Pravidelných sedmnáct

Sedmnáct
Pravidelných sedmnáct
Typ	pravidelný mnohoúhelník
žebra	17
symbol Schläfli	{17}
Coxeter-Dynkinův diagram
Nějaká symetrie	Dihedral group (D 18 ) řád 2×18
Vnitřní roh	≈158,82°
Vlastnosti
konvexní , vepsaný , rovnostranný , rovnoúhelníkový , izotoxální

Pravidelný sedmnáctiúhelník je geometrický útvar patřící do skupiny pravidelných mnohoúhelníků . Má sedmnáct stran a sedmnáct úhlů , všechny jeho úhly a strany jsou si navzájem rovné, všechny vrcholy leží na jedné kružnici . Mezi dalšími pravidelnými mnohoúhelníky s velkým (více než pěti ) prvočíslem stran je zajímavý tím, že jej lze postavit pomocí kružítka a pravítka (například sedmi- , jedenácti a třináctiúhelníky nelze postavit pomocí kružítko a pravítko).

Vlastnosti

Středový úhel α je .

Poměr délky strany k poloměru kružnice opsané je

Pravidelný sedmnáctiúhelník lze sestrojit pomocí kružítka a pravítka , což dokázal Gauss v monografii „ Aritmetické studie “ (1796). Zjistil také hodnotu kosinu centrálního úhlu sedmnáctiúhelníku:

Ve stejné práci Gauss dokázal, že pokud jsou lichými prvočísly n různá Fermatova prvočísla (Fermatova čísla ), tedy prvočísla tvaru, pak lze pomocí kružítka a pravítka sestrojit pravidelný n-úhelník (viz Gauss -Wanzelova věta ).

Fakta

• Gauss byl svým objevem natolik inspirován, že na sklonku svého života odkázal, aby na jeho hrob byl vytesán pravidelný sedmnácti čtverec. Sochař to odmítl s argumentem, že stavba bude tak složitá, že výsledek bude k nerozeznání od kruhu.

• V roce 1893 Herbert William Richmond publikoval výslovný popis stavby pravidelného sedmnáctiúhelníku v 64 krocích. Tato konstrukce je znázorněna níže.

Konstrukce

Přesná konstrukce

1. Nakreslíme velkou kružnici k ₁ (budoucí kružnici opsané sedmnáctiúhelníku) se středem O .
2. Nakreslete jeho průměr AB .
3. Postavíme k němu kolmici m , která protíná k₁ v bodech C a D .
4. Označíme bod E - střed DO .
5. Uprostřed EO označíme bod F a nakreslíme úsečku FA .
6. Sestrojíme osičku w₁ úhlu ∠OFA.
7. Sestrojíme w₂ — sečnu úhlu mezi m a w₁, která protíná AB v bodě G .
8. Obnovte s - kolmo k w₂ z bodu F .
9. Sestavíme w₃ - sečna úhlu mezi s a w₂. Protíná AB v bodě H.
10. Thalesovu kružnici ( k ₂) sestrojíme na průměru HA se středem v bodě M . Protíná se s CD v bodech J a K .
11. Body J a K narýsujeme kružnici k₃ se středem G. Protíná se s AB v bodech L a N . Zde je důležité nezaměňovat N s M , nacházejí se velmi blízko.
12. Sestrojíme tečnu ke k₃ až N .

Průsečíky této tečny s původní kružnicí k₁ jsou body P3 a P14 požadovaného sedmnáctiúhelníku. Vezmeme-li střed výsledného oblouku jako P₀ a odložíme oblouk P₀P₁₄ kolem kruhu třikrát, budou vytvořeny všechny vrcholy sedmnáctiúhelníku.

Přibližná konstrukce

Následující konstrukce, i když přibližná, je mnohem pohodlnější.

1. Položíme bod na rovinu M , postavíme kolem něj kružnici k a narýsujeme její průměr AB ;
2. Poloměr AM třikrát po sobě půlíme směrem ke středu (body C , D a E ).
3. Úsek EB rozdělíme na polovinu (bod F ).
4. postavíme v bodě F kolmici k AB .

• Stručně řečeno: nakreslete kolmici k průměru ve vzdálenosti 9/16 průměru od B .

Průsečíky poslední kolmice s kružnicí jsou dobrou aproximací pro body P3 a P₁4.

S touto konstrukcí se získá relativní chyba 0,83 %. Rohy a strany jsou tak o něco větší, než je nutné. S rádiusem 332,4 mm je strana o 1 mm delší.

Animovaná konstrukce Erchingera

Tvary hvězd

Pravidelný sedmnáctiúhelník má 7 pravidelných tvarů hvězdy.

• {17/2}

• {17/3}

• {17/4}

• {17/5}

• {17/6}

• {17/7}

• {17/8}

Viz také

• Gauss-Wanzelova věta

Odkazy

• Karin Reichová . Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). // V knize: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm . Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, s. 101-118.
• Weisstein, Eric W. Heptadagon ve společnosti  Wolfram MathWorld .