Výška trojúhelníku

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. dubna 2020; kontroly vyžadují 142 úprav .

Výška trojúhelníku je kolmice svržená z vrcholu trojúhelníku na opačnou stranu (přesněji na čáru obsahující opačnou stranu). V závislosti na typu trojúhelníku může být výška obsažena uvnitř trojúhelníku (pro ostroúhlý trojúhelník), shodovat se s jeho stranou (být ramenem pravoúhlého trojúhelníku) nebo procházet vně trojúhelníku tupého trojúhelníku.

Vlastnosti

Vlastnosti ortocentra

Všechny 3 výšky trojúhelníku se protínají v 1 bodě, který se nazývá ortocentrum . Důkaz je níže.
Ortocentrum je izogonálně konjugováno se středem opsané kružnice .
Orthocenter leží na stejné čáře jako těžiště , střed opsané kružnice , a střed kružnice devíti bodů (viz Eulerova čára ).
Orthocenter ostrého trojúhelníku je střed kruhu vepsaného v jeho ortotrojúhelníku .
V ostrém trojúhelníku leží orthocenter uvnitř trojúhelníku; v tupém - mimo trojúhelník; v pravoúhlém, na vrcholu pravého úhlu.

Vlastnosti přidružené k opsané kružnici

Střed kružnice opsané trojúhelníku slouží jako ortocentrum trojúhelníku s vrcholy ve středních bodech stran daného trojúhelníku. Poslední trojúhelník se nazývá dodatečný trojúhelník vzhledem k prvnímu trojúhelníku.
Poslední vlastnost lze formulovat následovně: Střed kružnice opsané trojúhelníku slouží jako ortocentrum dalšího trojúhelníku .
Na kružnici opsané leží body symetrické k ortocentru trojúhelníku vzhledem k jeho stranám.
Body symetrické k ortocentru trojúhelníku vzhledem ke středům stran také leží na opsané kružnici a shodují se s body diametrálně opačnými k odpovídajícím vrcholům.
Je-li O střed kružnice opsané ΔABC, pak , $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
- $|OH| = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$ , kde je poloměr kružnice opsané ; jsou délky stran trojúhelníku. $R$ $a,b,c$
Vzdálenost od vrcholu trojúhelníku k ortocentru je dvojnásobkem vzdálenosti od středu opsané kružnice k opačné straně.
Jakýkoli segment nakreslený od ortocentra k průsečíku s kružnicí opsané je vždy půlen Eulerovou kružnicí . Ortocentrum je středem homotety těchto dvou kruhů.
Hamiltonova věta . Tři úsečky spojující ortocentrum s vrcholy ostrého trojúhelníku jej rozdělují na tři trojúhelníky, které mají stejnou Eulerovu kružnici ( kruh devíti bodů ) jako původní ostrý trojúhelník.
Důsledky Hamiltonovy věty :
- Tři úsečky spojující ortocentrum s vrcholy ostrého trojúhelníku jej rozdělují na tři Hamiltonovy trojúhelníky se stejnými poloměry opsaných kružnic.
- Poloměry opsaných kružnic tří hamiltonovských trojúhelníků se rovnají poloměru kružnice opsané původnímu ostrému trojúhelníku.

Vlastnosti výšek rovnoramenného trojúhelníku

Jsou-li v trojúhelníku dvě výšky stejné, pak je trojúhelník rovnoramenný a třetí výška je jak medián , tak i osa úhlu, ze kterého vychází.
Platí to i naopak: v rovnoramenném trojúhelníku jsou dvě výšky stejné a třetí výška je jak střed, tak osa.

Vlastnosti výšek rovnostranného trojúhelníku

Vivianiho věta _). Pro libovolný bod P uvnitř rovnostranného trojúhelníku je součet odvěsnic ke třem stranám roven výšce trojúhelníku. [jeden]

Vlastnosti výšek rovnoramenného trojúhelníku

Vivianiho věta zobecněná na libovolný bod P na základě rovnoramenného trojúhelníku . Součet vzdáleností od libovolného bodu ležícího na podstavě rovnoramenného trojúhelníku k bočním (rovným) stranám je konstantní hodnota rovna výšce snížené na boční stranu. [2]

Výškové vlastnosti libovolného trojúhelníku

Vivianiho věta je zobecněná . Pokud z konců nejmenší ze tří stran trojúhelníku odložit na dvou zbývajících stranách stejné segmenty rovné délce nejmenší ze tří stran, pak spojením dvou nevrcholových konců odložených segmentů trojúhelníku přímky, dostaneme těžiště bodů ležících uvnitř trojúhelníku. Pro jakýkoli bod P tohoto těžiště bodů uvnitř trojúhelníku je součet vzdáleností ke třem stranám konstanta. [3]

Vlastnosti základen výšek trojúhelníku

Základny výšek tvoří tzv. ortotrojúhelník , který má své vlastní vlastnosti.
Kruh popsaný blízko ortotrojúhelníku je Eulerův kruh . Na této kružnici leží také tři středy stran trojúhelníku a tři středy tří segmentů spojujících ortocentrum s vrcholy trojúhelníku.
Další formulace poslední vlastnosti:
- Eulerova věta pro kružnici devíti bodů . Základny tří výšek libovolného trojúhelníku, středy jeho tří stran ( základny jeho vnitřních mediánů) a středy tří segmentů spojujících jeho vrcholy s ortocentrem , všechny leží na stejné kružnici (na kružnici devět bodů ).
Věta . V libovolném trojúhelníku segment spojující základny dvou výšek trojúhelníku odřízne trojúhelník podobný danému.
Věta . V trojúhelníku je úsečka spojující základny dvou výšek trojúhelníku ležících na dvou stranách antiparalelní ke třetí straně, se kterou nemá žádné společné body. Přes jeho dva konce, stejně jako přes dva vrcholy třetí zmíněné strany, lze vždy nakreslit kružnici.

Vlastnosti středů výšek trojúhelníku

Schlömilchova věta . V roce 1860 Schlömilch dokázal větu: tři čáry spojující středy stran trojúhelníku se středy jeho příslušných výšek se protínají v jednom bodě. V roce 1937 sovětský matematik S. I. Zetel ukázal, že tato věta platí nejen pro výšky, ale i pro jakékoli jiné ceviany .
Další zřejmá věta . Střed výšky trojúhelníku vždy leží na střední čáře trojúhelníku, který jej protíná.
Rigbyho věta . Nakreslíme-li výšku a kružnici , která se jí dotýká na druhé straně na kteroukoli stranu ostroúhlého trojúhelníku , pak bod dotyku této strany s touto stranou, střed zmíněné výšky a také střed leží na jedné straně. přímka. [4] .
Z Rigbyho věty vyplývá, že 3 úsečky spojující střed každé ze 3 výšek trojúhelníku s bodem dotyku kružnice nakreslené na stejnou stranu jako výška se protínají ve středu .
Středy X a Y dvou výšek trojúhelníku ABC , stejně jako střed K strany BC , z jejichž konců tyto dvě výšky vycházejí, stejně jako ortocentrum H leží na stejné kružnici , na které je pátý bod D - základna třetí nadmořské výšky AD [5] také leží .
Nechť v trojúhelníku ABC O je střed kružnice opsané. Nechte úsečku x procházet středem výšky trojúhelníku, svrženou z vrcholu A a je rovnoběžná s OA. Přímky y a z jsou definovány podobně. Tyto 3 přímky se protínají v jednom bodě T, který je středem Taylorovy kružnice [6] trojúhelníku ABC. [7] .

Další vlastnosti

Pokud je trojúhelník zmenšený (nerovnostranný ) , pak jeho vnitřní osa nakreslená z libovolného vrcholu leží mezi vnitřním mediánem a výškou nakreslenou ze stejného vrcholu.
Výška trojúhelníku je izogonálně konjugována s průměrem (poloměrem) kružnice opsané ze stejného vrcholu.
V ostroúhlém trojúhelníku z něj dvě jeho výšky odříznou 2 páry trojúhelníků s 1 společným vrcholem, které jsou si podobné.
V pravoúhlém trojúhelníku rozděluje výška nakreslená z vrcholu pravého úhlu na dva trojúhelníky podobné tomu původnímu.
Tři části výšek daného ostroúhlého trojúhelníku uvnitř jeho pravoúhlého trojúhelníku se ukáží jako tři osy .

Vlastnosti minimální výšky

Minimální výška trojúhelníku má mnoho extrémních vlastností. Například:

Minimální pravoúhlý průmět trojúhelníku na přímky ležící v rovině trojúhelníku má délku rovnou nejmenší z jeho výšek.
Minimální přímý řez v rovině, kterou lze protáhnout neohebnou trojúhelníkovou desku, musí mít délku rovnou nejmenší z výšek této desky.
Při souvislém pohybu dvou bodů po obvodu trojúhelníku k sobě nesmí být maximální vzdálenost mezi nimi při pohybu od prvního setkání ke druhému menší než délka nejmenší z výšek trojúhelníku.
Minimální výška v trojúhelníku je vždy uvnitř tohoto trojúhelníku.

Poměry

$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =a\,{\frac {\sin \beta \cdot \sin \gamma }{\sin(\beta +\gamma )))$
$h_{a}={\frac {2S}{a}},$ kde je plocha trojúhelníku, je délka strany trojúhelníku, na které je výška snížena . $S$ $A$
$h_{a}^{2}={\frac {1}{2}}(b^{2}+c^{2}-{\frac {1}{2}}(a^{2 }+{\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a^{2}}}))$
$h_{a}^{2}={\frac {1}{4a^{2}}}(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b +c)$
$h_{a}={\frac {bc}{2R)),$ kde je součin stran, je poloměr kružnice opsané $před naším letopočtem$ $R$
$h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}} =bc:ac:ab$
${\frac 1{h_{a))}+{\frac 1{h_{b))}+{\frac 1{h_{c))}={\frac {1}{r))$ , kde je poloměr vepsané kružnice . $r$
$S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b))}+{\frac {1} {h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_ { c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b} } }){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}}) } }}$ kde je plocha trojúhelníku. $S$
$a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b} }}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}- {\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1} {h_{a}}})}}}}}$ , je strana trojúhelníku, ke které výška klesá . $A$ $h_{a}$
Výška rovnoramenného trojúhelníku sníženého k základně: $h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},$

kde je základna a strana.

C

A

$h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ je výška v rovnostranném trojúhelníku se stranou . $A$

Věta o libovolném bodě uvnitř trojúhelníku

Věta o libovolném bodě uvnitř trojúhelníku . Jestliže p a , p b a p c jsou vzdálenosti (kolmé úsečky) od libovolného bodu P trojúhelníku k jeho třem stranám a ha , h b a h c jsou délky výšek snížených na odpovídající strany ( a , b a c), poté [8]

{\frac {p_{a}}{h_{a}}}+{\frac {p_{b}}{h_{b}}}+{\frac {p_{c}}{h_{c }}}=1.

Důsledek věty . Pokud je bod P středem daného trojúhelníku, pak p a = p b = p c = . Pak z poslední věty máme: $r$

{\frac 1{h_{a))}+{\frac 1{h_{b))}+{\frac 1{h_{c))}={\frac {1}{r))

, kde je poloměr vepsané kružnice .

r

Věta o třech libovolných cevianech uvnitř trojúhelníku, z nichž jeden je výška

Věta . Pokud se dva libovolné ceviany (ne nutně dvě výšky) uvnitř ostroúhlého trojúhelníku protínají v bodě třetího cevianu, což je výška tohoto trojúhelníku, pak samotná výška je sečna úhlu tvořeného dvěma nakreslenými úsečkami. od základny uvedené výšky ke dvěma základnám uvedených cevianů (až dva bodové průsečíky dvou uvedených cevianů se stranami). [9]

Věta o libovolném výškovém bodě

Věta o libovolné výšce bodu . Jestliže E je libovolný bod ve výšce AD libovolného trojúhelníku ABC , pak [10] :77–78

AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}.

Věty o výškách pravoúhlého trojúhelníku

Inverzní Pythagorova věta

V pravoúhlém trojúhelníku 3 jsou výšky h a , h b a h c (z nichž první 2 jsou rovny délkám stran b a a v tomto trojúhelníku) souvisí vztahem podle [ 11] [12]

{\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c} ^{2}}}.

Tento vztah je známý jako inverzní Pythagorova věta).

Věta o výšce pravoúhlého trojúhelníku

Pokud výška v pravoúhlém trojúhelníku s délkou nakreslenou z vrcholu pravého úhlu rozděluje přeponu s délkou na segmenty a odpovídající ramenům a , platí následující rovnosti: $ABC$ $h$ $C$ $m$ $n$ $b$ $A$

$h^{2}=mn$
$a^{2}=cn$ ; $b^{2}=cm$
$ch=ab$

Věta o projekci

Prosáknout. 51, f. (1.11-4) [13] . Věta o projekci: . Z věty o promítání vyplývá, že výška vynechaná např. z vrcholu rozděluje protilehlou stranu na dvě části a , počítáno od vrcholu do . $c=a\cos \beta +b\cos \alpha ;\ a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;\ b=c\cos \alpha +a\cos \gamma$ $C$ $C$ $a\cos \beta$ $b\cos \alpha$ $A$ $B$

Historie

Výrok: "Všechny 3 výšky trojúhelníku se protínají v jednom bodě," nyní nazývané ortocentrum , v Euklidových prvcích chybí . Někteří historici připisují tento výrok Archimédovi a nazývají jej Archimédova věta [14] . Orthocenter bylo použito poprvé v řecké matematice v Archimédově knize Lemmas , ačkoli Archimedes neposkytl explicitní důkaz o existenci orthocentera.
V nepřímé podobě a explicitně se toto tvrzení („Všechny 3 výšky trojúhelníku protínají v jednom bodě“) nachází v Proklovi (410-485) – komentátorovi Euklida [15] .
Až do poloviny devatenáctého století se však ortocentru často říkalo Archimédův bod [16] .
Jiní historici matematiky považují za autora prvního důkazu Williama Chapplea (zeměměřiče) .) ( Miscellanea Curiosa Mathematica , 1749) [17] .
Samotný termín ortocentrum poprvé použil W. H. Besant ( WH Besant) v "Kuželosečky zkoumané geometricky (1869)" ( [18] ) [19] .

Dvě složky výšky: pre -height a post- height [20]

Na Obr. vpravo v trojúhelníku ABC přes bod O 3 jsou nakresleny výšky: AD , BE a CF. Potom průsečík O 3 výšek rozdělí každou výšku na 2 úsečky, z nichž jeden (který začíná ve vrcholu a končí v průsečíku O ) budeme nazývat upheight nebo preheight , a druhý z nich (který začíná v průsečík O , a končí v bodě jeho průsečíku se stranou protilehlou k vrcholu) budeme nazývat postaltitude .
Tyto 2 termíny jsou zavedeny analogicky s operátory smyček , s přihlédnutím k jejich reprezentaci na vývojových diagramech v informatice. Existují koncepty cyklu s pre- a post-stavem v závislosti na tom, zda je tento stav před nebo za tělem cyklu. V našem případě je tělo smyčky bod O průsečíku výšek a podmínkou je první nebo druhý konec segmentu zavedený jako koncept pro jednu ze dvou částí výšky.
S pomocí těchto 2 pojmů jsou některé geometrické věty formulovány zcela jednoduše.

Například v jakémkoli trojúhelníku (akutní, pravý a tupý) jsou 3 součiny pre- a postheights stejné [21] . U ostroúhlých a pravoúhlých trojúhelníků lze toto tvrzení snadno dokázat. To platí také pro jakýkoli tupý trojúhelník, což je překvapivé, protože v takovém trojúhelníku 2 ze 3 výšek ani neleží uvnitř samotného trojúhelníku.

Komentář. Na tomto obr. vpravo v trojúhelníku ABC, ceviany nejsou nadmořské výšky. Na dalším Obr. vpravo v trojúhelníku ABC jsou tři výšky: ${\displaystyle AH_{a},BH_{b},CH_{c))$

Variace na téma. Výšky ve čtyřúhelníku

Věta [22] . Nechť - vepsaný čtyřúhelník, - základna kolmice ( výška ), snížená z vrcholu na úhlopříčku ; body jsou definovány podobně . Potom body leží na stejné kružnici. $abeceda$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

Toto tvrzení je důsledkem lemmatu šestého kruhu .

Poznámky

↑ Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. Průvodce pro učitele. 2. vydání. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 139, s. 128, Následek
↑ Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. Průvodce pro učitele. 2. vydání. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 138, s. 127
↑ Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. Průvodce pro učitele. 2. vydání. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 137, s. 126. Problém, peklo. 106
↑ Ross Honsberger . Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století . Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 . p. 30, Obrázek 34, §3. Nepravděpodobná kolinearita.
↑ Ross Honsberger . Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století . Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 . p. 33, obrázek 40, §Cvičení 3.2
↑ Taylor Circle// https://deru.abcdef.wiki/wiki/Taylor-Kreis
↑ Myakishev A. Chůze v kruzích: od Eulera k Taylorovi // Matematika. Vše pro učitele! č. 6 (6). června 2011. str. 3, úkol 2, Obr. 3// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
↑ Johnson, 2007 , str. 74, § 103c
↑ Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. 2. vyd. M.: Uchpedgiz, 1962. s. 85, s. 70. peklo. 62
↑ Posamentier AS, Salkind. CT Challenging Problems in Geometry , Dover Publishing Co., druhé revidované vydání, 1996.
↑ Voles, Roger, „Integer solutions of “, Mathematical Gazette 83, červenec 1999, 269–271. $a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}}$
↑ Richinick, Jennifer, „The upside-down Pythagorean Theorem“, Mathematical Gazette 92, červenec 2008, 313–317.
↑ Korn G.A., Korn T.M. Příručka matematiky pro vědce a inženýry . - M .: " Nauka ", 1974. - 832 s.
↑ Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku. Odessa, 1902, s. 9, s. 16. Výšky trojúhelníku. Archimedova věta.
↑ Nathan Altshiller-Court. "Vysoká geometrie. Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu". druhé vydání. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. S. 298, §175.
↑ Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. Geometrie: Čára a kruh . Datum přístupu: 10. dubna 2020. (neurčitý)
↑ Bogomolny, Alexander, Posssible First Proof of the Concurrence of Altitudes , < https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml > . Staženo 17. listopadu 2019. Archivováno 7. května 2021 na Wayback Machine
↑ Kuželosečky zpracované geometricky, 1869. Ref: 1895: Kuželosečky zpracované geometricky Archivováno 18. dubna 2018 na Wayback Machine z Cornell University Historical Math Monographs.
↑ Nathan Altshiller-Court. "Vysoká geometrie. Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu". druhé vydání. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. S. 298, §176
↑ Starikov V.N. 10. Studium geometrie (§ Pre-(pre-)- a Post-Cevians). Vědecký recenzovaný elektronický časopis MSAU "Science and Education". 2020. č. 1. 7 s.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/1604 Archivní kopie ze dne 29. června 2020 na Wayback Machine
↑ Nathan Altshiller-Court. "Vysoká geometrie. Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu". druhé vydání. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. S. 94, §177. Teorém.
↑ Kolem problému Archiméda. Př. 7, Obr. 11, důsledek, str. 5 Archivováno 29. dubna 2016 na Wayback Machine .

Literatura

Johnson, Roger A. Pokročilá euklidovská geometrie. - Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-46237-0 .

Odkazy

Adresář: Triangles

Viz také

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní