Otevřené problémy v teorii čísel
Teorie čísel je odvětví matematiky , které se zabývá především studiem přirozených a celých čísel a jejich vlastností, často za použití metod počtu a dalších odvětví matematiky. Teorie čísel obsahuje mnoho problémů, o jejichž řešení se pokoušeli matematici desítky a někdy i stovky let, ale stále zůstávají otevřené. Níže jsou uvedeny některé z nejznámějších nevyřešených problémů.
- Silný Goldbachův problém . Každé sudé číslo větší než 2 lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel.
- Rieselův problém : Nalezení nejmenšího lichého čísla tak , aby bylo složené pro všechna přirozená čísla .
- Sierpinského problém : Najít nejmenší lichý přirozený takový, že číslo je složeno ze všech přirozených .
- Sierpinskiho jednoduchý problém : Nalezení nejmenšího lichého prvočísla tak, aby číslo bylo složeno ze všech přirozených .
- Sierpinského dvojí problém : najít nejmenší lichý přirozený takový, že číslo je složeno ze všech přirozených . Související otázka ohledně testu primality: pokud existuje algoritmus, který vám umožňuje rychle (v polynomiálním čase) zjistit, zda je číslo prvočíslo (přesně, to znamená ne pseudoprvočíslo), pak existuje duální algoritmus testu primality pro čísla formuláře ? Odpověď na poslední otázku by nám prozradila, zda je pět velkých případně jednoduchých z úlohy „Pět nebo selhat“ jednoduchých nebo složených.
- Artinova domněnka, že existuje nekonečně mnoho prvočísel modulo , přičemž dané celé číslo je primitivní kořen .
- Legendreova hypotéza . Pro jakékoli přirozené číslo mezi a existuje alespoň jedno prvočíslo.
- Oppermannova hypotéza . Pro jakékoli přirozené číslo mezi a existuje alespoň jedno prvočíslo a mezi a existuje alespoň jedno (jiné) prvočíslo.
- Andricina hypotéza . Funkce (kde je -té prvočíslo) nabývá hodnoty menší než 1 pro libovolné n.
- Brocardova hypotéza . Pro jakékoli přirozené číslo mezi a (kde je th prvočíslo) existují alespoň čtyři prvočísla.
- Firuzbekhtova hypotéza . Posloupnost je přísně klesající (zde je -té prvočíslo).
- Polignacova hypotéza . Pro libovolné sudé číslo existuje nekonečně mnoho dvojic sousedních prvočísel, jejichž rozdíl je roven .
- Ago-Jugi hypotéza : je pravda, že pokud
, pak p je prvočíslo?
- Je pravda, že pro každé kladné iracionální číslo a kladné číslo existuje nekonečný počet dvojic prvočísel, pro které platí nerovnost ? [jeden]
- Konverguje řada ? [2] Pokud však konverguje, pak je jistě mnoho prvočísel dvojčat . Vyplývá to z věty o rozdělení prvočísel a Leibnizova testu .
- Gilbraithova hypotéza . Pro jakékoli přirozené číslo začíná posloupnost absolutních rozdílů 3. řádu pro posloupnost prvočísel na 1. Absolutní rozdíly 1. řádu jsou absolutní velikosti rozdílů mezi sousedními prvočísly: Rozdíly 2. řádu jsou absolutní velikosti rozdíly mezi sousedními prvky v posloupnosti absolutních rozdílů 1. řádu: atd. Hypotéza je ověřena pro všechna n < 3,4×10 11 [3]
- Bunyakovskiiho domněnka Jestliže je integrální ireducibilní polynom a d je největší společný dělitel všech jeho hodnot, pak integrální polynom nabývá nekonečně mnoho prvočísel. Landauův 4. problém je konkrétním případem této domněnky pro .
- Dixonova domněnka If je konečný počet aritmetických posloupností, pak existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že pro každé takové n je všech r čísel prvočíslo zároveň. Navíc je z úvahy vyloučen triviální případ, kdy existuje takové prvočíslo p , že pro libovolné n je alespoň jedno číslo násobkem p .
- Elliot-Halberstamova domněnka a její zobecnění v teorii prvočísel v modulech.
- Jsou všechna Fermatova čísla složená pro n > 4?
- Jsou všechna Mersennova čísla s prvočísly bez čtverců ?
- Existují dvojitá Mersennova čísla s indexy n > 60?
- Jsou číslo M M 127 a následující členy katalánsko-Mersennovy posloupnosti jednoduché?
- Existují nějaká Wolstenholme prvočísla jiná než 16843 a 2124679 ?
- Otevřenou otázkou je nekonečno počtu prvočísel v každé z následujících sekvencí [4] :
- Existuje polynom jiný než lineární, mezi jehož hodnotami je nekonečně mnoho prvočísel? [6]
- Proč jsou prvočísla uspořádána v řetězcích podél úhlopříček ulamského ubrusu ? [6]
- Je pravda, že pouze tři prvočísla, konkrétně 5, 13 a 97, mohou být reprezentována ve tvaru pro nějaké přirozené číslo ?
Hypotézy o dokonalých číslech
Dohady o přátelských číslech
- Neexistují žádná coprime přátelská čísla .
- Každý pár spřátelených čísel má stejnou paritu.
- Přátelských čísel je nekonečně mnoho.
- Najděte počet Gaussových čísel, jejichž norma je menší než daná přirozená konstanta . V ekvivalentní formulaci je toto téma známé jako „ problém Gaussova kruhu “ v geometrii čísel [8] . Viz sekvence A000328 v OEIS .
- Najděte čáry v komplexní rovině obsahující nekonečně mnoho Gaussových prvočísel. Dvě takové čáry jsou zřejmé - to jsou souřadnicové osy; není známo, zda existují další [9] .
- Otázka známá jako „ Gaussův příkop “: je možné jít do nekonečna přecházením od jednoho jednoduchého Gaussova čísla k druhému ve skocích o předem určené délce? Problém byl zasazen do roku 1962 a dosud nebyl vyřešen [10] .
- Má každá vyčíslitelná množina jediné diofantické zastoupení ? [jedenáct]
- Může spojení dvou množin, z nichž každá má jediné diofantické zobrazení, nemít jediné diofantické zobrazení?
- Má každá vyčíslitelná množina diofantické znázornění jako rovnice stupně 3 ve všech proměnných (parametrech a neznámých)?
- Má každá vyčíslitelná množina diofantické znázornění jako rovnice stupně 3 v neznámých?
- Jaký nejmenší počet proměnných může mít univerzální diofantická rovnice ? Jaký nejmenší stupeň může mít s tolika proměnnými? Nejmenší známý výsledek je 9 proměnných. Nejmenší známá mocnina rovnice v 9 proměnných přesahuje [12]
- Jaký nejmenší počet proměnných může mít univerzální diofantická rovnice stupně 4? Nejmenší známé skóre je 58.
- Existuje univerzální diofantická rovnice stupně 3? Pokud ano, jaký nejmenší počet proměnných může mít?
- Jaký nejmenší počet operací (sčítání, odčítání a násobení) může mít univerzální diofantická rovnice? Nejmenší známý výsledek je 100.
- Je množina řešení diofantické rovnice nekonečná ? [jedenáct]
- Existence kvádru se třemi celočíselnými hranami a celočíselnými úhlopříčkami .
- Existence množiny pěti kladných celých čísel , součin jakýchkoli dvou z nich je o jedno menší než přesný čtverec.
Mnoho nevyřešených problémů (například Goldbachův problém nebo Riemannova hypotéza ) lze přeformulovat jako otázky po řešitelnosti diofantických rovnic 4. stupně nějakého speciálního tvaru, ale takové přeformulování obvykle problém neulehčí kvůli nedostatku obecné metody řešení diofantických rovnic [13] [11] .
- Riemannova hypotéza (číslo-teoretická formulace). Je následující asymptotický vzorec pro rozdělení prvočísel správný:
- Je známo, že počet bodů s kladnými celočíselnými souřadnicemi v oblasti ohraničené hyperbolou a kladnými poloosami je vyjádřen asymptotickým vzorcem
kde je počet
dělitelů čísla k , je
Euler-Mascheroniho konstanta a může být zvolena stejná . Není však známo, při jaké minimální hodnotě tento vzorec zůstane pravdivý
( je známo, že není
menší než Je to úplně stejné ? Přímé výpočty vedou k této domněnce, protože se ukazuje jako téměř normální rozdělení s rozptylem 1 pro x až 10 16 .
- Cramerova hypotéza o mezerách mezi prvočísly : .
- Uvolněná Mertensova domněnka : dokažte, že Mertensova funkce se vyhodnocuje jako . Uvolněná Mertensova domněnka je ekvivalentní Riemannově hypotéze.
- První Hardy-Littlewood dohad je domněnka o hustotě distribuce n-tic prvočísel formy , říkat, zvláště, že množství takových ntic je nekonečné, kromě v triviálních případech. Tato domněnka je upřesněním jednoduché domněnky dvojčat a je také zvláštním případem Dixonovy domněnky.
- Druhá Hardy-Littlewoodova domněnka je domněnka o logaritmické vlastnosti funkce počtu prvočísel : . Je dokázáno, že obě Hardy-Littlewoodovy hypotézy nemohou být pravdivé současně a pravdivá je maximálně jedna [17] .
- Singmasterova hypotéza . Označme, kolikrát se v Pascalově trojúhelníku vyskytuje přirozené číslo větší než jedna . To ukázal Singmaster , který byl dále vylepšen na . Je silnější tvrzení pravdivé ?
- Zarembova hypotéza . Pro nějaké přirozené číslo q , tam je číslo p takové to v expanzi do pokračující zlomek , všechny neúplné kvocienty nepřekročí pět. V roce 2011 Jean Bourgain a Alex Kontorovich dokázali, že pro zlomky s neúplnými kvocienty omezenými na 50 platí dohad na množině hustoty 1 [18] .
- Hodnoty Ramseyho čísel [19] . S jistotou je známo pouze několik prvních čísel. Například není známo, při jakém minimu N v kterékoli skupině N lidí bude 5 lidí, kteří se znají ve dvojicích, nebo 5 lidí, kteří se neznají ve dvojicích - toto číslo je označeno , je známo pouze že .
|
jeden
|
2
|
3
|
čtyři
|
5
|
6
|
7
|
osm
|
9
|
deset
|
jeden
|
jeden
|
jeden
|
jeden
|
jeden
|
jeden
|
jeden
|
jeden
|
jeden
|
jeden
|
jeden
|
2
|
jeden
|
2
|
3
|
čtyři
|
5
|
6
|
7
|
osm
|
9
|
deset
|
3
|
jeden
|
3
|
6
|
9
|
čtrnáct
|
osmnáct
|
23
|
28
|
36
|
[40, 42]
|
čtyři
|
jeden
|
čtyři
|
9
|
osmnáct
|
25
|
[36, 41]
|
[49, 61]
|
[59, 84]
|
[73, 115]
|
[92, 149]
|
5
|
jeden
|
5
|
čtrnáct
|
25
|
[43, 48]
|
[58, 87]
|
[80, 143]
|
[101, 216]
|
[133, 316]
|
[149, 442]
|
6
|
jeden
|
6
|
osmnáct
|
[36, 41]
|
[58, 87]
|
[102, 165]
|
[115, 298]
|
[134, 495]
|
[183, 780]
|
[204, 1171]
|
7
|
jeden
|
7
|
23
|
[49, 61]
|
[80, 143]
|
[115, 298]
|
[205, 540]
|
[217, 1031]
|
[252, 1713]
|
[292, 2826]
|
osm
|
jeden
|
osm
|
28
|
[56, 84]
|
[101, 216]
|
[127, 495]
|
[217, 1031]
|
[282, 1870]
|
[329, 3583]
|
[343, 6090]
|
9
|
jeden
|
9
|
36
|
[73, 115]
|
[133, 316]
|
[183, 780]
|
[252, 1713]
|
[329, 3583]
|
[565, 6588]
|
[580, 12677]
|
deset
|
jeden
|
deset
|
[40, 42]
|
[92, 149]
|
[149, 442]
|
[179, 1171]
|
[289, 2826]
|
[343, 6090]
|
[581, 12677]
|
[798, 23556]
|
Další problémy
- Dovolit být kladné číslo takové, že a jsou celá čísla. Nemůže to být celé číslo?
- Existence mírně nadbytečných čísel .
- Existence cyklu tří doprovodných čísel .
- Existují párově odlišná přirozená čísla taková, že ? [22]
- Existují dvě různé pythagorejské trojice , které mají stejný produkt? [23]
- Bealova hypotéza . Jestliže kde jsou přirozená čísla a , pak mají společného prvočíselného dělitele.
- Erdősova hypotéza . Pokud se součet reciprokých čísel pro nějakou množinu přirozených čísel rozchází, pak v této množině lze najít libovolně dlouhou aritmetickou posloupnost .
- Jak velký může být součet převrácených hodnot posloupnosti přirozených čísel, ve které se žádný prvek nerovná součtu několika dalších odlišných prvků? (Erdos) [24]
- Collatzova domněnka (3n+1 hypotéza).
- Hypotéza kejklíře . Jakákoli žonglérská sekvence dosáhne 1 [25] . Žonglérská sekvence je popsána rekurzivním vzorcem:
- Brokarův problém . Má rovnice řešení v přirozených číslech, kromě (4, 5), (5, 11) a (7, 71)? [26]
- Tomaszewského hypotéza . Pouze čísla 1, 6 a 120 jsou jak trojúhelníková , tak faktoriální [27] . V alternativní formulaci se redukuje na řešení rovnice v přirozených číslech.
- Je množina řešení rovnice konečná? V současné době je známo pouze 5 řešení [28] . [29] [30]
- Je pravda, že druhou mocninu libovolného racionálního čísla lze znázornit jako součet čtvrtých mocnin čtyř racionálních čísel?
- Waringův problém a jeho zobecnění:
- Existuje konečná množina přirozených čísel, kterou nelze vyjádřit jako součet 6 krychlí nezáporných celých čísel? [31] Podobná otázka vyvstává pro součty 5 a 4 kostek, stejně jako pro mnoho čísel s mocninami vyššími než 4.
- Jak přesně lze přirozené číslo reprezentovat jako součet druhých mocnin dvou celých čísel?
- Problém 196 . Existují nějaká přirozená čísla, která se v důsledku opakování operace „převrátit a přidat“ nikdy nezmění v palindrom ?
- Je možné reprezentovat jakékoli celé číslo jako (algebraický) součet čtyř krychlí? [32]
- není znám žádný důkaz tohoto tvrzení;
- není znám žádný příklad čísla, které by nemohlo být reprezentováno tímto způsobem.
- Tři z Pollockových čtyř dohadů o složených číslech .
Viz také
Poznámky
- ↑ Matematický vývoj vyplývající z Hilbertových problémů , s. 39
- ↑ Weisstein, Eric W. Prime Sums na webu Wolfram MathWorld .
- ↑ Weisstein, Eric W. Gilbraith's Conjecture at Wolfram MathWorld .
- ↑ Weisstein, Eric W. Integer Sequence Primes na webu Wolfram MathWorld .
- ↑ Stuart, 2015 , str. 68.
- ↑ 1 2 Matiyasevich, Yu.V. Vzorce pro prvočísla // Kvant. - 1975. - T. 1. - č. 5. - S. 8.
- ↑ Stuart, 2015 , str. 404.
- ↑ Conway JH, Sloane NJA Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — str. 106.
- ↑ Ribenboim, Paulo. Nová kniha rekordů prvočísel, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV. — 3. vyd. - New York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
- ↑ Guy Richard K. Nevyřešené problémy v teorii čísel. — 3. vyd. - New York: Springer, 2004. - S. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
- ↑ 1 2 3 Yu. V. Matiyaševič . Cvičení 2.10 // Hilbertův desátý problém . - M. : Nauka, 1993. - 223 s. — (Matematická logika a základy matematiky; Vydání č. 26). — ISBN 502014326X .
- ↑ Jones JP Nerozhodnutelné diofantické rovnice // Bull . amer. Matematika. soc. : deník. - 1980. - Sv. 3 . - S. 859-862 . - doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14832-6 .
- ↑ Jurij Matiyaševič, Hilbertův desátý problém: Co bylo uděláno a co je třeba udělat
- ↑ A. A. Bukhshtab. Teorie čísel . - M .: Vzdělávání, 1966.
- ↑ I. M. Vinogradov. Analytická teorie čísel // Matematická encyklopedie. - Sovětská encyklopedie . - M. , 1977-1985. (Ruština)
- ↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
- ↑ 447násobné výpočty . Získáno 12. srpna 2008. Archivováno z originálu 28. prosince 2012. (neurčitý)
- ↑ J. Bourgain, A. Kontorovič. O Zarembově domněnce .
- ↑ Stanisław Radziszowski. Small Ramsey Numbers (anglicky) // The Electronic Journal of Combinatorics. - 2017. - 3. března. — ISSN 1077-8926 . (revize 15)
- ↑ OEIS sekvence A005346 _
- ↑ Weisstein , Eric W. Van der Waerden číslo na Wolfram MathWorld .
- ↑ Nevyřešený problém 18: Existují odlišná kladná celá čísla a, b, c a, d taková, že a^5+b^5=c^5+d^5? Nevyřešený problém týdne . MathPro Press.
- ↑ Weisstein, Eric W. Pythagorejská trojka na webu Wolfram MathWorld .
- ↑ Weisstein, Eric W. A -Sequence na webu Wolfram MathWorld .
- ↑ Sekvence A007320 , A094716 v OEIS
- ↑ Weisstein, Eric W. Brokard's Problem at Wolfram MathWorld .
- ↑ Sekvence A000142 , A000217 v OEIS
- ↑ Weisstein, Eric W. Číslo 2 na webu Wolfram MathWorld .
- ↑ 2^n mod n - OeisWiki
- ↑ https://web.archive.org/web/20120104074313/http://www.immortaltheory.com/NumberTheory/2nmodn.htm
- ↑ Weisstein, Eric W. Cubic Number na webu Wolfram MathWorld .
- ↑ Dmitrij Maksimov. Na součtech čtverců a krychlí // Věda a život . - 2020. - č. 9 . - S. 85 . (Ruština)
Literatura
- Ian Stewart . Největší matematické problémy. — M. : Alpina literatura faktu, 2015. — 460 s. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
- Shanksi, Danieli . Řešené a neřešené problémy v teorii čísel. - 5. vyd. - New York: AMS Chelsea, 2002. - ISBN 978-0-8218-2824-3 .
Odkazy