Otevřené problémy v teorii čísel

Teorie čísel je odvětví matematiky , které se zabývá především studiem přirozených a celých čísel a jejich vlastností, často za použití metod počtu a dalších odvětví matematiky. Teorie čísel obsahuje mnoho problémů, o jejichž řešení se pokoušeli matematici desítky a někdy i stovky let, ale stále zůstávají otevřené. Níže jsou uvedeny některé z nejznámějších nevyřešených problémů.

Hypotézy o prvočíslech

Silný Goldbachův problém . Každé sudé číslo větší než 2 lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel.
Rieselův problém : Nalezení nejmenšího lichého čísla tak , aby bylo složené pro všechna přirozená čísla . $k<509203$ $k\cdot 2^{n}-1$ $n$
Sierpinského problém : Najít nejmenší lichý přirozený takový, že číslo je složeno ze všech přirozených . $k<78557$ $k\cdot 2^{n}+1$ $n$
Sierpinskiho jednoduchý problém : Nalezení nejmenšího lichého prvočísla tak, aby číslo bylo složeno ze všech přirozených . $k<271129$ $k\cdot 2^{n}+1$ $n$
Sierpinského dvojí problém : najít nejmenší lichý přirozený takový, že číslo je složeno ze všech přirozených . Související otázka ohledně testu primality: pokud existuje algoritmus, který vám umožňuje rychle (v polynomiálním čase) zjistit, zda je číslo prvočíslo (přesně, to znamená ne pseudoprvočíslo), pak existuje duální algoritmus testu primality pro čísla formuláře ? Odpověď na poslední otázku by nám prozradila, zda je pět velkých případně jednoduchých z úlohy „Pět nebo selhat“ jednoduchých nebo složených. $k$ $2^{n}\pm k$ $n$ $k\cdot 2^{n}\pm 1$ $2^{n}\pm k$
Artinova domněnka, že existuje nekonečně mnoho prvočísel modulo , přičemž dané celé číslo je primitivní kořen .
Legendreova hypotéza . Pro jakékoli přirozené číslo mezi a existuje alespoň jedno prvočíslo. $n$ $n^{2}$ $(n+1)^2$
Oppermannova hypotéza . Pro jakékoli přirozené číslo mezi a existuje alespoň jedno prvočíslo a mezi a existuje alespoň jedno (jiné) prvočíslo. $n$ $n^{2}$ $n(n+1)$ $n(n+1)$ $(n+1)^2$
Andricina hypotéza . Funkce (kde je -té prvočíslo) nabývá hodnoty menší než 1 pro libovolné n. ${\displaystyle f(n)={\sqrt {p_{n+1))}-{\sqrt {p_{n))))$ $p_n$ $n$
Brocardova hypotéza . Pro jakékoli přirozené číslo mezi a (kde je th prvočíslo) existují alespoň čtyři prvočísla. $n$ $p_{n}^{2}$ $p_{{n+1}}^{2}$ $p_n$ $n$
Firuzbekhtova hypotéza . Posloupnost je přísně klesající (zde je -té prvočíslo). $(p_{n})^{1/n}$ $p_n$ $n$
Polignacova hypotéza . Pro libovolné sudé číslo existuje nekonečně mnoho dvojic sousedních prvočísel, jejichž rozdíl je roven . $n$ $n$
Ago-Jugi hypotéza : je pravda, že pokud $\sum _{{i=1}}^{{p-1}}i^{{p-1}}=1^{{p-1}}+2^{{p-1}}+\cdots +(p-1)^{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}$ , pak p je prvočíslo?
Je pravda, že pro každé kladné iracionální číslo a kladné číslo existuje nekonečný počet dvojic prvočísel, pro které platí nerovnost ? [jeden] $\theta$ $\epsilon$ $(p, q),$ $\left|\theta -{\frac {p}{q}}\right|<q^{{-2+\epsilon }}$
Konverguje řada ? [2] Pokud však konverguje, pak je jistě mnoho prvočísel dvojčat . Vyplývá to z věty o rozdělení prvočísel a Leibnizova testu $\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k}{p_{k}}}$ .
Gilbraithova hypotéza . Pro jakékoli přirozené číslo začíná posloupnost absolutních rozdílů 3. řádu pro posloupnost prvočísel na 1. Absolutní rozdíly 1. řádu jsou absolutní velikosti rozdílů mezi sousedními prvočísly: Rozdíly 2. řádu jsou absolutní velikosti rozdíly mezi sousedními prvky v posloupnosti absolutních rozdílů 1. řádu: atd. Hypotéza je ověřena pro všechna n < 3,4×10 11 [3] $n$ $n$ $1,2,2,4,2,\tečky,$ $1,0,2,2,2,\tečky$
Bunyakovskiiho domněnka Jestliže je integrální ireducibilní polynom a d je největší společný dělitel všech jeho hodnot, pak integrální polynom nabývá nekonečně mnoho prvočísel. Landauův 4. problém je konkrétním případem této domněnky pro . $f(x)$ $f(x)/d$ $f(x)=x^{2}+1$
Dixonova domněnka If je konečný počet aritmetických posloupností, pak existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že pro každé takové n je všech r čísel prvočíslo zároveň. Navíc je z úvahy vyloučen triviální případ, kdy existuje takové prvočíslo p , že pro libovolné n je alespoň jedno číslo násobkem p . ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$
Elliot-Halberstamova domněnka a její zobecnění v teorii prvočísel v modulech.
Jsou všechna Fermatova čísla složená pro n > 4?
Jsou všechna Mersennova čísla s prvočísly bez čtverců ?
Existují dvojitá Mersennova čísla s indexy n > 60?
Jsou číslo M M 127 a následující členy katalánsko-Mersennovy posloupnosti jednoduché?
Existují nějaká Wolstenholme prvočísla jiná než 16843 a 2124679 ?
Otevřenou otázkou je nekonečno počtu prvočísel v každé z následujících sekvencí [4] :

Subsekvence	název
$2^{n}-1$	Mersennova čísla
$n^{2}+1$	4. Landauův problém
$n^{2^{k}}+1$ , $k>0$	zobecnění Landauova problému [5] .
$n\cdot 2^{n}+1$	Cullenova čísla
$n\cdot 2^{n}-1$	Woodallova čísla
$2^{{2^{n}}}+1$	Fermatova čísla
$F_{n}$	Fibonacciho čísla
páry $(n,\;n+2)$	jednoduchá dvojčata
páry $(n,\;2n+1)$	Primuje Sophie Germain
$n!\pm 1$	faktoriální čísla
$n\#\pm 1$	prvočísla
$k\cdot 2^{n}+1$ , je zvláštní, $k$ $2^{n}>k$	Prot čísla

Existuje polynom jiný než lineární, mezi jehož hodnotami je nekonečně mnoho prvočísel? [6] $f(x)$
Proč jsou prvočísla uspořádána v řetězcích podél úhlopříček ulamského ubrusu ? [6]
Je pravda, že pouze tři prvočísla, konkrétně 5, 13 a 97, mohou být reprezentována ve tvaru pro nějaké přirozené číslo ? $2^{k}+3^{k}$ $k$

Hypotézy o dokonalých číslech

Neexistují žádná lichá dokonalá čísla . [7]
Počet dokonalých čísel je nekonečný.

Dohady o přátelských číslech

Neexistují žádná coprime přátelská čísla .
Každý pár spřátelených čísel má stejnou paritu.
Přátelských čísel je nekonečně mnoho.

Gaussova čísla

Najděte počet Gaussových čísel, jejichž norma je menší než daná přirozená konstanta . V ekvivalentní formulaci je toto téma známé jako „ problém Gaussova kruhu “ v geometrii čísel [8] . Viz sekvence A000328 v OEIS . $R$
Najděte čáry v komplexní rovině obsahující nekonečně mnoho Gaussových prvočísel. Dvě takové čáry jsou zřejmé - to jsou souřadnicové osy; není známo, zda existují další [9] .
Otázka známá jako „ Gaussův příkop “: je možné jít do nekonečna přecházením od jednoho jednoduchého Gaussova čísla k druhému ve skocích o předem určené délce? Problém byl zasazen do roku 1962 a dosud nebyl vyřešen [10] .

Diofantické rovnice

Má každá vyčíslitelná množina jediné diofantické zastoupení ? [jedenáct]
Může spojení dvou množin, z nichž každá má jediné diofantické zobrazení, nemít jediné diofantické zobrazení?
Má každá vyčíslitelná množina diofantické znázornění jako rovnice stupně 3 ve všech proměnných (parametrech a neznámých)?
Má každá vyčíslitelná množina diofantické znázornění jako rovnice stupně 3 v neznámých?
Jaký nejmenší počet proměnných může mít univerzální diofantická rovnice ? Jaký nejmenší stupeň může mít s tolika proměnnými? Nejmenší známý výsledek je 9 proměnných. Nejmenší známá mocnina rovnice v 9 proměnných přesahuje [12] $10^{{45}}.$
Jaký nejmenší počet proměnných může mít univerzální diofantická rovnice stupně 4? Nejmenší známé skóre je 58.
Existuje univerzální diofantická rovnice stupně 3? Pokud ano, jaký nejmenší počet proměnných může mít?
Jaký nejmenší počet operací (sčítání, odčítání a násobení) může mít univerzální diofantická rovnice? Nejmenší známý výsledek je 100.
Je množina řešení diofantické rovnice nekonečná ? [jedenáct] $9(u^{2}+7v^{2})^{2}-7(r^{2}+7s^{2})^{2}=2$
Existence kvádru se třemi celočíselnými hranami a celočíselnými úhlopříčkami .
Existence množiny pěti kladných celých čísel , součin jakýchkoli dvou z nich je o jedno menší než přesný čtverec.

Mnoho nevyřešených problémů (například Goldbachův problém nebo Riemannova hypotéza ) lze přeformulovat jako otázky po řešitelnosti diofantických rovnic 4. stupně nějakého speciálního tvaru, ale takové přeformulování obvykle problém neulehčí kvůli nedostatku obecné metody řešení diofantických rovnic [13] [11] .

Analytická teorie čísel

Riemannova hypotéza (číslo-teoretická formulace). Je následující asymptotický vzorec pro rozdělení prvočísel správný: $\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t))+O\left({\sqrt x}\ln x\vpravo)?$
Je známo, že počet bodů s kladnými celočíselnými souřadnicemi v oblasti ohraničené hyperbolou a kladnými poloosami je vyjádřen asymptotickým vzorcem $xy=N$ $\Phi (N)=\součet _{{k=1}}^{N}\tau (k)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O(N^{\theta }),$

kde je počet dělitelů čísla k , je Euler-Mascheroniho konstanta a může být zvolena stejná . Není však známo, při jaké minimální hodnotě tento vzorec zůstane pravdivý ( je známo, že není menší než Je to úplně stejné ? Přímé výpočty vedou k této domněnce, protože se ukazuje jako téměř normální rozdělení s rozptylem 1 pro x až 10 16 .

\tau(k)

\gamma

\theta

{\frac {131}{416}}.

\theta

{\frac {1}{4))

{\frac {1}{4))

\theta

{\displaystyle x^{\theta }/x^{1/4))

Cramerova hypotéza o mezerách mezi prvočísly : . $\max _{i\leq n}(p_{i+1}-p_{i})=O(\ln ^{2}p_{n})$
Uvolněná Mertensova domněnka : dokažte, že Mertensova funkce se vyhodnocuje jako . Uvolněná Mertensova domněnka je ekvivalentní Riemannově hypotéze. $M(n)$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })$
První Hardy-Littlewood dohad je domněnka o hustotě distribuce n-tic prvočísel formy , říkat, zvláště, že množství takových ntic je nekonečné, kromě v triviálních případech. Tato domněnka je upřesněním jednoduché domněnky dvojčat a je také zvláštním případem Dixonovy domněnky. $(p,p+a_{2}...,p+a_{k})$
Druhá Hardy-Littlewoodova domněnka je domněnka o logaritmické vlastnosti funkce počtu prvočísel : . Je dokázáno, že obě Hardy-Littlewoodovy hypotézy nemohou být pravdivé současně a pravdivá je maximálně jedna [17] . $\pi (x+y)\leqslant \pi (x)+\pi (y)$
Singmasterova hypotéza . Označme, kolikrát se v Pascalově trojúhelníku vyskytuje přirozené číslo větší než jedna . To ukázal Singmaster , který byl dále vylepšen na . Je silnější tvrzení pravdivé ? $N(a)$ $A$ $N(a)=O(\ln a)$ $N(a)=O(\ln a\cdot \ln \ln \ln a\cdot {\ln }^{{-3}}\ln a)$ $N(a)=O(1)$
Zarembova hypotéza . Pro nějaké přirozené číslo q , tam je číslo p takové to v expanzi do pokračující zlomek , všechny neúplné kvocienty nepřekročí pět. V roce 2011 Jean Bourgain a Alex Kontorovich dokázali, že pro zlomky s neúplnými kvocienty omezenými na 50 platí dohad na množině hustoty 1 [18] . ${\frac pq}$

Ramseyho teorie

Hodnoty Ramseyho čísel [19] . S jistotou je známo pouze několik prvních čísel. Například není známo, při jakém minimu N v kterékoli skupině N lidí bude 5 lidí, kteří se znají ve dvojicích, nebo 5 lidí, kteří se neznají ve dvojicích - toto číslo je označeno , je známo pouze že . $R(r,\;s)$ $R(5,\;5)$ $43\leqslant R(5,\;5)\leqslant 48$

$r,\;s$	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset
jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden
2	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset
3	jeden	3	6	9	čtrnáct	osmnáct	23	28	36	[40, 42]
čtyři	jeden	čtyři	9	osmnáct	25	[36, 41]	[49, 61]	[59, 84]	[73, 115]	[92, 149]
5	jeden	5	čtrnáct	25	[43, 48]	[58, 87]	[80, 143]	[101, 216]	[133, 316]	[149, 442]
6	jeden	6	osmnáct	[36, 41]	[58, 87]	[102, 165]	[115, 298]	[134, 495]	[183, 780]	[204, 1171]
7	jeden	7	23	[49, 61]	[80, 143]	[115, 298]	[205, 540]	[217, 1031]	[252, 1713]	[292, 2826]
osm	jeden	osm	28	[56, 84]	[101, 216]	[127, 495]	[217, 1031]	[282, 1870]	[329, 3583]	[343, 6090]
9	jeden	9	36	[73, 115]	[133, 316]	[183, 780]	[252, 1713]	[329, 3583]	[565, 6588]	[580, 12677]
deset	jeden	deset	[40, 42]	[92, 149]	[149, 442]	[179, 1171]	[289, 2826]	[343, 6090]	[581, 12677]	[798, 23556]

Významy van der Waerdenových čísel . V tuto chvíli jsou známy hodnoty pouze 6 prvních čísel [20] : , 178 a 1132.35,9,3,1 , kde výraz pro horní hranici používá tetování ) [ 21] . $\{1, 2, \tečky, N\}$ $3704\leqslant N\leqslant {}^{8}2$

Další problémy

Dovolit být kladné číslo takové, že a jsou celá čísla. Nemůže to být celé číslo? $X$ $2^{x}$ $3^{x}$ $X$
Existence mírně nadbytečných čísel .
Existence cyklu tří doprovodných čísel .
Existují párově odlišná přirozená čísla taková, že ? [22] $abeceda$ $a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}$
Existují dvě různé pythagorejské trojice , které mají stejný produkt? [23]
Bealova hypotéza . Jestliže kde jsou přirozená čísla a , pak mají společného prvočíselného dělitele. $A^x+B^y=C^z,$ $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ $x,\;y,\;z>2$ $A,\;B,\;C$
Erdősova hypotéza . Pokud se součet reciprokých čísel pro nějakou množinu přirozených čísel rozchází, pak v této množině lze najít libovolně dlouhou aritmetickou posloupnost .
Jak velký může být součet převrácených hodnot posloupnosti přirozených čísel, ve které se žádný prvek nerovná součtu několika dalších odlišných prvků? (Erdos) [24]
Collatzova domněnka (3n+1 hypotéza).
Hypotéza kejklíře . Jakákoli žonglérská sekvence dosáhne 1 [25] . Žonglérská sekvence je popsána rekurzivním vzorcem: $a_{{k+1}}={\begin{cases}\left\lpatro a_{k}^{{1/2}}\right\rpatro ,&{\text{if}}\ a_{k}\ {\text{je sudý));\\\\\levé\lpatro a_{k}^{{3/2))\pravé\rpatro ,&{\text{if))\ a_{k}\ {\ text{je lichý}}.\end{cases}}$
Brokarův problém . Má rovnice řešení v přirozených číslech, kromě (4, 5), (5, 11) a (7, 71)? [26] $n!+1=m^{2}$
Tomaszewského hypotéza . Pouze čísla 1, 6 a 120 jsou jak trojúhelníková , tak faktoriální [27] . V alternativní formulaci se redukuje na řešení rovnice v přirozených číslech. $8\cdot n!+1=m^{2}$
Je množina řešení rovnice konečná? V současné době je známo pouze 5 řešení [28] . [29] [30] $2^{n}\equiv 3{\pmod n}?$
Je pravda, že druhou mocninu libovolného racionálního čísla lze znázornit jako součet čtvrtých mocnin čtyř racionálních čísel?
Waringův problém a jeho zobecnění:
- Existuje konečná množina přirozených čísel, kterou nelze vyjádřit jako součet 6 krychlí nezáporných celých čísel? [31] Podobná otázka vyvstává pro součty 5 a 4 kostek, stejně jako pro mnoho čísel s mocninami vyššími než 4.
- Jak přesně lze přirozené číslo reprezentovat jako součet druhých mocnin dvou celých čísel?
Problém 196 . Existují nějaká přirozená čísla, která se v důsledku opakování operace „převrátit a přidat“ nikdy nezmění v palindrom ?
Je možné reprezentovat jakékoli celé číslo jako (algebraický) součet čtyř krychlí? [32]
- není znám žádný důkaz tohoto tvrzení;
- není znám žádný příklad čísla, které by nemohlo být reprezentováno tímto způsobem.
Tři z Pollockových čtyř dohadů o složených číslech .

Viz také

Otevřené matematické úlohy - úlohy z jiných odvětví matematiky

Poznámky

↑ Matematický vývoj vyplývající z Hilbertových problémů , s. 39
↑ Weisstein, Eric W. Prime Sums na webu Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. Gilbraith's Conjecture at Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. Integer Sequence Primes na webu Wolfram MathWorld .
↑ Stuart, 2015 , str. 68.
↑ 1 2 Matiyasevich, Yu.V. Vzorce pro prvočísla // Kvant. - 1975. - T. 1. - č. 5. - S. 8.
↑ Stuart, 2015 , str. 404.
↑ Conway JH, Sloane NJA Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — str. 106.
↑ Ribenboim, Paulo. Nová kniha rekordů prvočísel, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV. — 3. vyd. - New York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
↑ Guy Richard K. Nevyřešené problémy v teorii čísel. — 3. vyd. - New York: Springer, 2004. - S. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ 1 2 3 Yu. V. Matiyaševič . Cvičení 2.10 // Hilbertův desátý problém . - M. : Nauka, 1993. - 223 s. — (Matematická logika a základy matematiky; Vydání č. 26). — ISBN 502014326X .
↑ Jones JP Nerozhodnutelné diofantické rovnice // Bull . amer. Matematika. soc. : deník. - 1980. - Sv. 3 . - S. 859-862 . - doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14832-6 .
↑ Jurij Matiyaševič, Hilbertův desátý problém: Co bylo uděláno a co je třeba udělat
↑ A. A. Bukhshtab. Teorie čísel . - M .: Vzdělávání, 1966.
↑ I. M. Vinogradov. Analytická teorie čísel // Matematická encyklopedie. - Sovětská encyklopedie . - M. , 1977-1985. (Ruština)
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ 447násobné výpočty . Získáno 12. srpna 2008. Archivováno z originálu 28. prosince 2012. (neurčitý)
↑ J. Bourgain, A. Kontorovič. O Zarembově domněnce .
↑ Stanisław Radziszowski. Small Ramsey Numbers (anglicky) // The Electronic Journal of Combinatorics. - 2017. - 3. března. — ISSN 1077-8926 . (revize 15)
↑ OEIS sekvence A005346 _
↑ Weisstein , Eric W. Van der Waerden číslo na Wolfram MathWorld .
↑ Nevyřešený problém 18: Existují odlišná kladná celá čísla a, b, c a, d taková, že a^5+b^5=c^5+d^5? Nevyřešený problém týdne . MathPro Press.
↑ Weisstein, Eric W. Pythagorejská trojka na webu Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. A -Sequence na webu Wolfram MathWorld .
↑ Sekvence A007320 , A094716 v OEIS
↑ Weisstein, Eric W. Brokard's Problem at Wolfram MathWorld .
↑ Sekvence A000142 , A000217 v OEIS
↑ Weisstein, Eric W. Číslo 2 na webu Wolfram MathWorld .
↑ 2^n mod n - OeisWiki
↑ https://web.archive.org/web/20120104074313/http://www.immortaltheory.com/NumberTheory/2nmodn.htm
↑ Weisstein, Eric W. Cubic Number na webu Wolfram MathWorld .
↑ Dmitrij Maksimov. Na součtech čtverců a krychlí // Věda a život . - 2020. - č. 9 . - S. 85 . (Ruština)

Literatura

Ian Stewart . Největší matematické problémy. — M. : Alpina literatura faktu, 2015. — 460 s. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Shanksi, Danieli . Řešené a neřešené problémy v teorii čísel. - 5. vyd. - New York: AMS Chelsea, 2002. - ISBN 978-0-8218-2824-3 .

Odkazy

Otevřete Problémovou zahradu
Otevřené otázky: Matematika
Projekt Otevřené problémy
Otevřete Matematické úlohy v adresáři Google
Videoklipy o nevyřešených matematických problémech
http://unsolvedproblems.org/