Geometrie

Geometrie (z jiného řeckého γεωμετρία ← γῆ země + μετρέω „měřit; hodnotit“) je odvětví matematiky , které studuje prostorové struktury a vztahy, jakož i jejich zobecnění [1] .

Geometrie jako systematická věda se objevila ve starověkém Řecku , její axiomatické konstrukce jsou popsány v Euklidových prvcích . Euklidovská geometrie se zabývala studiem nejjednodušších obrazců v rovině a prostoru, výpočtem jejich plochy a objemu . Souřadnicová metoda navržená Descartesem v roce 1637 tvořila základ analytické a diferenciální geometrie a problémy spojené s kreslením vedly k vytvoření deskriptivní a projektivní geometrie . Všechny konstrukce přitom zůstaly v rámci axiomatického přístupu Euklida. Zásadní změny jsou spojeny s dílem Lobačevského v roce 1829, který opustil axiom paralelismu a vytvořil novou neeuklidovskou geometrii , čímž určil cestu pro další rozvoj vědy a vytváření nových teorií.

Klasifikace geometrie navržená Kleinem v „ Erlangenském programu “ v roce 1872 a obsahující ve svém základu neměnnost geometrických objektů vzhledem k různým skupinám transformací se dochovala dodnes.

Předmět geometrie

Geometrie se zabývá vzájemným uspořádáním těles, které se projevuje vzájemným dotykem nebo přilnutím, umístěním „mezi“, „uvnitř“ atd.; velikost těles, tedy pojmy rovnosti těles, „více“ nebo „méně“; stejně jako tělesné proměny. Geometrické těleso je abstrakcí od dob Euklida, který věřil, že „čára je délka bez šířky“, „plocha je ta, která má délku a šířku“. Pointou je abstrakce spojená s neomezeným zmenšováním všech dimenzí těla, neboli hranice nekonečného dělení. Umístění, velikost a transformace geometrických tvarů jsou určeny prostorovými vztahy [2] .

Při zkoumání skutečných objektů geometrie zvažuje pouze jejich tvar a relativní polohu a abstrahuje od ostatních vlastností objektů, jako je hustota, hmotnost, barva. To umožňuje přejít od prostorových vztahů mezi reálnými objekty k jakýmkoli vztahům a formám, které vznikají při uvažování o homogenních objektech a jsou podobné prostorovým. Zejména geometrie nám umožňuje uvažovat vzdálenosti mezi funkcemi [1] .

Klasifikace

Klasifikace různých odvětví geometrie byla navržena Felixem Kleinem ve svém „ Erlangenském programu “ ( 1872 ). Podle Kleina každá sekce studuje ty vlastnosti geometrických objektů, které jsou zachovány ( invariantní ) působením nějaké skupiny transformací , která je pro každou sekci specifická. V souladu s touto klasifikací lze v klasické geometrii rozlišit následující hlavní sekce.

Moderní geometrie obsahuje následující další sekce.

Podle použitých metod se rozlišují i ​​takové instrumentální podsekce.

Axiomatika

Axiomy euklidovské geometrie, formulované ve III-IV století před naším letopočtem. e., tvořily základ geometrie až do druhé poloviny 19. století, protože dobře popisovaly fyzický prostor a byly s ním ztotožněny [1] . Euklidových pět postulátů nestačilo k úplnému popisu geometrie a v roce 1899 Hilbert navrhl svůj systém axiomů . Hilbert rozdělil axiomy do několika skupin: axiomy členství, kongruence , kontinuity (včetně Archimedova axiomu), úplnosti a paralelismu. Schur později nahradil axiomy kongruence axiomy pohybu a místo axiomu úplnosti byl použit Cantorův axiom . Systém axiomů euklidovské geometrie nám umožňuje dokázat všechny známé školní věty [3] .

Existují další systémy axiomů, které kromě bodu, přímky a roviny nejsou založeny na pohybu, ale na kongruenci, jako u Hilberta, nebo na vzdálenosti, jako u Kagana . Další systém axiomů souvisí s pojmem vektor. Všechny jsou odvozeny jeden od druhého, to znamená, že axiomy v jednom systému lze dokázat jako věty v jiném [3] .

Aby dokázali konzistenci a úplnost axiomů euklidovské geometrie, staví její aritmetický model a ukazují, že jakýkoli model je izomorfní k aritmetice, což znamená, že jsou navzájem izomorfní [4] . Nezávislost axiomů euklidovské geometrie je obtížnější ukázat kvůli velkému množství axiomů. Axiom paralelismu nezávisí na ostatních, protože Lobačevského geometrie je postavena na opačném tvrzení. Stejně tak nezávislost Archimedova axiomu (jako souřadnice se používá trojice komplexních čísel místo trojice reálných čísel), Cantorova axiomu (jako souřadnice se místo trojice libovolných reálných čísel používají reálná čísla sestrojená určitým způsobem). ), a také jeden z axiomů příslušnosti, který vlastně určuje rozměr prostoru (místo trojrozměrného prostoru lze sestrojit čtyřrozměrný a libovolný vícerozměrný prostor s konečným počtem rozměrů) [5] .

Euklidovy postuláty

Euklidovy postuláty jsou pravidla konstrukce pomocí ideálního kompasu a ideálního pravítka [6] :

  1. Jakékoli dva body mohou být spojeny přímkou;
  2. Omezená přímka může být prodloužena donekonečna;
  3. Z libovolného středu může kruh popisovat jakýkoli poloměr;
  4. Všechny pravé úhly jsou si navzájem rovny;
  5. Pokud přímka padá na dvě přímky a tvoří vnitřní jednostranné úhly se součtem menším než dvě přímky, pak pokud tyto dvě přímky pokračují donekonečna, protnou se na straně, kde jsou úhly menší než dvě přímky.

Jiná formulace pátého postulátu ( axiom rovnoběžnosti ) zní [7] : Bodem mimo přímku v jejich rovině lze vést nejvýše jednu přímku, která danou přímku neprotíná.

Axiomy euklidovské geometrie

Encyklopedie elementární matematiky navrhuje následující systém axiomů [3] :

  1. Každými dvěma odlišnými body prochází přímka a navíc jedna;
  2. Na každém řádku jsou alespoň dva body;
  3. Existují tři body, které neleží na stejné přímce;
  4. Každými třemi body, které neleží na stejné přímce, prochází rovina a navíc pouze jedna;
  5. V každé rovině je alespoň jeden bod;
  6. Leží-li dva body v rovině, pak na této rovině leží i přímka jimi procházející;
  7. Mají-li dvě roviny společný bod, mají ještě alespoň jeden společný bod;
  8. Existují čtyři body, které neleží ve stejné rovině.
    • Axiomy řádu:
  9. Z jakýchkoli tří odlišných bodů na přímce leží pouze jeden mezi ostatními dvěma;
  10. Pro jakékoli dva body na přímce existuje třetí bod na této přímce, takže druhý bod leží mezi prvním a třetím;
  11. Jestliže přímka l ležící v rovině ABC neprochází žádným z bodů A, B, C a obsahuje jeden bod úsečky AB , pak má společný bod alespoň s jednou z úseček AC, BC ;
    • Axiomy pohybu:
  12. Jakýkoli pohyb je mapováním prostoru na sebe sama;
  13. Nechť f  je libovolný pohyb. Pak, pokud jsou body A, B, C umístěny na stejné přímce a C leží mezi A a B , pak body f(A), f(B), f(C) jsou také umístěny na stejné přímce, a f(C) leží mezi f(A) a f(B) ;
  14. Dva pohyby provedené jeden po druhém jsou ekvivalentní nějakému jednomu pohybu;
  15. Pro jakékoli dva snímky , pořízené v určitém pořadí, existuje pouze jeden pohyb, který přenese první snímek na druhý;
    • Axiomy kontinuity:
  16. Archimédův axiom . Nechť A 0 , A 1 , B  jsou tři body ležící na téže přímce a bod A 1 je mezi A 0 a B . Dále nechť f  je pohyb, který vezme bod A 0 až A 1 a paprsek A 0 B až A 1 B . Nechť f(A 1 )=A 2 , f(A 2 )=A 3 , … . Pak existuje přirozené číslo n takové, že bod B je na úsečce A n-1 A n .
  17. Cantorův axiom . Nechť A 1 , A 2 , … a B 1 , B 2 , …  jsou dvě posloupnosti bodů umístěných na téže přímce l tak, že pro libovolné n jsou body A n a B n různé a leží na úsečce A n- 1 B n-1 . Pak je na přímce l bod C , který je na segmentu A n B n pro všechny hodnoty n .
    • Axiom rovnoběžnosti:
  18. Bodem A , který neleží na přímce l , lze v jejich rovině nakreslit nejvýše jednu přímku, která přímku l neprotíná .

Pokud ze systému odstraníme axiomy 4-8 související s prostorovou geometrií, dostaneme systém axiomů euklidovské roviny [3] .

Geometrické transformace

Transformace množiny je její mapování jedna ku jedné na sebe. V tomto smyslu se termín používá v geometrii, i když se někdy používá jako synonymum pro mapování nebo mapování množiny do sebe.

Když mluvíme o „geometrických transformacích“, obvykle se jimi rozumí některé specifické typy transformací, které hrají v geometrii zásadní roli – pohyby, podobnostní transformace, afinní, projektivní, kruhové transformace (v posledních dvou případech je rovina nebo prostor doplněn o body na nekonečno). Tuto zásadní roli odhalil německý matematik Felix Klein ve své přednášce na univerzitě v Erlangenu v roce 1872, známé jako Erlangenský program. Geometrie podle Kleinova pojetí studuje vlastnosti obrazců, které jsou zachovány při všech transformacích určité skupiny transformací. S ohledem na skupiny transformací výše uvedených typů se získají různé geometrie - euklidovské (pro podobnostní transformace), afinní atd.

Historie

Tradičně se má za to, že zakladateli geometrie jako systematické vědy jsou staří Řekové , kteří od Egypťanů převzali řemeslo zeměměřičství a měření objemů těl a přeměnili jej v přísnou vědeckou disciplínu [2] . Ve stejné době staří geometrové přešli od souboru receptů k ustanovení obecných zákonů a sestavili první systematické a demonstrativní práce o geometrii. Ústřední místo mezi nimi zaujímají ty sepsané ve 3. století před naším letopočtem. E. " Začátky " od Euklida . Více než dvě tisíciletí bylo toto dílo považováno za příkladný výklad v duchu axiomatické metody: všechna ustanovení jsou logicky odvozena z malého počtu výslovně naznačených a neprokazatelných předpokladů - axiomů [2] . Úplně první důkazy geometrických tvrzení se objevily v dílech Thalese a zjevně využívaly principu superpozice, kdy byly obrazce, jejichž rovnost musí být prokázána, na sebe superponovány [8] .

Geometrie Řeků, dnes nazývaná euklidovská nebo elementární , se zabývala studiem nejjednodušších forem: přímky , roviny , segmenty , pravidelné mnohoúhelníky a mnohostěny , kuželosečky , stejně jako koule , válce , hranoly , jehlany a kužely . Byly vypočteny jejich plochy a objemy . Transformace byly většinou omezeny na podobnost . V Řecku se v dílech Hipparcha a Menelaa objevila také trigonometrie a geometrie na kouli [2] .

Středověk dal geometrii málo [1] a další velkou událostí v jeho historii byl Descartesův objev souřadnicové metody v 17. století (pojednání Geometrie , 1637 ). Množiny čísel jsou spojeny s body v prostoru, což vám umožňuje studovat vztah mezi geometrickými tvary pomocí algebrických metod. Tak se objevila analytická geometrie , která studuje obrazce a transformace, které jsou dány v souřadnicích algebraickými rovnicemi. Systematický výklad analytické geometrie navrhl Euler v roce 1748. Počátkem 17. století začali Pascal a Desargues zkoumat vlastnosti rovinných obrazců, které se při promítání z jedné roviny do druhé nemění. Tato část se nazývá projektivní geometrie a byla poprvé zobecněna Ponceletem v roce 1822. Ještě dříve, v roce 1799, Monge vyvinul deskriptivní geometrii , přímo související s úlohami kreslení . Souřadnicová metoda je základem diferenciální geometrie , která se objevila o něco později , kde jsou obrazce a transformace stále zadány v souřadnicích, ale již pomocí libovolných dostatečně hladkých funkcí. Diferenciální geometrii systematizoval Monge v roce 1795 [2] , její vývoj, zejména teorie křivek a teorie ploch , provedl Gauss . Na průsečíku geometrie, algebry a analýzy, vektorového počtu , tenzorového počtu vznikla metoda diferenciálních forem [1] .

V 1826, Lobachevsky , opouštět Euclidův axiom rovnoběžnosti, postavil neeuklidovskou geometrii pojmenovanou po něm . Lobačevského axiom říká, že bodem, který neleží na přímce, lze vést více než jednu přímku rovnoběžnou s danou. Lobačevskij pomocí tohoto axiomu spolu s dalšími ustanoveními vybudoval novou geometrii, která kvůli nejasnosti zůstala hypotetická až do roku 1868, kdy bylo dáno její plné zdůvodnění. Lobačevskij tak objevil principy konstruování nových geometrických teorií a přispěl k rozvoji axiomatické metody [2] .

Dalším krokem byla definice abstraktního matematického prostoru . Projektivní, afinní a konformní transformace při zachování vlastností obrazců vedly k vytvoření projektivních, afinních a konformních geometrií. Přechod z trojrozměrného prostoru do n - rozměrného prostoru byl poprvé proveden v dílech Grassmanna a Cayleyho v roce 1844 a vedl k vytvoření vícerozměrné geometrie. Dalším zobecněním prostoru byla Riemannovská geometrie navržená Riemannem v roce 1854 [2] . F. Klein systematizoval všechny typy homogenních geometrií v " Erlangen programu " ; podle něj geometrie studuje všechny ty vlastnosti obrazců, které jsou při transformacích z určité skupiny invariantní. Kromě toho si každá skupina nastavuje vlastní geometrii. Izometrie (pohyby) tedy definují euklidovskou  geometrii , skupina afinních transformací definuje afinní geometrii .

V 70. letech 19. století vznikla teorie množin , z jejíhož pohledu je obrazec definován jako množina bodů. Tento přístup nám umožnil znovu se podívat na euklidovskou geometrii a analyzovat její základy, které byly podrobeny některým vylepšením v dílech Hilberta [2] .

Geometrie ve filozofii a umění

Od starověkého Řecka byla geometrie založena na filozofických konceptech. Definováním bodu jako „toho, co nemá žádné části“, se přístup k němu liší u Pythagora, který bod ztotožňuje s číselnou jednotkou a bod má pouze polohu v prostoru a nemá žádnou velikost, a u Démokrita, který, budování atomistické teorie, dává bodu "nadměrně malou" velikost. Definice čáry a povrchu také sahají k atomistickým myšlenkám, kde „šířka“ a „hloubka“ jsou nedělitelné [6] .

Geometrie je páté ze sedmi svobodných umění , pokud jde o úroveň učení. Předchází mu trivium sestávající z gramatiky , rétoriky a dialektiky a aritmetiky, vyšší vědy v kvadriviu , které také zahrnuje hudbu a astronomii [9] . Marcianus Capella ve svém pojednání The Marriage of Philosophy and Merkur vytvořil vizuální obrazy všech sedmi umění, včetně geometrie. Umění personifikovaly ženy s patřičnými atributy, které doprovázely známé představitelky sféry. Geometrie drží v rukou glóbus a kružítko, se kterými dokáže měřit, méně často čtverec, pravítko nebo kružítko. Doprovází ji Euclid [10] [11] .

Planetka (376) Geometry , objevená v roce 1893, je pojmenována po Geometry .

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Geometrie // Matematická encyklopedie: v 5 svazcích . - M  .: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 1 .
  2. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 TSB, 1971 .
  3. ↑ 1 2 3 4 Geometrie, 1963 , str. 32-41.
  4. ↑ Geometrie, 1963 , str. 41-44.
  5. ↑ Geometrie, 1963 , str. 44-48.
  6. ↑ 1 2 Geometrie, 1963 , str. 12-17.
  7. ↑ Geometrie, 1963 , str. 18-21.
  8. ↑ Geometrie, 1963 , str. 12.
  9. ↑ Svobodná umění  . Encyklopedie Britannica. Získáno 20. března 2012. Archivováno z originálu dne 27. května 2012.
  10. ↑ Sedm svobodných umění (nepřístupný odkaz) . Simbolárium. Získáno 20. března 2012. Archivováno z originálu dne 27. května 2012. 
  11. ↑ Sedm svobodných umění . Katolická encyklopedie. Získáno 20. března 2013. Archivováno z originálu 3. dubna 2013.

Literatura

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie
 Odvětví matematiky
Portál "Věda"
Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky
Teorie čísel ( aritmetika )
  • Portál "Matematika"
  • Kategorie "Matematika"
 Sedm svobodných umění
Trivium Gramatika Rétorika Dialektika ( logika ) kvadrivium Aritmetický Geometrie Astronomie Hudba