Cauchyho distribuce

Cauchyho distribuce
Zelená křivka odpovídá standardnímu Cauchyho rozděleníHustota pravděpodobnosti
Barvy jsou v souladu s tabulkou výšedistribuční funkce
Označení	${\mathrm {C}}(x_{0},\gamma)$
Možnosti	$x_{0}$ - faktor posunu - faktor měřítka $\gamma > 0$
Dopravce	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Hustota pravděpodobnosti	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right] }}$
distribuční funkce	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$
Očekávaná hodnota	neexistuje
Medián	$x_{0}$
Móda	$x_{0}$
Disperze	neexistuje
Koeficient asymetrie	neexistuje
Kurtózní koeficient	neexistuje
Diferenciální entropie	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$
Generující funkce momentů	není určeno
charakteristická funkce	$\exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,\|t\|)$

Cauchyho distribuce v teorii pravděpodobnosti (také nazývaná Lorentzova distribuce a Breit - Wignerova distribuce ve fyzice ) je třída absolutně spojitých distribucí . Náhodná proměnná s Cauchyho distribucí je standardním příkladem proměnné, která nemá žádný průměr a žádnou odchylku .

Definice

Nechť je rozdělení náhodné veličiny dáno hustotou ve tvaru: $X$ $f_{X} (x)$

f_{X}(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2} \right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]

kde

$x_{0}\in {\mathbb {R}}$ je parametr posunu;
$\gamma >0$ je parametr měřítka.

Pak řeknou, že má Cauchyho distribuci a napíšou . Jestliže a , pak se takové rozdělení nazývá standardní Cauchyho rozdělení. $X$ $X\sim {\mathrm {C}} (x_{0},\gamma )$ $x_{0}=0$ $\gamma=1$

Distribuční funkce

Cauchyho distribuční funkce má tvar:

F_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\mathrm {arctg}}\,\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\ vpravo)+{\frac {1}{2}}

Je přísně rostoucí a má inverzní funkci :

F_{X}^{{-1}}(x)=x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\left[\pi \,\left(x-{1 \over 2 }\dobře dobře].

To umožňuje generování vzorku z Cauchyho distribuce pomocí metody inverzní transformace .

Momenty

Od Lebesgueova integrálu

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\!x^{{\alpha }}f_{X}(x)\,dx

není definován pro , ani matematické očekávání (ačkoli integrál 1. momentu ve smyslu hlavní hodnoty je: ), není definován ani rozptyl, ani momenty vyššího řádu tohoto rozdělení. Někdy se říká, že matematické očekávání není definováno a rozptyl je nekonečný. $\alpha \geqslant 1$ $\lim \limits _{{c\rightarrow \infty }}\int \limits _{{-c}}^{{c}}x\cdot {1 \over \pi }\left[{\gamma \over ( x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\vpravo]\,dx=x_{0}$

Další vlastnosti

Cauchyho rozdělení je nekonečně dělitelné .
Cauchyho distribuce je stabilní . Konkrétně výběrový průměr vzorku ze standardního Cauchyho rozdělení sám o sobě má standardní Cauchyho rozdělení: if , then $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathrm {C}}(0,1)$

\overline {X}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

Vztah s jinými distribucemi

Pokud , pak $U\simU[0,1]$

x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim {\mathrm {C}}( x_{0},\gamma )

Jestliže jsou nezávislé normální náhodné proměnné takové, že , pak $X_{1}, X_{2}$ $X_{i}\sim {\mathrm {N}} (0,1),\;i=1,2$

{\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

[1] [2] .

Standardní Cauchyho distribuce je speciální případ Studentovy distribuce :

{\mathrm {C}}(0,1)\ekviv {\mathrm {t}}(1)

Vystupování v praktických problémech

Cauchyho rozdělení charakterizuje délku segmentu odříznutého na úsečce přímkou, upevněnou v bodě na ose y, pokud úhel mezi přímkou a osou y má rovnoměrné rozložení na intervalu (−π ; π) (to znamená, že směr přímky je v rovině izotropní). V podstatě to znamená následující [1] :

If , then (− ), tedy . Vzhledem k periodicitě tečny stejnoměrnost na intervalu (−π/2; π/2) zároveň znamená stejnoměrnost na intervalu (−π; π). $U\simU[0,1]$ $\pi \ \left(U-{1 \over 2}\right)\sim$ $U$ $\pi /2,\pi /2$ $\mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (0,1)$

Ve fyzice popisuje Cauchyho distribuce (také nazývaná Lorentzova forma) profily rovnoměrně rozšířených spektrálních čar.
Cauchyho rozdělení popisuje amplitudově-frekvenční charakteristiky lineárních oscilačních systémů v blízkosti rezonančních frekvencí.

Poznámky

↑ 1 2 Galkin V. M., Erofeeva L. N., Leshcheva S. V. Odhady parametru Cauchyho distribuce. Sborník Státní technické univerzity Nižnij Novgorod. R. E. Alekseeva. 2014. č. 2(104). S. 314
↑ Cauchy Distribution Archived 29. července 2017 na Wayback Machine // risktheory.novosyolov.com

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona