Fourierova transformace na grupách

Fourierova transformace na grupách je zobecněním diskrétní Fourierovy transformace z cyklických na lokálně kompaktní abelovské grupy nebo libovolné kompaktní grupy.

Pomocné koncepty

Konečně-dimenzionální reprezentace grupy je zobrazení od do skupiny reverzibilních lineárních transformací vektorového prostoru tak, že pro libovolný $G$ $\pi :G\mapsto GL(V)$ $G$ $PROTI$ $g_{1},g_{2}\in G$

\pi (g_{1})\pi (g_{2})=\pi (g_{1}g_{2}).

Jinými slovy, je homomorfismus skupin a .

\pi

G

GL(V)

Reprezentace se nazývá unitární if , kde je skupina unitárních transformací prostoru . $\pi (G)\subset U(V)$ $U(V)$ $PROTI$
Reprezentace a nazývají se ekvivalentní , pokud lze přechod z jednoho do druhého provést rovnoměrnou změnou základu , to znamená, pokud dojde k takové transformaci , že pro jakoukoli $\pi :G\mapsto GL(V)$ $\rho :G\mapsto GL(V)$ $T\in GL(V)$ $g\in G$ $T\pi (g)T^{-1}=\rho (g)$

Pohled se nazývá podpohled pohledu , pokud je podprostorem a pro libovolné a $\rho :G\mapsto GL(W)$ $\pi$ $W$ $PROTI$ $g\in G$ $w\in W$

\rho (g)w=\pi (g)w.

Jinými slovy, je invariantní podprostor a je omezením na .

W

\pi (g)

\rho (g)

\pi (g)

W

Reprezentace je považována za neredukovatelnou , pokud nemá žádné podreprezentace kromě sebe sama a podreprezentaci, která mapuje do nularozměrného podprostoru .

Duální množina je kompletní množina neekvivalentních neredukovatelných unitárních reprezentací. ${\hat {G}}$ $G$

Definice

Fourierova transformace funkce je definována jako maticová funkce taková, že $f\in L^{2}(G)$ ${\hat {f}}\in L^{2}({\hat {G)))$

{\hat {f}}(\pi )=\sum \limits _{g\in G}f(g)\pi (g^{-1}).

V takovém zápisu se inverzní transformace zapisuje jako

{\textstyle f(g)={\frac {1}{|G|}}\sum \limits _{\pi \in {\hat {G}}}d_{\pi }{\text{tr}} [\pi (g){\hat {f}}(\pi )],}

kde je rozměr lineárního prostoru, jehož transformace jsou specifikovány pomocí .

{\displaystyle d_{\pi ))

\pi (g)

Motivace

V spojitém případě Fourierova transformace čtvercové integrovatelné funkce odpovídá ortonormální bázové expanzi Hilbertova Lebesgueova prostoru . ${\hat {f))$ $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ $f(x)$ ${\displaystyle \{e^{2\pi iyx}|y\in \mathbb {R} \))$ $L^{2}(\mathbb {R} )$

{\textstyle f(x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(y)e^{2\pi iyx}dy.}

Fourierova transformace periodické funkce odpovídá její expanzi v ortonormálním prostoru $f\in L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle \{e^{2\pi kx}|k\in \mathbb {Z} \))$ $L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

{\textstyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(k)e^{2\pi ikx}.}

Diskrétní Fourierova transformace funkce odpovídá expanzi v ortonormální prostorové bázi $f\in L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ ${\textstyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {n}}}e^{\frac {2\pi ikj}{n}}{\bigg |}k=0,1,\tečky , n-1\vpravo\}}$ $L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$

{\textstyle f(j)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\hat {f}}(k)e^ {\frac {2\pi ikj}{n))}

Obecně platí, že Fourierova transformace na grupách odpovídá expanzi funkce v nějaké ortonormální bázi . $f\in L^{2}(G)$ $L^{2}(G)$

Literatura

Terras A. Fourierova analýza konečných skupin a aplikací (anglicky) - Cambridge University Press , 1999. - 456 s. - ISBN 978-0-511-62626-5 - doi:10.1017/CBO9780511626265
Mensah Y. Fourier Transform on Groups and Applications (anglicky) // Data-Driven Modeling for Sustainable Engineering - 2019. - S. 21-28. doi:10.1007/ 978-3-030-13697-0_2

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Klein čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace