Shapley-Folkman Lemma

The Shapley-Folkman lemma [cca. 1] spojuje dvě operace konvexní geometrie — Minkowského sčítání a konvexní obal . Lema má aplikace v řadě oborů, včetně matematické ekonomie , optimalizace a teorie pravděpodobnosti [2] . Lema a související výsledky nám umožňují dát kladnou odpověď na otázku "Blíží se součet několika množin stavu konvexnosti [3] .

Lema je pojmenováno po Lloyd Shapley a John Folkmana byl poprvé publikován v díle ekonoma Rosse Starra. V roce 2012 Shapley spolu s Alvinem Rothem vyhrál Nobelovu cenu za ekonomii [cca. 2] . Starrova práce, ve které se objevila první zmínka o lemmatu, vyšla v roce 1969. Poté ekonom spolupracoval se slavným americkým vědcem Kennethem Arrowem a zabýval se otázkou existence určitých ekonomických rovnováh [1] . Ve Starrově práci byla provedena studie ekonomie , ve které byly některé geometricky vyjádřené vztahy, které měly vlastnost nekonvexnosti, nahrazeny nejbližšími konvexními protějšky - konvexními slupky . Starr dokázal, že taková „konvexní“ ekonomika má rovnováhy, které jsou velmi blízké kvazi-rovnováze původní ekonomiky. Vědec navíc dokázal, že každá kvazirovnováha má řadu optimálních charakteristik skutečné rovnováhy, které byly nalezeny v konvexních ekonomikách. Práce Shapleye, Folkmana a Starra ukázaly, že hlavní výsledky konvexní ekonomie jsou dobré aproximace ekonomie s nekonvexními prvky. Lema naznačuje, že pokud počet sčítanců množin přesahuje rozměr vektorového prostoru D , pak hledání konvexních slupek („ov-konvexita“) je vyžadováno pouze pro sčítance D [1] . Francouzský ekonom Roger Gesnery napsal: „Získání těchto výsledků v obecné podobě bylo jedním z hlavních úspěchů poválečné ekonomické teorie“ [4] .

Téma nekonvexních množin v ekonomii se stalo předmětem výzkumu mnoha dalších laureátů Nobelovy ceny [cca. 2] . Na tomto problému pracovali Paul Samuelson (cena 1970), Kenneth Arrow (1972), Tjalling Koopmans (1975), Gerard Debreux (1983), Robert Aumann (2005), Paul Krugman (2008) . Leonid Kantorovich (1975), Robert Solow (1987), Leonid Gurvich (2007) se zabývali souvisejícími tématy konvexních množin . V optimalizační teorii bylo Shapley-Folkmanovo lemma použito k vysvětlení úspěšného řešení problémů minimalizace součtů několika funkcí [5] [6] , jakož i k prokázání " zákona průměrů " pro náhodné množiny (tato věta byla prokázána pouze u konvexních množin) [7] .

Uvažované kategorie

Lema je založeno na některých matematických kategoriích a výsledcích konvexní geometrie.

Skutečný vektorový prostor

Algebraická struktura se nazývá vektorový prostor , pro jehož prvky jsou definovány dvě operace - sčítání a násobení číslem (tzv. " skalární " ). V tomto případě operace podléhají osmi axiomům: $PROTI$

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ , pro libovolné ( komutativnost sčítání ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ , pro libovolné ( asociativita sčítání ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$
existuje prvek , který zejména pro jakýkoli ( existence neutrálního prvku s ohledem na sčítání ) není prázdný; $\theta \in V$ $\mathbf {x} +\theta =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \in V$ $PROTI$
pro any existuje prvek takový, že ( existence opačného prvku vzhledem ke sčítání ). $\mathbf {x} \in V$ $-\mathbf {x} \in V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\theta$
$\lambda (\mu {\mathbf {x}})=(\lambda \mu ){\mathbf {x}}$ ( asociativita násobení skalárem );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitarita: násobení násobením-neutrálním skalárem zachovává vektor ).
$(\lambda +\mu ){\mathbf {x}}=\lambda {\mathbf {x}}+\mu {\mathbf {x}}$ ( distributivita násobení vektorem s ohledem na sčítání skalárů );
$\lambda ({\mathbf {x}}+{\mathbf {y}})=\lambda {\mathbf {x}}+\lambda {\mathbf {y}}$ ( distributivita násobení skalárem s ohledem na sčítání vektorů ),

kde je neprázdná množina prvků ( „vektorů“ ) daného prostoru [8] . $PROTI$

Důležitou charakteristikou vektorového prostoru je dimenze , která charakterizuje maximální počet lineárně nezávislých prvků prostoru. Tyto lineárně nezávislé prvky tvoří základ vektorového prostoru [9] .

Konvexní sada

Neprázdná množina v reálném vektorovém prostoru je považována za konvexní , pokud je segment spojující libovolné dva body podmnožinou [10] . Například nekonvexní množina celých čísel {0, 1, 2} je podmnožinou intervalu [0, 2], který má vlastnost konvexnosti. Kružnice je konvexní množina a kružnici za ni nelze považovat, protože ne všechny body úsečky budou současně body množiny: . Prázdná množina je považována za konvexní buď podle definice [11], nebo na základě principu prázdné pravdy $Q$ $Q$ $Q$ $\kulka$ $\circ$ $\oslash$ [Cca. 3] .

Formálně lze konvexní množinu definovat takto:

Množina je konvexní, pokud je pro libovolné body a libovolné reálné číslo podmínka $Q$ $v_{0}$ $v_{1}\in Q$ $\lambda \in[0,1]$

(1-\lambda )v_{0}+\lambda v_{1}\in Q

Konvexní kombinace množiny je nějaký vážený průměr definovaný vzorcem

\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}v_{i}

za podmínek

{\begin{cases}\lambda _{i}\geqslant 0,\\\součet _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}=1.\end{cases}}

Pomocí metody matematické indukce lze určit, že množina je konvexní právě tehdy, když každá konvexní kombinace patří do množiny samotné [12] [13] [14] : $Q$ $Q$

\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}v_{i}\in Q

Definice konvexní množiny předpokládá, že průnik dvou konvexních množin je vždy konvexní. To také znamená, že průsečík rodiny konvexních množin je také konvexní. Zejména dvojice disjunktních množin má průsečík prázdné množiny, který, jak bylo uvedeno výše, je konvexní [11] .

Konvexní trup

Konvexní obal množiny je nejmenší konvexní množina obsahující jako podmnožinu. Nejmenší množina je nejmenší prvek s ohledem na vložení množin, tj. konvexní množina obsahující daný obrazec tak, že je obsažena v jakékoli jiné konvexní množině obsahující daný obrazec. Je tedy průsečíkem všech konvexních množin, které pokrývají . Například konvexní obal množiny {0, 1} je segment číselné osy [0, 1] obsahující celá čísla 0 a 1 [15] . $ConvQ$ $Q$ $Q$ $ConvQ$ $Q$

Minkowski dodatek

Minkowského součet neprázdných množin a v reálném vektorovém prostoru je množina sestávající ze součtů všech možných prvků součtů množin [16] [17] : $Q_1$ $Q_{2}$ $Q_{3}$

$Q_{3}=\left\{\,q_{3}\mid q_{3}=q_{1}+q_{2},q_{1}\in Q_{1},q_{2}\in Q_ {2}\,\vpravo\}.$

V důsledku operace se tedy vytvoří součtová množina, která zahrnuje všechny možné součty prvků první a druhé množiny. Pokud se k sobě například přidá množina skládající se z nuly a jedničky , výsledkem bude množina obsahující nulu, jedničku a dvě [15] :

\{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.

Podle metody matematické indukce je Minkowského součet konečné rodiny neprázdných množin za podmínek $Q_{n}$

{\begin{cases}Q_{n}\neq \varnothing ,\\1\leqslant n\leqslant N.\\\end{případy))

je množina tvořená elementárním sčítáním množin sčítanců [18] [19] :

\sum Q_{n}=\{\součet q_{n}:q_{n}\in Q_{n}\}

Součet množiny a množiny obsahující pouze jeden nulový prvek je roven : $Q$ $\{0\}$ $Q$

Q+\{0\}=Q

Konvexní trup Minkowského součtu

Operace Minkowského sčítání má užitečnou vlastnost v "konvexních" množinách, to znamená při hledání jejich konvexních obalů. Pro všechny množiny a v reálném vektorovém prostoru se konvexní obal jejich Minkowského součtu rovná Minkowského součtu jejich konvexních obalů: $Q_1$ $Q_{2}$

Konv(Q_{1}+Q_{2})=KonvQ_{1}+KonvQ_{2}

Pomocí matematické indukce je podobné tvrzení odvozeno pro konečnou množinu množin [20] [21] :

Konv(\součet Q_{n})=\součet Konv(Q_{n})

Lemma

Identita

Konv(\součet Q_{n})=\součet Konv(Q_{n})

nám umožňuje stanovit, že pokud bod patří do konvexního obalu Minkowského součtu množin, pak také patří do součtu konvexních obalů součtů množin: $proti$ $N$

v\in Conv(\sum Q_{n})\Rightarrow v\in \sum Conv(Q_{n})

Z této implikace a definice Minkowského součtu vyplývá, že jakýkoli bod patřící do množiny může být reprezentován jako součet některých bodů patřících do konvexních obalů sčítanců množin: $Konv(\součet Q_{n})$ $q_{n}$

{\begin{cases}v=\součet q_{n},\\v\in Conv(\sum Q_{n}),\\q_{n}\in Conv(Q_{n}).\\\end {případy}}

V této reprezentaci závisí množina součtových bodů na zvoleném součtovém bodu . $q_{n}$ $proti$

The Shapley-Folkman lemma

Vezměme naznačené znázornění bodu . $v=\sum q_{n}$

Pokud je rozměr vektorového prostoru přísně menší než počet sčítanců množin

D<N

pak je podle Shapleyho-Folkmanova lemmatu "konvexnost" vyžadována pouze pro sčítance množin (jejich konkrétní množina závisí na volbě bodu ) [22] . To umožňuje vyjádřit bod takto: $D$ $proti$ $proti$

v=\součet _{{1\leq {d}\leq {D}}}{q_{d}}+\součet _{{D+1\leq {n}\leq {N}}}{q_{ n}}

v\in {\součet _{{1\leq {d}\leq {D))}{\jméno operátora {Conv}{(Q_{d)))))+\součet _{{D+1\leq { n }\leq {N}}}{Q_{n}}}.

Jinými slovy, součet bodů patří do konvexního obalu součtu množin (nebo menšího počtu množin) a součet bodů patří k součtu zbývajících množin součtů. $q_{d}$ $D$ $q_{n}$

Ukažme si obsah lemmatu na nejjednodušším příkladu: každý bod konvexní množiny [0, 2] lze reprezentovat jako součet celého čísla z nekonvexní množiny {0, 1} a reálného čísla z množiny konvexní množina [0, 1] [15] .

Rozměr

Lema nám také umožňuje vyvodit opačné závěry, které se netýkají množin, ale dimenze vektorového prostoru. Jestliže v nějakém konečnorozměrném reálném vektorovém prostoru lemma platí pro přirozené číslo a pro žádné číslo menší než , pak je rozměr vektorového prostoru [23] . Toto tvrzení je samozřejmě relevantní pouze pro konečněrozměrné vektorové prostory [24] [25] . $D$ $D$ $D$

Shapley-Folkmanův teorém a Starrův důsledek

Shapley a Folkman použili lemma k prokázání své věty, která stanovila horní hranici vzdálenostimezi Minkowského součtem a jeho konvexním pláštěm, „konvexním“ součtem. Shapley-Folkmanova věta říká, že druhá mocnina euklidovské vzdálenosti mezi kterýmkoli bodem „konvexního“ součtu a odpovídajícím bodem původního součtu nepřesahuje hodnotu součtu čtverců největších poloměrů kružnic opsaných kolem . množiny (opsané koule je nejmenší koule, která obsahuje množinu) [26] . Hodnota takové hranice nezávisí na počtu sčítanců množin if [27] . Proto je vzdálenost nulová právě tehdy, když je součet sám o sobě konvexní množinou. Když horní mez závisí na dimenzi , tvar sčítanců množin a nezávisí na počtu sčítanců množin [2] . $Konv(\součet Q_{n})$ $\sum Q_{n}$ $D$ $Q_{n}$ $N$ $N>D$ $N>D$ $D$

Poloměr opsané kružnice přesahuje vnitřní poloměr množiny nebo vzácněji se mu rovná [28] . Vnitřní poloměr je nejmenší číslo , takové, že pro jakýkoli bod existuje kružnice o poloměru , obsahující ty body , které obklopují střed kružnice (tj . ) [29] . Vnitřní poloměr je charakteristickým znakem rozměrů nekonvexností sady. Formálně lze vnitřní poloměr množiny definovat následovně [29] [cca. 4] : $r$ $q\in Conv(Q_{n})$ $r$ $Q_{n}$ $q$

r(Q_{n})=\sup \,\{q\in Conv(Q_{n})\}\inf \,\{T\podmnožina Q_{n}\}rad(T).

Starrův důsledek věty stanovil novou (menší než u Shapleyho a Folkmana) horní hranici mezi součtem a „konvexním“ součtem:

podle Starrova důsledku je druhá mocnina euklidovské vzdálenosti mezi libovolným bodem a odpovídajícím bodem množiny omezena součtem druhých mocnin největších vnitřních poloměrů množin [28] [30] . $v\in Conv(\sum Q_{n})$ $\sum Q_{n}$ $D$ $Q_{n}$

Pro zjednodušení prezentace teoriemíra vzdálenosti navržená Starrem se nazývá non- convexity ( anglicky non-convexity ) [cca. 5] sady. Hranice uvalená Starrovým důsledkem na nekonvexitu součtové množiny závisí pouze na největších vnitřních poloměrech sčítacích množin a nezávisí na počtu sčítanců v . $D$ $N$ $N>D$

Podmnožina členů ( ), přesněji jejich tvar , určuje horní hranici vzdálenosti mezi střední hodnotou množin podle Minkowského $D$ $N>D$ $N$

{\frac {1}{N}}(Q_{1}+Q_{2}+\ldots +Q_{n})

a konvexní trup tohoto středu. Protože N má tendenci k nekonečnu , maximální vzdálenost má tendenci k nule (pro sčítance rovnoměrně ohraničené velikosti) [2] .

Důkaz

Původní důkaz lemmatu stanovil pouze jistotu existence takové reprezentace bodů, přičemž algoritmus pro jejich nalezení v důkazu uveden nebyl. Podobné důkazy navrhli Arrow a Hahn [31] , Cassels [32] , Schneider [33] a další. Abstraktní a elegantní důkaz předložený Ivarem Ekelandem — jeho dílo následně doplnil Artstein [5] [34] . Některé důkazy nebyly zveřejněny [3] [35] . V roce 1981 Starr publikoval iterační metodu pro výpočet reprezentace daného součtového bodu. Nicméně důkaz předložený v článku byl méně silný než původní [36] .

Ekelandův důkaz [5] [cca. 6]

Nechť , a všechna mínus patří množině . $v=\sum _{{n}}^{{}}q_{n}$ $q_{n}$ $D$ $Q_{n}$

Definujme mapování působící od do takto: $\Phi$ ${\mathbb {R}}^{{Dn}}$ ${\mathbb {R}}^{D}$

\Phi (q_{n})=\součet _{{n}}^{{}}q_{n}

Podle definice, . $\sum _{{n}}^{{}}Q_{n}=\Phi (\prod _{{n}}^{{}}Q_{n})$

Z linearity to vyplývá $\Phi$

Conv(\Phi (\prod _{{n}}^{{}}Q_{n}))=\Phi (Conv(\prod _{{n}}^{{}}Q_{n}))= \Phi (\prod _{{n}}^{{}}Konv(Q_{n}))

Conv(\sum _{{n}}^{{}}Q_{n})=\sum _{{n}}^{{}}Conv(Q_{n}).

Všimněte si, že právě tehdy, pokud patří také do konvexního obalu konečného počtu bodů v množině . Podle Carathéodoryho věty o konvexním trupu však tento výsledek nebude v tomto důkazu použit. Můžeme si to tedy představit takto: $v\in Conv(\sum _{{n}}^{{}}Q_{n})$ $proti$ $m$ $\sum _{{n}}^{{}}Q_{n}$ $m\leqslant D+1$ $proti$

v=\sum _{{p=1}}^{{m}}\alpha _{p}y_{p},

kde

y_{p}\in \sum _{{n}}^{{}}Q_{n},

\alpha _{p}>0,\součet _{{p=1}}^{{m}}\alpha _{p}=1.

Na druhé straně může být každý zastoupen jako $y_{p}$

y_{p}=\součet _{{n}}^{{}}y_{{np}},y_{{np}}\v Q_{n}.

Označme m-množinu jako . Je zřejmé, že pro každého $\{y_{{np}}\}_{{1\leqslant p\leqslant m}}$ $F_{n}$ $p$

y_{p}\in \sum _{{n}}^{{}}F_{n},

kde

v\in Conv(\sum _{{n}}^{{}}F_{n}).

Každou množinu jsme tedy nahradili konečnou podmnožinou . Pro další účely si všimněte, že jsou polytopy v , a produkt je polytop v . $Q_{n}$ $F_{n}$ $Konv(F_{n})$ ${\mathbb {R}}^{D}$ $Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})$ ${\mathbb {R}}^{{Dn}}$

Označme předobraz prvku při zobrazení písmenem . Zajímá nás podmnožina : $proti$ $\Phi$ $H$ $A\in {\mathbb {R}}^{{Dn}}$

A=H\cap Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})=\{q_{n}|q_{n}\in Conv(F_{n}),\součet _ {{n}}^{{}}q_{n}=v\}.

Předpoklad znamená, že není prázdný. Navíc, protože existuje polytop a je afinním podprostorem , pak je také polytop. Buď jedním z jeho vrcholů. Jako dříve, , kde v . Také dokážeme, že všechny body kromě většiny bodů jsou vrcholy . Protože jakýkoli vrchol musí patřit do , bude důkaz tohoto tvrzení sloužit jako důkaz lemmatu jako celku. $v\in \sum _{{n}}^{{}}Konv(F_{n})$ $A$ $Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})$ $H$ $A$ $q_{n}$ $v=\sum _{{n}}^{{}}q_{n}$ $q_{n}\in Conv(F_{n})$ $q_{n}\v A$ $q_{n}$ $D$ $Konv(F_{n})$ $Konv(F_{n})$ $F_{n}$

Předpokládejme, že zadaný příkaz je nepravdivý a existují body , které nejsou vrcholy . Označme je $D+1$ $q_{n}$ $F_{n}$

q_{n},\tečky ,q_{{D+1}}.

Pro každou existuje vektor a číslo takové, že $q_{n}$ $z_{n}\in {\mathbb {R}}^{D}$ $\varepsilon_{n}$

\forall t\in [-\varepsilon _{n},\varepsilon _{n}],q_{n}+tz_{n}\in Conv(F_{n}).

Označit

\varepsilon =\min _{{1\leqslant n\leqslant D+1}}\varepsilon _{n}.

Pokud jsou tedy v dimenzním prostoru vektory , existuje mezi nimi lineární závislost . Proto nejsou všechna čísla rovna nule taková, že $D+1$ $D$ $\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{{D+1}}$

\sum _{{n}}^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=0.

Můžeme předpokládat, že v . Nyní definujeme dva příslušné body a : $|\alpha _{n}|\leqslant 1$ $1\leqslant n\leqslant D+1$ ${\mathbb {R}}^{{Dn}}$ $q_{n}'$ $q_{n}''$

q_{n}'=q_{n}+\varepsilon \alpha _{n}z_{n},1\leqslant n\leqslant D+1,

q_{n}''=q_{n}-\varepsilon \alpha _{n}z_{n},1\leqslant n\leqslant D+1,

q_{n}'=q_{n}=q_{n}''

v jiných případech.

Z toho vyplývá a patří k . Kromě, $\forall t\in [-\varepsilon _{n},\varepsilon _{n}],q_{n}+tz_{n}\in Conv(F_{n}).$ $q_{n}'$ $q_{n}''$ $Konv(F_{n})$

\sum _{{n}}^{{}}q_{n}'=\součet _{{n}}^{{}}q_{n}'+\varepsilon \sum _{{n=1}} ^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=v,

\sum _{{n}}^{{}}q_{n}''=\sum _{{n}}^{{}}q_{n}'-\varepsilon \sum _{{n=1} }^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=v.

Proto body a patří do . Zároveň evidentně $q_{n}'$ $q_{n}''$ $A$

q_{n}=1/2q_{n}'+1/2q_{n}''.

Na rozdíl od předpokladu nemůže být top . $q_{n}$ $A$

Aplikace

Lema umožňuje výzkumníkům extrapolovat výsledky relevantní pro Minkowského součty konvexních množin na jiné součty ne nutně konvexních množin. Nástroje Shapleyho, Folkmana a Starra našly uplatnění v ekonomii , matematické optimalizaci a teorii pravděpodobnosti .

Ekonomie

Mnoho ekonomických vztahů, závislostí a procesů lze modelovat předložením jejich geometrické interpretace. Pokud se tedy nějaká množina, která má ekonomický význam, hodí k operaci Minkowského sčítání, pak se lemma, věta a jejich důsledky stávají relevantními pro model tohoto ekonomického jevu. Příkladem takového souboru je indiferenční křivka , jednoduchý, ale důležitý mikroekonomický model spotřeby a užitku .

V mikroekonomické teorii se předpokládá, že spotřebitelské preference jsou definovány v celém prostoru nějakých „košíků“ , tedy kvantitativně definovaných souborů různých statků: spotřebitelé přesně znají své preference a jejich kvantitativní charakteristiky. Každý košík je reprezentován nezáporným vektorem , jehož souřadnice udávají množství každého uvažovaného produktu. Na této sadě košů jsou pro každého spotřebitele určeny indiferenční křivky . Každá křivka představuje místo bodů odpovídajících těm košům, které spotřebitel považuje za ekvivalentní z hlediska užitku . Jinými slovy, kupující zažívá lhostejnost, do kterého košíku (z těch, které se nacházejí na stejné křivce) se dostane. V tomto modelu se předpokládá, že určitým košem (bodem) může procházet pouze jedna indiferenční křivka. Finanční možnosti kupujícího jsou omezeny rozpočtovou linií (ve dvourozměrném prostoru). Optimálním rozhodnutím pro spotřebitele je tedy vybrat si koš, který se nachází v bodě, kde se linie rozpočtu dotýká nějaké indiferenční křivky. Množina preferencí spotřebitele je spojení nějaké indiferenční křivky a všech bodů umístěných nad jejím grafem (tj. množina některých košů stejně hodnotných pro spotřebitele a všech ostatních hodnotnějších košů). Vztah spotřebitelských preferencí je konvexní, pokud je tato množina preferencí konvexní [37] [38] .

Pokud je tedy nalezeno řešení optimální pro spotřebitele, pak je rozpočtová linie referenční přímkou nejlepší dostupné indiferenční křivky. Pozice rozpočtové linie je určena cenovým vektorem a příjmovým vektorem kupujícího (přesněji příjmovým vektorem a sklonem ke spotřebě). Množina optimálních košů je tedy funkcí cen a tato funkce se nazývá spotřebitelská poptávka . Pokud je množina preferencí konvexní, pak je poptávka spotřebitele rovněž konvexní množinou za jakoukoli cenu. Příkladem konvexních poptávkových funkcí je jediný optimální koš a segment optimálních košů [39] .

Nekonvexní preferenční vztah

Pokud je však sada preferencí nekonvexní, pak se u některých cen vytvoří taková rozpočtová linie, která umožňuje výběr jednoho ze dvou izolovaných optimálních košů. Například chovatel v zoo, který si chce koupit lva nebo orla (které jsou oceňovány stejně), nemůže koupit část jednoho zvířete a část druhého – jeho preference nejsou konvexní. Spotřebitel tak odmítá nákup přísně konvexní kombinace zboží ve prospěch nákupu pouze jednoho výrobku v libovolném množství [40] .

Pokud je množina preferencí spotřebitele nekonvexní, pak při některých cenách není funkce poptávky spotřebitele propojeným prostorem . Harold Hotelling hovořil o nesoudržné poptávce:

Pokud při zvažování nákupu indiferenčních křivek předpokládáme, že jsou zvlněné, na některých místech konvexní a na jiných konkávní, dospějeme vždy k závěru, že pouze konvexní části lze vnímat jako významné, protože ostatní jsou v podstatě nepozorovatelné. Lze je odhalit pouze mezerami, které mohou vzniknout v poptávce se změnou cenových poměrů; [přestávky] vedou k ostrým skokům v bodě kontaktu „přes propast“, ke kterým dochází při rotaci [tangenciální] čáry. Ale i když tyto mezery mohou naznačovat existenci „propastí“, nebudou v zásadě schopny charakterizovat jejich hloubku. Konkávy indiferenčních křivek a jejich vícerozměrné zobecnění, pokud existují, zůstanou navždy v nezměrné nejasnosti [41] .

Původní text (anglicky)[ zobrazitskrýt] Máme-li indiferenční křivky pro nákupy za to, že mají zvlněný charakter, v některých oblastech konvexní k původu a v jiných konkávní, jsme nuceni dojít k závěru, že pouze části konvexní k původu mohou být považovány za důležité. , protože ostatní jsou v podstatě nepozorovatelné. Lze je odhalit pouze pomocí diskontinuit, které se mohou vyskytnout v poptávce se změnami cenových poměrů, což vede k náhlému přeskočení tečného bodu přes propast při otáčení přímky. Ale i když takové diskontinuity mohou odhalit existenci propastí, nikdy nemohou změřit jejich hloubku. Konkávní části indiferenčních křivek a jejich mnohorozměrné zobecnění, pokud existují, musí navždy zůstat v neměřitelné nejasnosti.

Obtížnost studia nekonvexních preferencí zaznamenali Herman Vold [42] [43] a Paul Samuelson . Ten podle Diverta [44] napsal, že nevybouleniny jsou „zahaleny věčnou temnotou“ [cca. 7] [45] .

Přesto řada publikací v letech 1959-1961 v The Journal of Political Economyvrhnout světlo na problém nekonvexních preferencí. Vedoucími badateli v této oblasti se stali Farrell [46] [47] [48] , Baytor [49] [50] , Koopmans [51] [52] a Rotenberg [53] [54] . Zejména otázka přibližné konvexity součtů nekonvexních množin byla zvažována v Rotenbergově práci [55] . Články v JPE tlačil Shapley a Martin Shubikk napsání článku, který popisuje „konvexní“ vztahy spotřebitelských preferencí. Tam byl také poprvé zmíněn koncept „přibližné rovnováhy “ [ 56 ] . Článek Shapleyho a Shubika, stejně jako předchozí publikace, inspirovaly Roberta Aumanna k vytvoření termínu „ kvazi-rovnováha “ [57] .

The 1969 Starr Report and Modern Economics

Během studia na Stanfordské univerzitě absolvoval Ross Starr speciální ekonomický a matematický kurz pokročilé složitosti pod vedením Kennetha Arrowa . Arrow, který v minulosti zpracoval komentovanou bibliografii publikací na téma nekonvexita v ekonomii, ji předal mladému kolegovi [58] . Starr strávil svou semestrální práci studiem obecných rovnováh fiktivní ekonomiky, ve které byly nekonvexní preferenční vztahy nahrazeny jejich konvexními obaly. Souhrnná poptávka v této „konvexní“ ekonomice byla součtem konvexních obalů funkcí spotřebitelské poptávky při každé ceně. Starrovy myšlenky zaujaly Shapleyho a Folkmana: v rámci soukromé korespondence vědci dokázali lemma a teorém, které dostaly jejich jméno, a poté byly tyto výsledky publikovány ve Starrově práci z roku 1969 [1] .

Starr byl schopen zjistit, že pokud počet agentů na trhu převyšuje komoditní „dimenze“ (počet směňovaného zboží), pak jsou obecné rovnováhy „konvexní“ ekonomiky velmi blízké kvazi-rovnováze původní ekonomiky. . Ekonom získal rigorózní důkaz, že v takové situaci existuje alespoň jedna cenová kvazirovnováha p opt , která má následující vlastnosti:

u každé ceny si všichni spotřebitelé mohou vybrat optimální koše (preferované a cenově dostupné z hlediska rozpočtu),
při cenách p opt je trh pro každý produkt v „konvexní“ ekonomice v rovnováze (nabídka a poptávka jsou stejné),
pro každou kvazirovnováhu přispívají ceny k téměř úplnému vyčištění trhu: hodnota horní hranice vzdálenosti mezi množinou rovnováh "konvexní" ekonomiky a množinou kvazirovnováh původní ekonomiky je určena Starrovým důsledkem [59] [60] .

Starr to našel

obecně je nesoulad mezi umístěním ve fiktivní ekonomice [vytvořený nalezením konvexních obalů všech spotřebitelských a výrobních souborů] a některým umístěním v reálné ekonomice ohraničený bez ohledu na počet ekonomických subjektů [61] .

Původní text (anglicky)[ zobrazitskrýt] v souhrnu je nesoulad mezi alokací ve fiktivní ekonomice generovanou [vzetím konvexních obalů všech spotřebních a výrobních souborů] a určitou alokací v reálné ekonomice ohraničena způsobem, který je nezávislý na počtu ekonomických subjektů .

Výsledky Shapleyho, Folkmana a Starra byly aplikovány i v dalších odvětvích ekonomických věd: mikroekonomie [62] [63] , obecná teorie rovnováhy [59] [64] [65] [66] [67] , ekonomie veřejného sektoru [ 68] (v zahrnutí do teorie tržních selhání [69] ), dále do teorie her [70] , matematické ekonomie [71] a aplikované matematiky [72] [73] [74] [75] . Úspěchy Shapleyho, Folkmana a Starra daly impuls k zavedení teorie množiny míry a teorie integrace do ekonomické metodologie [76] .

Matematická optimalizace

Nelineární optimalizace je založena na následujících základních konceptech:

funkční graf je sada párů argumentfunkce a hodnota funkce: $F$ $X$ $f(x)$

graf(f)=\{x,f(x)\},

Epigraf reálné funkceje množina bodů umístěných nad grafem funkce: $F$

Epi(f)=\{x,u;f(x)<u\},

reálná funkce je konvexní , je -li jejím epigrafem konvexní množina [77] .

Například funkce a jsou konvexní, ale funkce (sinusoida) takovou vlastnost nemá (sinusoida není na intervalu konvexní ). $f(x) = x^2$ $g(x)=|x|$ $h(x)=sinx$ $[0,\pi ]$

Problémy aditivní optimalizace

V mnoha optimalizačních problémech je účelová funkce oddělitelná , to znamená, že je součtem mnoha součtů funkcí, z nichž každý má svůj vlastní argument: $f(x)$

f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\součet f_{n}(x_{n})

Objektivní funkce v problémech lineárního programování jsou oddělitelné.

Optimalizační problémy mohou být "konvexní" nalezením konvexních obalů sčítanců funkcí. Optimálním řešením takového problému je limita posloupnosti [cca. 8] body se souřadnicemi patřícími do množiny [5] . Optimální bod je podle lemmatu součet bodů grafů "konvexních" členů funkcí a určitého počtu bodů grafů původních funkcí. $(x_{j},f(x_{j}))$ $\sum Conv(Graph(f_{n}))$ $D$

Tuto analýzu poprvé publikoval Ivar Ekelandv roce 1974. Matematik se pak pokusil vysvětlit, proč jsou oddělitelné problémy s velkým počtem členů konvexní, když počáteční členy nejsou konvexní. O několik měsíců dříve francouzský vědec Claude Lemarechalúspěšně aplikoval iterační metody konvexní minimalizace na řešení nekonvexních problémů. Řešení duální nelineární minimalizační úlohy ne vždy přináší informace užitečné pro řešení přímé úlohy (nicméně pro konvexní přímé úlohy splňující podmínky regularity tomu tak není). Lemarechalův problém byl aditivně oddělitelný a každá sčítací funkce byla nekonvexní. Nicméně řešení duální úlohy poskytlo poměrně přesnou aproximaci optimální hodnoty pro přímou úlohu [78] [79] [80] [5] [81] . Ekelandova analýza objasnila důvody úspěchu konvexních minimalizačních metod aplikovaných na velké a separovatelné problémy s nekonvexními součety funkcí. Ekeland a další tvrdili, že aditivní oddělitelnost umožňuje považovat problém za přibližně konvexní, pokud termíny nejsou konvexní. Zlomovým bodem v této oblasti výzkumu byl apel matematiků na Shapley-Folkmanovo lemma [81] [5] [82] [83] . Objevení se lemmatu podnítilo použití konvexních minimalizačních metod pro řešení dalších tříd úloh se separovatelnými funkcemi [5] [6] [73] [84] .

Teorie pravděpodobnosti a míry

Konvexní množiny jsou často studovány v rámci teorie pravděpodobnosti . Každý bod patřící ke konvexnímu obalu neprázdné množiny v konečném prostoru je očekávanou hodnotou jednoduchého náhodného vektoru , který nabývá hodnot na množině (vyplývá to z Carathéodoryho lemmatu [Poznámka 9]) . pro neprázdnou množinu je množina očekávaných hodnot hodnot jednoduchého náhodného vektoru ekvivalentní konvexnímu obalu množiny – lze tedy lemma aplikovat i v této oblasti.85 Na na druhé straně samotná teorie pravděpodobnosti má nástroje pro studium konvexních množin obecně a lemmatu zvláště.86 Výsledky Shapleyho, Folkamana a Starra byly široce používány v pravděpodobnostní teorii náhodných množin. $Q$ $Q$ $Q$ $Q$ [87] , například dokázat zákon velkých čísel [7] [88] , centrální limitní větu [88] [89] a teorii velkých odchylek[90] . Abychom se vyhnuli předpokladu, že všechny náhodné množiny jsou konvexní, byly při dokazování těchto limitních teorémů teorie pravděpodobnosti použity výsledky Shapleyho, Folkmana a Starra.

Lema má také aplikace v těch částech teorie míry , které se netýkají pravděpodobnosti, například v teoriích objemové a vektorové míry. Lema umožňuje upřesnit Brunn-Minkowskiho větu , která stanoví poměr objemu množinového součtu a součtu objemů množinových součtů [91] . Objem množiny je charakterizován Lebesgueovou mírou , která je definována pro množiny v euklidovském prostoru . Lema bylo také použito při důkazu Ljapunovovy věty , což naznačuje, že obraz [cca. 10] míry bezatomového vektoru je konvexní [92] . Vektorová míra, jejíž hodnoty jsou vektory , je zobecněním konceptu míry. Například, jestliže a jsou míry pravděpodobnosti definovány na jednom měřitelném prostoru, pak jejich funkce součinu je vektorová míra, kde je definována pro každou náhodnou událost : $p_{1}$ $p_{2}$ $p_{1}p_{2}$ $p_{1}p_{2}$ $\omega$

(p_{1}p_{2})(\omega )=(p_{1}(\omega ),p_{2}(\omega ))

Ljapunovův teorém se používá v matematické ekonomii [93] , teorie automatických reléových regulátorůa statistickou teorii[94] . Tato věta je považována za spojitou analogii Shapley-Folkmanova lemmatu [2] , které se zase nazývá diskrétní „dvojník“ Ljapunovovy věty [95] .

Poznámky

Komentáře

↑ V literatuře se používají i varianty Folkman , Folkmann .
↑ 1 2 3 4 Udělení Nobelovy ceny za ekonomické vědy není formálně dědictvím Alfreda Nobela . Cenu uděluje Švédská státní banka od roku 1969.
↑ Prázdná pravda je nesmyslné tvrzení o všech prvcích nějaké prázdné třídy. Implikace „jestliže A … pak B…“ se tedy stává prázdnou pravdou, pokud je A zjevně nepravdivé.
↑ viz článek " Přesná horní a dolní hranice množin "
↑ Použití slova „nekonvexnost“ v tomto významu je povoleno pouze v této části. V jiných částech se slovo používá jako antonymum pro výraz „boule“.
↑ Níže jsou uvedeny úryvky z důkazu lemmatu od Ivara Ekelanda. Označení použitá v tomto článku se liší od označení uvedených v původním zdroji. Výměna byla provedena za účelem zachování jednotnosti designu.
↑ anglicky. zahalené věčnou temnotou
↑ Bod se nazývá limita posloupnosti , pokud pro každou existuje takové číslo , že nerovnost platí pro všechny . $A$ $\{x_n\}$ $\varepsilon >0$ $N_{{\varepsilon ))$ $n>N_{{\varepsilon ))$ $|x_{n}-a|<\varepsilon$
↑ Možnost reprezentovat body konvexní množiny náhodnými proměnnými je relevantní pro uzavřené ohraničené množiny v Banachově prostoru s Radon-Nikodimovou vlastností(podle Edgarovy věty) a pro uzavřené zcela ohraničené množiny v lokálně konvexních prostorech (podle Krein-Milmanovy věty )
↑ Pojem „image“ zde znamená množinu hodnot, do které jsou mapovány prvky původní množiny .

Použitá literatura a zdroje

↑ 1 2 3 4 5 Starr , 1969 .
↑ 1 2 3 4 Starr , 2008 .
↑ 12 Howe , 1979 , s. jeden.
↑ Guesnerie , 1989 , s. 138.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Ekeland , 1999 , str. 357–359.
↑ 1 2 Bertsekas , 1996 , s. 364–381.
↑ 1 2 Artstein & Vitale , 1975 , s. 881–882.
↑ Ilyin a Poznyak , 2010 , str. 42-43.
↑ Ilyin a Poznyak , 2010 , str. 48-50.
↑ Encyklopedie matematiky , 1977-1985 .
↑ 1 2 Rockafellar , 1997 , str. deset.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , s. 376.
↑ Rockafellar , 1997 .
↑ Green & Heller , 1981 , s. 37.
↑ 1 2 3 Carter , 2001 , str. 94.
↑ Schneider , 1993 , s. xi.
↑ Rockafellar , 1997 , str. 16.
↑ Rockafellar , 1997 , str. 17.
↑ Starr , 1997 , str. 78.
↑ Schneider , 1993 , s. 2–3.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , s. 387.
↑ Starr , 1969 , str. 35–36.
↑ Schneider , 1993 , s. 131.
↑ Schneider , 1993 , s. 140.
↑ Borwein & O'Brien , 1978 , s. 100-102.
↑ Schneider , 1993 , s. 129.
↑ Starr , 1969 , str. 36.
↑ 12 Starr , 1969 , str. 37.
↑ 12 Starr , 1981 , str. 315.
↑ Schneider , 1993 , s. 129–130.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , s. 392–395.
↑ Casssels , 1975 , s. 435–436.
↑ Schneider , 1993 , s. 128.
↑ Artstein , 1980 , str. 180.
↑ Anderson , 2005 , s. 1-5.
↑ Starr , 1981 , str. 314–317.
↑ Mas-Colell , 1985 , s. 58–61.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , s. 76–79.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , s. 79–81.
↑ Starr , 1969 , str. 26.
↑ Hotelling , 1935 , str. 74.
↑ Wold , 1943 , str. 231, 239–240.
↑ Wold & Juréen , 1953 , s. 146.
↑ Diewert , 1982 , s. 552–553.
↑ Samuelson , 1950 , str. 359–360.
↑ Farrell(a) , 1959 , str. 371–391.
↑ Farrell (b) , 1961 , str. 484–489.
↑ Farrell (c) , 1961 , str. 493.
↑ Bator(a) , 1961 , str. 480–483.
↑ Bator (b) , 1961 , str. 489.
↑ Koopmans , 1961 , s. 478–479.
↑ Koopmans , 1957 , s. 1–126.
↑ Rothenberg , 1960 , s. 435–468.
↑ Rothenberg , 1961 , str. 490-492.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , s. 182.
↑ Shapley & Shubik , 1966 , s. 806.
↑ Aumann , 1966 , s. 1–2.
↑ 1 2 Starr & Stinchcombe , 1999 , str. 217–218.
↑ 12 Arrow & Hahn , 1980 , s. 169–182.
↑ Starr , 1969 , str. 27–33.
↑ Green & Heller , 1981 , s. 44.
↑ Varian , 1992 , str. 393–394.
↑ Mas-Colell, Whinston & Green , 1995 , s. 627–630.
↑ Mas-Colell , 1985 , s. 52–55, 145–146, 152–153, 274–275.
↑ Hildenbrand , 1974 , s. 37, 115–116, 122, 168.
↑ Starr , 1997 , str. 169.
↑ Ellickson , 1994 , s. xviii, 306-310, 312, 328-329, 347, 352.
↑ Laffont , 1988 , str. 63–65.
↑ Salanié , 2000 , str. 112–113, 107–115.
↑ Ichiishi , 1983 , s. 24–25.
↑ Casssels , 1981 , s. 127.
↑ Carter , 2001 , str. 93–94, 143, 318–319, 375–377, 416.
↑ 12 Aubin , 2007 , str. 458–476.
↑ Moore , 1999 , s. 309.
↑ Florenzano & Le Van , 2001 , s. 47–48.
↑ Trockel , 1984 , str. třicet.
↑ Rockafellar , 1997 , str. 23.
↑ Lemarechal , 1973 , s. 38.
↑ Aardal , 1995 , s. 2–3.
↑ Hiriart-Urruty & Lemaréchal , 1993 , s. 143–145, 151, 153, 156.
↑ 1 2 Ekeland , 1999 , str. 149–151.
↑ Aubin & Ekeland , 1976 , s. 226, 233, 235, 238, 241.
↑ Di Guglielmo , 1977 , s. 287–288.
↑ Bertsekas , 1999 , s. 496.
↑ Schneider & Weil , 2008 , s. 45.
↑ Casssels , 1975 , s. 433–434.
↑ Molchanov , 2005 , str. 195-198, 218, 232, 237-238, 407.
↑ 12 Puri & Ralescu , 1985 , s. 154–155.
↑ Weil , 1982 , s. 203, 205–206.
↑ Cerf , 1999 , s. 243–244.
↑ Ruzsa , 1997 , str. 345.
↑ Tardella , 1990 , str. 478–479.
↑ Vind , 1964 , str. 168, 175.
↑ Artstein , 1980 , str. 172–183.
↑ Mas-Colell , 1978 , s. 210.

Literatura

A–D

Rozhovor s Aardalem K. Optimem Claudem Lemaréchalem // Newsletter Optima: Mathematical Programming Society. - 1995. - č. 45 . — S. 2–4 .
Anderson RM The Shapley–Folkmanův teorém // Ekonomie 201B: Nekonvexní preference a přibližné rovnováhy. — Ekonomické oddělení, University of California, Berkeley, 2005.
Arrow K. , Hahn F. Obecná konkurenční analýza. - North-Holland, 1980. - ISBN 0-444-85497-5 .
Artstein Z., Vitale RA Silný zákon velkých čísel pro náhodné kompaktní množiny // The Annals of Probability. - 1975. - V. 3 , č. 5 . — S. 879–882 . - doi : 10.1214/aop/1176996275 .
Artstein Z. Diskrétní a souvislé třesk-bang a obličejové prostory aneb: Hledejte extrémní body // SIAM Review. - 1980. - V. 2 , č. 22 . — S. 172–185 . - doi : 10.1137/1022026 .
Aubin J.-P., Ekeland I. Odhady duality v nekonvexní optimalizaci // Matematika operačního výzkumu. - 1976. - č. 3 . — S. 225–245 . - doi : 10.1287/moor.1.3.225 .
Aubin J.P. 14.2 Dualita v případě nekonvexního integrálního kritéria a omezení // Matematické metody her a ekonomické teorie. - Dover Publications, Inc, 2007. - ISBN 978-0-486-46265-3 .
Aumann YRJ Existence konkurenční rovnováhy na trzích s kontinuem obchodníků // Econometrica . - 1966. - T. 34 , č. 1 . — S. 1–17 .
Bator FM O konvexitě, efektivitě a trzích // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , č. 5 . — S. 480–483 .
Bator FM O konvexitě, efektivitě a trzích: Rejoinder // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , č. 5 . - S. 489 .
Bertsekas DP 5.6 Problémy programování ve velkém měřítku oddělitelných celých čísel a exponenciální metoda multiplikátorů // Metody omezené optimalizace a Lagrangeových multiplikátorů. - Athena Scientific, 1996. - ISBN 1-886529-04-3 .
Bertsekas DP 5.1.6 Separovatelné úlohy a jejich geometrie // Nelineární programování. - Athena Scientific, 1999. - ISBN 1-886529-00-0 .
Borwein MJ, O'Brien RC Zrušení charakterizuje konvexnost // Nanta Mathematica. - 1978. - č. 11 . — S. 100–102 .
Carter M. Základy matematické ekonomie. - MIT Press, 2001. - ISBN 0-262-53192-5 .
Cassels JWS Míry nekonvexnosti množin a Shapley–Folkman–Starr teorém // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1975. - č. 3 . — S. 433–436 . - doi : 10.1017/S0305004100051884 .
Cassels JWS Příloha A Konvexní množiny // Ekonomie pro matematiky. - Cambridge University Press, 1981. - ISBN 0-521-28614-X .
Cerf R. Velké odchylky pro součty iid náhodných kompaktních množin // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1999. - T. 127 , č. 8 . — S. 2431–2436 . - doi : 10.1090/S0002-9939-99-04788-7 .
Di Guglielmo F. Nekonvexní dualita v multiobjektivní optimalizaci // Matematika operačního výzkumu. - 1977. - č. 3 . — S. 285–291 . - doi : 10.1287/moor.2.3.285 .
Diewert WE Dualitní přístupy k mikroekonomické teorii // Příručka matematické ekonomie, svazek II. - North-Holland, 1982. - ISBN 978-0-444-86127-6 .

E-O

Ekeland I. Příloha I: Apriorní odhad v konvexním programování // Konvexní analýza a variační problémy. - Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, 1999. - ISBN 0-89871-450-8 .
Ellickson B. Konkurenční rovnováha: Teorie a aplikace. - Cambridge University Press, 1994. - ISBN 978-0-521-31988-1 .
Farrell MJ Předpoklad konvexity v teorii konkurenčních trhů // The Journal of Political Economy. - 1959. - T. 67 , č. 4 . — S. 371–391 .
Farrell MJ o konvexitě, efektivitě a trzích: odpověď // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , č. 5 . — S. 484–489 .
Farrell MJ Předpoklad konvexity v teorii konkurenčních trhů: Rejoinder // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , č. 5 . - S. 493 .
Florenzano M., Le Van C. Konvexnost a optimalizace rozměrů. - Springer-Verlag, 2001. - ISBN 3-540-41516-5 .
Green J., Heller WP Matematická analýza a konvexita s aplikacemi v ekonomii // Příručka matematické ekonomie, Volume I. - North-Holland, 1981. - ISBN 0-444-86126-2 .
Guesnerie R. První nejlepší alokace zdrojů s nekonvexitami ve výrobě // Příspěvky k operačnímu výzkumu a ekonomice: Dvacáté výročí CORE (Příspěvky ze sympozia konaného v Louvain-la-Neuve, leden 1987) . - MIT Press, 1989. - ISBN 0-262-03149-3 .
Hildenbrand W. Jádro a rovnováhy velké ekonomiky. - Princeton University Press, 1974. - ISBN 978-0-691-04189-6 .
Hiriart-Urruty J.-B., Lemaréchal C. XII Abstraktní dualita pro praktiky // Konvexní analýza a minimalizační algoritmy, svazek II: Pokročilá teorie a metody svazků. - Springer-Verlag, 1993. - ISBN 3-540-56852-2 .
Hotelling H. Poptávkové funkce s omezenými rozpočty // Econometrica . - 1935. - V. 3 , č. 1 . — s. 66–78 .
Howe RE O tendenci ke konvexitě vektorového součtu množin. — Cowles Foundation for Research in Economics, 1979.
Ichiishi T. Teorie her pro ekonomickou analýzu. - Academic Press, Inc., 1983. - ISBN 0-12-370180-5 .
Koopmans TC Alokace zdrojů a cenový systém // Tři eseje o stavu ekonomické vědy. — McGraw–Hill Book Company, 1957.
Koopmans TC Konvexní předpoklady, alokační efektivita a konkurenční rovnováha // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , č. 5 . — S. 478–479 .
Laffont J.-J. 3 Nekonvexity // Základy veřejné ekonomie . - MIT Press, 1988. - ISBN 0-262-12127-1 .
Lemarechal C. Utilization de la dualité dans les problemes non convexes. - Národní ústav pro výzkum výpočetní techniky a řízení, 1973.
Mas-Colell A. Poznámka k základní větě o ekvivalenci: Kolik blokovacích koalic existuje? // Journal of Mathematical Economics. - 1978. - V. 5 , č. 3 . — S. 207–215 . - doi : 10.1016/0304-4068(78)90010-1 .
Mas-Colell A. 1.L Průměry množin // Teorie obecné ekonomické rovnováhy: diferencovatelný přístup. - Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-26514-2 .
Mas-Colell A. Nekonvexnost // The New Palgrave Dictionary of Economics. — Palgrave Macmillan, 1987.
Mas-Colell A. , Whinston MD, Green J. 17.1 Velké ekonomiky a nekonvexity // Mikroekonomická teorie. - Oxford University Press, 1995. - ISBN 978-0-19-507340-9 .
Molchanov I. 3 Minkowského sčítání // Teorie náhodných množin. - Springer-Verlag London Ltd, 2005. - ISBN 978-1-84996-949-9 .
Moore JC Matematické metody pro ekonomickou teorii: svazek I. - Springer-Verlag, 1999. - ISBN 3-540-66235-9 .

P-Z

Puri ML, Ralescu DA Limitní věty pro náhodné kompaktní množiny v Banachově prostoru // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1985. - č. 1 . — S. 151–158 . - doi : 10.1017/S0305004100062691 .
Rockafellar RT konvexní analýza. - Princeton University Press, 1997. - ISBN 0-691-01586-4 .
Rothenberg J. Nekonvexita, agregace a Pareto optimalita // The Journal of Political Economy. - 1960. - T. 68 , č. 5 . — S. 435–468 .
Rothenberg J. Komentáře k nekonvexitě // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , č. 5 . — S. 490–492 .
Ruzsa IZ Nerovnice Brunn–Minkowski a nekonvexní množiny // Geometriae Dedicata . - 1997. - č. 67 . — S. 337–348 . - doi : 10.1023/A:1004958110076 .
Salanié B. 7 Nonconvexitie // Mikroekonomie tržních selhání. - MIT Press, 2000. - ISBN 0-262-19443-0 .
Samuelson, PA Problém integrability v teorii užitku // Economica. - 1950. - T. 17 , č. 68 . — S. 355–385 .
Schneider R. Konvexní tělesa: Teorie Brunn–Minkowski. - Cambridge University Press, 1993. - ISBN 0-521-35220-7 .
Schneider R., Weil W. Stochastická a integrální geometrie. - Springer, 2008. - ISBN 978-3-540-78858-4 .
Shapley LS , Shubik M. Kvazijádra v peněžní ekonomice s nekonvexními preferencemi // Econometrica . - 1966. - T. 34 , č. 4 . — S. 805–827 .
Starr RM Kvazi-rovnováhy na trzích s nekonvexními preferencemi (Příloha 2: The Shapley–Folkmanův teorém) // Econometrica . - 1969. - č. 37 . — s. 35–37 .
Starr RM Aproximace bodů konvexního trupu součtu množin podle bodů součtu: Elementární přístup // Journal of Economic theory. - 1981. - č. 1 . — S. 314–317 .
Starr RM 8 Konvexní množiny, separační teorémy a nekonvexní množiny v R N // Obecná teorie rovnováhy: Úvod. - 1997. - ISBN 0-521-56473-5 .
Starr RM, Stinchcombe MB Trhy, informace a nejistota: Eseje z ekonomické teorie na počest Kennetha J. Arrowa. - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 978-0-521-08288-4 .
Starr RM Shapley–Folkmanova věta // The New Palgrave Dictionary of Economics. — Palgrave Macmillan, 2008.
Tardella F. Nový důkaz Ljapunovovy věty o konvexitě // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1990. - č. 2 . — S. 478–481 . - doi : 10.1137/0328026 .
Trockel W. Tržní poptávka: Analýza velkých ekonomik s nekonvexními preferencemi. - Springer-Verlag, 1984. - ISBN 3-540-12881-6 .
Varian HR 21.2 Konvexnost a velikost // Mikroekonomická analýza. - W. W. Norton & Company, 1992. - ISBN 978-0-393-95735-8 .
Vind K. Edgeworth-alokace ve směnné ekonomice s mnoha obchodníky // International Economic Review. - 1964. - V. 5 , č. 2 . — S. 165–177 .
Weil W. Aplikace centrální limitní věty pro Banachově prostorově hodnotné náhodné veličiny na teorii náhodných množin // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. - 1982. - T. 60 , č. 2 . — S. 203–208 . - doi : 10.1007/BF00531823 .
Wold H. Syntéza čisté analýzy poptávky II // Skandinavisk Aktuarietidskrift. - 1943. - č. 26 . — S. 220–263 .
Wold H., Juréen L. Analýza poptávky: Studie ekonometrie. — John Wiley and Sons, Inc., 1953.

A-Z

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineární algebra. — M.: Fyzikálně-matematická literatura, 2010. — ISBN 978-5-9221-0481-4 .
Mathematical Encyclopedia , ed. I. M. Vinogradová . - M.: Sovětská encyklopedie, 1977-1985.