Věta o ekvipartici

Věta o ekvipartici kinetické energie přes stupně volnosti , zákon ekvipartice , ekvipartiční teorém – spojuje teplotu systému s jeho průměrnou energií v klasické statistické mechanice . Ve své původní podobě teorém říkal, že při tepelné rovnováze je energie rozdělena rovnoměrně mezi její různé formy, například průměrná kinetická energie translačního pohybu molekuly se musí rovnat průměrné kinetické energii jejího rotačního pohybu .

Pomocí ekvipartiční věty lze provádět kvantitativní předpovědi. Stejně jako viriální teorém udává celkovou průměrnou kinetickou a potenciální energii systému při dané teplotě, ze které lze vypočítat tepelnou kapacitu systému. Věta o ekvipartici však také umožňuje určit střední hodnoty jednotlivých složek energie, jako je kinetická energie jednotlivé částice nebo potenciální energie jednotlivé pružiny . Věta říká, že každá molekula monoatomického ideálního plynu , která je v termodynamické rovnováze (nebo ve stavu blízkém termodynamické rovnováze), má průměrnou kinetickou energii rovnou (3/2)k B T , kde k B je Boltzmannův konstantní , T je teplota. Obecně se dá použít na jakýkoli klasický systém v tepelné rovnováze , bez ohledu na to, jak je složitý. Věta o ekvipartici může být použita k odvození stavové rovnice ideálního plynu a Dulong-Petitova zákona k určení měrného tepla pevných látek. Používá se také při předpovídání vlastností hvězd , dokonce i jako jsou bílí trpaslíci a neutronové hvězdy , protože ekvipartice platí, i když je třeba vzít v úvahu relativistické efekty.

I když equipartition teorém dělá za určitých podmínek velmi přesné předpovědi, ztrácí svou použitelnost, když do hry vstoupí kvantové efekty . Ekvipartice je platná pouze tehdy, když je tepelná energie kB T mnohem větší než interval mezi sousedními kvantovými energetickými hladinami, protože jinak jsou průměrné hodnoty energetické a tepelné kapacity na určité stupně volnosti menší než hodnoty získané použitím ekvipartiční teorém. Říká se, že stupeň volnosti je zamrzlý , pokud je tepelná energie mnohem menší než tento interval (to znamená, že v praxi lze takový stupeň volnosti za daných podmínek ignorovat, za takové podmínky přechod do excitovaných stavů s ohledem na do daného stupně volnosti je prakticky nemožné). Například tepelná kapacita pevné látky klesá při nízkých teplotách – jak se různé druhy pohybu zamrzají – místo toho, aby zůstala konstantní, jak by měla být podle klasického teorému o ekviparticích. Tento pokles tepelné kapacity byl prvním signálem pro fyziky v 19. století, že klasická fyzika ztrácí svou použitelnost při nízkých teplotách a musely být formulovány nové zákony, které by vysvětlily skutečně pozorované chování tepelné kapacity jako funkce teploty. Spolu s další kontroverzí, selhání zákona o ekviparticích při popisu elektromagnetického záření – také známého jako ultrafialová katastrofa – vedlo Maxe Plancka k myšlence, že světlo je emitováno a absorbováno v kvantech . Tato revoluční hypotéza znamenala začátek kvantové teorie, která, když byla dále rozvinuta, dala vzniknout kvantové mechanice a kvantové teorii pole .

Hlavní myšlenka a jednoduché příklady

Původně termín „rovnováhy“ znamenal, že celková kinetická energie systému je sdílena rovnoměrně mezi všechny jeho nezávislé části , v průměru , jakmile systém dosáhne tepelné rovnováhy. Věta o ekviparticích také poskytuje kvantitativní předpovědi pro tyto energie. Například předpovídá, že každý atom vzácného plynu v tepelné rovnováze při teplotě T má průměrnou translační kinetickou energii rovnou (3/2)k B T . V důsledku toho mají těžší atomy xenonu nižší průměrnou rychlost než lehčí atomy helia při stejné teplotě. Obrázek ukazuje Maxwellovo rozdělení pro rychlosti atomů ve čtyřech plynech.

V tomto příkladu je důležité poznamenat, že kinetická energie je kvadratickou funkcí rychlosti. Věta o ekviparticích říká, že při tepelné rovnováze má jakýkoli stupeň volnosti (složky polohových vektorů nebo rychlosti částic) [1] , který se jeví pouze jako kvadratická funkce v energii, průměrnou energii rovnou ½ k B T , a proto přispívá ½ k B na tepelnou kapacitu systému. Toto tvrzení má mnoho praktických aplikací.

Energie translačního pohybu částic ideálních plynů

Kinetická energie částice plynu o hmotnosti m a rychlosti v je dána jako

H^{\mathrm {kin} }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left( v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),

kde v x , v y a v z jsou kartézské složky vektoru rychlosti v . Zde symbol H označuje hamiltonovskou funkci systému a je používán jako energetický symbol v hamiltonovském formalismu . Hraje ústřední roli ve většině zobecnění zákona o ekvipartici.

Protože kinetická energie je kvadratickou funkcí složek rychlosti, vyplývá ze zákona ekvipartice, že každá z těchto složek přispívá k průměrné kinetické energii plynu v tepelné rovnováze stejným dílem ½ k B T. Z toho vyplývá, že průměrná kinetická energie částice je (3/2) kB T , jako v příkladu vzácného plynu výše.

Obecně se celková energie ideálního plynu skládá z (translační) kinetické energie jednotlivých částic, za předpokladu, že částice nemají žádné vnitřní stupně volnosti a pohybují se nezávisle na sobě. Ekvipartice znamená, že průměrná celková energie ideálního plynu N částic je (3/2) N k B T .

Z toho plyne, že tepelná kapacita plynu je (3/2) N k B a konkrétně tepelná kapacita jednoho molu plynu takových částic je (3/2) N A k B =(3/2) R , kde N A je Avogadro číslo a R je plynová konstanta . Protože R ≈ 2 cal / ( mol K ) , zákon ekvipartice předpovídá , že molární tepelná kapacita ideálního plynu je přibližně 3 cal / ( mol K ) . Tato předpověď byla experimentálně ověřena. [2]

Průměrná kinetická energie nám umožňuje odhadnout druhou odmocninu střední kvadratické rychlosti v rms částic v plynu:

v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},

kde M = N A m je molární hmotnost plynu. Tento výsledek je užitečný pro mnoho praktických aplikací, jako je Grahamův zákon pro výpotek , který se používá v metodě obohacování uranu [3]

Energie rotačního pohybu

Podobný příklad lze nalézt při uvažování rotující molekuly s hlavními momenty setrvačnosti I 1 , I 2 a I 3 . Rotační energie takové molekuly je dána výrazem

H^{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^ {2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),

kde ω 1 , ω 2 a ω 3 jsou hlavní složky úhlové rychlosti . Přesně ze stejného uvažování jako v případě translačního pohybu ekvipartice implikuje, že v tepelné rovnováze je průměrná rotační energie každé částice: (3/2)k B T . Podobně equipartition teorém umožňuje vypočítat průměrnou (přesněji druhou odmocninu středního čtverce) úhlovou rychlost molekul. [čtyři]

Potenciální energie a harmonické oscilátory

Ekvipartice platí nejen pro kinetickou energii, ale také pro potenciální energii . Mezi důležité příklady patří harmonické oscilátory , jako je pružina , která má potenciální energii, která je v souřadnicích kvadratická

H^{\mathrm {pot} }={\tfrac {1}{2}}aq^{2},

kde konstanta a popisuje tuhost pružiny a q je odchylka od rovnovážné polohy. Pokud má takový jednorozměrný systém hmotnost m , pak jeho kinetická energie je H kin : ½ mv² = p ²/2 m , kde v ap = mv označují rychlost a hybnost oscilátoru . Sečtením těchto příspěvků získáme celkovou energii systému [5]

H=H^{\mathrm {kin} }+H^{\mathrm {pot} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}} aq^{2}.

Ekvipartice znamená, že při tepelné rovnováze má oscilátor průměrnou energii, která se rovná

\langle H\rangle =\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B }T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,

kde lomené závorky označují zprůměrování hodnoty v nich obsažené. [6] $\left\langle \ldots \right\rangle$

Tento výsledek platí pro jakýkoli typ harmonického oscilátoru, jako je kyvadlo , oscilující molekula nebo pasivní elektrický generátor . Systémy takových oscilátorů vznikají v mnoha případech. Podle zákona ekvipartice má každý takový oscilátor průměrnou celkovou energii k B T a přispívá tedy k B k tepelné kapacitě systému. Tento závěr lze použít k odvození vzorce pro tepelný šum [7] a Dulong-Petitův zákon pro měrné teplo pevných látek. Ten hrál důležitou roli v historii equipartition teorému.

Tepelná kapacita pevných látek

Pro stanovení měrné tepelné kapacity krystalických těles se používá zákon ekvipartice. Protože každý atom z takového tělesa může kmitat ve třech nezávislých směrech, lze krystal považovat za soustavu 3N nezávislých harmonických oscilátorů , kde N značí počet atomů v mřížce. Každý harmonický oscilátor má průměrnou energii k B T , takže průměrná celková energie tělesa je 3 Nk B T a jeho měrné teplo je 3 Nk B .

Pokud za N vezmeme Avogadroovo číslo ( N A ), pak pomocí vztahu R = N A k B mezi plynovou konstantou ( R ) a Boltzmannovou konstantou ( k B ) získáme výraz pro Dulong- Petitův zákon , který popisuje molární tepelnou kapacitu pevných látek. Říká, že měrná tepelná kapacita jednoho molu atomů krystalové mřížky je 3R ≈ 6 cal /( mol K ) .

Je třeba poznamenat, že tento zákon neplatí při nízkých teplotách, kde je důležité brát v úvahu kvantové efekty. Je také v rozporu s experimentálně potvrzeným třetím termodynamickým zákonem , podle kterého měrná tepelná kapacita jakékoli látky má tendenci k nule, zatímco teplota směřuje k absolutní nule. [7] Přesnější teorie, které berou v úvahu kvantové efekty, vypracovali Albert Einstein ( 1907 ) a Peter Debye ( 1911 ). [osm]

Mnoho fyzikálních systémů lze modelovat jako systém sdružených harmonických oscilátorů . Pohyby takových oscilátorů mohou být rozloženy do normálních režimů , které lze považovat za vibrační režimy strun klavíru nebo rezonance varhanní píšťaly . Na druhou stranu, ekvipartiční teorém se pro takové systémy stává nepoužitelným kvůli nedostatku výměny energie mezi normálními režimy. V omezujícím případě jsou módy nezávislé a jejich energie se tak šetří nezávisle. To znamená, že pro dodržení zákona o ekvipartici je důležité mísení energií, formálně nazývané ergodicity .

Sedimentace částic

Potenciální energie není vždy kvadratickou funkcí souřadnic, ale ekvipartiční teorém říká, že pokud je stupeň volnosti x zahrnut s faktorem x s (pro pevnou konstantu s ) v celkové energii, pak při tepelné rovnováze je průměrná energie tato část je rovna kB T /s .

Toto zobecnění se používá při uvažování sedimentace částic pod vlivem gravitace . [9] Například mlhu, kterou někdy vidíme v pivu , mohou způsobit kousky bílkovin , které rozptylují světlo. [10] V průběhu času se tyto kousky hromadí na dně pod vlivem gravitační síly, což způsobuje, že se více světla rozptyluje u dna láhve než u horní části. Avšak v důsledku difúze působící v opačném směru se částice pohybují nahoru směrem k horní části láhve. Jakmile je dosaženo rovnováhy, lze ekvipartiční teorém použít k určení průměrné polohy určitého kusu plovoucí hmoty mb . Pro nekonečně vysokou láhev piva je gravitační potenciální energie dána jako

H^{\mathrm {grav} }=m_{b}gz\,,

kde z je vertikální poloha proteinového kousku v láhvi a g je gravitační zrychlení . Protože s=1 , je průměrná potenciální energie proteinového kusu rovna kBT . Pokud je hmotnost proteinového kousku asi 10 MDa (to je zhruba velikost viru ), pak v rovnováze vznikne suspenze o průměrné výšce asi 2 cm. Proces sedimentace do rovnovážné polohy je popsán Mason-Weaverova rovnice . [jedenáct]

Historie

Tento článek používá jiné jednotky než SI cal / ( mol K ) pro měrnou tepelnou kapacitu kvůli přesnosti desetinného zápisu.
Pro převod na jednotky SI J / ( mol K ) je třeba tyto hodnoty vynásobit 4,2 J / cal .

Rovnoměrné rozložení kinetické energie ve stupních volnosti bylo navrženo v roce 1843 (správnější je mluvit o roce 1845) John James Waterston . [12] [13] [14] [15] [16] V roce 1859 James Clerk Maxwell tvrdil, že kinetická energie při vysoké teplotě plynu je rovnoměrně rozdělena mezi translační energii a rotační energii. [17] V roce 1876 Ludwig Boltzmann ukázal, že průměrná energie je rovnoměrně rozdělena mezi všechny nezávislé pohybové složky v systému. [18] [19] Boltzmann aplikoval zákon ekvipartice k teoretickému vysvětlení empirického Dulong-Petitova zákona pro tepelnou kapacitu pevných látek.

Historie equipartition teorému se prolíná se studiemi tepelné kapacity , které byly provedeny v 19. století. V roce 1819 francouzští fyzici Pierre Dulong a Alexis Petit objevili, že specifické molární tepelné kapacity pevných látek jsou při pokojové teplotě prakticky stejné, přibližně 6 cal /( mol K ) . [21] Jejich zákon se používá po mnoho let k měření atomových hmotností . [8] Následné studie Jamese Dewara a Heinricha Webera však ukázaly, že Dulong-Petitův zákon platí pouze při vysokých teplotách, [22] [23] [24] a při nízkých teplotách nebo pro velmi tvrdé krystaly, jako je diamant , teplo kapacita je nižší. [25] [26] [27]

Experimentální hodnoty tepelné kapacity plynů také vyvolaly otázky o správnosti ekvipartičního teorému. Věta předpovídá, že molární specifická tepelná kapacita jednoatomových plynů by měla být přibližně 3 cal /( mol K ) a pro dvouatomové plyny přibližně 7 cal /( mol K ) . Experimenty potvrdily první předpověď, [2] ale pro dvouatomové plyny experiment ukázal, že měrná molární tepelná kapacita je pouze 5 cal /( mol K ), [28] a při velmi nízkých teplotách klesá na 3 cal /( mol K ) . . [29] Maxwell si v roce 1875 všiml, že nesoulad mezi experimentem a zákonem o ekvipartici je ještě horší, pokud se vezmou tyto hodnoty; [30] protože atomy mají vnitřní strukturu, pak tepelná energie musí jít do pohybu těchto vnitřních částí, což vede k předpovědím pro specifické molární tepelné kapacity jednoatomových a dvouatomových plynů mnohem větších než 3 cal /( mol K ) a 7 cal / ( mol K ), resp.

Třetí neshoda souvisí s tepelnou kapacitou kovů. [31] Podle klasického Drudeova modelu se elektrony v kovu chovají jako ideální plyn, a proto musí přispívat (3/2) N e k B , kde N e je počet elektronů, k tepelné kapacitě kovu podle ekvipartiční věty. Experimentálně je však příspěvek elektronů k tepelné kapacitě malý: molární tepelné kapacity různých vodičů a dielektrik se prakticky shodují. [31] (Viz také část „ Omezení stanovená kvantovou mechanikou “).

Bylo navrženo několik vysvětlení nepřesnosti equipartition teorému při určování tepelných kapacit. Boltzmann obhajoval důkaz svého teorému jako správný, ale navrhl, že plyny nemusí být v tepelné rovnováze kvůli jejich interakci s éterem . [32] Lord Kelvin navrhl, že odvození equipartition teorému musí být špatné, protože jeho závěry nesouhlasí s experimentem, ale nemohl poukázat na chybu. [33] Lord Rayleigh místo toho předložil radikálnější hypotézu, že jak ekvipartiční teorém, tak experimentální předpoklad tepelné rovnováhy byly správné, ale aby je uvedl do souladu, mluvil o potřebě nového principu, který by poskytl únik z destruktivní jednoduchosti ekvipartiční teorém. [34] Albert Einstein ukázal způsob, jak tento rozpor vyřešit, když v roce 1907 ukázal, že tyto anomálie tepelné kapacity jsou způsobeny kvantovými efekty, zejména kvantováním energie pružných vibrací tuhého tělesa. [35] [36] [37] [38] [39] Einstein použil nepřesnost zákona ekvipartice jako argument pro potřebu nové kvantové teorie hmoty. [8] Nernstovy experimenty z roku 1910 měřící tepelnou kapacitu při nízkých teplotách [40] potvrdily Einsteinovu teorii a vedly k široké podpoře kvantové teorie mezi fyziky. [41]

Obecná formulace věty o equipartition

Nejobecnější formulace věty o ekvipartici [4] [6] [9] říká, že za určitých podmínek (viz níže) pro fyzikální systém s hamiltoniánem H a stupni volnosti x n platí pro libovolné indexy m a n následující vztah :

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T.

Zde δ mn je Kroneckerův symbol , který se rovná jedné, pokud m = n a jinak nula. Úhlové závorky označují průměrování , což může odkazovat jak na časové průměrování, tak na obecnější souborové průměrování ve fázovém prostoru. Požadavek ergodicity použitý ve větě znamená, že tyto dva průměry jsou ekvivalentní. $\left\langle \ldots \right\rangle$

Obecná formulace věty platí jak v případě mikrokanonického souboru , [6] když je celková energie systému konstantní, tak v případě kanonického souboru , [4] [42] když je systém připojen do tepelného rezervoáru , se kterým si může vyměňovat energii. Odvození obecného vzorce je uvedeno níže .

Obecný vzorec je ekvivalentní následujícím výrazům:

${\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=k_{B}T$ pro všechny n .
${\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=0$ pro všechna m ≠ n .

Jestliže se stupeň volnosti x n objeví pouze jako kvadratický člen a n x n ² v hamiltoniánu H , pak první vzorec říká, že

k_{B}T={\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=2\langle a_{n} x_{n}^{2}\rangle ,

dvojnásobný příspěvek tohoto stupně volnosti k průměrné energii . Z obecného vzorce pak vyplývá ekvipartice pro systém s energiemi závislými na čtvercích souřadnic. Podobný argument pro stupeň s je obecně použitelný pro příspěvek ve tvaru a n x n s . $\langle H\rangle$

Stupně volnosti x n jsou souřadnice ve fázovém prostoru systému, a proto se obvykle dělí na zobecněné souřadnice q k a zobecněné hybnosti p k , kde p k je hybnost konjugovaná s q k . V tomto případě vzorec 1 znamená, že pro všechny k

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigl \rangle }={\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\částečné H}{\částečné q_{k))}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

Pomocí rovnic hamiltonovské mechaniky [ 5] lze tyto vzorce také přepsat jako

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigl \rangle }=-{\Bigl \langle }q_{k}{\frac {dp_{ k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

Formule 2 uvádí, že průměr

{\Bigl \langle }q_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigl \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{j}{ \frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial p_{k} )){\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\částečné H}{\částečné p_{k))}{\Bigr \rangle },

{\displaystyle {\Bigl \langle }p_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle ))

jsou nulové pro j≠k .

Souvislost s viriální větou

Obecná ekvipartiční věta je zobecněním viriální věty (navržena v roce 1870 [43] ) a zní

{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\ součet _{k}p_{k}{\frac {\částečné H}{\částečné p_{k))}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\součet _{k}p_{k}{ \frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}{ \Bigr \rangle },

kde t označuje čas . [5] Dva klíčové rozdíly mezi nimi jsou v tom, že viriální teorém k sobě vztahuje spíše „součet“ než „individuální“ průměry, a první z nich je nevztahuje k teplotě „T“. Dalším rozdílem je, že tradiční důkazy viriálního teorému používají průměrování po dlouhé časové období, zatímco equipartition teorém také používá průměrování fázového prostoru .

Aplikace

Stavová rovnice pro ideální plyn

K odvození stavové rovnice pro ideální plyn z klasické mechaniky se používá ekvipartiční teorém. [4] . Vzorec pro průměrnou kinetickou energii na částici, který bere v úvahu pouze tři translační stupně volnosti, je zapsán jako

{\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\frac {1}{2m))\langle p_{x}^{2}+p_{y}^ {2}+p_{z}^{2}\rangle \\&={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\částečné H ^{\mathrm {kin} }}{\částečné p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\částečné H^{\mathrm {kin} } }{\částečné p_{y))}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\částečné H^{\mathrm {kin} )){\částečné p_{z} )){\Bigr \rangle }{\biggr )}={\frac {3}{2}}k_{B}T\end{aligned}}

Jestliže q = ( q x , q y , q z ) a p = ( p x , p y , p z ) označují souřadnice a hybnost částice v plynu a F je síla působící na tuto částici, pak

{\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}} {\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigl \langle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigl \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\ Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\částečné H}{\částečné q_{y))}{\Bigl \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{ \frac {\partial H}{\partial q_{z))}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{aligned))

kde první rovnost je druhý Newtonův zákon a druhý řádek používá Hamiltonovy rovnice a equipartition. Součet nad systémem N částic vede k vyjádření

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\ biggr \rangle}.

Pomocí třetího Newtonova zákona a předpokladu, že plyn je ideální, získáme celkovou sílu v soustavě – sílu, která působí ze strany stěn nádoby na soustavu a tato síla je dána tlakem P plynu. tudíž

-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P \oint _{\mathrm {povrch} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} ,

kde dS je nekonečně malý plošný prvek stěn nádoby. Protože divergence vektoru poloměru q je

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} ={\frac {\částečné q_{x}}{\částečné q_{x}}}+{\frac {\částečné q_{y} }{\částečné q_{y))}+{\frac {\částečné q_{z)){\částečné q_{z))}=3,

pak z teorému o divergenci dostaneme

P\oint _{\mathrm {povrch} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} =P\int _{\mathrm {volume} }\left({\boldsymbol {\nabla ))\ cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,

kde dV je nekonečně malý objem uvnitř nádoby, V je její celkový objem.

Když dáme rovnice dohromady, dostaneme

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\ biggr \rangle }=3PV,

což vede ke stavové rovnici ideálního plynu pro N částic:

PV=Nk_{B}T=nRT,

kde n=N/N A je počet molů plynu a R=N A kB je plynová konstanta . [44]

Dvouatomové plyny

Dvouatomový plyn lze znázornit jako dvě hmoty m 1 a m 2 spojené navzájem pomocí pružiny o tuhosti a . [20] Klasická energie tohoto systému se zapisuje jako součet kinetických energií pohybu jednotlivých hmot a potenciální energie deformace pružiny:

H={\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\left|\mathbf {p} _ {2}\right|^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {1}{2}}aq^{2},

kde p 1 a p 2 jsou hybnosti dvou atomů, q je odchylka od rovnovážné polohy. Každý stupeň volnosti je kvadratickou funkcí, a proto musí přispívat ½ k B T k celkové střední energii a ½ k B ke měrnému teplu. Měrná tepelná kapacita plynu s N dvouatomovými molekulami se tedy musí rovnat 7N · ½ k B : hybnosti p 1 a p 2 dávají každý tři stupně volnosti a odchylka q přidává sedmý. Z toho vyplývá, že měrná tepelná kapacita jednoho molu plynu dvouatomových molekul bez jakýchkoli stupňů volnosti jiných než výše uvedených by měla být (7/2) N A k B = (7/2) R a tedy předpovězená molární měrná tepelná kapacita bude 7 cal / ( mol K ) . Měření zároveň ukázala, že molární měrná tepelná kapacita plynu dvouatomových molekul je 5 cal / ( mol K ) [28] a při velmi nízkých teplotách klesá na 3 cal /( mol K ) . [29] Tento rozpor mezi předpovězenou hodnotou ze zákona ekvipartice a experimentem nelze vysvětlit pomocí složitější struktury molekuly, protože s přidáním stupňů volnosti roste i predikovaná hodnota tepelné kapacity. [30] Tato neshoda byla jednou z klíčových, která požadovala správnější, a to kvantové představy o struktuře hmoty.

Ultrarelativistické ideální plyny

Zákon equipartition byl použit výše k odvození klasické stavové rovnice ideálního plynu z Newtonovy mechaniky . V některých systémech, jako jsou bílí trpaslíci a neutronové hvězdy , se však stávají dominantními relativistické efekty [6] a je třeba změnit stavovou rovnici ideálního plynu. Věta o ekvipartici poskytuje pohodlný způsob, jak odvodit odpovídající zákony pro ultrarelativistický ideální plyn . [4] V tomto případě je kinetická energie jednotlivé částice dána vztahem

H^{\mathrm {kin} }\approx cp=c{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}.

Získáme derivaci H vzhledem ke složce hybnosti p x

p_{x}{\frac {\částečné H^{\mathrm {kin} }}{\částečné p_{x}}}=c{\frac {p_{x}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}

a podobně pro složky p y a p z . Sečtením těchto tří složek dojdeme k výrazu pro průměrnou kinetickou energii

{\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\biggl \langle }c{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{ 2}+p_{z}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}{\biggr \rangle }\\&={\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\částečné H^{\mathrm {kin} }}{\částečné p_{x))}{\Bigl \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\částečné H^{\mathrm {kin} }}{\částečné p_{y))}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{ \frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }\\&=3k_{B}T\end{aligned}}

kde poslední rovnost vyplývá z ekvipartice. Průměrná celková energie ultrarelativistického plynu je tedy dvojnásobkem celkové energie plynu v nerelativistickém případě: pro N částic dostaneme 3 N k B T .

Neideální plyny

V ideálním plynu částice interagují pouze prostřednictvím srážek. Zákon equipartition může být použit k odvození výrazu pro tlak a energii „neideálních plynů“, ve kterých částice vzájemně interagují prostřednictvím konzervativních sil . Interakční potenciál U ( r ) těchto částic závisí pouze na vzdálenosti r mezi částicemi. [4] Tato situace je popsána v jednočásticovém modelu, kde zbývající částice v plynu tvoří sféricky symetrickou distribuci. Je vhodné zavést radiální distribuční funkci g(r) , takže hustota pravděpodobnosti nalezení částice ve vzdálenosti r od dané částice je rovna 4π r²ρ g(r) , kde ρ=N/V je průměr hustota plynu. [45] Z toho vyplývá, že průměrná potenciální energie interakce částice s jejím prostředím je rovna

\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle =\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}\rho U(r)g(r)\,dr.

Celková průměrná potenciální energie plynu je , kde N je počet částic v plynu a faktor ½ je nezbytný, protože sumace přes všechny částice zahrnuje každou interakci dvakrát. $\langle H^{pot}\rangle ={\tfrac {1}{2}}N\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle$

Po sečtení potenciální a kinetické energie a aplikaci ekvipartice získáme energetickou rovnici

H=\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {3}{2}}Nk_{B}T+2 \pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{2}U(r)g(r)\,dr.

Podobná úvaha [4] vede k rovnici pro tlak

3Nk_{B}T=3PV+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{3}U'(r)g(r)\,dr.

Anharmonické oscilátory

Pro anharmonický oscilátor (na rozdíl od jednoduchého harmonického oscilátoru ) není potenciální energie kvadratickou funkcí posunutí q (zobecněná souřadnice, která udává odchylku od rovnovážné polohy). Takové oscilátory umožňují širší pohled na zákon ekvipartice. [46] [47] Jako jednoduchý příklad uvažujme potenciální energetické funkce formy

H^{\mathrm {pot} }=Cq^{s},

kde C a s jsou libovolné reálné konstanty . V tomto případě zákon ekvipartice vede k výrazu

k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q)){\Bigr \rangle }=\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle =\langle sCq^{s}\rangle =s\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle .

Průměrná potenciální energie je tedy rovna kB T /s , a nikoli kB T/2 jako u kvadratického potenciálu harmonického oscilátoru (kde s =2) .

Obecněji může být typická energetická funkce jednorozměrného systému reprezentována jako Taylorova expanze v q :

{\displaystyle H^{\mathrm {pot} }=\sum _{n=2}^{\infty }C_{n}q^{n))

pro nezáporná celá čísla n . Člen s n = 1 chybí, protože v bodě rovnováhy není žádná výsledná síla a první derivace energie zaniká. Člen s n = 0 musí být zahrnut, protože potenciální energie v bodě rovnováhy může být zvolena libovolně (pro jednoduchost nula). V tomto případě ze zákona o ekvipartici vyplývá, že [46]

k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\sum _{n =2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle =\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n }\rozsah .

Na rozdíl od ostatních zde uvedených příkladů zákon ekvipartice

\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T-\sum _{n=3}^{\infty }\left({ \frac {n-2}{2}}\right)C_{n}\langle q^{n}\rangle

protože průměrnou potenciální energii nelze zapsat pomocí známých konstant.

Brownův pohyb

Zákon ekvipartice se používá k odvození směrodatné odchylky Brownovy částice pomocí Langevinovy rovnice . [4] Podle této rovnice se pohyb částice o hmotnosti m a rychlosti v řídí druhým Newtonovým zákonem

{\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {1}{m))\mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {v} }{\tau } }+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} ^{\mathrm {rnd} },

kde F rnd je náhodná síla, která popisuje náhodné srážky částice s okolními molekulami a kde časová konstanta odráží existenci třecí síly , která je směrována v opačném směru, než je pohyb. Síla tření je často psána jako úměrná rychlosti částice , v tomto případě je časová konstanta . $\tau$ $\mathbf {F} ^{\mathrm {drag} }=-\gamma \mathbf {v}$ $\tau$ $m/\gamma$

Skalární součin této rovnice a vektor umístění částice po zprůměrování (v průběhu času) vede k rovnici $\mathbf {r}$

{\Bigl \langle }\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt)){\Bigr \rangle }+{\frac {1}{\tau ))\ langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \rangle =0

pro Brownův pohyb (protože náhodná síla F rnd je nekorelovaná s vektorem r ). Použití matematických vztahů

{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {d}{dt}}\left(r^{2} \right)=2\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)

{\frac {d}{dt))\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdot {\frac {d \mathbf {v} }{dt}},

základní rovnici pro Brownův pohyb lze zapsat jako

{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt }}\langle r^{2}\rangle =2\langle v^{2}\rangle ={\frac {6}{m}}k_{B}T,

kde poslední rovnost vyplývá ze zákona ekvipartice pro kinetickou energii translačního pohybu:

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle ={\Bigl \langle }{\frac {p^{2}}{2m}}{\Bigr \rangle }=\langle {\tfrac { 1}{2}}mv^{2}\rangle ={\tfrac {3}{2}}k_{B}T.

Pak lze diferenciální rovnici pro (s vhodnými počátečními podmínkami) řešit přesně: $\langle r^{2}\rangle$

\langle r^{2}\rangle ={\frac {6k_{B}T\tau ^{2}}{m}}\left(e^{-t/\tau }-1+{\ frac {t}{\tau }}\right).

Pokud je čas malý ve srovnání s časovou konstantou ( ), pak lze částici považovat za volně se pohybující a pomocí Taylorova rozvoje pro exponenciální funkci, protože druhá mocnina posunutí roste přibližně kvadraticky , dostaneme $t\ll \tau$

\langle r^{2}\rangle \approx {\frac {3k_{B}T}{m}}t^{2}=\langle v^{2}\rangle t^{2}.

V časech mnohem větších než časová konstanta ( ), jsou exponenciální člen a konstanta zanedbatelně malé a druhá mocnina posunutí roste lineárně : $t\gg \tau$

\langle r^{2}\rangle \approx {\frac {6k_{B}T\tau }{m}}t=6\gamma k_{B}Tt.

Tento výraz popisuje difúzi částice v čase. Podobnou metodou je odvozena podobná rovnice pro rotační difúzi tuhé molekuly.

Fyzika hvězd

V astrofyzice se již dlouho používá ekvipartiční teorém a viriální teorém . [48] Například viriální teorém se používá k odhadu teplot hvězd nebo Chandrasekharova limitu pro hmotnost bílých trpaslíků . [49] [50]

Průměrná teplota hvězdy se odhaduje z ekvipartiční věty. [51] Protože většina hvězd je sféricky symetrická, celková gravitační potenciální energie se odhaduje pomocí integrálu

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}}M (r)\,\rho (r)\,dr,

kde M(r) je hmotnost uvnitř poloměru r , ρ(r) je hustota hvězdy na poloměru r , G je gravitační konstanta , R je celkový poloměr hvězdy. V případě konstantní hustoty hvězd vede integrace přes poloměr k vyjádření

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-{\frac {3GM^{2}}{5R)),

kde M je celková hmotnost hvězdy. Z toho vyplývá, že průměrná potenciální energie jedné částice je rovna

\langle H^{\mathrm {grav} }\rangle ={\frac {H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }}{N}}=-{\frac {3GM^ {2}}{5RN}},

kde N je počet částic ve hvězdě. Většina hvězd se skládá hlavně z ionizovaného vodíku , takže N je přibližně (M/ mp ) , kde mp je hmotnost protonu . Použití zákona ekvipartice poskytuje odhad teploty hvězdy

{\Bigl \langle }r{\frac {\partial H^{\mathrm {grav} }}{\partial r)){\Bigr \rangle }=\langle -H^{\mathrm {grav} }\rangle =k_{B}T={\frac {3GM^{2}}{5RN}}.

Po dosazení hmotnosti a poloměru Slunce do tohoto výrazu je odhadovaná sluneční teplota T 14 milionů kelvinů , což je velmi blízko teplotě jádra Slunce (15 milionů kelvinů). Je pravda, že zde je třeba poznamenat, že Slunce má mnohem složitější strukturu, než je v tomto zjednodušeném modelu akceptováno, a jeho teplota i hustota se silně mění v závislosti na poloměru a tak dobrá shoda (≈7 % relativní chyba ) je částečně naše štěstí. [52]

Vznik hvězd

Vzorce odvozené výše lze použít k určení podmínek pro vznik hvězd z obřích molekulárních mračen . [53]

Lokální kolísání hustoty v takových oblacích může vést k nestabilnímu stavu, kdy se oblak zhroutí pod svou vlastní vahou. K takovému kolapsu dochází, když již neplatí ekvipartiční teorém nebo ekvivalentně viriální teorém , tedy když je gravitační potenciální energie dvojnásobkem kinetické energie.

{\frac {3GM^{2}}{5R}}>3Nk_{B}T

Za předpokladu, že hustota oblaku je konstantní, podle vzorce $\rho$

M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho

lze získat odhad minimální hmotnosti pro zrození hvězdy, která se nazývá Jeansova hmotnost M J

M_{J}^{2}=\left({\frac {5k_{B}T}{Gm_{p))}\right)^{3}\left({\frac {3}{4 \pi \rho }}\right)

Dosazením hodnot typických hmotností v takto pozorovatelných oblacích ( T = 150 K, ρ = 2⋅10 −16 g/cm³) získáme minimální hmotnostní odhad 17 hmotností Slunce, což je v souladu s pozorovanou tvorbou hvězd. Tento efekt je známý jako džínová nestabilita . Je pojmenován po britském fyzikovi Jamesi Jeansovi , který v roce 1902 publikoval popis této nestability. [54]

Závěry

Kinetická energie a Maxwell-Boltzmannovo rozdělení

Původní formulace ekvipartiční věty říká, že ve fyzikálním systému v termodynamické rovnováze má každá částice stejnou průměrnou kinetickou energii , (3/2) k B T . [55] To lze ukázat pomocí Maxwell-Boltzmannovy distribuce (viz výše uvedený obrázek pro distribuci hustoty pravděpodobnosti molekulárních rychlostí ), což je rozdělení pravděpodobnosti

{\displaystyle f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}\!\!v^{2}\ exp {\Bigl (}{\frac {-mv^{2}}{2k_{B}T}}{\Bigr )))

pro rychlost částice o hmotnosti m v systému, kde rychlost v je amplituda vektoru rychlosti . ${\displaystyle {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))$ $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$

Maxwell-Boltzmannovo rozdělení je použitelné pro systém atomů a pouze předpokládá, že částicový systém je kanonickým souborem , zejména že kinetické energie jsou distribuovány podle Boltzmannova faktoru při teplotě T. [55] Průměrná kinetická energie pro částici o hmotnosti m je dána integrálním vzorcem

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle =\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle =\int _{0}^{\infty }{\ tfrac {1}{2}}mv^{2}\ f(v)\ dv={\tfrac {3}{2}}k_{B}T,

přesně jak říká ekvipartiční teorém. Stejného výsledku lze získat zprůměrováním energií částic a použitím pravděpodobnosti nalezení částice v nějakém energetickém kvantovém stavu [44] .

Kvadratické energie a rozdělovací funkce

V obecnější formulaci, ekvipartiční teorém říká, že jakýkoli stupeň volnosti , který se objeví v celkové energii pouze jako kvadratický člen formy , kde je konstanta, má v termodynamické rovnováze průměrnou energii ½ . V tomto případě lze ekvipartici odvodit z rozdělovací funkce , kde je reciproká teplota . [56] Integrace přes proměnnou udává faktor $X$ $H$ $Ax^{2}$ $A$ $k_{B}T$ $Z(\beta )$ $\beta =1/(k_{B}T)$ $X$

Z_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ e^{-\beta Ax^{2))={\sqrt {\frac {\pi }{\beta A }}},

ve vzorci pro . Průměrná energie spojená s tímto faktorem je dána $Z$

\langle H_{x}\rangle =-{\frac {\partial \ln Z_{x}}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {1}{2}}k_{B}T

jak říká ekvipartiční teorém.

Obecné důkazy

Obecné závěry věty o equipartition lze nalézt v mnoha učebnicích statistické mechaniky jak pro mikrokanonický soubor [4] [6] , tak pro kanonický soubor [4] [42] . Tyto metody zahrnují zprůměrování systému přes fázový prostor , což je symplektická varieta .

Abychom tyto závěry vysvětlili, musíme zavést následující zápis. Nejprve je fázový prostor popsán pomocí zobecněných souřadnic qj spolu s jejich konjugovanou hybností pj . Veličiny q j kompletně popisují konfiguraci systému, zároveň veličiny ( q j , p j ) dohromady kompletně popisují jeho stav .

Za druhé je zaveden nekonečně malý objem

{\displaystyle d\Gamma =\prod _{i}dq_{i}dp_{i))

fázový prostor a použijte jej jako objem Γ( E , Δ E ) té části fázového prostoru, kde energie systému H nabývá hodnoty v energetickém rozsahu mezi E a E+ΔE :

\Gamma (E,\Delta E)=\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}d\Gamma .

V tomto výrazu je ΔE velmi malé, ΔE<<E . Podobně je Σ( E ) definován jako celkový objem fázového prostoru, kde je energie menší než E :

\Sigma (E)=\int _{H<E}d\Gamma .

Vzhledem k malé velikosti ΔE jsou následující integrace ekvivalentní

\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}\ldots d\Gamma =\Delta E{\frac {\partial }{\partial E))\int _{H <E}\ldots d\Gamma ,

kde tečky představují integrovatelný výraz. Z toho vyplývá, že Γ je úměrné ΔE

\Gamma =\Delta E\ {\frac {\partial \Sigma }{\partial E))=\Delta E\ \rho (E),

kde ρ(E) je hustota stavů . Podle obvyklých definic ze statistické mechaniky je entropie S rovna kB log Σ(E) a teplota T je definována jako

{\frac {1}{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{b}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}} =k_{b}{\frac {1}{\Sigma }}\,{\frac {\partial \Sigma }{\partial E)).

Canonical Ensemble

V kanonickém souboru je systém v tepelné rovnováze s nekonečným tepelným rezervoárem při teplotě T (v kelvinech). [4] [42] Pravděpodobnost každého stavu ve fázovém prostoru je dána jeho Boltzmannovým multiplikátorem násobeným normalizačním faktorem , který je zvolen tak, aby součet pravděpodobností byl roven jedné $\mathcal{N}$

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma =1,

kde p = 1 / kBT . Integrace po částech pro proměnnou fázového prostoru x k (která může být buď q k nebo p k ) mezi dvěma limity a a b vede k rovnici

{\mathcal {N}}\int \left[e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\right]_{x_{k}=a}^{x_{k} =b}d\Gamma _{k}+{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\beta {\frac {\částečné H}{\částečné x_{k}}}d\Gamma =1,

kde dΓk = dΓ/dxk , to znamená, že první integrace není provedena přes xk . První člen je obvykle nulový, protože x k je na mezích nula, nebo protože energie na mezích diverguje. V tomto případě z této rovnice bezprostředně vyplývá ekvipartiční teorém

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k))}\,d\ Gama ={\Bigl \langle }x_{k}{\frac {\částečné H}{\částečné x_{k))}{\Bigr \rangle }={\frac {1}{\beta ))=k_{ B}T.

Průměrování zde znamená průměrování přes kanonický soubor . $\langle \ldots \rangle$

Microcanonical Ensemble

V mikrokanonickém souboru je systém izolován od zbytku světa nebo alespoň volně spojen. [6] Z toho vyplývá, že jeho celková energie je konstanta. Nechť je pro jistotu celková energie H mezi E a E+ΔE . Pro danou energii E a nejistotu AE existuje oblast ve fázovém prostoru Γ, kde má systém tuto energii a pravděpodobnosti každého stavu v této oblasti fázového prostoru jsou stejné, podle definice mikrokanonického souboru. Z těchto definic vyplývá, že průměrování proměnných ve fázovém prostoru x m (které mohou být buď q k nebo p k ) a x n je dáno vztahem

{\begin{aligned}{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }&={\frac {1} {\Gamma ))\,\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}x_{m}{\frac {\částečné H}{\částečné x_{n))}\, d\Gamma \\&={\frac {\Delta E}{\Gamma }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}\,d\Gamma \\&={\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\ int _{H<E}x_{m}{\frac {\částečné \left(HE\right)}{\částečné x_{n))}\,d\Gamma ,\end{aligned))

kde poslední rovnost vyplývá ze skutečnosti, že E nezávisí na x n . Integrace po částech vede ke vztahu

{\begin{aligned}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial (HE)}{\partial x_{n))}\,d\Gamma &=\int _ {H<E}{\frac {\partial }{\partial x_{n))}{\bigl (}x_{m}(HE){\bigr )}\,d\Gamma -\int _{H< E}\delta _{mn}(HE)d\Gamma \\&=\delta _{mn}\int _{H<E}(EH)\,d\Gamma ,\end{aligned}}

protože první člen vpravo v prvním řádku je roven nule (lze jej zapsat jako integrál H - E nad hyperprostorem , kde H = E ).

Dosazením tohoto výsledku do předchozí rovnice dostaneme

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\frac {1}{ \rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(EH\right)\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac { 1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {\Sigma }{\rho )).

Protože zákon ekvipartice říká: $\rho ={\frac {\partial \Sigma }{\partial E))$

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\částečné H}{\částečné x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\Bigl (}{\ frac {1}{\Sigma }}{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac { \partial \log \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}k_{B}T.

Tak jsme dostali obecnou formulaci ekvipartiční věty

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T,

který byl použit ve výše uvedených aplikacích .

Použitelnost

Požadavek ergodicity

Zákon ekvipartice platí pouze pro ergodické systémy v termodynamické rovnováze , což znamená, že všechny stavy stejné energie musí být naplněny se stejnou pravděpodobností. [6] Proto by mělo být možné vyměňovat energii mezi jejími různými formami v rámci systému nebo s externím tepelným zásobníkem v kanonickém souboru . Počet fyzikálních systémů, pro které je znám rigorózní důkaz ergodicity, je malý. Nejznámějším příkladem je Jacob Sinai systém tvrdých míčků . [57] Studované požadavky na izolované systémy se zaručenou ergodicitou, a tedy ekvipartičností, poskytly předpoklady pro moderní teorii chaosu dynamických systémů . Chaotický hamiltonovský systém nemusí být ergodický, i když je to obvykle dobrá aproximace. [58]

Systém sdružených harmonických oscilátorů je běžně citovaným protipříkladem, protože energie není sdílena mezi jeho různými formami a ekvipartice v mikrokanonickém souboru neplatí. [58] Pokud je systém izolován od zbytku světa, energie v každém normálním režimu je konstantní a žádná energie se nepřenáší z jednoho režimu do druhého. Proto pro takový systém neplatí zákon ekvipartice, protože množství energie v každém normálním režimu je určeno jeho počáteční hodnotou. Pokud jsou v energii dostatečně silné nelineární členy, pak může být přerozdělena mezi normální módy, což vede k tomu, že je splněn zákon ekvipartice. Kolmogorov-Arnold-Moserův teorém však říká, že nelineární poruchy musí být dostatečně silné, aby přerozdělily energii; jinak, když jsou malé, zůstane energie koncentrovaná alespoň v některých režimech.

Omezení stanovená kvantovou mechanikou

Zákon ekvipartice je porušen, když se tepelná energie kB T stane mnohem menší, než je vzdálenost mezi energetickými hladinami. Ekvipartition nefunguje, protože předpoklad spojitého spektra energetických hladin, který byl použit výše při odvození zákona ekvipartition, již není dobrou aproximací. [4] [6] Nemožnost vysvětlení měrného tepla a záření černého tělesa pomocí klasické věty o ekvipartici sloužila historicky jako hlavní důvod pro uvědomění si skutečnosti, že jsou potřeba nové teorie hmoty a záření, a to kvantová mechanika a kvantová teorie pole . [osm]

Pro ilustraci porušení equipartition teorému uvažujme průměrnou energii jediného (kvantového) harmonického oscilátoru, která byla probrána výše pro klasický případ. Jeho kvantové úrovně jsou dány jako E n = nhν , kde h je Planckova konstanta , ν je základní frekvence oscilátoru a n je kladné celé číslo. Pravděpodobnost, že daná hladina energie bude naplněna v kanonickém souboru , je dána jeho Boltzmannovým multiplikátorem:

P(E_{n})={\frac {e^{-n\beta h\nu }}{Z)),

kde β = 1/ k B T a jmenovatel Z je dělicí funkce , zde geometrická řada

Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta h\nu }={\frac {1}{1-e^{-\beta h\nu }} }.

Jeho průměrná energie je dána jako

\langle H\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}P(E_{n})={\frac {1}{Z}}\sum _{n= 0}^{\infty }nh\nu \ e^{-n\beta h\nu }=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\částečné Z}{\částečné \beta }}= -{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta )).

Dosazením vzorce za Z dojdeme k požadovanému výsledku [6]

\langle H\rangle =h\nu {\frac {e^{-\beta h\nu }}{1-e^{-\beta h\nu }}}.

Při vysokých teplotách, kdy je tepelná energie kB T mnohem větší než vzdálenost hν mezi energetickými hladinami, se ukáže, že exponenciála βhν je mnohem menší než jedna a průměrná energie se v souladu se zákonem ekvipartice rovná kB T . (viz graf). Avšak při nízkých teplotách, kdy hν >> k B T , má průměrná energie tendenci k nule — úrovně vysokofrekvenční energie „zamrznou“ (viz graf). Jako další příklad, excitované elektronové stavy atomu vodíku nepřispívají ke specifické tepelné kapacitě plynu při pokojové teplotě, protože tepelná energie kB T (přibližně 0,025 eV ) je mnohem menší než vzdálenost mezi základním stavem a první excitovaná hladina (přibližně 10 eV ).

Podobné úvahy platí bez ohledu na to, zda je vzdálenost mezi energetickými hladinami větší než tepelná energie. Například tento předpoklad použil Albert Einstein k vyřešení katastrofy ultrafialového záření černého tělesa. [59] Paradox vyplývá ze skutečnosti, že v uzavřené nádobě existuje nekonečné množství nezávislých módů elektromagnetického pole , z nichž každý je považován za harmonický oscilátor. Pokud má každý elektromagnetický mód průměrnou energii kB T , pak bude nádoba obsahovat nekonečnou energii . [59] [60] Nicméně z výše uvedeného důvodu má průměrná energie ve vysokofrekvenčních režimech tendenci k nule, protože frekvence jde do nekonečna; navíc ze stejného důvodu vyplývá i Planckův zákon záření černého tělesa , který vyplývá z experimentálně zjištěného rozložení energie přes vidy. [59]

Existují jemnější kvantové efekty, které mohou vést k opravám equipartition teorému, jako jsou identity částic a spojité symetrie . Účinky nerozlišitelnosti částic mohou převládat při vysokých koncentracích a nízkých teplotách. Například valenční elektrony v kovu mohou mít průměrnou kinetickou energii několik elektronvoltů , což odpovídá teplotě desítek tisíc stupňů. Tyto elektrony ve stavu, kdy je jejich hustota tak vysoká, že Pauliho vylučovací princip znemožňuje klasický přístup, tvoří degenerovaný Fermiho plyn . Tyto plyny jsou důležité ve struktuře bílých trpaslíků a neutronových hvězd . Při nízkých teplotách se tvoří fermionický analog Bose-Einsteinova kondenzátu (ve kterém mnoho identických částic zaujímá základní energetický stav); takové supratekuté elektrony jsou zodpovědné za supravodivost .

Viz také

Poznámky

↑ Zde, jak vidíte, se pojem stupeň volnosti používá v onom „termodynamickém“ smyslu, který je poněkud odlišný od obvyklého ve fyzice, a sice (ve verzi uvedené v tomto článku): souřadnicový (zodpovědný za potenciální energii ) a rychlost (zodpovědná za kinetickou), přičemž obvykle se souřadnici a odpovídající rychlosti přisuzuje stejný stupeň volnosti. Je snadné vidět, že v tomto kontextu je taková změna ve významu termínu ospravedlněna jednoduchostí formulace věty. Všimněte si, že souřadnice, na kterých potenciální energie nezávisí (alespoň v první aproximaci) kvadraticky (a to jsou souřadnice odpovídající translačnímu a rotačnímu pohybu molekuly), se na potenciální energii podílejí zanedbatelně, i když obvyklý příspěvek je ½ k B T ke kinetické energii. Charakteristickým rysem vibračních stupňů volnosti, jejichž potenciální energie je kvadratická (alespoň přibližně), je to, že v oscilačních systémech blízkých harmonii je potenciální energie rovna kinetické energii pro volné vibrace.
↑ 1 2 Kundt, A. ; Warburg E. Über die specifische Wärme des Quecksilbergases (O specifickém teple rtuťových plynů) (anglicky) // Annalen der Physik : journal. - 1876. - Sv. 157 . - str. 353-369 . Archivováno z originálu 13. dubna 2013. (Němec)
↑ Fact Sheet on Uranium Enrichment Archived 25. února 2021 u Wayback Machine US Nuclear Regulatory Commission. Zpřístupněno 30. dubna 2007
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pathria, RK Statistická mechanika. — Pergamon Press, 1972. - S. 43-48, 73-74. — ISBN 0-08-016747-0 .
↑ 1 2 3 Goldstein, H. Klasická mechanika. — 2. vyd. - Addison-Wesley , 1980. - ISBN 0-201-02918-9 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Huang, K. Statistická mechanika. - 2. vyd.. - John Wiley and Sons , 1987. - S. 136-138.
↑ 12 Mandl , F. Statistická fyzika . - John Wiley and Sons , 1971. - S. 213-219 .
↑ 1 2 3 4 Pais, A. Jemný je Hospodin . - Oxford University Press , 1982. - ISBN 0-19-853907-X .
↑ 1 2 Tolman, RC Obecná teorie dělení energie s aplikacemi na kvantovou teorii // Physical Review : journal . - 1918. - Sv. 11 . - str. 261-275 .
↑ Miedl M., Garcia M., Bamforth C. Tvorba zákalu v modelových pivních systémech // J. Agric . potravinářská chem. : deník. - 2005. - Sv. 53 , č. 26 . - S. 10161-10165 . - doi : 10.1021/jf0506941 . — PMID 16366710 .
↑ Mason, M; Weaver W. Usazování malých částic v tekutině // Physical Review : journal . - 1924. - Sv. 23 . - str. 412-426 . - doi : 10.1103/PhysRev.23.412 .
↑ Štětec, SG Druh pohybu, kterému říkáme teplo, svazek 1 . - Amsterdam: Severní Holandsko, 1976. - S. 134-159. — ISBN 978-0444870094 .
↑ Štětec, SG Druh pohybu, kterému říkáme teplo, svazek 2 . - Amsterdam: Severní Holandsko, 1976. - S. 336-339. — ISBN 978-0444870094 .
↑ Waterston, JJ . O fyzice médií, která jsou složena z volných a pružných molekul ve stavu pohybu (anglicky) // Roy. soc. Proč. : deník. — 1846/1893. — Sv. 5 . — S. 604 . (abstraktní). Plně publikováno do {{{title}}} // Philos. Trans. R. Soc. Londýn. - 1893. - T. A183 . - S. 1-79 . Znovu publikováno Sebrané vědecké práce Johna Jamese Waterstona / JS Haldane. — Edinburgh: Oliver & Boyd, 1928.
↑ Waterston, JJ Myšlenky o mentálních funkcích. - 1843. (Přetištěno ve svých Listech , 3 , 167, 183.)
↑ Waterston, JJ {{{title}}} // Zprávy Britské asociace. - 1851. - T. 21 . - S. 6 . Waterstonův hlavní dokument byl napsán a podán v roce 1845 u Royal Society . Společnost poté, co odmítla dílo otisknout, odmítla vrátit i rukopis a ponechala jej mezi ostatními články v archivu. Rukopis byl nalezen v roce 1891 lordem Rayleighem , který kritizoval referenta za to, že nerozpoznal význam Waterstonovy práce. Waterstonovi se podařilo publikovat své myšlenky v roce 1851, a tak předběhl Maxwella v předložení první verze equipartition teorému.
↑ Maxwell, JC Illustrations of the Dynamical Theory of Gases // The Scientific Papers of James Clerk Maxwell / WD Niven. - New York: Dover, 2003. - S. svazek 1, str. 377-409. — ISBN 978-0486495606 . Čte prof. Maxwell na zasedání Britské asociace v Aberdeenu dne 21. září 1859 .
↑ Boltzmann, L. Einige allgemeine Sätze über Wärmegleichgewicht (Některá obecná tvrzení o tepelné rovnováze) (německy) // Wiener Berichte : časopis. - 1871. - Bd. 63 . - S. 679-711 . (German) V této předběžné práci Boltzmann ukázal, že průměrná celková kinetická energie se rovná průměrné celkové potenciální energii, když na systém působí vnější harmonické síly.
↑ Boltzmann, L. Über die Natur der Gasmoleküle (O povaze molekul plynu) // Wiener Berichte. - 1876. - T. 74 . - S. 553-560 . (Němec)
↑ 1 2 McQuarrie, D. A. Statistická mechanika . - přepracované 2. vyd. - Univerzitní vědecké knihy, 2000. - s . 91-128 .
↑ Petit, A. T. ; Dulong PL Recherches sur quelques points importants de la théorie de la chaleur (Studie klíčových bodů v teorii tepla) (francouzsky) // Annales de Chimie et de Physique :časopis. - 1819. - Sv. 10 . - str. 395-413 . Archivováno z originálu 22. ledna 2009. (fr.)
↑ Dewar, J. Specific Heat of Carbon at High Temperatures // Philosophical Magazine : journal . - 1872. - Sv. 44 . - str. 461 .
↑ Weber, H.F. Die specifische Wärme des Kohlenstoffs (Specifické teplo uhlíku) (anglicky) // Annalen der Physik : journal. - 1872. - Sv. 147 . - str. 311-319 . Archivováno z originálu 10. prosince 2006. (Němec)
↑ Weber, HF Die specifische Wärmen der Elemente Kohlenstoff, Bor und Silicium (Specifická tepla elementárního uhlíku, boru a křemíku ) // Annalen der Physik : journal. - 1875. - Sv. 154 . - str. 367-423, 553-582 . (nedostupný odkaz) (německy)
↑ de la Rive, A.; Marcet F. Quelques recherches sur la chaleur spécifique (Některý výzkum specifického tepla) (francouzsky) // Annales de Chimie et de Physique :časopis. - 1840. - Sv. 75 . - S. 113-144 . Archivováno z originálu 27. dubna 2021. (fr.)
↑ Regnault, HV Recherches sur la chaleur spécifique des corps simples et des corps composés (deuxième Mémoire) (Studie specifických taveb jednoduchých a složených těles) (francouzsky) // Annales de Chimie et de Physique :časopis. - 1841. - Sv. 1 (série 3me) . - S. 129-207 . Archivováno z originálu 13. dubna 2013. (francouzsky) Přečtěte si v l'Académie des Sciences dne 11. ledna 1841 .
↑ Wigand, A. Über Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärme fester Elemente (O teplotní závislosti měrných tepel pevných látek ) // Annalen der Physik : journal. - 1907. - Sv. 22 . - str. 99-106 . (Němec)
↑ 1 2 Wüller, A. Lehrbuch der Experimentalphysik (Učebnice experimentální fyziky ) . - Lipsko: Teubner, 1896. - P. Sv. 2,507 a násl. (Němec)
↑ 1 2 Eucken, A. Die Molekularwärme des Wasserstoffs bei tiefen Temperaturen (Molekulární specifické teplo vodíku při nízkých teplotách ) // Sitzungsberichte der königlichen Preussischen Akademie der Wissenschaften : journal. - 1912. - Sv. 1912 . - S. 141-151 . (Němec)
↑ 1 2 Maxwell, JC O dynamických důkazech molekulární konstituce těles // The Scientific Papers of James Clerk Maxwell / WD Niven. - Cambridge: At the University Press, 1890. - P. Vol. 2, s. 418-438. Přednáška profesora Maxwella pro Chemical Society dne 18. února 1875 .
↑ 1 2 Kittel, C. Úvod do fyziky pevných látek. - New York: John Wiley and Sons , 1996. - S. 151-156.
↑ Boltzmann, L. K určitým otázkám teorie plynů // Příroda . - 1895. - Sv. 51 . - str. 413-415 .
↑ Thomson, W. Baltimore Lectures. — Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1904. - S. Sec. 27. Přetištěno v roce 1987 nakladatelstvím MIT Press jako Kelvinovy Baltimore Lectures and Modern Theoretical Physics: Historical and Philosophical Perspectives (Robert Kargon a Peter Achinstein, editoři). ISBN 978-0-262-11117-1
↑ Rayleigh, JWS Zákon dělení kinetické energie // Filosofický časopis : časopis . - 1900. - Sv. 49 . - str. 98-118 .
↑ Einstein, A. Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme (Planckova teorie záření a teorie specifického tepla) // Annalen der Physik . - 1907. - T. 22 . - S. 180-190 . (Němec)
↑ Einstein, A. Berichtigung zu meiner Arbeit: 'Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme' (Oprava předchozího článku) (německy) // Annalen der Physik : časopis. - 1907. - Bd. 22 . — S. 800 . (Němec)
↑ Einstein, A. Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten a der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül (Spojení mezi elastickým chováním a specifickým teplem pevných látek s jednoatomovými molekulami) // Annalen der Physik . - 1911. - T. 34 . - S. 170-174 . Archivováno 20. května 2020. (Němec)
↑ Einstein, A. Bemerkung zu meiner Arbeit: 'Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten and der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül' (Komentář k předchozímu článku) (německy) // Annalen der ma Phyzinik . - 1911. - Bd. 34 . - S. 590 . Archivováno 20. května 2020. (Němec)
↑ Einstein, A. Elementare Betrachtungen über die thermische Molekularbewegung in festen Körpern (Elementární pozorování tepelných pohybů molekul v pevných látkách) // Annalen der Physik . - 1911. - T. 35 . - S. 679-694 . Archivováno z originálu 27. dubna 2021. (Němec)
↑ Nernst, W. Untersuchungen über die spezifische Wärme bei tiefen Temperaturen. II. (Vyšetřování specifického tepla při nízkých teplotách) // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften: journal. - 1910. - Sv. 1910 . - str. 262-282 . (Němec)
↑ Hermann, Armin. The Genesis of Quantum Theory (1899–1913) (anglicky) . — původní název: Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913) , přeložil Claude W. Nash. - Cambridge, MA: The MIT Press , 1971. - S. 124-145 . - ISBN 0-262-08047-8 , .
↑ 1 2 3 Tolman, R. C. Principy statistické mechaniky. - New York: Dover Publications , 1938. - s. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .
↑ Clausius, R. Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz (německy) // Annalen der Physik : magazin. - 1870. - Bd. 141 . - S. 124-130 . Archivováno z originálu 8. března 2021. (německy)
Clausius, RJE O mechanické větě použitelné pro teplo // Philosophical Magazine, Ser. 4. - 1870. - T. 40 . - S. 122-127 .
↑ 1 2 L. Vu-Quoc, Konfigurační integrál (statistická mechanika) Archivováno 11. října 2008. , 2008.
↑ McQuarrie, D. A. Statistická mechanika . - přepracované 2. vyd. - Univerzitní vědecké knihy, 2000. - s . 254-264 . — ISBN 978-1891389153 .
↑ 1 2 Tolman, R. C. Statistical Mechanics, with Applications to Physics and Chemistry . - Chemical Catalog Company, 1927. - S. 76-77.
↑ Terletskii, YP statistická fyzika. — přeloženo: N. Fröman. - Amsterdam: North-Holland, 1971. - S. 83-84. - ISBN 0-7204-0221-2 , .
↑ Collins, GW The Virial Theorem in Stellar Astrofysics . — Pachart Press, 1978. Archivováno 4. prosince 2010 ve Wayback Machine
↑ Chandrasekhar, S. Úvod do studia struktury hvězd . - Chicago: University of Chicago Press , 1939. - S. 49-53.
↑ Kourganoff, V. Úvod do pokročilé astrofyziky. — Dordrecht, Holandsko: D. Reidel, 1980. - S. 59-60, 134-140, 181-184.
↑ Chiu, H.-Y. Stellar Physics, svazek I. - Waltham, MA: Blaisdell Publishing, 1968.
↑ Noyes, R.W. Slunce, naše hvězda . - Cambridge, MA: Harvard University Press , 1982. - ISBN 0-674-85435-7 .
↑ Ostlie, D.A.; Carroll BW Úvod do moderní hvězdné astrofyziky . - Reading, MA: Addison-Wesley , 1996. - ISBN 0-201-59880-9 .
↑ Jeans, JH Stabilita kulové mlhoviny // Phil . Trans. A : deník. - 1902. - Sv. 199 . - str. 1-53 . doi : 10.1098 / rsta.1902.0012 .
↑ 1 2 McQuarrie, D. A. Statistická mechanika . - přepracované 2. vyd. - Univerzitní vědecké knihy, 2000. - s . 121-128 . — ISBN 978-1891389153 .
↑ Callen, HB Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics . - New York: John Wiley and Sons , 1985. - S. 375-377 . — ISBN 0-471-86256-8 .
↑ Arnold, VI ; Avez A. Théorie ergodique des systéms dynamiques. — Gauthier-Villars, Paříž. (francouzské) (anglické vydání: Benjamin-Cummings, Reading, Mass. 1968), 1967.
↑ 1 2 Reichl, LE Moderní kurz statistické fyziky. - 2. vydání .. - Wiley Interscience , 1998. - S. 326-333. — ISBN 978-0471595205 .
↑ 1 2 3 Einstein, A. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Heuristický model tvorby a přeměny světla) (německy) // Annalen der Physik : časopis. - 1905. - Bd. 17 . - S. 132-148 . - doi : 10.1002/andp.19053220607 . (nedostupný odkaz) (německy) . Anglický překlad je k dispozici na Wikisource .
↑ Rayleigh, JWS Remarks on the Law of Complete Radiation // Philosophical Magazine : journal . - 1900. - Sv. 49 . - S. 539-540 .

Literatura

K Huang . Statistická mechanika. — 2. vyd. - John Wiley and Sons , 1987. - S. 136-138. — ISBN 0-471-81518-7 .
AI Khinchin . Matematické základy statistické mechaniky / Per. G. Gamow . - New York: Dover Publications , 1949. - S. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .
L.D. Landau , E.M. Lifshitz . Statistická fyzika, část 1. - 3. vydání. - Pergamon Press , 1980. - S. 129-132. — ISBN 0-08-023039-3 .
F. Mandl. Statistická fyzika . - John Wiley and Sons , 1971. - S. 213-219 . - ISBN 0-471-56658-6 .
F. Mohling. Statistická mechanika: Metody a aplikace. - John Wiley and Sons , 1982. - S. 137-139, 270-273, 280, 285-292. — ISBN 0-470-27340-2 .
RK Patria. Statistická mechanika. - Pergamon Press , 1972. - S. 43-48, 73-74. — ISBN 0-08-016747-0 .
W. Pauli . Pauli Lectures on Physics: Volume 4. Statistical Mechanics. - MIT Press , 1973. - S. 27-40. — ISBN 0-262-16049-8 .
R. C. Tolman . Statistická mechanika s aplikacemi ve fyzice a chemii. - Chemical Catalog Company , 1927. - S. 72-81.
R. C. Tolman . Základy statistické mechaniky. - New York: Dover Publications , 1938. - S. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .

Odkazy

Applet archivovaný 6. srpna 2020 na Wayback Machine demonstrující zákon ekvipartice v reálném čase pro směs monatomických a dvouatomových plynů
Teorém ekvipartice ve fyzice hvězd , napsaný Nirem J. Shavivem, docentem na Racah Institute of Physics na Hebrejské univerzitě v Jeruzalémě .