Parabolická rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. dubna 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Parabolické rovnice jsou třídou parciálních diferenciálních rovnic . Jeden z typů rovnic popisujících nestacionární procesy.

Definice

Uvažujme obecný tvar skalární parciální diferenciální rovnice druhého řádu s ohledem na funkci : $u:R^{n}\rightarrow R$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\částečné x_{j}}}+\součet _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\částečné u}{\částečné x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots ,x_{n})

V tomto případě je rovnice zapsána v symetrickém tvaru, tedy: . Pak ekvivalentní rovnice ve tvaru kvadratického tvaru : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

kde . Matice se nazývá matice hlavních koeficientů . Pokud je signatura výsledného tvaru , to znamená, že matice má jedno vlastní číslo rovné nule a vlastní čísla mají stejné znaménko, pak se rovnice označuje jako parabolický typ [1] . Další, ekvivalentní definice: rovnice se nazývá parabolická, pokud ji lze reprezentovat jako: $A=A^{T}$
$A$
$(n-1,0)$ $A$ $n-1$

Lu+a{\frac {\částečné u}{\částečné t}}=f(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t)

kde: je eliptický operátor , . $L$ $a \neq 0$

Řešení parabolických rovnic

Pro nalezení jedinečného řešení je rovnice uvažována ve spojení s počátečními a okrajovými podmínkami . Protože rovnice je prvního řádu v čase, počáteční podmínka je uložena jednou: na požadovanou funkci.

K nalezení řešení parabolických rovnic, včetně abstraktních parabolických rovnic, lze použít metody teorie operátorových pologrup .
Pro analytické řešení parabolických rovnic v nekonečné oblasti ( Cauchyho úloha pro parabolickou rovnici) se používá speciální integrální vzorec [2] .
Pro analytické řešení parabolických rovnic v konečné oblasti lze použít metodu Fourierovy proměnné separace .
Pro numerické řešení parabolických rovnic se používá metoda konečných prvků , metoda konečných diferencí , metoda konečných objemů , dále jejich kombinace a další numerické metody vhodné pro řešený problém.

Princip maxima

Pro parabolickou rovnici tvaru:

-a^{2}\Delta u+\částečné _{t}u=0\ (x_{1},\ldots \,x_{{n-1}})\in \Omega

Řešení nabývá maximální hodnoty buď na , nebo na hranici regionu . $u(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t)$ $t=0$ $\Omega$

Příklady parabolických rovnic

Rovnice popisující procesy konvekce a difúze , včetně rovnice difúze a jejího speciálního případu – rovnice tepla .
Systém Navier-Stokesových rovnic popisujících pohyb kapalin a plynů je soustavou parabolických rovnic s divergentními omezeními.
Pro některé typy médií je možné získat parabolické rovnice s ohledem na vektory nebo z Maxwellových rovnic . [3] $\mathbf {A}$ $\mathbf {E}$

Viz také

Poznámky

↑ Tichonov A.N. , Samarsky A.A. Equations of Mathematical Physics (5. ed.). - Moskva: Nauka, 1977.
↑ L.K. Martinson , Yu.I. Malov. Diferenciální rovnice matematické fyziky. - Moskva: MSTU pojmenované po N.E. Bauman, 2002. - 368 s. — ISBN 5-7038-1270-4 .
↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Peršová M.G. Metoda konečných prvků pro skalární a vektorové problémy. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata