Počáteční a okrajové podmínky

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. května 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V teorii diferenciálních rovnic jsou počáteční a okrajové podmínky doplňkem k základní diferenciální rovnici ( obyčejné nebo parciální diferenciální ), která specifikuje její chování v počátečním časovém okamžiku, resp . na hranici uvažované oblasti.

Diferenciální rovnice obvykle nemá jedno řešení, ale celou jejich rodinu. Počáteční a okrajové podmínky umožňují vybrat si z ní takovou, která odpovídá skutečnému fyzikálnímu procesu nebo jevu. V teorii obyčejných diferenciálních rovnic je dokázána věta o existenci a jednoznačnosti řešení úlohy s počáteční podmínkou (tzv. Cauchyho úloha ). Pro parciální diferenciální rovnice jsou získány některé věty o existenci a jednoznačnosti pro řešení pro určité třídy počátečních a okrajových úloh.

Terminologie

Někdy jsou počáteční podmínky v nestacionárních úlohách, jako je řešení hyperbolických nebo parabolických rovnic , také označovány jako okrajové podmínky .

U stacionárních úloh existuje rozdělení okrajových podmínek na hlavní a přirozené .

Hlavní podmínky mají obvykle formu , kde je hranice regionu . $u(\částečné \Omega )=g$ $\částečné \Omega$ $\Omega$

Přirozené podmínky obsahují také derivaci řešení vzhledem k normále k hranici.

Příklad

Rovnice popisuje pohyb tělesa v gravitačním poli Země . Splňuje ji jakákoli kvadratická funkce tvaru , kde jsou libovolná čísla. K izolaci konkrétního zákona pohybu je nutné uvést počáteční souřadnici těla a jeho rychlost, tedy počáteční podmínky . ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g$ $y(t)=-gt^{2}/2+at+b,$ $a,b$

Správnost nastavení okrajových podmínek

Úlohy matematické fyziky popisují skutečné fyzikální procesy, a proto jejich vyjádření musí splňovat tyto přirozené požadavky:

Řešení musí existovat v nějaké funkční třídě;
Řešení musí být jedinečné v jakékoli třídě funkcí;
Řešení musí průběžně záviset na datech (počáteční a okrajové podmínky, průsečík, koeficienty atd.).

Požadavek na spojitou závislost řešení je dán tím, že fyzikální data jsou zpravidla určena přibližně z experimentu, a proto je třeba mít jistotu, že řešení úlohy v rámci zvoleného matematického modelu bude výrazně nezávisí na chybě měření. Matematicky lze tento požadavek zapsat např. takto (pro nezávislost na volném termínu):

Nechť jsou dány dvě diferenciální rovnice: se stejnými diferenciálními operátory a stejnými okrajovými podmínkami budou jejich řešení nepřetržitě záviset na volném členu, pokud: $Lu=F_{1},~Lu=F_{2}$

\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0:~\left(\|F_{1}-F_{2}\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1 }-u_{2}\|<\varepsilon \right)

, kde , - řešení odpovídajících rovnic.

u_{1}

{\displaystyle u_{2))

Soubor funkcí, pro které jsou splněny uvedené požadavky, se nazývá třída správnosti . Nesprávné nastavení okrajových podmínek dobře ilustruje Hadamardův příklad .

Viz také

Literatura

Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Rovnice matematické fyziky. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Achtyamov AM Teorie identifikace okrajových podmínek a její aplikace. — M .: Fizmatlit, 2009.
Akhtyamov A. M. , Sadovnichy V. A. , Sultanaev Ya. T. Inverzní Sturm-Liouvilleovy problémy s nerozpadajícími se okrajovými podmínkami. - M. : Vydavatelství Moskevské univerzity, 2009.

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata