Číslo

Číslo  je jedním ze základních pojmů matematiky [1] , používá se pro kvantitativní charakteristiky, porovnávání, číslování objektů a jejich částí.

Psané znaky pro čísla jsou čísla , stejně jako symboly matematických operací . Pojetí čísla se vynořilo v primitivní společnosti z potřeb počítání a s rozvojem vědy se výrazně rozšířilo .

Základní číselné sady

Pro uvedené sady čísel platí následující výraz:

Zobecnění čísel

Čtveřice jsou typem hyperkomplexních čísel . Množina čtveřic je označena. Čtveřice, na rozdíl od komplexních čísel, nejsou komutativní s ohledem na násobení.

Na druhé straně oktoniony , které jsou rozšířením čtveřic, již ztrácejí vlastnost asociativity .

Na rozdíl od oktonionů nemají sedeniony vlastnost alternativnosti , ale zachovávají si vlastnost asociativity mocnin .

Pro tyto sady zobecněných čísel platí následující výraz:

p-adická čísla lze považovat za prvky tělesa, což je doplnění tělesa racionálních číselpomocí tkzv. p-adic valuace , podobně jako je definováno pole reálných číseljako jeho dokončení pomocí obvyklé absolutní hodnoty .

Adele jsou definovány jako nekonečné posloupnosti {a ∞ ,a 2 ,a 3 ,…a p …} , kde a ∞  je libovolné reálné číslo a a p  je p-adické a všechna a p , snad kromě jejich konečného počtu, jsou celočíselné p-adické. Adele se sčítají a násobí složku po složce a tvoří prstenec . Pole racionálních čísel je do tohoto kruhu vloženo obvyklým způsobem r→{r, r,…r,…} . Nevratné prvky tohoto prstence tvoří skupinu a nazývají se ideály .

Prakticky důležitým zobecněním číselné soustavy je intervalová aritmetika .

Hierarchie čísel

Níže je uvedena hierarchie čísel, pro jejichž množiny je výraz true , s příklady:

Celá čísla
Celá čísla
Racionální čísla
Reálná čísla
Komplexní čísla
Čtveřice
Octonions
sedenions

Tato hierarchie není úplná, protože ji lze libovolně rozšiřovat (viz Cayley-Dixonův postup ).

Zobrazení čísel v paměti počítače

podrobnosti viz Přímý kód , Dvojkový doplněk (reprezentace čísel) , Číslo s plovoucí desetinnou čárkou

Aby reprezentovalo přirozené číslo v paměti počítače , je obvykle převedeno na binární číselnou soustavu . K reprezentaci záporných čísel se často používá dvojkový doplňkový kód , který se získá přidáním jedničky k obrácené reprezentaci modulu daného záporného čísla v binární číselné soustavě.

Reprezentace čísel v paměti počítače má omezení spojená s omezeným množstvím paměti přidělené číslům. I přirozená čísla jsou matematickou idealizací, rozsah přirozených čísel je nekonečný. Na množství paměti počítače jsou kladena fyzická omezení. V tomto ohledu v počítači nemáme co do činění s čísly v matematickém smyslu, ale s některými jejich reprezentacemi neboli aproximacemi. Pro reprezentaci čísel je přidělen určitý počet paměťových buněk (obvykle binárních, bitů - z BInary digiT). Pokud by v důsledku operace mělo mít výsledné číslo více číslic, než je přiděleno počítači, bude výsledek výpočtu nesprávný - dojde k tzv. aritmetickému přetečení . Reálná čísla jsou obvykle reprezentována jako čísla s pohyblivou řádovou čárkou . Přitom jen některá reálná čísla mohou být v paměti počítače reprezentována přesnou hodnotou, zatímco zbytek čísel je reprezentován přibližnými hodnotami. V nejběžnějším formátu je číslo s plovoucí desetinnou čárkou reprezentováno jako sekvence bitů, z nichž některé kódují mantisu čísla, druhá část je exponent a další bit se používá k označení znaménka čísla.

Historie vývoje konceptu

Pojem čísla vznikl v dávných dobách z praktických potřeb lidí a v procesu lidského vývoje se komplikoval. Oblast lidské činnosti se rozšířila a v souladu s tím vzrostla potřeba kvantitativního popisu a výzkumu. Zpočátku byl pojem číslo dán potřebami počítání a měření, které vyvstaly v praktické činnosti člověka, které se později stále více komplikovaly. Později se číslo stává základním pojmem matematiky a potřeby této vědy určují další vývoj tohoto pojmu.

Pravěk

Lidé uměli počítat předměty i ve starověku, pak vznikl pojem přirozené číslo. V prvních fázích vývoje koncept abstraktního čísla chyběl. V té době mohl člověk odhadnout počet homogenních objektů nazývaných jedním slovem, například „tři lidé“, „tři osy“. Současně se pro pojmy „jedna osoba“, „dva lidé“, „tři lidé“ a „jedna sekera“, „dvě osy“, „tři“ používaly různá slova „jeden“, „dva“, „tři“. sekery". To ukazuje analýza jazyků primitivních národů. Takto pojmenované číselné řady byly velmi krátké a končily neindividualizovaným pojetím „mnoho“. Již nyní existují různá slova pro velké množství předmětů různého druhu, jako například "dav", "stádo", "hromada". Primitivní počítání předmětů spočívalo v „porovnávání předmětů dané konkrétní sady s předměty určité specifické sady, hrající jakoby roli standardu“ [2] , kterým byly pro většinu národů prsty („počítání na prstech“). To potvrzuje lingvistický rozbor jmen prvních čísel. V této fázi se pojem čísla stává nezávislým na kvalitě počítaných objektů.

Vznik písma

Schopnost reprodukovat čísla se s příchodem písma výrazně zvýšila . Nejprve se čísla označovala čarami na materiálu používaném pro záznam, např. papyrus , hliněné tabulky, později se pro některá čísla začaly používat speciální znaky („ římské číslice “ , které se dochovaly dodnes ) a znaky pro velké čísla. To druhé dokládají babylonské klínové znaky nebo znaky pro psaní čísel v cyrilském číselném systému . Když se v Indii objevil poziční číselný systém , který umožňuje zapsat jakékoli přirozené číslo pomocí deseti číslic ( digits ), byl to velký lidský úspěch.

Vědomí nekonečnosti přirozené řady bylo dalším důležitým krokem ve vývoji pojmu přirozené číslo. Existují o tom zmínky v dílech Euklida a Archiméda a dalších památkách starověké matematiky ze 3. století před naším letopočtem. E. V Elementech Euclid zakládá nekonečnou spojitost série prvočísel . Zde Euclid definuje číslo jako „množinu složenou z jednotek“ [3] . Archimedes v knize " Psammit " popisuje principy pro zápis libovolně velkých čísel.

Nástup aritmetiky

Postupem času se začínají uplatňovat operace s čísly, nejprve sčítání a odčítání , později násobení a dělení . V důsledku dlouhého vývoje se vyvinula představa o abstraktní povaze těchto akcí, o nezávislosti kvantitativního výsledku akce na uvažovaných předmětech, o tom, že např. dva předměty a sedm předmětů tvoří až devět objektů, bez ohledu na povahu těchto objektů. Když začali vyvíjet pravidla jednání, studovat jejich vlastnosti a vytvářet metody pro řešení problémů, pak se začala rozvíjet aritmetika  - věda o číslech. Potřeba studovat vlastnosti čísel jako takových se projevuje v samotném procesu vývoje aritmetiky, vyjasňují se složité vzorce a jejich vztahy díky přítomnosti akcí, třídy sudých a lichých čísel, prvočísla a složená čísla atd. na se rozlišují. Pak se objeví odvětví matematiky, které se nyní nazývá teorie čísel . Když bylo zjištěno, že přirozená čísla mohou charakterizovat nejen počet objektů, ale mohou také charakterizovat pořadí objektů uspořádaných v řadě, vzniká pojem pořadové číslo. Otázka zdůvodnění pojmu přirozeného čísla, tak známého a jednoduchého, nebyla ve vědě nastolena již dlouho. Teprve v polovině 19. století , pod vlivem rozvoje matematické analýzy a axiomatické metody v matematice, vznikla potřeba ospravedlnit koncept kvantitativního přirozeného čísla. Zavedení zlomkových čísel bylo způsobeno potřebou provádět měření a bylo historicky prvním rozšířením pojmu číslo.

Zavedení záporných čísel

Ve středověku byla zavedena záporná čísla , se kterými bylo snazší účtovat dluhy nebo ztráty. Potřeba zavést záporná čísla souvisela s rozvojem algebry jako vědy, která poskytuje obecné metody řešení aritmetických úloh bez ohledu na jejich konkrétní obsah a výchozí číselné údaje. Potřeba zavést do algebry záporné číslo vzniká již při řešení úloh, které se redukují na lineární rovnice o jedné neznámé. Záporná čísla byla systematicky používána při řešení problémů již v 6. - 11. století v Indii a byla interpretována v podstatě stejným způsobem jako v současnosti.

Poté , co Descartes vyvinul analytickou geometrii , která umožnila považovat kořeny rovnice za souřadnice průsečíků určité křivky s osou úsečky, což nakonec smazalo zásadní rozdíl mezi kladnými a zápornými kořeny rovnice, záporná čísla se konečně začala používat v evropské vědě.

Úvod do reálných čísel

Dokonce i ve starověkém Řecku byl učiněn zásadní objev v geometrii: ne všechny přesně definované segmenty jsou souměřitelné, jinými slovy, ne každý segment může mít racionální číslo, například strana čtverce a jeho úhlopříčka . V „Elementech“ Euklida byla nastíněna teorie vztahů segmentů s přihlédnutím k možnosti jejich nesouměřitelnosti. Ve starověkém Řecku věděli, jak porovnávat takové poměry ve velikosti, provádět s nimi aritmetické operace v geometrické podobě. Řekové se sice zabývali takovými vztahy jako čísly, ale neuvědomovali si, že poměr délek nesouměřitelných úseček lze považovat za číslo. Stalo se tak při zrodu moderní matematiky v 17. století při vývoji metod pro studium spojitých procesů a metod pro přibližné výpočty. I. Newton v „Obecné aritmetice“ definuje pojem reálného čísla: „Číslem nemyslíme ani tak množinu jednotek, ale abstraktní poměr nějaké veličiny k jiné veličině stejného druhu, kterou bereme jako jednotku ." Později, v 70. letech 19. století, byl koncept reálného čísla upřesněn na základě analýzy konceptu spojitosti R. Dedekindem , G. Cantorem a K. Weierstrassem .

Úvod do komplexních čísel

S rozvojem algebry vyvstala potřeba zavádět komplexní čísla, i když nedůvěra ke vzorcům jejich používání přetrvávala dlouho a promítla se do dodnes přetrvalého pojmu „imaginární“. Již mezi italskými matematiky 16. století ( G. Cardano , R. Bombelli ) v souvislosti s objevem algebraického řešení rovnic třetího a čtvrtého stupně vznikla myšlenka komplexního čísla. Faktem je, že i řešení kvadratické rovnice v případě, že rovnice nemá reálné kořeny, vede k extrakci druhé odmocniny ze záporného čísla. Zdálo se, že problém vedoucí k řešení takové kvadratické rovnice nemá řešení. S objevem algebraického řešení rovnic třetího stupně bylo zjištěno, že v případě, kdy jsou všechny tři kořeny rovnice reálné, v průběhu výpočtu se ukáže, že je nutné provést akci extrakce odmocnina ze záporných čísel.

Po zavedení na konci 18. století geometrické interpretace komplexních čísel ve formě bodů na rovině a stanovení nepochybných výhod zavedení komplexních čísel do teorie algebraických rovnic, zejména po slavných dílech L. Euler a K. Gauss , komplexní čísla byla rozpoznána matematiky a začala hrát zásadní roli nejen v algebře, ale také v matematické analýze. Význam komplexních čísel vzrostl zejména v 19. století v souvislosti s rozvojem teorie funkcí komplexní proměnné [2] .

Číslo ve filozofii

Filozofické chápání čísla bylo položeno Pythagorejci. Aristoteles dosvědčuje, že Pýthagorejci považovali čísla za „příčinu a počátek“ věcí a vztahy čísel za základ všech vztahů na světě. Čísla dávají světu řád a dělají z něj vesmír. Tento postoj k číslu přijal Platón a později novoplatonisté . Platón pomocí čísel rozlišuje mezi skutečným bytím (to, co existuje a je pojímáno samo o sobě) a nepravým bytím (to, co existuje pouze díky jinému a je známé pouze ve vztahu). Prostřední pozici mezi nimi zaujímá číslo. Dává věcem míru a určitost a zapojuje je do bytí. Díky číslu se věci dají spočítat, a proto je lze myslet, ne jen cítit. Novoplatonisté, zejména Iamblichus a Proclus, ctěli čísla tak vysoko, že je ani nepovažovali za existenci – řád světa pochází z čísla, i když ne přímo. Čísla jsou superpodstatná, jsou nad myslí a jsou nepřístupná vědění. Novoplatonisté rozlišují mezi božskými čísly (přímá emanace Jednoho) a matematickými čísly (složenými z jednotek). Ty druhé jsou nedokonalými replikami těch prvních. Aristoteles naopak uvádí celou řadu argumentů, které ukazují, že tvrzení o nezávislé existenci čísel vede k absurditám. Aritmetika v těchto skutečně existujících věcech vyčleňuje pouze jeden aspekt a zvažuje je z hlediska jejich množství. Čísla a jejich vlastnosti jsou výsledkem takové úvahy. Kant věřil, že jev je znám, když je konstruován v souladu s apriorními koncepty - formálními podmínkami zkušenosti. Číslo je jednou z těchto podmínek. Číslo určuje konkrétní princip nebo schéma návrhu. Jakýkoli objekt je spočetný a měřitelný, protože je konstruován podle schématu čísla (nebo velikosti). Proto může být matematikou uvažován jakýkoli jev. Mysl vnímá přírodu jako podřízenou numerickým zákonům právě proto, že ji sama buduje v souladu s numerickými zákony. To vysvětluje možnost využití matematiky při studiu přírody. Matematické definice vyvinuté v 19. století byly vážně revidovány na počátku 20. století . To nebylo způsobeno ani tak matematickými, jako spíše filozofickými problémy. Definice Peana, Dedekinda nebo Cantora, které se v matematice používají dodnes, musely být odůvodněny základními principy zakořeněnými v samotné povaze vědění. Existují tři takové filozofické a matematické přístupy: logicismus, intuicionismus a formalismus. Filosofický základ logicismu vyvinul Russell. Věřil, že pravdivost matematických axiomů není zřejmá. Pravda se odhaluje redukcí na ta nejjednodušší fakta. Russell považoval odraz takových faktů za axiomy logiky, které vycházel z definice čísla. Nejdůležitějším pojmem je pro něj pojem třídy. Přirozené číslo η je třída všech tříd obsahujících prvky η. Zlomek  už není třída, ale vztah tříd. Intuicionista Brouwer měl opačný názor: logiku považoval pouze za abstrakci z matematiky, přirozenou řadu čísel považoval za základní intuici, která je základem veškeré duševní činnosti. Hilbert, hlavní představitel formální školy, viděl opodstatnění matematiky ve vybudování konzistentního axiomatického základu, v jehož rámci by mohl být formálně podložen jakýkoli matematický koncept. V jím vyvinuté axiomatické teorii reálných čísel je myšlenka čísla zbavena jakékoli hloubky a je redukována pouze na grafický symbol, který je ve vzorcích teorie nahrazen podle určitých pravidel [3] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Číslo // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 5.
  2. ↑ 1 2 Číslo (Math.) - článek z Velké sovětské encyklopedie . 
  3. ↑ 1 2 Číslo - Filosofická encyklopedie

Literatura

Odkazy

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie
 Čísla s vlastními jmény
Matematické konstanty
Algebraický
Transcendentální ,
pravděpodobně transcendentální
Stupně tisíce
Stará ruská čísla
Další mocniny deseti
Mocniny dvanácti
Jiný celek
Jiná čísla