/1/11 . — . - arXiv : 1202.2487 .
↑ Wollack, Edward J. Kosmologie: Studium vesmíru . Vesmír 101: Teorie velkého třesku . NASA (10. prosince 2010). Získáno 15. 4. 2017. Archivováno z originálu 14. 5. 2011. (neurčitý)
↑ 1 2 Bondi, Hermann. The Role of Gravitation in Physics: Report from the Chapel Hill Conference 1957 / DeWitt, Cecile M.; Rickles, Deane. - Berlín: Výzkumná knihovna Maxe Plancka, 1957. - S. 159-162. — ISBN 9783869319636 .
↑ Crowell, Benjamin. Obecná teorie relativity . - Fullerton, CA: Light and Matter, 2000. - S. 241-258.
↑ Kreuzer, LB Experimentální měření ekvivalence aktivní a pasivní gravitační hmoty // Physical Review : journal . - 1968. - Sv. 169 , č.p. 5 . - S. 1007-1011 . - doi : 10.1103/PhysRev.169.1007 . - .
↑ Will, CM Aktivní hmota v relativistické gravitaci - Teoretická interpretace Kreuzerova experimentu // The Astrophysical Journal : journal. - IOP Publishing , 1976. - Sv. 204 . - str. 224-234 . - doi : 10.1086/154164 . - .
↑ Bartlett, D.F.; Van Buren, Dave. Ekvivalence aktivní a pasivní gravitační hmoty pomocí Měsíce // Phys . Rev. Lett. : deník. - 1986. - Sv. 57 , č. 1 . - str. 21-24 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.57.21 . - . — PMID 10033347 .
↑ Gravitační sonda B: FAQ . Získáno 2. 7. 2017. Archivováno z originálu 2. 6. 2018. (neurčitý)
↑ Gugliotta, G. . Vytrvalost se vyplácí za test relativity ve vesmíru , New York Times (16. února 2009). Archivováno z originálu 3. září 2018. Staženo 2. července 2017.
↑ Gravity Probe B Science Results—NASA Final Report (PDF) (2009). Získáno 2. července 2017. Archivováno z originálu 12. dubna 2017. (neurčitý)
↑ Everitt a kol. Gravity Probe B: Final Results of a Space Experiment to Test General Relativity (anglicky) // Physical Review Letters : journal. - 2011. - Sv. 106 , č. 22 . — S. 221101 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.106.221101 . - . - arXiv : 1105.3456 . — PMID 21702590 .
↑ Ciufolini, Ignazio; Paolozzi, Antonio Rolf Koenig; Pavlis, Erricos C.; Koenig, Rolf. Test obecné teorie relativity pomocí satelitů LARES a LAGEOS a gravitačního modelu Země GRACE // Eur Phys JC Part Fields : deník. - 2016. - Sv. 76 , č. 3 . — S. 120 . - doi : 10.1140/epjc/s10052-016-3961-8 . — . - arXiv : 1603.09674 . — PMID 27471430 .
↑ Iorio, L. Komentář k "Test obecné relativity pomocí satelitů LARES a LAGEOS a gravitačního modelu Země GRACE. Měření zemského tažení inerciálních soustav," od I. Ciufoliniho a kol // The European Physical Journal C : deník. - 2017. - únor ( roč. 77 , č. 2 ). — S. 73 . - doi : 10.1140/epjc/s10052-017-4607-1 . — . - arXiv : 1701.06474 .
↑ Cartlidge, Edwin Underground prstencové lasery otestují obecnou relativitu . fyzikální svět.com . Ústav fyziky. Získáno 2. července 2017. Archivováno z originálu 12. července 2017. (neurčitý)
↑ Einstein správně používá nejcitlivější senzory rotace Země, jaké byly kdy vyrobeny . Phys.org . věda x síť. Staženo 2. července 2017. Archivováno z originálu 10. května 2017. (neurčitý)
↑ Murzi, Mauro Jules Henri Poincaré (1854-1912) . Internetová encyklopedie filozofie (ISSN 2161-0002). Získáno 9. dubna 2018. Archivováno z originálu 23. prosince 2020. (neurčitý)
↑ Deser, S. Self-Interaction and Gauge Invariance // Obecná teorie relativity a gravitace : časopis . - 1970. - Sv. 1 , ne. 18 . - S. 9-8 . - doi : 10.1007/BF00759198 . - . - arXiv : gr-qc/0411023 .
↑ Grishchuk, L.P.; Petrov, A.N.; Popova, AD Přesná teorie (Einsteinova) gravitačního pole v libovolném pozadí prostoročas // Komunikace v matematické fyzice : deník. - 1984. - Sv. 94 . - str. 379-396 . - doi : 10.1007/BF01224832 . — .
↑ Rosen, N. Obecná teorie relativity a plochý prostor I // Physical Review : journal . - 1940. - Sv. 57 , č. 2 . - S. 147-150 . - doi : 10.1103/PhysRev.57.147 . - .
↑ Weinberg, S. Odvození měřící invariance a princip ekvivalence z Lorentzovy invariance S-matice // Physics Letters : deník. - 1964. - Sv. 9 , č. 4 . - str. 357-359 . - doi : 10.1016/0031-9163(64)90396-8 . - .
↑ Thorne, Kip. Black Holes & Time Warps: Einstein's Outrage Legacy. - W. W. Norton & Company , 1995. - ISBN 978-0393312768 .
↑ Hermann Minkowski, " Raum und Zeit ", 80. Versammlung Deutscher Naturforscher (Köln, 1908). Publikováno v Physikalische Zeitschrift 10 104-111 (1909) a Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 18 75-88 (1909).
↑ Práce V. I. Arnolda , zejména „Matematické metody klasické mechaniky“.
↑ Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie: metody a aplikace. T. 1-3. Ed. 6. — M.: URSS, 2013.

Odkazy

Prostor a čas - fyzikální encyklopedie
Penrose, Rogere. Cesta do reality. - Oxford: Oxford University Press, 2004. - ISBN 0-679-45443-8 .
Taylor, EF Spacetime Physics, druhé vydání / EF Taylor, Wheeler, John. - Internetový archiv: WH Freeman, 1992. - ISBN 0-7167-2327-1 .

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX527285 BNF : 13319358m GND : 4302626-6 J9U : 987007563383905171 LCCN : sh85125911 NDL : 00574722 NKC : ph128086 SUDOC : 028669657

Dimenze prostoru
Prostory podle dimenzí	Nulový rozměr jednorozměrný 2D 3D čtyřrozměrný pětirozměrný šestirozměrný sedmirozměrný osmičková devítirozměrný n-rozměrný Negativní rozměr
Polytopy a postavy	Simplexní hyperkrychle tesseract Hyperobdélník (ortotop) Semihypercube Cross-polytope hypersféra
Typy prostorů	konečně-dimenzionální prostor Euklidovský prostor afinní prostor projektivní prostor Modul zdarma Rozdělovač Dimenze algebraické proměnné vesmírný čas
Jiné dimenzionální koncepty	Krullova dimenze Lebesgueova dimenze Indukční rozměr Zlomková dimenze ( Minkowského dimenze , Hausdorffova dimenze ) fraktální dimenze Stupně svobody
Matematika

Jednotky měření a normy času
Věda Fyzika Příběh chronologie Astronomie Geologie Paleontologie
Základní pojmy	Čas Měření času Hodnotová stupnice (čas) časový standard
Mezinárodní normy	Světový koordinovaný čas (UTC) světový čas (UT) Mezinárodní atomový čas (TAI) ISO 31-1 DUT1 skok druhý Mezinárodní služba rotace Země (IERS) pozemský čas (TT) Geocentrický souřadnicový čas (TCG) Barycentrický souřadnicový čas (TCB) občanský čas 12hodinový formát času 24hodinový formát času ISO 8601 Datumová čára místní sluneční čas Časové pásmo Letní čas standartní čas
Zastaralé normy	efemeridní čas Barycentrický dynamický čas (TDB) Greenwichský střední čas (GMT) Greenwichský poledník
Čas	vesmírný čas Chronon Kosmologická dekáda Planckova éra Planckův čas T-symetrie Teorie relativity Zpomalení času Referenční systémový čas vlastního času časová doména nepřetržitý čas diskrétní čas Absolutní prostor a čas Časová rovnice
Hodinky	Astrarium atomové hodiny Přesýpací hodiny Chronometr Rádiové hodiny Sluneční hodiny Náramkové hodinky vodní hodiny Sledujte historii
Kalendářviz seznam	Astronomický Julian Nový Julián gregoriánský islámský lunisolární Sluneční Měsíční Epakta Interkalace Přestupný rok společný rok tropický rok Rovnodennost Slunovrat sedmidenní týden Názvy dnů v týdnu Algoritmus pro výpočet dne v týdnu Vrutseleto
Archeologie a geologie	Mezinárodní stratigrafická komise Geologické měřítko Seznamka v archeologii
Časová osa v astronomii	hvězdný čas Galaktický rok
Časové jednotky	Otřást Třetí Druhý Minuta Hodina Den Týden Desetiletí fortnite Měsíc Čtvrťák půl roku Rok Lustr Desetiletí obvinit Století Seculum Tisíciletí
viz také	Chronologie Doba trvání systémový čas Metrický čas Mentální čas Časoměřič Letní čas