Hurwitzova věta o automorfismu

Hurwitzova věta o automorfismu omezuje pořadí grupy automorfismu – konformní zobrazení  zachovávající orientaci –  kompaktní Riemannovy plochy rodu g > 1, přičemž počet takových automorfismů nesmí překročit 84( g − 1). Skupina, pro kterou je dosaženo maxima, se nazývá Hurwitzova grupa a odpovídající Riemannův povrch se nazývá Hurwitzův povrch . Protože kompaktní Riemannovy povrchy jsou synonymem pro nesingulární komplexní projektivní algebraické křivky , Hurwitzův povrch lze také nazvat Hurwitzovou křivkou [1] . Věta je pojmenována po Adolfu Hurwitzovi , který ji dokázal v roce 1893 [2] .

Hurwitzova mez platí také pro algebraické křivky nad poli charakteristiky 0 a nad poli s kladnou charakteristikou p > 0 pro skupiny, jejichž pořadí je coprime k p , ale nemusí platit pro pole charakteristiky p > 0, pokud p dělí řád skupiny. . Například dvojitý kryt projektivní čáry , větvený ve všech bodech nad jednoduchým polem, má rod , ale působí na něj řádová skupina .

Interpretace z hlediska hyperbolicity

Jedním ze základních témat diferenciální geometrie  je trichotomie mezi Riemannovými varietami pozitivního, nulového a negativního zakřivení K . To se vyskytuje v mnoha situacích a na různých úrovních. V kontextu Riemannových ploch X je podle Riemannovy uniformizační věty tato trichotomie chápána jako rozdíl mezi plochami různých topologií:

• X  je koule , kompaktní Riemannův povrch rodu nula s K > 0;
• X  je plochý torus nebo eliptická křivka , Riemannův povrch rodu 1 s K = 0;
• X  je hyperbolická plocha rodu > 1 a K < 0.

Zatímco v prvním případě plocha X připouští nekonečně mnoho konformních automorfismů (ve skutečnosti je grupa konformního automorfismu Lieovou grupou dimenze tři pro kouli a dimenze jedna pro torus), hyperbolická Riemannova plocha připouští pouze diskrétní sadu automorfismů. . Hurwitzův teorém tvrdí, že ve skutečnosti platí ještě více - udává limitu řádu skupiny automorfismu jako funkci rodu a popisuje Riemannovy plochy, pro které je tato limita přesná.

Myšlenka důkazu a konstrukce povrchů Hurwitz

Podle uniformizační věty je každá hyperbolická plocha X , tedy taková plocha, pro kterou je Gaussova křivost v libovolném bodě rovna mínus jedné, pokryta hyperbolickou rovinou . Konformní zobrazení povrchu odpovídá automorfismům hyperbolické roviny zachovávajícím orientaci. Podle Gauss-Bonnetovy věty je plocha povrchu rovna

Aby byla skupina automorfismu G na X co největší, musíme pro tuto akci udělat oblast její základní domény D co nejmenší. Pokud je základní doménou trojúhelník s vrcholovými úhly a , což dává dlaždici hyperbolické roviny, pak p , q a r budou celá čísla větší než jedna a plocha je

Položme si otázku, pro která přirozená čísla výraz

přísně pozitivní a co nejmenší. Tato minimální hodnota je 1/42 a

dává jedinečnou (až permutaci) trojici takových čísel. To znamená, že objednávka | G | skupina automorfismu je omezena hodnotou

Přesnější výpočty však ukazují, že tento odhad je poloviční, protože skupina G může obsahovat transformace obracející orientaci. Pro konformní automorfismy zachovávající orientaci bude hranice .

Budova

Abychom získali příklad Hurwitzovy grupy, začneme s (2,3,7)-dlaždičkou hyperbolické roviny. Jeho plná skupina symetrie je skupina plného trojúhelníku (2,3,7) tvořená odrazy o stranách jednoho základního trojúhelníku s úhly , a . Protože odraz převrátí trojúhelník a změní orientaci, můžeme trojúhelníky spárovat dohromady a získat polygon zachovávání orientace obkladu. Hurwitzova plocha se získá "uzavřením" části této nekonečné dlaždice hyperbolické roviny do Riemannovy plochy rodu g . To bude vyžadovat přesně dlaždice (skládající se ze dvou trojúhelníků).

Další dva pravidelné obklady mají požadovanou skupinu symetrie. Skupina rotace odpovídá rotaci kolem hrany, vrcholu a plochy, zatímco skupina plné symetrie může také zahrnovat odrazy. Všimněte si, že polygony v obkladu nejsou základní oblasti - trojúhelníkový obklad (2,3,7) zjemňuje oba tyto obklady a není pravidelný.

Konstrukce Wythoff umožňují další jednotné obklady , což dává osm jednotných obkladů , včetně dvou zde zobrazených. Všechny jsou získány z povrchů Hurwitz a poskytují dlaždicovou úpravu povrchů (triangulace, dlaždice pomocí sedmiúhelníků atd.).

Z výše uvedených úvah můžeme usoudit, že Hurwitzova grupa G se vyznačuje vlastností, že jde o konečnou faktorovou grupu grupy se dvěma generátory a a b a třemi vztahy

G je tedy konečná grupa vytvořená dvěma prvky řádu dva a tři, jejichž součin má sedmý řád. Přesněji řečeno, popsanou konstrukcí lze získat jakoukoliv Hurwitzovu plochu, tedy hyperbolickou plochu, na které je dosaženo maximálního řádu skupiny automorfismu pro plochy daného rodu. Toto je poslední část Hurwitzovy věty.

Příklady Hurwitzových skupin a povrchů

Nejmenší Hurwitzova grupa je projektivní speciální lineární grupa PSL(2,7) s řádem 168 a odpovídající křivka je Kleinova kvartika . Tato skupina je také izomorfní k PSL(3,2) .

Následující křivka je McBeathova křivka s automorfní grupou PSL(2,8) řádu 504. Existuje mnoho jednoduchých konečných grup, které jsou Hurwitzovy grupy, například všechny alternující grupy kromě 64 jsou Hurwitzovy grupy. Největší skupina mimo Hurwitz má stupeň 167. A 15 je nejmenší střídající se skupina, což je skupina Hurwitz.

Nejvíce projektivní speciální lineární skupiny velké pozice jsou skupiny Hurwitz [4] . Mezi takovými skupinami malých řad je méně skupin Hurwitz. Označení p modulo 7 exponentem , PSL(2, q ) je Hurwitzova grupa právě tehdy, když buď q =7 nebo . Navíc PSL(3, q ) je Hurwitzova grupa pouze pro q = 2, PSL(4, q ) není Hurwitzova grupa pro žádné q a PSL(5, q ) je Hurwitzova grupa pouze tehdy, když nebo [5] . Podobně mnoho skupin typu Lie je Hurwitz. Konečné klasické skupiny vysoké pozice jsou skupiny Hurwitz [6] . Výjimečné Lieovy skupiny typu G2 a Reeovy skupiny typu 2G2 jsou téměř vždy Hurwitzovy skupiny [7] . Jiné rodiny výjimečných a zkroucených Lieových skupin nízké pozice, jak ukazuje Malle, jsou skupiny Hurwitz [8] .

Existuje 12 sporadických skupin , které lze vytvořit jako Hurwitzovy skupiny - Jankovy skupiny J 1 , J 2 a J 4 , Fischerovy skupiny Fi 22 a Fi' 24 , Rudvalis group , Held group , Thompson sporadic group , Harada skupina -Norton , třetí skupina Conway Co 3 , skupina Lyons a "monstrum" [9] .

Maximální řády grup automorfismu Riemannových ploch

Maximální řád konečné grupy působící na Riemannovu plochu rodu g je uveden následovně

Viz také

• Skupina trojúhelníků (2,3,7)

Poznámky

1. ↑ Technicky vzato je kategorie kompaktních Riemannových ploch a orientaci zachovávajících konformních zobrazení ekvivalentní kategorii nesingulárních komplexních projektivních algebraických křivek a algebraických morfismů.
2. ↑ Hurwitz, 1893 .
3. ↑ ( Richter ) Všimněte si, že každá plocha mnohostěnu se skládá z několika obkladových ploch - dvě trojúhelníkové plochy tvoří čtvercovou plochu a tak dále, jako na tomto vysvětlujícím nákresu Archived 3 March 2016 at Wayback Machine .
4. ↑ Lucchini, Tamburini, Wilson, 2000 .
5. ↑ Tamburini, Všemirnov, 2006 .
6. ↑ Lucchini, Tamburini, 1999 .
7. ↑ Malle, 1990 .
8. ↑ Malle, 1995 .
9. ↑ Wilson, 2001 .

Literatura

• Hurwitz A. Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich // Mathematische Annalen . - 1893. - T. 41 , čís. 3 . - S. 403-442 . - doi : 10.1007/BF01443420 .
• Lucchini A., Tamburini MC Klasické skupiny velké úrovně jako skupiny Hurwitz // Journal of Algebra. - 1999. - T. 219 , vydání. 2 . - S. 531-546 . — ISSN 0021-8693 . doi : 10.1006 / jabr . 1999.7911 .
• Lucchini A., Tamburini MC, Wilson JS Hurwitz skupiny velkého postavení // Journal of the London Mathematical Society. druhá série. - 2000. - T. 61 , č.p. 1 . - S. 81-92 . — ISSN 0024-6107 . - doi : 10.1112/S0024610799008467 .
• gunter Mall. Hurwitzovy skupiny a G2(q)  // Canadian Mathematical Bulletin . - 1990. - T. 33 , no. 3 . - S. 349-357 . — ISSN 0008-4395 .
• gunter Mall. Výjimečné Hurwitzovy grupy malého stupně // Skupiny Lieova typu a jejich geometrie (Como, 1993). - Cambridge University Press , 1995. - V. 207. - S. 173-183. — (Londýnská matematika. Soc. Poznámka k přednášce Ser.).
• Tamburini MC, Vsemirnov M. Neredukovatelné (2,3,7)-podskupiny PGL(n,F) pro n ≤ 7 // Journal of Algebra. - 2006. - T. 300 , č.p. 1 . - S. 339-362 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.02.030 .
• Wilson RA The Monster je skupina Hurwitz // Journal of Group Theory. - 2001. - T. 4 , no. 4 . - S. 367-374 . - doi : 10.1515/jgth.2001.027 .
• David A. Richter. Jak vytvořit Mathieu Group M 24 .