Klein-Gordonova rovnice

Klein-Gordonova rovnice (někdy Klein-Gordon-Fock , Klein-Fock [1] [2] , Schrödinger-Gordon [3] ) je relativistická verze Schrödingerovy rovnice :

\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{y}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2 }}\částečné _{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0

nebo (pomocí jednotek, kde , je d'Alembertův operátor ): $\hbar=c=1$ $\náměstí\$

(\square \ -m^{2})\psi =0

Používá se k popisu rychle se pohybujících částic, které mají hmotnost (klidová hmotnost). Přísně použitelné pro popis skalárních masivních polí (jako je Higgsovo pole ). Lze zobecnit na částice s celočíselnými a polocelými rotacemi [4] . Mimo jiné je zřejmé, že rovnice je zobecněním vlnové rovnice , vhodnou pro popis bezhmotných skalárních a vektorových polí.

Mechanické systémy (reálné nebo imaginární) popsané Klein-Gordon-Fockovou rovnicí mohou být jednoduchými modifikacemi systémů popsaných vlnovou rovnicí, například:

v jednorozměrném případě se jedná o nataženou těžkou nit ležící (nalepenou) na elastické (Hooke) podšívce.
makroskopicky izotropní krystal, jehož každý atom je kromě vazby se sousedními atomy také v kvadratickém potenciálu dobře fixovaný v prostoru.
realističtější je, pokud mluvíme o skutečných krystalech, uvažovat o módech příčných vibrací, ve kterých např. sousední vrstvy atomů vibrují v protifázi: takové módy (v lineární aproximaci) se budou řídit dvourozměrným Klein- Gordon-Fockova rovnice v souřadnicích ležících v rovině vrstev.

Rovnice, ve které má poslední ("hmotnostní") člen znaménko opačné k obvyklému, popisuje tachyon v teoretické fyzice . Tato verze rovnice také připouští jednoduchou mechanickou implementaci.

Klein-Gordon-Fock rovnice pro volnou částici (která je uvedena výše) má jednoduché řešení ve formě sinusových rovinných vln .

Nastavením prostorových derivací na nulu (což v kvantové mechanice odpovídá nulové hybnosti částice) máme pro obvyklou Klein-Gordon-Fockovu rovnici harmonický oscilátor s frekvencí , která odpovídá nenulové klidové energii určené hmotnost částice. Tachyonová verze rovnice je v tomto případě nestabilní a její řešení zahrnuje v obecném případě neomezeně rostoucí exponent. $\pm mc^{2}/\hbar$ $m$

Historie

Rovnici, pojmenovanou po Oskaru Kleinovi a Walteru Gordonovi , původně napsal Erwin Schrödinger před napsáním nerelativistické rovnice, která nyní nese jeho jméno. Opustil ji (aniž by ji zveřejnil), protože do této rovnice nemohl zahrnout spin elektronu. Schrödinger rovnici zjednodušil a našel „svou“ rovnici.

V roce 1926 , krátce po zveřejnění Schrödingerovy rovnice , napsal Fock [5] [6] článek o jejím zobecnění na případ magnetických polí, kde síly závisely na rychlosti, a nezávisle odvodil tuto rovnici. Jak Klein [7] (jeho práce se objevily o něco dříve, ale po přijetí Fockova článku k publikaci se nevytiskly), tak Fock použili Kaluza-Kleinovu metodu . Fock také představil kalibrační teorii pro vlnovou rovnici.

Gordonův článek (počátek roku 1926) byl věnován Comptonovu efektu [8] .

Závěr

(Zde se používají jednotky, kde ). $\hbar=c=1$

Schrödingerova rovnice pro volnou částici je napsána takto:

{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}\psi =i\partial _{t}\psi

kde je operátor hybnosti ; operátor se bude nazývat na rozdíl od hamiltoniánu jednoduše operátor energie. ${\hat {{\mathbf {p}}}}=-i{\mathbf {\nabla }}$ ${\hat {E}}=i\částečné _{t}$

Schrödingerova rovnice není relativisticky kovariantní, to znamená, že nesouhlasí se speciální teorií relativity (SRT).

Použijeme vztah relativistické disperze (spojující energii a hybnost) (z SRT ):

{\displaystyle p^{2}+m^{2}=E^{2))

Pak jednoduše dosadíme kvantově mechanický operátor hybnosti a operátor energie [9] , získáme:

((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi

který lze zapsat v kovariantní formě takto:

(\square \ -m^{2})\psi =0

kde je operátor d'Alembert . $\čtverec \ =\nabla ^{2}-\částečný _{t}^{2}$

Řešení Klein-Gordon-Fockovy rovnice pro volnou částici

Hledejte řešení Klein-Gordon-Fockovy rovnice pro volnou částici

\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}} }\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi

může, stejně jako každá lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, ve formě superpozice (tj. jakékoli, konečné nebo nekonečné lineární kombinace) rovinných vln:

{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\;t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

dosazením každé takové vlny do rovnice získáme podmínku on a : ${\mathbf k}$ $\omega$

-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{ 2}}}

Rovinná vlna, jak můžete snadno vidět, popisuje čistý stav s určitou energií a hybností (tj. je to vlastní funkce odpovídajících operátorů). Energii a hybnost (tj. vlastní hodnoty těchto operátorů) na základě toho lze jednoduše vypočítat, jako v případě nerelativistické částice:

\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |{\hat {\mathbf {p} }}|\psi \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k}

\langle E\rangle =\langle \psi |{\klobouk {E))|\psi \rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))|\ psi \rangle =\hbar \omega

Zjištěný poměr a pak (opět) dává rovnici souvislosti mezi energií a hybností relativistické částice s nenulovou hmotností, známou z klasiků: $k$ $\omega$

\langle E^{2}\rangle =m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}

Navíc je zřejmé, že vztah pro průměrné hodnoty bude splněn nejen pro stavy s určitou energií a hybností, ale i pro jakoukoli jejich superpozici, tedy pro jakékoli řešení Klein-Gordon-Fockovy rovnice ( což zejména zajišťuje, že tento vztah je splněn i v klasické limitě).

Pro bezhmotné částice můžeme dosadit poslední rovnici. Pak získáme pro bezhmotné částice disperzní zákon (je to také poměr energie a hybnosti) ve tvaru: $m=0$

\langle E^{2}\rangle =\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}

Pomocí vzorce grupové rychlosti není obtížné získat obvyklé relativistické vzorce pro vztah hybnosti a energie s rychlostí; v zásadě lze stejného výsledku dosáhnout jednoduše výpočtem komutátoru hamiltoniánu se souřadnicí; ale v případě Klein–Gordon–Fockovy rovnice se setkáváme s obtížemi při výslovném zápisu Hamiltoniánu [10] (zřejmá je pouze druhá mocnina Hamiltoniánu). ${\mathbf {v}}_{{gr}}=\partial \omega /\partial {\mathbf {k}}\$

Poznámky

↑ Demkov Yu. N. Vývoj teorie srážek elektron-atom na Leningradské univerzitě Archivní kopie ze 17. května 2014 na Wayback Machine .
↑ Faddeev L. D. Nový život úplné integrovatelnosti // Phys. - 2013. - Ročník 183. - č. 5. - S. 490.
↑ G. Wentzel Úvod do kvantové teorie vlnových polí. - M., L.: OGIZ, 1947. - S. 32
↑ viz Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Úvod do teorie kvantovaných polí. - § 4, 6.
↑ Vladimir Fock archivován 2. ledna 2015 na Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242.
↑ Vladimir Fock // Zeitschrift fur Physik 39 (1926) 226.
↑ Klein O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie Archived 14. října 2017 na Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 37:895-906. — 1926.
↑ Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie Archivováno 10. června 2017 na Wayback Machine (Comptonův efekt v Schrödingerově teorii) // Zeitschrift für Physik. — v. 40.-is. 1.-pp. 117-133 (1926). - DOI 10.1007/BF01390840 .
↑ Dalo by se jednoduše vzít kořen operátoru v závorce na levé straně rovnice $((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi$ , to znamená najít hamiltonián tímto způsobem; pak by první derivace s ohledem na čas zůstala na pravé straně a analogie se Schrödingerovou rovnicí by byla ještě bezprostřednější a přímější. Tvrdí se však, že pro případ skalárního (nebo vektorového) pole je nemožné to udělat tak, aby výsledný Hamiltonián byl lokální. Pro případ bispinor se tak Diracovi podařilo získat lokální (a to i s derivacemi pouze prvního řádu) Hamiltonián, čímž získal tzv. Diracovu rovnici (jejíž všechna řešení v Minkowského prostoru jsou mimochodem také řešení Klein-Gordonovy rovnice, ale ne naopak a v zakřiveném prostoru je rozdíl mezi rovnicemi zřetelný). $\psi$ $\psi$
↑ viz poznámka 2.

Viz také

Odkazy

Lineární Klein-Gordonova rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.
Nelineární Klein-Gordonova rovnice na EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata