Znaky podobnosti trojúhelníků

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. dubna 2022; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Podobné trojúhelníky v euklidovské geometrii jsou trojúhelníky , jejichž úhly jsou příslušně stejné a jejichž strany jsou příslušně úměrné . Jsou to podobné postavy .

Tento článek pojednává o vlastnostech podobných trojúhelníků v euklidovské geometrii . Některá tvrzení nejsou pravdivá pro neeuklidovské geometrie .

Znaky podobnosti trojúhelníků

Kritéria podobnosti pro trojúhelníky jsou geometrické prvky, které vám umožňují určit, že dva trojúhelníky jsou podobné , aniž byste použili všechny prvky definice.

První znak

Pokud se dva úhly jednoho trojúhelníku rovnají dvěma úhlům jiného trojúhelníku, pak jsou trojúhelníky podobné.

to je: $\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1 \Leftrightarrow \angle A = \angle A_1,\ \angle B= \angle B_1.$

Vzhledem k: a $\trojúhelník ABC$ $\triangle A_1 B_1 C_1,\ \úhel A = \úhel A_1,\ \úhel B = \úhel B_1.$

Dokázat: $\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.$

Důkaz Z věty o úhlech trojúhelníku můžeme usoudit, že všechny úhly trojúhelníků jsou stejné. Uspořádejte je tak, aby se úhel překrýval s úhlem . Ze zobecněné Thalesovy věty (lze dokázat bez podobnosti, viz např. učebnice geometrie 7-9 od Sharygina nebo Pogorelova) . Podobně lze dokázat, že poměry ostatních odpovídajících stran jsou stejné, což znamená, že trojúhelníky jsou z definice podobné atd.

\úhel BAC

{\displaystyle \angle B_{1}A_{1}C_{1))

{\displaystyle AC/A_{1}C_{1}=BC/B_{1}C_{1))

Důsledky prvního znaku podobnosti

Pokud jsou tři strany původního trojúhelníku párově rovnoběžné (dvakrát antiparalelní nebo kolmé) se třemi stranami jiného trojúhelníku, pak jsou tyto dva trojúhelníky podobné . Příklady použití tohoto důsledku jsou uvedeny v částech níže: "Příklady podobných trojúhelníků" a "Vlastnosti rovnoběžnosti (antiparalelnosti) stran souvisejících trojúhelníků."
Dvojitě antiparalelní strany znamenají následující. Například strany daného ostroúhlého trojúhelníku jsou antiparalelní s odpovídajícími stranami ortotrojúhelníku , proti kterému leží. V takovém případě jsou odpovídající strany pravoúhlého trojúhelníku (dvojitý ortotrojúhelník ) dvakrát antiparalelní s odpovídajícími stranami původního trojúhelníku , tj. právě rovnoběžné. Proto jsou například ortotrojúhelník ortotrojúhelníku a původní trojúhelník podobné trojúhelníkům s rovnoběžnými stranami.

Druhý znak

Pokud jsou dvě strany jednoho trojúhelníku úměrné dvěma stranám jiného trojúhelníku a úhly mezi těmito stranami jsou stejné, pak jsou takové trojúhelníky podobné.

Vzhledem k: a $\trojúhelník ABC$ $\triangle A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$

Dokázat: $\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.$

Důkaz

1) Zvažte , ve kterém a $\trojúhelník ABC_2$ $\úhel BAC_2=\úhel A_1$ $\úhel ABC_2=\úhel B_1:$

\triangle ABC_2\sim \triangle A_1 B_1 C_1

( první znamení )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) Podle podmínek:

\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\Rightarrow AC=AC_2 \Rightarrow \triangle ABC = \triangle ABC_2

( první znamení ) ( první znamení ).

\Šipka doprava \úhel B=\úhel ABC_2 \Šipka doprava \trojúhelník ABC \sim \trojúhelník A_1 B_1 C_1

Třetí znak

Pokud jsou tři strany jednoho trojúhelníku úměrné třem stranám jiného, pak jsou trojúhelníky podobné.

Dané : a = = . $\trojúhelník ABC$ ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},{\frac {AB}{A_{1}B_{1))))$ $\frac{AC}{A_1C_1}$ $\frac{BC}{B_1C_1}$

dokázat : $\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.$

Důkaz

1) Zvažte , ve kterém a $\trojúhelník ABC_2$ $\úhel BAC_2=\úhel A_1$ $\úhel ABC_2=\úhel B_1:$

\triangle ABC_2\sim \triangle A_1 B_1 C_1

( první znamení )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) Podle podmínek:

\frac{AB}{A_1B_1}

= = AC=AC 2 , BC=BC 2 => ∆ABC = ∆ABC 2 ( třetí znak ); ∆ABC 2 ∆A 1 B 1 C 1 => .

\frac{AC}{A_1C_1}

{\frac {BC}{B_{1}C_{1))}\Rightarrow \

\sim

{\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1))

Znaky podobnosti pravoúhlých trojúhelníků

V ostrém úhlu - viz první znak ;
Na dvou nohách - viz druhé znamení ;
Na noze a přeponě - viz třetí znak .

Vlastnosti podobných trojúhelníků

Poměr ploch podobných trojúhelníků se rovná druhé mocnině koeficientu podobnosti
Poměr obvodů a délek os , mediánů , výšek a středních kolmiček je roven koeficientu podobnosti.

Příklady podobných trojúhelníků

Následující typy trojúhelníků jsou podobné:

Komplementární trojúhelník a antikomplementární trojúhelník jsou podobné; jejich odpovídající strany jsou rovnoběžné.
Trojúhelník ABC je podobný svému doplňkovému trojúhelníku ; jejich odpovídající strany jsou rovnoběžné a souvisí jako 2:1.
Trojúhelník ABC je podobný jeho antikomplementárnímu trojúhelníku ; jejich odpovídající strany jsou rovnoběžné a související jako 1:2.
Původní trojúhelník vzhledem k ortotrojúhelníku je trojúhelník tří vnějších os [1] . $\Delta ABC$
Ortotrojúhelník a tangenciální trojúhelník jsou podobné (Zetel, důsledek 1, § 66, s. 81).
Ortotrojúhelník ortotrojúhelníku a původního trojúhelníku jsou podobné.
Trojúhelník o třech vnějších osách trojúhelníku o třech vnějších osách a původní trojúhelník jsou podobné.
Nechť jsou styčné body kružnice vepsané do daného trojúhelníku spojeny úsečkami, pak dostaneme Gergonnův trojúhelník a do výsledného trojúhelníku jsou nakresleny výšky. V tomto případě jsou čáry spojující základny těchto výšek rovnoběžné se stranami původního trojúhelníku. Ortotrojúhelník Gergonnova trojúhelníku a původní trojúhelník jsou tedy podobné.
Výše uvedené vlastnosti podobnosti souvisejících trojúhelníků jsou důsledkem vlastností rovnoběžnosti stran souvisejících trojúhelníků uvedených níže .
Věta : obvodový-cevický trojúhelník je podobný subdermálnímu [2] . Zde použité definice:
- Trojúhelník s vrcholy na druhém průsečíku čar procházejících vrcholy a daným bodem s kružnicí opsanou se nazývá obvodový-cevický trojúhelník .
- Trojúhelník s vrcholy v průmětech daného bodu na strany se nazývá subdermální nebo pedálový trojúhelník tohoto bodu.

Vlastnosti rovnoběžnosti (antiparalelnosti) stran souvisejících trojúhelníků

Odpovídající strany komplementárního trojúhelníku , antikomplementárního trojúhelníku a původního trojúhelníku jsou po párech rovnoběžné.
Strany daného ostroúhlého trojúhelníku jsou antiparalelní s odpovídajícími stranami ortotrojúhelníku , proti kterému leží.
Strany tečného trojúhelníku jsou antiparalelní s odpovídajícími protilehlými stranami daného trojúhelníku (vlastností antiparalelnosti tečen ke kružnici).
Strany tečného trojúhelníku jsou rovnoběžné s odpovídajícími stranami pravoúhlého trojúhelníku .
Nechť jsou styčné body kružnice vepsané do daného trojúhelníku spojeny úsečkami, pak dostaneme Gergonnův trojúhelník a do výsledného trojúhelníku jsou nakresleny výšky. V tomto případě jsou čáry spojující základny těchto výšek rovnoběžné se stranami původního trojúhelníku. Ortotrojúhelník Gergonnova trojúhelníku a původní trojúhelník jsou tedy podobné.

Podobnost v pravoúhlém trojúhelníku

Trojúhelníky, na které výška snížená z pravého úhlu dělí pravoúhlý trojúhelník, jsou podobné celému trojúhelníku v prvním kritériu , což znamená:

Výška pravoúhlého trojúhelníku, sníženého na přeponu, se rovná geometrickému průměru průmětů nohou na přeponu ,
Noha se rovná geometrickému průměru přepony a průmětu této přepony na přeponu.

Související definice

Koeficient podobnosti je číslo k, které se rovná poměru podobných stran podobných trojúhelníků.
Podobné strany podobných trojúhelníků jsou strany, které leží protilehlými stejnými úhly.

Viz také

Poznámky

↑ Starikov V. N. Geometry research // Sborník publikací vědeckého časopisu Globus na základě materiálů V. mezinárodní vědecko-praktické konference "Achievements and problems of modern science", Petrohrad: sborník článků (standardní úroveň, akademická úroveň). S-P.: Vědecký časopis Globus , 2016. S. 99-100
↑ Systém úloh v geometrii od R. K. Gordina. Úkol 6480 . Získáno 26. dubna 2016. Archivováno z originálu 4. března 2016. (neurčitý)

Literatura

Geometrie 7-9 / L. S. Atanasyan et al. - 12. vydání. - M.: Osvícení, 2002. - 384 s.:
Zetel S.I. Nová trojúhelníková geometrie. Průvodce pro učitele. 2. vydání. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 s.

Odkazy

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní