Kvantová elektrodynamika

Kvantová elektrodynamika (QED) - kvantová teorie pole elektromagnetických interakcí ; nejrozvinutější část kvantové teorie pole . Klasická elektrodynamika bere v úvahu pouze spojité vlastnosti elektromagnetického pole , zatímco kvantová elektrodynamika je založena na myšlence, že elektromagnetické pole má také nespojité (diskrétní) vlastnosti, jejichž nositeli jsou kvanta pole – fotony . Interakce elektromagnetického záření s nabitými částicemi je v kvantové elektrodynamice považována za absorpci a emisi fotonů částicemi.

Kvantová elektrodynamika kvantitativně vysvětluje účinky interakce záření s hmotou (emise, absorpce a rozptyl ) a také důsledně popisuje elektromagnetické interakce mezi nabitými částicemi. Mezi nejdůležitější problémy, které nenašly vysvětlení v klasické elektrodynamice, ale jsou úspěšně vyřešeny kvantovou elektrodynamikou, jsou tepelné záření těles, rozptyl rentgenového záření volnými (přesněji slabě vázanými) elektrony ( Comptonův jev ), emise a absorpce fotonů atomy a složitějšími systémy , emise fotonů při rozptylu rychlých elektronů ve vnějších polích ( brzdné záření ) a další procesy interakce elektronů , pozitronů a fotonů . Menší úspěch teorie při uvažování procesů zahrnujících jiné částice je dán tím, že v těchto procesech hrají důležitou roli kromě elektromagnetických interakcí i další základní interakce ( silné a slabé ).

Matematicky lze QED popsat jako poruchovou teorii elektromagnetického vakua . Richard Feynman jej nazval „perlou fyziky“ pro extrémně přesné předpovědi takových veličin, jako je anomální magnetický moment elektronu a Lambův posun energetických hladin atomu vodíku [ 1] :Ch1 .

Historie

První formulace kvantové teorie, která popisovala vzájemné ovlivňování záření a hmoty, je připisována britskému fyzikovi Paulu Diracovi , který (během 20. let) dokázal vypočítat spontánní emisivitu atomu . [2] [3]

Dirac zvažoval quantization elektromagnetického pole jako soubor harmonických oscilátorů používat představu o vytvoření částice a operátory zničení . [4] V pozdějších letech, díky příspěvkům Wolfganga Pauliho , Eugena Wignera , Pascuala Jordana , Wernera Heisenberga a elegantní formulaci kvantové elektrodynamiky Enrica Fermiho [5] , fyzici dospěli k závěru, že je v zásadě možné provádět jakýkoli výpočet pro jakýkoli fyzikální proces zahrnující fotony a nabité částice. Nicméně další výzkum Felixe Blocha s Arnoldem Nordsieckem [6] a Viktorem Weiskopfem [7] v letech 1937 a 1939 ukázal, že takové výpočty se ukázaly být spolehlivé pouze v prvním řádu poruchové teorie , což je problém, na který dříve upozornil Robert Oppenheimer . [8] U vyšších řádů se v sérii objevila nekonečna, takže takové výpočty ztratily smysl a vyvolaly vážné pochybnosti o vnitřní konzistenci samotné teorie. Protože v té době nebylo známo žádné řešení tohoto problému, zdálo se, že mezi speciální teorií relativity a kvantovou mechanikou existuje zásadní neslučitelnost .

Potíže s teorií rostly až do konce čtyřicátých let. Vylepšení mikrovlnné technologie umožnilo přesněji měřit posun hladin atomu vodíku [9] , nyní známý jako Lambův posun , a magnetický moment elektronu. [10] Tyto experimenty odhalily nesrovnalosti, které teorie nedokázala vysvětlit.

První náznak možného východiska podal Hans Bethe v roce 1947 po účasti na konferenci Shelter Island [11] . Ve vlaku z konference do Schenectady provedl první nerelativistický výpočet čárového posunu atomu vodíku měřeného Lambem a Riserfordem . [12] Přes výpočetní omezení byla shoda vynikající. Myšlenka byla jednoduše přidat nekonečna ke korekcím hmotnosti a náboje , které byly ve skutečnosti experimentálně fixovány na konečnou hodnotu. Nekonečna jsou tedy absorbována těmito konstantami a dávají konečný výsledek v dobré shodě s experimentem. Tento postup se nazývá renormalizace .

Na základě Betheiny intuice a základní práce na toto téma od Shinichiro Tomonaga [ 13] Julian Schwinger [ 14] [15] Richard Feynman [16] [17] [18] a Freeman Dyson [ 19] [20] to bylo konečně je možné získat plně kovariantní formulace, které jsou konečné v libovolném pořadí v poruchové řadě pro kvantovou elektrodynamiku. Shinichiro Tomonaga, Julian Schwinger a Richard Feynman byli společně oceněni v roce 1965 Nobelovou cenou za fyziku za svou práci v této oblasti. [21] Jejich příspěvky a příspěvky Freemana Dysona se týkaly kovariantních a měřidelně invariantních formulací kvantové elektrodynamiky, které umožňují vypočítat pozorovatelné veličiny poruchové teorie v libovolném pořadí . Feynmanova matematická technika založená na jeho diagramech se zpočátku zdála velmi odlišná od pole teoretického a operátorského přístupu Schwingera a Tomonagy, ale Freeman Dyson později ukázal, že oba přístupy jsou ekvivalentní. Renormalizace , tj. potřeba dát fyzikální význam některým nekonečnům, která se v teorii objevují prostřednictvím integrálů , se následně stala jedním ze základních aspektů kvantové teorie pole a začala být vnímána jako kritérium pro celkovou konzistenci teorie. Ačkoli renormalizace funguje v praxi velmi dobře, Feynman si nikdy nebyl zcela jistý její matematickou platností, dokonce označoval renormalizaci jako „hru s mušlí“ a „hokus-pokus“ [1] :128 .

QED sloužil jako model a šablona pro všechny následující teorie kvantového pole. Jednou z takových následných teorií je kvantová chromodynamika , která vznikla na počátku 60. let a svou současnou podobu získala v 70. letech 20. století prací H. Davida Politzera , Sidneyho Colemana , Davida Grosse a Franka Wilczka . Na základě průkopnické práce Schwingera , Geralda Guralnika , Dicka Hagena a Toma Kibblea , [22] [23] Petera Higgse , Geoffreyho Goldstonea a dalších, Sheldon Lee Glashow , Steven Weinberg a Abdus Salam nezávisle na sobě ukázali, jak může slabá síla a kvantová elektrodynamika být spojeny do jedné společné elektroslabé interakce .

Feynmanův pohled na kvantovou elektrodynamiku

Úvod

Richard Feynman přednesl na sklonku svého života sérii přednášek QED určených pro širokou veřejnost. Tyto přednášky byly přepsány a publikovány jako kniha Feynmana v roce 1985, QED: The Strange Theory of Light and Matter [1] , klasický nematematický výklad QED z hlediska uvedeného níže.

Klíčovými součástmi Feynmanova QED jsou tři hlavní procesy. [1] : 85

Foton se pohybuje z jedné polohy v prostoru a čase do jiné polohy a času. Elektron se pohybuje z jedné polohy v prostoru a čase do jiné polohy a času. Elektron emituje nebo absorbuje foton v určitém bodě prostoru a v určitém čase.

Tyto procesy jsou prezentovány ve zjednodušené vizualizaci pomocí tří hlavních prvků Feynmanových diagramů : vlnovka pro foton, přímka pro elektron a spojení dvou přímých čar a vlnovky pro označení vrcholu reprezentujícího emisi resp. absorpce fotonu elektronem. To vše je vidět na obrázku.

Kromě vizuálního označení procesů zavádí Feynman další typ označení pro číselné veličiny, nazývané amplitudy pravděpodobnosti. Pravděpodobnost je druhá mocnina absolutní hodnoty amplitudy celkové pravděpodobnosti, . Pokud se foton přesune z jedné pozice v prostoru a čase do jiné polohy a času , pak se přidružená veličina zapíše ve Feynmanově zkratce jako . Podobná hodnota pro elektron pohybující se z do se zapisuje jako . Hodnotu, která vypovídá o amplitudě pravděpodobnosti emise nebo absorpce fotonu, nazývá j . Souvisí s elementárním nábojem elektronu e , ale není s ním identický. [1] : 91 ${\text{pravděpodobnost}}=|f({\text{amplitude}})|^{2}$ $A$ $B$ $P(A{\text{ až }}B)$ $C$ $D$ $E(C{\text{ až }}D)$

QED je založen na předpokladu, že komplexní interakce mnoha elektronů a fotonů mohou být reprezentovány výběrem vhodné sady výše uvedených tří stavebních bloků a následným použitím amplitud pravděpodobnosti pro výpočet pravděpodobnosti jakékoli takové komplexní interakce. Ukazuje se, že základní myšlenku QED lze vyjádřit za předpokladu, že druhá mocnina součtu výše uvedených amplitud pravděpodobnosti ( P (od A do B ), E (od C do D ) a j ) působí v stejně jako naše každodenní pravděpodobnost (zjednodušení provedené ve Feynmanově knize). Později, po Feynmanovi, byla tato formulace upravena tak, aby zahrnovala matematiku kvantového stylu.

Základní pravidla pro amplitudu pravděpodobnosti, která se mají použít, jsou následující: [1] :93

Každá událost kvantové elektrodynamiky (například pohyb fotonu nebo elektronu z jednoho bodu časoprostoru do druhého nebo emise nebo absorpce fotonu elektronem) odpovídá komplexnímu číslu - amplitudě pravděpodobnosti událost. Pravděpodobnost události je rovna druhé mocnině modulu amplitudy pravděpodobnosti události.
Pokud událost může nastat vzájemně se vylučujícími způsoby, amplitudy pravděpodobností událostí se sčítají. Pokud k události dochází ve fázích nebo jako výsledek série nezávislých událostí, amplitudy pravděpodobností událostí se násobí.

Základní návrhy

Předpokládejme, že začínáme s jedním elektronem v určité prostorové poloze a v určitém čase (tomuto místu a času je přiřazena libovolná značka A ) a fotonem v jiném bodě prostoru a času (označení B ). Typická otázka z fyzikálního hlediska zní: „Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu na C (jiná souřadnice a pozdější čas) a fotonu na D (jiná souřadnice a čas)? . Nejjednodušší proces k dosažení tohoto cíle je přesunout elektron z bodu A do bodu C (elementární akce) a přesunout foton z bodu B do bodu D (další elementární akce). Když známe amplitudy pravděpodobnosti každého z těchto dílčích procesů - E (od A do C ) a P (od B do D ) - lze vypočítat amplitudu pravděpodobnosti, že oba procesy probíhají současně, jejich vynásobením pomocí pravidla b). To dává jednoduchý odhad celkové amplitudy pravděpodobnosti, která je umocněna na druhou, aby byla dána pravděpodobnost.

Existují ale i jiné způsoby, jak dosáhnout konečného výsledku. Elektron se může přesunout do bodu a času E , kde pohltí foton; pak se přesune dál, než vyšle další foton v bodě F ; pak přejde do C , kde se zaregistruje, a nový foton přejde do D. Pravděpodobnost tohoto složitého procesu lze vypočítat opět na základě znalosti amplitud pravděpodobnosti každého z jednotlivých procesů: tři procesy pro elektron, dva procesy pro fotony a dva vrcholy – jeden pro záření a jeden pro absorpci. K nalezení celkové amplitudy pravděpodobnosti se vynásobí amplitudy pravděpodobnosti každého z procesů pro libovolné zvolené souřadnice E a F. Potom pomocí pravidla a) je nutné sečíst všechny tyto amplitudy pravděpodobnosti pro všechny možnosti pro E a F. tento postup není elementární a zahrnuje integraci . Existuje však ještě jedna možnost, a to, že se elektron nejprve přesune do G , kde emituje foton, který přejde do D , a elektron se přesune do H , kde pohltí první foton, než přejde do C. Opět lze vypočítat pravděpodobnostní amplitudu těchto procesů (pro všechny body G a H ). Tím se zlepší odhad celkové amplitudy pravděpodobnosti přidáním amplitud pravděpodobnosti těchto dvou možností k původnímu jednoduchému odhadu. Tento proces interakce fotonu s elektronem se nazývá Comptonův rozptyl .

Existuje nekonečné množství dalších meziprocesů, ve kterých je absorbováno a/nebo emitováno stále více fotonů. Pro každou z těchto možností existuje Feynmanův diagram, který ji popisuje. To implikuje složité výpočty výsledných amplitud pravděpodobnosti, ale s výhradou, že čím je diagram složitější, tím méně ovlivňuje výsledek. Nalezení tak přesné odpovědi, jak je potřeba, je otázkou času a úsilí. Tento přístup je pro QED hlavní. Pro výpočet pravděpodobnosti jakéhokoli procesu interakce mezi elektrony a fotony je třeba nejprve vybrat pomocí Feynmanových diagramů všechny možné způsoby, jak lze tento proces sestrojit pomocí tří základních prvků. Každý diagram obsahuje některé výpočty, které berou v úvahu určitá pravidla, aby se našly odpovídající amplitudy pravděpodobnosti.

Tento základní postup zůstává při přechodu na kvantový popis, ale jsou potřeba určité koncepční změny. Člověk by v běžném životě čekal, že bude existovat nějaké omezení bodu, ve kterém se částice může nacházet, ale v kvantové elektrodynamice tomu tak není . Existuje možnost, že se elektron v bodě A nebo foton v bodě B přesune jako hlavní proces do jakéhokoli jiného místa a času ve vesmíru . To zahrnuje pozice ve vesmíru, kterých bylo možné dosáhnout pouze rychlostí vyšší než je rychlost světla, a to i v dřívějších dobách . Elektron pohybující se zpět v čase lze považovat za pozitron pohybující se vpřed v čase. [1] :89, 98–99

Amplitudy pravděpodobnosti

Kvantová mechanika zavádí důležitou změnu ve způsobu výpočtu pravděpodobností. Pravděpodobnosti jsou stále reprezentovány obvyklými reálnými čísly, která používáme pro pravděpodobnosti v našem každodenním světě, ale jsou počítány jako druhá mocnina modulu amplitudy pravděpodobnosti , která jsou reprezentována komplexními čísly .

Feynman se vyhýbá uvedení čtenáře do matematiky komplexních čísel tím, že používá jejich jednoduché, ale přesné znázornění jako šipky na listu papíru nebo obrazovce. Neměly by být zaměňovány se šipkami ve Feynmanových diagramech, které jsou zjednodušenými reprezentacemi ve dvou dimenzích vztahů mezi body ve třech dimenzích prostoru a jedné dimenzi času. Amplitudové šipky jsou zásadní pro popis světa v kvantové teorii. S našimi každodenními představami o pravděpodobnosti souvisí jednoduchým pravidlem: pravděpodobnost události se rovná druhé mocnině délky odpovídající amplitudy šipky. Pokud tedy pro daný proces jsou zapojeny dvě amplitudy pravděpodobnosti, v a w , pak pravděpodobnost procesu bude dána vztahem

P=|\mathbf {v} +\mathbf {w} |^{2}\,.

Pravidla pro sčítání a násobení jsou stejná, ale tam, kde se sčítají nebo násobí pravděpodobnosti, je třeba místo toho sčítat nebo násobit amplitudy pravděpodobnosti, což jsou nyní komplexní čísla.

Sčítání a násobení jsou běžné operace v teorii komplexních čísel, jsou uvedeny na obrázcích. Částka se zjistí následovně. Začátek druhé šipky nechť je na konci první. Součet představuje třetí šipku jdoucí přímo od začátku první do konce druhé. Součin dvou šípů je šíp, jehož délka je rovna součinu dvou délek. Směr produktu je určen sečtením úhlů, o které byly tyto šipky natočeny vzhledem k referenčnímu směru.

Tato změna z pravděpodobností na amplitudy pravděpodobnosti komplikuje matematiku, ale nemění základní přístup. Tato změna stále nestačí, protože nezohledňuje skutečnost, že fotony i elektrony mohou být polarizovány, to znamená, že je třeba vzít v úvahu i jejich orientaci v prostoru a čase. Proto P (od A do B ) sestává z 16 komplexních čísel nebo šipek pravděpodobnosti amplitudy. [1] :120–121 S hodnotou j jsou spojeny také některé drobné změny , které může být nutné pro některé polarizace otočit o násobek 90°, což je zajímavé pouze pro podrobné zvážení.

S polarizací elektronů souvisí i další drobnost, a to nutnost brát v úvahu fermionovou statistiku nebo Fermi-Diracovo rozdělení . Základním pravidlem je, že pokud existuje pravděpodobnostní amplituda pro daný komplexní proces zahrnující více než jeden elektron, pak když se vezme v úvahu další Feynmanův diagram, který uvažuje výměnu dvou elektronových událostí, pak výsledná amplituda změní znaménko. V nejjednodušším případě začínají dva elektronové diagramy v A a B a končí v C a D. Amplitudu je třeba vypočítat jako "rozdíl", E ( A až D ) × E ( B až C ) − E ( A až C ) × E ( B až D ) , kde na základě našeho každodenního chápání pravděpodobností je součet očekáván. [1] :112–113

Propagátoři

Nakonec je nutné vypočítat P (od A do B ) a E (od C do D ) odpovídající pravděpodobnostním amplitudám pro foton a elektron. V podstatě se jedná o řešení Diracovy rovnice , která popisuje chování amplitudy pravděpodobnosti elektronu, a Maxwellovy rovnice , které popisují chování amplitudy pravděpodobnosti fotonu. Říká se jim Feynmanovi propagátoři . Překlad do notace běžně používané ve standardní literatuře je následující:

P(A{\text{ až }}B)\to D_{F}(x_{B}-x_{A}),\quad E(C{\text{ až }}D)\to S_ {F}(x_{D}-x_{C}),

kde zkrácený symbol, jako je například, znamená čtyři reálná čísla, která představují čas a pozici ve třech rozměrech bodu označeného A. $x_{A}$

Hromadná renormalizace

Historicky vyvstal problém, který zpozdil pokrok o dvacet let: zvažování procesu sice začíná předpokladem tří hlavních „jednoduchých“ procesů, ale za účelem výpočtu amplitudy pravděpodobnosti pohybu elektronu z bodu A do bodu B , je třeba vzít v úvahu všechny možné způsoby, tedy všechny možné Feynmanovy diagramy s těmito koncovými body. Elektron se tedy může přesunout do bodu C , emitovat tam foton a poté jej znovu absorbovat v bodě D , než se přesune do bodu B. Nebo může tento proces opakovat dvakrát nebo vícekrát. Stručně řečeno, existuje fraktální situace, ve které se při bližším zkoumání čáry rozpadne na sadu „jednoduchých“ čar, z nichž každá se při bližším prozkoumání skládá z „jednoduchých“ čar atd. do nekonečna . To je těžká situace. Pokud by přidání tohoto detailu jen trochu změnilo situaci, bylo by to hezké, ale katastrofa přišla, když se zjistilo, že výše zmíněná jednoduchá oprava vedla k nekonečným amplitudám pravděpodobnosti. Postupem času byl tento problém „opraven“ metodou renormalizace . Sám Feynman s tím však nebyl spokojen a označil to za „hloupý proces“. [1] : 128

Závěry

V rámci výše uvedené struktury byli fyzici schopni s vysokou mírou přesnosti vypočítat určité vlastnosti elektronů, jako je anomální magnetický dipólový moment . Jak však Feynman zdůrazňuje, nedokáže vysvětlit, proč částice jako elektron mají určitou hmotnost. "Neexistuje žádná teorie, která by tato čísla dostatečně vysvětlovala. Čísla používáme ve všech našich teoriích, ale nerozumíme jim - co to jsou a odkud se vzali. Myslím, že z fundamentálního hlediska jde o velmi zajímavou a vážný problém" [1] : 152

Matematická formulace

Matematicky je QED abelovská kalibrační teorie pole s grupou symetrie U(1) . Měřicí pole, které nese interakci mezi spinovými 1/2 nabitými poli, je elektromagnetické pole [24] :78 .

QED Lagrangian pro spinové 1/2 pole (elektron-pozitronové pole) interagující s elektromagnetickým polem se rovná součtu Lagrangiánů elektron-pozitronového pole, fotonového pole a termínu popisujícího interakci elektromagnetického pole. s elektron-pozitronovým polem. Poslední termín je však často kombinován s prvním pomocí takzvaného zobecněného kovariantního derivátu:

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_ {\mu \nu }F^{\mu \nu },$

kde

\gamma^\mu

jsou Diracovy matice ;

\psi

bispinorové pole částic se spinem 1/2 (například elektron - pozitronové pole);

{\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}

, volal “psi-bar”, je někdy nazýván Dirac konjugátem ;

D_\mu \equiv \partial_\mu+ieA_\mu+ieB_\mu \,\!

je kalibrační kovariantní derivace ; e je vazebná konstanta rovna elektrickému náboji bispinorového pole; m je hmotnost elektronu nebo pozitronu;

{\displaystyle A_{\mu ))

je kovariantní čtyřpotenciál elektromagnetického pole vytvořeného samotným elektronem;

{\displaystyle B_{\mu ))

je vnější pole vytvořené vnějším zdrojem;

F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!

je tenzor elektromagnetického pole .

Pohybové rovnice

Dosazením definice D do Lagrangianu získáme

{\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{ \mu }(A_{\mu }+B_{\mu })\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^ {\mu \nu }.

Z tohoto Lagrangianu lze získat pohybové rovnice pro pole ψ a A.

Použití Euler-Lagrangeovy rovnice pro ψ z teorie pole ,

\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\mu }\psi )))\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.

Derivace Lagrangianu vzhledem k ψ jsou

\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\mu }\psi )))\right)=\partial _ {\mu }\left(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\right),

{\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial \psi ))=-e{\bar {\psi ))\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_ {\mu })-m{\bar {\psi )).

Jejich nahrazení v ( 2 )

i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }+e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+ B_{\mu })+m{\bar {\psi }}=0,

s hermitovskou adjungovanou rovnicí

i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })\psi -m\psi =0 .

Přesunutí prostředního členu na pravou stranu dává

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =e\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })\psi .$

Levá strana je podobná původní Diracově rovnici , zatímco pravá strana popisuje interakci s elektromagnetickým polem.

Pomocí Euler-Lagrangeovy rovnice pro pole A

\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu )))))\right) - {\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial A_{\mu ))}=0,

tentokrát deriváty

\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu )))))\right) = \částečné _{\nu }\left(\částečné ^{\mu }A^{\nu }-\částečné ^{\nu }A^{\mu }\vpravo),

{\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial A_{\mu ))}=-e{\bar {\psi ))\gamma ^{\mu }\psi .

Náhrada zpět do ( 3 ) má za následek

$\partial _{\nu }F^{\nu \mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .$

Nyní, pokud přijmeme podmínku Lorentzova měřidla

\partial _{\mu }A^{\mu }=0,

rovnice se zmenší na

\Box A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ,

což je vlnová rovnice pro čtyřpotenciál, QCD verze klasických Maxwellových rovnic v Lorentzově měřidle. (Čtverec znamená operátor d'Alembert , .) ${\displaystyle \Box =\partial _{\alpha } \partial ^{\alpha ))$

Interakční pohled

Tato teorie může být přímo kvantována uvažováním bosonických a fermionických sektorů pro volné částice. To umožňuje sestavit soubor asymptotických stavů, které lze použít k výpočtu amplitud pravděpodobnosti pro různé procesy. K tomu je potřeba vypočítat operátor evoluce , který pro daný počáteční stav vede ke konečnému stavu tak, že podmínka [24] :5 $|i\rangle$ $\langle f|$

M_{fi}=\langle f|U|i\rangle .

Tato metoda je také známá jako metoda S-matice . Evoluční operátor je získán v interakčním obrázku , kde evoluce v čase je dána interakcí Hamiltoniánem, což je prostorový integrál druhého členu v hustotě Lagrangianu uvedeného výše: [24] :123

V=e\int d^{3}x\,{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },

Nebo [24] :86

U=T\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,V(t')\right],

kde T je operátor časového řazení . Tento evoluční operátor má smysl pouze jako řada. Získá se řada poruchových teorií s konstantou jemné struktury jako malým parametrem. Tato série se nazývá série Dyson .

Poruchová metoda

Hlavní výpočetní metodou kvantové elektrodynamiky je perturbační metoda . V nulté aproximaci je elektromagnetická interakce zanedbána a předpokládá se, že částice spolu neinteragují. V první, druhé atd. aproximaci jsou brány v úvahu jednoduché, dvojité atd. akty interakce mezi částicemi. Pravděpodobnost každého aktu interakce je úměrná náboji částice . Čím více aktů interakce je uvažováno, tím vyšší je náboj zahrnut ve výrazu pro pravděpodobnostní amplitudu procesu [25] . Výpočty v kvantové elektrodynamice spočívají ve zjištění z Lagrangianu popisujícího interakci elementárních částic, efektivní průřezy reakcí a rychlosti rozpadu částic. Pro výpočty poruchovou metodou se používá metoda Feynmanových diagramů , pomocí kterých jsou vypočteny maticové prvky , které jsou obsaženy ve výrazech pro pravděpodobnosti přechodu [26] . $E$

Feynmanovy diagramy

Navzdory koncepční jasnosti Feynmanova přístupu ke QED jej téměř žádná z prvních učebnic nepředkládala konzistentně. Při provádění výpočtů je mnohem jednodušší pracovat s Fourierovými transformacemi propagátorů . Experimentální testy kvantové elektrodynamiky jsou obvykle rozptylové experimenty. Teorie rozptylu bere v úvahu hybnost částic, nikoli jejich polohu, a je vhodné uvažovat o částicích jako o vytvořených nebo anihilujících interakcích. Pak Feynmanovy diagramy vypadají stejně, ale čáry mají různé interpretace. Elektronová čára je elektron s danou energií a hybností a podobně je tomu u fotonové čáry. Vrcholový diagram představuje zničení jednoho elektronu a vytvoření dalšího spolu s absorpcí nebo vytvořením fotonu, z nichž každý má určité energie a hybnosti.

Pomocí Wickovy věty o termínech Dysonovy řady lze všechny S-maticové termíny pro kvantovou elektrodynamiku vypočítat pomocí techniky Feynmanova diagramu . V tomto případě jsou pravidla pro obrázky následující [24] :801–802

K těmto pravidlům je třeba přidat ještě jedno pro uzavřené smyčky, což implikuje integraci přes hybnost , protože tyto vnitřní („virtuální“) částice nejsou omezeny na žádnou konkrétní energetickou hybnost, dokonce ani na tu, kterou normálně vyžaduje speciální teorie relativity (viz podrobnosti v Propagátoru) . . ${\displaystyle \int d^{4}p/(2\pi )^{4))$

Amplitudy pravděpodobnosti jsou přímo vypočítány na jejich základě . Příkladem je Comptonův rozptyl , kde elektron a foton podléhají pružnému rozptylu . V tomto případě Feynmanovy diagramy [24] :158–159

a proto odpovídající amplituda v prvním řádu řady poruch pro S-matici má tvar

M_{fi}=(ie)^{2}{\overline {u))({\vec {p))',s')\epsilon \!\!\!/\,'({\ vec {k}}',\lambda ')^{*}{\frac {p\!\!\!/+k\!\!\!/+m_{e}}{(p+k)^{ 2}-m_{e}^{2))}\epsilon \!\!\!/({\vec {k)),\lambda )u({\vec {p)),s)+(ie) ^{2}{\overline {u))({\vec {p))',s')\epsilon \!\!\!/({\vec {k)),\lambda ){\frac {p \!\!\!/-k\!\!\!/'+m_{e}}{(pk')^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\ !/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}u({\vec {p}},s),

ze kterého se vypočítá průřez tohoto rozptylu .

Neporuchové jevy

Úspěch předpovědí kvantové elektrodynamiky je z velké části založen na použití poruchové teorie vyjádřené ve Feynmanových diagramech. Kvantová elektrodynamika však také vede k předpovědím, které přesahují teorii poruch. V přítomnosti velmi silných elektrických polí předpovídá, že se spontánně vytvoří elektrony a pozitrony, což způsobí rozpad pole. Tento proces, nazývaný Schwingerův jev [27] , nelze chápat z hlediska žádného konečného počtu Feynmanových diagramů, a proto je popisován jako neporuchový . Matematicky to lze získat pomocí semiklasické aproximace v termínech dráhových integrálů v kvantové elektrodynamice.

Renormalizovatelnost

Členy vyššího řádu se počítají přímo pro operátor evoluce, ale tyto členy jsou zobrazeny pomocí diagramů obsahujících následující jednodušší smyčky [24] :ch 10

Příspěvek jedné smyčky k funkci vakuové polarizace $\Pí$
Příspěvek jedné smyčky k funkci elektronové vlastní energie $\Sigma$
Příspěvek jedné smyčky k funkci vertex $\Gamma$

které jako uzavřené smyčky implikují divergentní integrály , které nemají žádný matematický význam. K překonání tohoto problému byla vyvinuta technika zvaná renormalizace , která poskytuje konečné výsledky, které velmi dobře souhlasí s experimenty. Kritériem pro smysluplnost teorie po renormalizaci je konečný počet divergentních diagramů. V tomto případě je teorie prý „renormalizovatelná“. Důvodem je, že renormalizace pozorovatelných veličin vyžaduje konečný počet konstant, aby nedošlo k porušení prediktivní hodnoty teorie. To je přesně ten případ, kdy kvantová elektrodynamika zobrazuje pouze tři divergentní diagramy. Tento postup dává pozorovatelné veličiny ve velmi dobré shodě s experimentem, jak je vidět například u gyromagnetického poměru elektronů.

Renormalizovatelnost se stala důležitým kritériem pro kvantovou teorii pole, která má být považována za životaschopnou. Všechny teorie popisující základní interakce , s výjimkou gravitace , jejíž kvantová analogie se pouze předpokládá a je v současné době velmi aktivně studována, jsou renormalizovatelné teorie.

Divergentní řada

Argument Freemana Dysona ukazuje, že poloměr konvergence poruchových řad v QED je nulový. [28] Hlavním argumentem je toto: pokud by vazebná konstanta byla záporná, byla by ekvivalentní záporné Coulombově síle . Taková „reverzní“ elektromagnetická interakce odpovídá skutečnosti, že stejnojmenné náboje se budou přitahovat a opačné náboje odpuzovat . To by způsobilo, že vakuum by bylo nestabilní s ohledem na rozpad na shluk elektronů na jedné straně vesmíru a shluk pozitronů na druhé straně vesmíru. Protože teorie je "nemocná" pro jakoukoli zápornou hodnotu vazebné konstanty, řady se rozcházejí a v nejlepším případě mají vlastnosti asymptotické řady .

Z moderního pohledu se říká, že QED nelze definovat jako kvantovou teorii pole pro libovolně vysoké energie. [29] Vazební konstanta má sklon k nekonečnu při konečné energii, což signalizuje Landauův pól . Problém je v tom, že QCD zřejmě trpí problémy kvantové triviality . To je jeden z důvodů zahrnutí QCD do Grand Unified Theory .

Experimenty na testování kvantové elektrodynamiky

Průřezy diferenciálního a celkového rozptylu Comptonova jevu , rozptyl elektronu elektronem a pozitronem, procesy interakce fotonů s atomy a jádry, anomální magnetický moment a Lambův posun elektronu se shodují s vysokou přesností. s výpočty kvantové elektrodynamiky [30] [31] [32] .

Nevyřešené problémy v kvantové elektrodynamice

Vakuová energie

Vakuum v kvantové elektrodynamice je stav, ve kterém mají všechny oscilátory . Energie každého oscilátoru je tedy , kde je vlastní frekvence oscilátoru. Součet všech módů oscilátorů s frekvencemi od nuly do nekonečna je roven nekonečnu. V praxi se tato divergence zanedbává a energie vakuového stavu se považuje za nulovou. Otázkou zůstává: nevzniká vakuum gravitačního pole jako hmota rozložená s konstantní hustotou? Podle „pravidla cutoff“ jsou režimy s velmi vysokými frekvencemi vyloučeny z úvahy. Energetická hustota stavu vakua $n=0$ $\hbar \omega /2$ $\omega$

{\frac {E}{V}}=2{\frac {\hbar c}{2{(2\pi )}^{3}}}\int \limits _{0}^{k_{ max}}k\cdot 4\pi k^{2}dk={\frac {\hbar ck_{max}^{4}}{8\pi ^{2}}}

Dosazením hodnoty , kde je hmotnost protonu , získáme hodnotu hustoty hmotnosti ekvivalentní této energii: gramy na centimetr krychlový prostoru. Gravitační efekty odpovídající této energii vakua nebyly nalezeny [33] . Energii vakua není možné vypočítat jako vlastní hodnotu pro Hamiltonián stavu vakua a při aplikaci metod poruchové teorie vypočítat pravděpodobnost přechodu ze stavu vakua do stavu s fotonem a párem elektron - pozitron , divergentní. získají se integrály [34] . $k_{max} = \frac{Mc}{\hbar}$ $M$ $m_{vak}={\frac {E}{Vc^{2}}}=2\cdot 10^{15}$

Divergence řad

Při výpočtu pravděpodobností procesů v kvantové elektrodynamice metodou poruch se termíny tvaru Série druhů se liší. V experimentech se tato divergence neprojevuje, neboť omezující přesnost výpočtů pomocí takových řad je % [25] . $n! \alpha^n$ $\alpha$ $n$ $\sum_{n=1}^{\infty}n! \alpha^n$ $10^{-57}$

Divergence integrálů

Požadavek lokální interakce mezi částicemi v kvantové elektrodynamice vede k tomu, že prostorové integrály popisující procesy interakce částic se díky velké hybnosti virtuálních částic rozcházejí . To ukazuje na nepoužitelnost metod přijatých v kvantové elektrodynamice pro popis interakcí na malé vzdálenosti [35] .

Viz také

Nevyřešené problémy moderní fyziky
Nelokální kvantová elektrodynamika

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Feynman R. QED je zvláštní teorie světla a hmoty . - Knihovna sérií "Quantum". - M. : Nauka, 1988. - 144 s.
↑ PAM Dirac (1927). „Kvantová teorie emise a absorpce záření“. Proceedings of the Royal Society of London A. 114 (767): 243-65. Bibcode : 1927RSPSA.114..243D . DOI : 10.1098/rspa.1927.0039 .
↑ P.A.M. Dirac Kvantová teorie emise a absorpce záření // Einsteinova sbírka, 1984-1985. - M. , Nauka , 1988. - str. 215-245
↑ A. B. Kozhevnikov Dirac a kvantová teorie záření // Einsteinova sbírka, 1984-1985. - M. , Nauka , 1988. - str. 246-270
↑ E. Fermi (1932). „Kvantová teorie záření“. Recenze moderní fyziky . 4 (1): 87-132. Bibcode : 1932RvMP....4...87F . DOI : 10.1103/RevModPhys.4.87 .
↑ Bloch, F. (1937). „Poznámka k radiačnímu poli elektronu“. Fyzický přehled . 52 (2): 54-59. Bibcode : 1937PhRv...52...54B . DOI : 10.1103/PhysRev.52.54 .
↑ VF Weisskopf (1939). „O vlastní energii a elektromagnetickém poli elektronu“. Fyzický přehled . 56 (1): 72-85. Bibcode : 1939PhRv...56...72W . DOI : 10.1103/PhysRev.56.72 .
↑ R. Oppenheimer (1930). „Poznámka k teorii interakce pole a hmoty“. Fyzický přehled . 35 (5): 461-77. Bibcode : 1930PhRv...35..461O . DOI : 10.1103/PhysRev.35.461 .
↑ Lamb, Willis (1947). „Jemná struktura atomu vodíku pomocí mikrovlnné metody“. Fyzický přehled . 72 (3): 241-43. Bibcode : 1947PhRv...72..241L . DOI : 10.1103/PhysRev.72.241 .
↑ Foley, HM (1948). „O vnitřním okamžiku elektronu“. Fyzický přehled . 73 (3). Bibcode : 1948PhRv...73..412F . DOI : 10.1103/PhysRev.73.412 .
↑ Schweber, Silvan. Kapitola 5 // QED a muži, kteří to dokázali: Dyson, Feynman, Schwinger a Tomonaga. - Princeton University Press, 1994. - S. 230 . - ISBN 978-0-691-03327-3 .
↑ H. Bethe (1947). „Elektromagnetický posun energetických úrovní“. Fyzický přehled . 72 (4): 339-41. Bibcode : 1947PhRv...72..339B . DOI : 10.1103/PhysRev.72.339 .
↑ S. Tomonaga (1946). "O relativisticky invariantní formulaci kvantové teorie vlnových polí." Pokrok teoretické fyziky . 1 (2): 27-42. Bibcode : 1946PThPh...1...27T . DOI : 10.1143/PTP.1.27 .
↑ J. Schwinger (1948). „O kvantové elektrodynamice a magnetickém momentu elektronu“. Fyzický přehled . 73 (4): 416-17. Bibcode : 1948PhRv...73..416S . DOI : 10.1103/PhysRev.73.416 .
↑ J. Schwinger (1948). Kvantová elektrodynamika. I. Kovariantní formulace.“ Fyzický přehled . 74 (10): 1439-61. Bibcode : 1948PhRv...74.1439S . DOI : 10.1103/PhysRev.74.1439 .
↑ R. P. Feynman (1949). „Prostorově-časový přístup ke kvantové elektrodynamice“. Fyzický přehled . 76 (6): 769-89. Bibcode : 1949PhRv...76..769F . DOI : 10.1103/PhysRev.76.769 .
↑ R. P. Feynman (1949). „Teorie pozitronů“. Fyzický přehled . 76 (6): 749-59. Bibcode : 1949PhRv...76..749F . DOI : 10.1103/PhysRev.76.749 .
↑ R. P. Feynman (1950). „Matematická formulace kvantové teorie elektromagnetické interakce“ (PDF) . Fyzický přehled . 80 (3): 440-57. Bibcode : 1950PhRv...80..440F . DOI : 10.1103/PhysRev.80.440 . Archivováno (PDF) z originálu dne 2021-04-19 . Získáno 28. 3. 2021 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
↑ F. Dyson (1949). „Radiační teorie Tomonaga, Schwinger a Feynman“ . Fyzický přehled . 75 (3): 486-502. Bibcode : 1949PhRv...75..486D . DOI : 10.1103/PhysRev.75.486 .
↑ F. Dyson (1949). „S Matrix v kvantové elektrodynamice“. Fyzický přehled . 75 (11): 1736-55. Bibcode : 1949PhRv...75.1736D . DOI : 10.1103/PhysRev.75.1736 .
↑ Nobelova cena za fyziku 1965 . Šlechtická nadace. Získáno 9. října 2008. Archivováno z originálu 21. října 2008. (neurčitý)
↑ Guralnik, G. S. (1964). „Globální zákony ochrany a bezhmotné částice“. Fyzické kontrolní dopisy . 13 (20): 585-87. Bibcode : 1964PhRvL..13..585G . DOI : 10.1103/PhysRevLett.13.585 .
↑ Guralnik, GS (2009). "Historie vývoje Guralnik, Hagen a Kibble Teorie spontánního porušení symetrie a kalibračních částic." International Journal of Modern Physics A . 24 (14): 2601-27. arXiv : 0907.3466 . Bibcode : 2009IJMPA..24.2601G . DOI : 10.1142/S0217751X09045431 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Peskin, Michael. Úvod do kvantové teorie pole / Michael Peskin, Daniel Schroeder. — Dotisk. - Westview Press, 1995. - ISBN 978-0201503975 .
↑ 1 2 Fyzika mikrokosmu, ed. D. V. Shirkova , M.: Nauka . - 1980. - 528 s., střelnice. 50 000 kopií
↑ Kane, 1990 , str. patnáct.
↑ Schwinger, Julian (1951-06-01). „O invarianci měřidla a vakuové polarizaci“. Fyzický přehled . Americká fyzikální společnost (APS). 82 (5): 664-679. Bibcode : 1951PhRv...82..664S . DOI : 10.1103/physrev.82.664 . ISSN 0031-899X .
↑ Kinoshita, Toichiro Quantum Electrodynamics má nulový poloměr konvergence shrnuté z Toichiro Kinoshita ( 5. června 1997). Získáno 6. května 2017. Archivováno z originálu dne 28. dubna 2021.
↑ Espriu a Tarrach (30. dubna 1996). „Nejasnosti v QED: Renormalons versus triviality“ . Písmena z fyziky B ]. 383 (4): 482-486. arXiv : hep-ph/9604431 . Bibcode : 1996PhLB..383..482E . DOI : 10.1016/0370-2693(96)00779-4 .
↑ Yu. M. Shirokov , N. P. Yudin. Nuclear Physics. - M.: Nauka. - 1972.
↑ Smondyrev M. A. Kvantová elektrodynamika na malých vzdálenostech / / Priroda .- 1980 .- č. 9.
↑ Elektromagnetické interakce a struktura elementárních částic / ed. A. M. Baldin. - M: Mir. - 1969. - 327 s.
↑ Feynman R. , Hibs A. Kvantová mechanika a dráhové integrály. - M.: Mir. - 1968.
↑ Dirac P. A. M. Principy kvantové mechaniky. - M.: Nauka. - 1979.
↑ Migdal A. B. Kvalitativní metody v kvantové teorii. - M.: Nauka. - 1975.

Literatura

De Broglie, Louis. Recherches sur la theorie des quanta [Výzkum kvantové teorie]. Francie: Wiley-Interscience, 1925.
Feynman, Richard Phillips. Kvantová elektrodynamika. - Westview Press, 1998. - ISBN 978-0-201-36075-2 .
Jauch, JM Teorie fotonů a elektronů . - Springer-Verlag, 1980. - ISBN 978-0-387-07295-1 .
Greiner, Walter. Měřicí teorie slabých interakcí. - Springer, 2000. - ISBN 978-3-540-67672-0 .
Kane, Gordon, L. Moderní fyzika elementárních částic. - Westview Press, 1993. - ISBN 978-0-201-62460-1 .
Miller, Arthur I. Raná kvantová elektrodynamika: Zdrojová kniha . - Cambridge University Press, 1995. - ISBN 978-0-521-56891-3 .
Milonni, Peter W. Kvantové vakuum: Úvod do kvantové elektrodynamiky. Boston: Academic Press. — ISBN 0124980805 .
Schwinger, Julian. Vybrané články o kvantové elektrodynamice. - Dover Publications, 1958. - ISBN 978-0-486-60444-2 .
Tannoudji-Cohen, Claude. Fotony a atomy: Úvod do kvantové elektrodynamiky. - Wiley-Interscience, 1997. - ISBN 978-0-471-18433-1 .
Fyzická encyklopedie (hlavní editor A. M. Prokhorov) — Quantum Electrodynamics Archived 13. června 2013 na Wayback Machine
Gribov V. N. Kvantová elektrodynamika - Iževsk: RHD, 2001. - 288 s.
Berestetsky V. B., Lifshits E. M., Pitaevsky L. P. Kvantová elektrodynamika. - 4. vydání, přepracované. - M .: Fizmatlit. - 2002. - 720 s
Video přednášky: Kvantová elektrodynamika (profesor Fadin V.S., 2013) Archivováno 18. února 2015 na Wayback Machine
Kane G. Moderní fyzika elementárních částic. — M .: Mir, 1990. — 360 s. — ISBN 5-03-001591-4 .
Walter E. Thirring . Principy kvantové elektrodynamiky. - M . : Vyšší škola, 1964. - 225 s.

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNF : 119789988 GND : 4047982-1 J9U : 987007550895205171 LCCN : sh85109459 NDL : 00569864 NKC : ph122051

Úseky elektrodynamiky
Elektrostatika a elektrodynamika Magnetostatika a magnetodynamika Relativistická elektrodynamika kvantová elektrodynamika
Elektrodynamika spojitých médií	Magnetohydrodynamika Elektrohydrodynamika

kvantová elektrodynamika
Elektron Pozitron Foton Anomální magnetický moment Casimirův efekt Jehněčí posun Scharnhorstův efekt pozitronium

Sekce kvantové fyziky
Kvantová mechanika kvantová teorie pole kvantová optika kvantová elektrodynamika kvantová chromodynamika kvantová gravitace