F₄ (matematika)

V matematice je F 4 název jedné z pěti (kompaktních nebo komplexních) speciálních jednoduchých Lieových grup , stejně jako její Lieova algebra . F 4 má hodnost 4 a dimenzi 52. Skupina F 4 je jednoduše spojena a její vnější skupina automorfismu je triviální. Nejjednodušší přesná lineární reprezentace grupy F 4 , stejně jako její Lieova algebra, je 26-rozměrná a neredukovatelná. ${\mathfrak {f}}_{4}$

Kompaktní reálná forma (komplexní) grupy F 4 je izometrická grupa 16-rozměrné Riemannovy variety známé jako „oktonionová projektivní rovina “, OP 2 . To lze ukázat pomocí obecné techniky pomocí konstrukce známé jako magický čtverec , kterou vyvinuli G. Freudenthal a J. Tits .

Existují 3 skutečné Lieovy grupy s algebrou : kompaktní, dělená a třetí. ${\mathfrak {f}}_{4}$

Lieovu algebru F 4 lze získat přidáním 16 generátorů k 36-rozměrné Lieově algebře, které se transformují jako spinory , podobně jako při konstrukci E 8 . ${\mathfrak {so}}(9)$

Algebra

Kořenové vektory F 4

(\pm 1,\pm 1,0,0)

(\pm 1.0,\pm 1.0)

(\pm 1,0,0,\pm 1)

(0,\pm 1,\pm 1,0)

(0,\pm 1,0,\pm 1)

(0,0,\pm 1,\pm 1)

(\pm 1,0,0,0)

(0,\pm 1,0,0)

(0,0,\pm 1,0)

(0,0,0,\pm 1)

\left(\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2}}\right)

a jednoduché pozitivní kořenové vektory

(0,1,-1,0)

(0,0,1,-1)

(0,0,0,1)

\left({\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2 }}\že jo)

Skupina Weyl / Coxeter

Pro tuto skupinu je to skupina symetrie hyperoktaedru .

Cartan matice

{\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}

Symetrie mřížka F 4

4-rozměrná tělesně centrovaná kubická mřížka má F 4 jako skupinu bodové symetrie. Toto spojení dvou hyperkubických mřížek, z nichž body každé leží ve středech hyperkrychlí druhé, tvoří prstenec zvaný Hurwitzův quaternionový prstenec . 24 Hurwitzových čtveřic s normou 1 tvoří hyperoktaedr .

Zdroje

John Baez , The Octonions , Část 4.2: Ž 4 , Bull. amer. Matematika. soc. 39 (2002), 145-205 . On-line HTML verze (angl.) (Datum přístupu: 26. prosince 2009)

Výjimečné jednoduché lži grupy
G₂ F₄ E₆ E₇ E₈

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace