Korteweg-de Vriesova rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. ledna 2022; kontroly vyžadují 6 úprav .

Korteweg-de Vriesova rovnice ( KdV rovnice ; také psáno de Vries , de Vries , de Vries , De Vries ; angl. Korteweg-de Vriesova rovnice ) je nelineární parciální diferenciální rovnice třetího řádu , která hraje důležitou roli v teorie nelineárních vln , převážně hydrodynamického původu. Poprvé jej získal Joseph Boussinesq v roce 1877 [1] , ale podrobnou analýzu provedli již Diederik Korteweg a Gustav de Vries v roce 1895 [2] .

Rovnice vypadá takto:

{\frac {\částečné u}{\částečné t))+6u{\frac {\částečné u}{\částečné x))+{\frac {\částečné ^{3}u}{\částečné x^{3 }}}=0

Rozhodnutí

Pro Korteweg-de Vriesovu rovnici bylo nalezeno velké množství přesných řešení, kterými jsou stacionární nelineární vlny. Konkrétně tato rovnice má řešení typu soliton v následujícím tvaru:

u\left(x,t\right)={\frac {2\kappa ^{2}}{\cosh ^{2}\left[\kappa \left(x-4\kappa ^{2} t-x_{0}\right)\right]}}

kde je volný parametr, který určuje výšku a šířku solitonu a také jeho rychlost; je také libovolná konstanta v závislosti na volbě počátku osy x . Pro solitony je zvláště důležitá skutečnost, že jakákoli počáteční porucha, exponenciálně klesající do nekonečna, se postupem času vyvine v konečnou sadu solitonů oddělených v prostoru. Přesné hledání těchto řešení lze provádět pravidelným způsobem pomocí metody inverzního rozptylu . $\kappa$ $x_{0}$

Periodická řešení Korteweg-de Vriesovy rovnice mají tvar knoidálních vln popsaných eliptickými integrály :

x-ct-x_{0}=\int \left(2E+cu^{2}-2u^{3}\right)^{-{\frac {1}{2))}du

kde c , E jsou parametry vlny, které určují její amplitudu a periodu .

Také Korteweg-de Vriesova rovnice umožňuje sobě podobná řešení , která lze v obecném případě získat pomocí Bäcklundových transformací a jsou vyjádřena v podmínkách řešení Painlevého rovnice .

Integrály pohybu a Laxova reprezentace

Korteweg-de Vriesova rovnice má velký význam pro teorii integrovatelných systémů jako jeden z nejjednodušších příkladů exaktně řešitelné nelineární diferenciální rovnice. Integrovatelnost je zajištěna přítomností nekonečného počtu integrálů pohybu v rovnici , která má tvar

I_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(u,\,\částečné _{x}u,\,\částečné _{x}^ {2}u,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,

kde jsou polynomy n-tého stupně v neznámé funkci a jejích prostorových derivacích, zadané rekurzivně takto: $P_{n}$

{\begin{aligned}P_{1}&=u,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1} ^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i},\quad n\geq 2.\end{aligned}}

Lze je získat pomocí reprezentace Lax

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

prostřednictvím dvojice operátorů

{\begin{aligned}L&=-\částečné _{x}^{2}+u,\\P&=-4\částečné _{x}^{3}+6u\částečné _{x}+ 3u_{x}.\end{aligned}}

Navíc lze ukázat, že Korteweg-de Vriesova rovnice má bi-Hamiltonovu strukturu.

Několik prvních integrálů pohybu:

hmotnost $\int u\,{\text{d}}x,$
puls $\int u^{2}\,{\text{d}}x,$
energie $\int \left[2u^{3}-\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x.$

Zobecnění

Za přítomnosti disipace se Korteweg-de Vriesova rovnice transformuje na Burgers-Korteweg-de Vriesovu rovnici , která má tvar

{\frac {\částečné u}{\částečné t))+6u{\frac {\částečné u}{\částečné x))+{\frac {\částečné ^{3}u}{\částečné x^{3 ))}=\nu {\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x^{2))}

kde parametr charakterizuje velikost rozptylu. $\nu$

Ve dvourozměrné geometrii je zobecněním Korteweg-de Vriesovy rovnice takzvaná Kadomtsev-Petviashvili rovnice , která má tvar:

{\frac {\partial }{\partial x))\left({\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\částečné ^{3}u}{\částečné x^{3}}}\right)=\pm {\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné y^{2}}}

Poznámky

↑ Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes (francouzsky) . - 1877. - S. 360. - 680 str.
↑ DJ Korteweg , G. de Vries . O změně tvaru dlouhých vln postupujících v obdélníkovém kanálu a o novém typu dlouhých stacionárních vln // Filosofický časopis . - 1895. - Sv. 39 . - str. 422-443 .

Literatura

Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov S. P. Integrovatelné systémy. I. - Dynamické systémy - 4, Itogi Nauki i Tekhniki. - M. : VINITI, 1985. - T. 4. - S. 179-284. - (Moderní problémy matematiky. Základní směry).
Zakharov V. E., Manakov S. V., Novikov S. P., Pitaevskii L. P. Teorie solitonů: metoda inverzního problému. - 1980. - 319 s.
Korteweg-de Vries rovnice - článek encyklopedie fyziky
J. Whitham. 13.11. Korteweg-de Vriesova a Boussinesqova rovnice // Lineární a nelineární vlny . - Mir, 1977. - S. 443-448. — 622 s.
Newell A. Solitons v matematice a fyzice. - 1989. - 326 s.

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata