Čtyřúhelník

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. července 2022; kontroly vyžadují 74 úprav .

ČTYŘHRANNÍKY
┌─────────────┼─────────────────┐
jednoduché nekonvexní	konvexní	sebeprotínající se

Čtyřúhelník je geometrický obrazec ( mnohoúhelník ) skládající se ze čtyř bodů (vrcholů), z nichž žádné tři neleží na stejné přímce, a čtyř segmentů (stran) spojujících tyto body v sérii. Existují konvexní a nekonvexní čtyřúhelníky, nekonvexní čtyřúhelník může být samoprotínající (viz obr.). Čtyřúhelník bez vlastních průniků se nazývá jednoduchý , často pod pojmem „čtyřúhelník“ rozumíme pouze jednoduché čtyřúhelníky [1] .

Typy čtyřúhelníků

Čtyřúhelníky s rovnoběžnými protilehlými stranami

Deltoid je čtyřúhelník, jehož čtyři strany lze seskupit do dvou párů stejných sousedních stran.
Čtverec je čtyřúhelník, ve kterém jsou všechny úhly pravé a všechny strany jsou stejné;
Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou stejné a rovnoběžné ve dvojicích ;
Obdélník - čtyřúhelník, ve kterém jsou všechny úhly pravé;
Kosočtverec je čtyřúhelník, ve kterém jsou všechny strany stejné;
Kosodélník je rovnoběžník , ve kterém mají sousední strany různé délky a úhly nejsou správné.
Lichoběžník je čtyřúhelník se dvěma protilehlými stranami rovnoběžnými;

Čtyřúhelníky s antiparalelními protilehlými stranami

Antiparalelogram nebo kontraparalelogram je plochý nekonvexní (samoprotínající se) čtyřúhelník , ve kterém jsou každé dvě opačné strany stejné, ale ne rovnoběžné, na rozdíl od rovnoběžníku .
Rovnoramenný lichoběžník nebo rovnoramenný lichoběžník .
Vepsaný čtyřúhelník nebo vepsaný čtyřúhelník je čtyřúhelník, jehož vrcholy leží na stejné kružnici. Je to také čtyřúhelník s antiparalelními protilehlými stranami.

Čtyřúhelníky s kolmými sousedními stranami

Čtyřúhelníky s kolmými úhlopříčkami

Deltoidní
Náměstí
Ortodiagonální nebo ortodiagonální čtyřúhelník je čtyřúhelník , ve kterém se úhlopříčky protínají v pravých úhlech .
Kosočtverec

Čtyřúhelníky s rovnoběžnými úhlopříčkami

Antiparalelogram

Čtyřúhelníky se stejnými protilehlými stranami

Antiparalelogram
Náměstí
Rovnoběžník
Obdélník
Kosočtverec
Kosodélník
* Rovnoramenný lichoběžník nebo rovnoramenný lichoběžník .

v budoucnu to nebudete potřebovat.

Čtyřúhelníky se stejnými úhlopříčkami

Náměstí
Rovnocenný nebo ekvidiagonální čtyřúhelník je konvexní čtyřúhelník , jehož dvě úhlopříčky jsou stejně dlouhé.
Obdélník
Rovnoramenný lichoběžník nebo rovnoramenný lichoběžník .

Čtyřúhelníky vepsané kolem kruhu

Opsaný nebo opsaný čtyřúhelník je konvexní čtyřúhelník, jehož strany jsou tečné k jedné kružnici uvnitř čtyřúhelníku.

Plná čtyřdílná

Ačkoli takové jméno může být ekvivalentní čtyřúhelníku, často se mu přikládá další význam. Čtyři přímky, z nichž žádné dvě nejsou rovnoběžné a žádné tři z nich neprocházejí stejným bodem, se nazývá úplný čtyřúhelník . Taková konfigurace se nachází v některých prohlášeních euklidovské geometrie (například Menelaova věta , Newton-Gaussova čára , Auberova čára , Miquelova věta atd.), ve kterých jsou všechny čáry často zaměnitelné.

Součet úhlů

Součet úhlů čtyřúhelníku bez vlastních průniků je 360°.

\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=(4-2)\cdot 180^{\circ }=2\cdot 180^{\circ }=360^{\ circ}

Metrické poměry

Čtyřúhelníková nerovnost

Modul rozdílu libovolných dvou stran čtyřúhelníku nepřesahuje součet ostatních dvou stran.

\left|ab\right|\leq c+d

Ekvivalentně: v žádném čtyřúhelníku (včetně degenerovaného) není součet délek jeho tří stran menší než délka čtvrté strany, to znamená:

a\leq b+c+d

;

b\leq a+c+d

;

c\leq a+b+d

;

d\leq a+b+c

Rovnosti ve čtyřboké nerovnosti je dosaženo pouze tehdy, je-li degenerovaná , to znamená, že všechny čtyři její vrcholy leží na stejné přímce.

Ptolemaiova nerovnost

Pro strany a úhlopříčky konvexního čtyřúhelníku platí Ptolemaiova nerovnost : $abeceda$ $e,f$

|e|\cdot |f|\leq |a|\cdot |c|+|b|\cdot |d|,

navíc rovnosti je dosaženo právě tehdy, když je konvexní čtyřúhelník vepsán do kruhu nebo jeho vrcholy leží na jedné přímce.

Vztahy mezi stranami a úhlopříčkami čtyřúhelníku

Šest vzdáleností mezi čtyřmi libovolnými body roviny, braných ve dvojicích, souvisí vztahem:

a^{2}c^{2}\left(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2}\right )+b^{2}d^{2}\left(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2} \vpravo)+

+e^{2}f^{2}\left(a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}\ right)=(abe)^{2}+(bcf)^{2}+(cde)^{2}+(daf)^{2}

Tento poměr lze reprezentovat jako determinant :

\left|{\begin{matrix}0&a^{2}&e^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&f^{2}&1\\e^{2} &b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&f^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{matrix}}\right|=0

Tento determinant, až do faktoru 288, je vyjádřením druhé mocniny objemu čtyřstěnu v podmínkách délek jeho hran pomocí Cayley-Mengerova determinantu . Leží-li vrcholy čtyřstěnu ve stejné rovině, pak má nulový objem a přechází ve čtyřúhelník. Délky hran budou délky stran nebo úhlopříček čtyřúhelníku.

Bretschneiderovy vztahy

Bretschneiderovy vztahy jsou poměrem mezi stranami a, b, c, d a protilehlými úhly a úhlopříčkami e, f jednoduchého (neprotínajícího se) čtyřúhelníku: $\úhel A,\úhel C$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\úhel A+\úhel C)

e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\úhel A+\úhel C}{2))

e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\úhel A+\úhel C}{2))

Speciální přímky čtyřúhelníku

Střední čáry čtyřúhelníku

Nechť G, I, H, J jsou středy stran konvexního čtyřúhelníku ABCD a E, F jsou středy jeho úhlopříček. Nazvěme tři segmenty GH, IJ, EF, respektive první, druhou a třetí střední čáru čtyřúhelníku . První dva z nich se také nazývají bimediány [2] .

Věty o středních osách čtyřúhelníku

Zobecněný Newtonův teorém . Všechny tři střední čáry čtyřúhelníku se protínají v jednom bodě (v těžišti vrcholů („těžiště vrcholu“) čtyřúhelníku) a protínají jej.
Středy E a F dvou úhlopříček, stejně jako těžiště vrcholů K konvexního čtyřúhelníku, leží na stejné přímce EF . Tato přímka se nazývá Newtonova přímka .
Všimněte si, že Newton-Gaussova čára se shoduje s Newtonovou přímkou , protože obě procházejí středy úhlopříček.
Varignonova věta :
- Čtyřúhelníky GIHJ, EHFG, JEIF jsou rovnoběžníky a nazývají se Varignonovy rovnoběžníky . První z nich budeme nazývat velký rovnoběžník Varignon
- Středy těchto tří Varignonových rovnoběžníků jsou průsečíky jejich dvojic úhlopříček.
- Středy všech tří Varignonových rovnoběžníků leží ve stejném bodě - uprostřed segmentu spojujícího středy stran původního čtyřúhelníku (ve stejném bodě segmenty spojující středy protilehlých stran - úhlopříčky Varignonského rovnoběžníku ) protínají.
- Obvod velkého Varignonova rovnoběžníku se rovná součtu úhlopříček původního čtyřúhelníku. $GIHJ$
- Plocha velkého Varignonova rovnoběžníku se rovná polovině plochy původního čtyřúhelníku , tj. $GIHJ$ $ABCD$ $S_{GIHJ}={\frac {1}{2}}S_{ABCD}$ .
- Plocha původního čtyřúhelníku se rovná součinu první a druhé střední čáry čtyřúhelníku a sinu úhlu mezi nimi, tj. $ABCD$ $GH$ $IJ$ $\phi$ $S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi$ .
- Součet čtverců tří středních čar čtyřúhelníku se rovná čtvrtině součtu čtverců všech jeho stran a úhlopříček: $GH^{2}+IJ^{2}+EF^{2}={\frac {1}{4}}(AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{ 2}+BD^{2}+AC^{2})$ .
Eulerův vzorec : čtyřnásobek čtverce vzdálenosti mezi středy úhlopříček se rovná součtu čtverců stran čtyřúhelníku mínus součtu čtverců jeho úhlopříček.
Matematicky pro obrázek vpravo nahoře s šedým čtyřúhelníkem ABCD je Eulerův vzorec zapsán takto: $(2EF)^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}-BD^{2}-AC^{2}$ .

Newtonova čára

Pokud ve čtyřúhelníku nejsou dva páry protilehlých stran rovnoběžné, pak dva středy jeho úhlopříček leží na přímce, která prochází středem úsečky spojující dva průsečíky těchto dvou párů protilehlých stran (body jsou znázorněny na červená na obrázku). Tato přímka se nazývá Newtonova přímka (na obrázku je znázorněna zeleně). V tomto případě je Newtonova čára vždy kolmá na Auberovu čáru .
Body ležící na Newtonově přímce splňují Anninu větu .

Ortopolární čáry orthopolů trojic vrcholů čtyřúhelníku

Pokud je dána pevná přímka ℓ a je vybrán kterýkoli ze tří vrcholů čtyřúhelníku , pak všechny orthopóly dané přímky ℓ vzhledem ke všem takovým trojúhelníkům leží na stejné přímce. Tato přímka se nazývá ortopolární přímka pro danou přímku ℓ vzhledem ke čtyřúhelníku [3] $ABCD$ $ABCD$

Speciální body čtyřúhelníku

Těžiště čtyřúhelníku

Čtyři úsečky, z nichž každý spojuje vrchol čtyřúhelníku s těžištěm trojúhelníku tvořeného zbývajícími třemi vrcholy, se protínají v těžišti čtyřúhelníku a rozdělují jej v poměru 3:1, počítáno od vrcholů.
Viz také vlastnosti těžiště čtyřúhelníku.

Ponceletův bod čtyřúhelníku

Uvnitř čtyřúhelníku je bod Poncelet (viz odstavec "Kružnice devíti bodů trojúhelníku uvnitř čtyřúhelníku").

Miquelův bodový čtyřúhelník

Uvnitř čtyřúhelníku je Miquelův bod .

Kružnice devíti bodových trojúhelníků uvnitř čtyřúhelníku

V libovolném konvexním čtyřúhelníku se kružnice devíti bodů trojúhelníků , na které je rozdělen dvěma úhlopříčkami, protínají v jednom bodě - v bodě Poncelet [4] . $abeceda$ $ABC,BCD,CDA,DAB$

Speciální případy čtyřúhelníků

Vepsané čtyřúhelníky

Říká se, že pokud lze kružnici opsat blízko čtyřúhelníku , pak je čtyřúhelník vepsán do této kružnice a naopak.
Zejména čtyřúhelníky vepsané do kruhu jsou: obdélník , čtverec , rovnoramenný nebo rovnoramenný lichoběžník , antiparalelogram .
Věty pro vepsané čtyřúhelníky :
- Dvě Ptolemaiovy věty . Pro jednoduchý (neprotínající se) čtyřúhelník vepsaný do kruhu, který má délky dvojic protilehlých stran: a a c , b a d , jakož i délky úhlopříček e a f , platí následující:

1) První Ptolemaiova věta

ef=ac+bd

; 2) Druhá Ptolemaiova věta

${\frac {e}{f}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{a\cdot b+c\cdot d}}).$ V posledním vzorci leží dvojice sousedních stran čitatele a , d , b a c svými konci na diagonále délky e . Podobné tvrzení platí pro jmenovatele.

3) Vzorce pro délky úhlopříček (důsledky první a druhé Ptolemaiovy věty )

{\displaystyle e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd))))

{\displaystyle f={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc))))

- Mongeova věta o ortocentru vepsaného čtyřúhelníku. 4 úsečky (4 antimedatrisy [5] ) vedené ze středů 4 stran vepsaného čtyřúhelníku kolmo k protilehlým stranám se protínají v ortocentru H tohoto čtyřúhelníku [6] [7] .
- Věta o nápisu v kruhu dvojice diagonálních trojúhelníků . Je-li do nějaké kružnice vepsán konvexní čtyřúhelník, pak je do stejné kružnice vepsána i dvojice trojúhelníků, na které je čtyřúhelník rozdělen libovolnou svou úhlopříčkou (spojení s kružnicemi trojúhelníku).
- Věta o čtyřech mediatricích . Z posledního tvrzení vyplývá: jestliže se tři ze čtyř prostřednic (neboli středních kolmiček ) nakreslených ke stranám konvexního čtyřúhelníku protínají v jednom bodě, pak se ve stejném bodě protíná i prostřednice jeho čtvrté strany. Navíc je takový čtyřúhelník vepsán do určité kružnice, jejíž střed je v průsečíku naznačených mediatrií [8] .

- Věty o čtyřech diagonálních trojúhelníkech a jejich kružnicích vepsaných [9] . Pokud nakreslíme úhlopříčku ve čtyřúhelníku vepsaném do kruhu a vepíšeme dvě kružnice do výsledných dvou trojúhelníků, pak proveďte totéž nakreslením druhé úhlopříčky, pak středy čtyř vytvořených kružnic jsou vrcholy obdélníku (tj . , leží na stejném kruhu). Tato věta se nazývá Japonská věta. (viz obr.). Navíc ortocentra čtyř zde popsaných trojúhelníků jsou vrcholy čtyřúhelníku podobného původnímu čtyřúhelníku ABCD (tedy také leží na jiné kružnici, protože vrcholy původního vepsaného čtyřúhelníku leží na nějaké kružnici). Nakonec těžiště těchto čtyř trojúhelníků leží na třetí kružnici [10] .
- Věta o čtyřech průmětech vrcholů vepsaného čtyřúhelníku na jeho úhlopříčku [11] . Dovolit být vepsaný čtyřúhelník, být základna kolmice klesla z vrcholu na úhlopříčku ; body jsou definovány podobně . Potom body leží na stejné kružnici. $abeceda$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$
- Brocardova věta . Střed kružnice opsané kolem čtyřúhelníku je průsečíkem výšek trojúhelníku s vrcholy v průsečíku úhlopříček a v průsečících protilehlých stran.

Kritéria pro vepsané čtyřúhelníky :
- První kritérium pro zapsání čtyřúhelníku . Kružnici lze opsat kolem čtyřúhelníku právě tehdy, když součet protilehlých úhlů je 180°, tedy:

\angle A+\úhel C=\úhel B+\úhel D=180^{\circ }

- Druhé kritérium pro čtyřúhelník, který má být vepsán . Kruhu lze opsat kolem čtyřúhelníku tehdy a jen tehdy, je-li některý pár jeho protilehlých stran antiparalelní .

- Třetí kritérium pro zapsání čtyřúhelníku . Konvexní čtyřúhelník (viz obrázek vpravo) tvořený čtyřmi danými Miquelovými úsečkami je vepsán do kruhu právě tehdy, když Miquelův bod M čtyřúhelníku leží na čáře spojující dva ze šesti průsečíků úseček (těch, které nejsou vrcholy čtyřúhelníku). To znamená, když M leží na EF .
- Přímka, antiparalelní ke straně trojúhelníku a protínající jej, z něj odřízne čtyřúhelník, kolem kterého lze vždy opsat kružnici.
- Čtvrté kritérium pro zapsání čtyřúhelníku . Podmínka, za níž spojením dvou trojúhelníků s jednou stejnou stranou vznikne čtyřúhelník vepsaný do kruhu [12] . Takže dva trojúhelníky s trojnásobnými délkami stran (a, b, f) a (c, d, f), pokud se spojí podél společné strany o délce rovné f, dávají jako výsledek čtyřúhelník vepsaný do kruhu s posloupností stran ( a , b , c , d ), podmínka [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd))).

- Poslední podmínka dává výraz pro úhlopříčku f čtyřúhelníku vepsaného do kružnice z hlediska délek jeho čtyř stran ( a , b , c , d ). Tento vzorec bezprostředně následuje při vynásobení a vzájemném zrovnoprávnění levé a pravé části vzorců vyjadřujících podstatu první a druhé Ptolemaiovy věty (viz výše).

Plocha čtyřúhelníku vepsaného do kruhu :
- Plocha čtyřúhelníku vepsaného do kruhu podle Brahmaguptovy vzorce je [14] :

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))),

kde p je semiperimetr čtyřúhelníku.

- Poslední vzorec vyplývá z obecného vzorce (1) v rámečku v odstavci „Plocha“, pokud bere v úvahu, že $2\theta =\úhel A+\úhel C=\úhel B+\úhel D=180^{\circ }$
- Poslední vzorec je zobecněním Heronova vzorce pro případ čtyřúhelníku.
- Brahmaguptův vzorec pro oblast čtyřúhelníku vepsaného do kruhu lze napsat pomocí determinantu [8] :

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))))$

Poloměr kružnice opsané čtyřúhelníku:

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(pa)(pb)(pc)(pd)}} }$

Vepsané čtyřúhelníky s kolmými úhlopříčkami

Brahmaguptův teorém . Pro vepsané pravoúhlé čtyřúhelníky platí Brahmaguptova věta : Pokud má vepsaný čtyřúhelník kolmé úhlopříčky protínající se v bodě , pak bodem $M$ procházejí dvě dvojice jeho antimediatrices . $M$
Poznámka . V této větě je antimediatrix [15] chápána jako úsečka čtyřúhelníku na obrázku vpravo (analogicky s odvěsnou (meditrix) ke straně trojúhelníku). Je kolmá k jedné straně a současně prochází středem protilehlé strany čtyřúhelníku. $FE$
Věta o kružnici osmi bodů pravoúhlého čtyřúhelníku . Existuje známá věta: Jsou-li úhlopříčky ve čtyřúhelníku kolmé, pak osm bodů leží na jedné kružnici ( kruh osmi bodů čtyřúhelníku ): středy stran a průměty středů stran na protilehlé strany [16] . Z této věty az Brahmaguptovy věty vyplývá, že konce dvou dvojic antimediatricí (osmi bodů) vepsaného pravoúhlého čtyřúhelníku leží na stejné kružnici ( kruh osmi bodů čtyřúhelníku ).
Částečné vepsané ortodiagonální čtyřúhelníky . Soukromé vepsané ortodiagonální čtyřúhelníky vepsané do kruhu jsou čtverec , deltoid s párem kolmých protilehlých úhlů, rovnostranný ortodiagonální lichoběžník a další.

Popsané čtyřúhelníky

Říká se, že pokud lze do čtyřúhelníku vepsat kruh , pak je čtyřúhelník opsán kolem tohoto kruhu a naopak.
Některé (ale ne všechny) čtyřúhelníky mají kružnici vepsanou. Říká se jim opsané čtyřúhelníky .
- Jednotlivé čtyřúhelníky opsané kolem kruhu jsou: kosočtverec , čtverec , deltoid .
Kritéria pro popis čtyřúhelníků :
- Mezi vlastnostmi popsaných čtyřúhelníků je nejdůležitější, že součty protilehlých stran jsou stejné. Toto tvrzení se nazývá Pitotova věta .
- Jinými slovy, konvexní čtyřúhelník je opsán kolem kruhu právě tehdy, když se součty délek protilehlých stran rovnají, to znamená: . $AB+CD=BC+AD$

Věty pro opsané čtyřúhelníky :
- Věta o dvou stejných stranách úhlu tečného ke kružnici . Tečné body vepsané kružnice se čtyřúhelníkem odříznou stejné segmenty z rohů čtyřúhelníku.
- Věta o pokračování dvou dvojic protilehlých stran čtyřúhelníku . Není-li konvexní čtyřúhelník ani lichoběžník , ani rovnoběžník a je opsán kolem nějaké kružnice, pak je kolem stejné kružnice opsána dvojice trojúhelníků, které získáme pokračováním dvou dvojic protilehlých stran, dokud se neprotnou (spojení s kruhy trojúhelníku).
- Věta o čtyřech osách . Z posledního tvrzení vyplývá: jestliže se tři ze čtyř os (neboli os) nakreslených pro vnitřní úhly konvexního čtyřúhelníku protínají v jednom bodě, pak se ve stejném bodě protíná i os jeho čtvrtého vnitřního úhlu. Navíc je takový čtyřúhelník popsán kolem určité kružnice, jejíž střed je v průsečíku naznačených os [17] .
- Newtonova věta . Pokud je čtyřúhelník vepsán kolem kruhu, pak střed jeho vepsané kružnice leží na Newtonově přímce . Přesnější vyjádření je níže.
- Newtonova věta . V každém opsaném čtyřúhelníku leží dva středy úhlopříček a střed vepsané kružnice na stejné přímce. Na něm leží střed segmentu s konci v průsečíkech pokračování protilehlých stran čtyřúhelníku (pokud nejsou rovnoběžné). Tato čára se nazývá Newtonova čára . Na obrázku (druhá skupina obrázků shora) je zelená, úhlopříčky jsou červené, úsečka s konci v průsečíkech pokračování protilehlých stran čtyřúhelníku je také červená.
- Brocardova věta . Střed kružnice opsané kolem čtyřúhelníku je průsečíkem výšek trojúhelníku s vrcholy v průsečíku úhlopříček a v průsečících protilehlých stran.

Plocha opsaného čtyřúhelníku
- Podmínka znamená, že . $AB+CD=BC+AD$ $a+c=b+d$

Představujeme koncept semiperimetru p , máme . Proto také máme . Dále si můžete všimnout: Proto, podle vzorce (1), v rámečku v odstavci "Plocha" máme $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $pa=c;pb=d;pc=a;pd=b.$ $(pa)(pb)(pc)(pd)=abcd.$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }}=

$={\sqrt {abcd-abcd\cos ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd}}\sin \theta .$

- Protože čtyřúhelník je popsán, jeho plocha je také rovna polovině obvodu p krát poloměr r vepsané kružnice: . $S=pr$

Čtyřúhelníky vepsané-opsané

Opsané čtyřúhelníky jsou čtyřúhelníky, které mohou být jak opsané kolem nějaké kružnice, tak i vepsané do nějaké kružnice. Jiné názvy pro ně jsou bicentrické čtyřúhelníky, čtyřúhelníky tětivově-tečné nebo čtyřúhelníky se dvěma kruhy.
Soukromé opsané čtyřúhelníky jsou čtverec a kosodélník s párem stejných protilehlých úhlů 90 stupňů.

Vlastnosti

Kritéria pro současný zápis a opsání čtyřúhelníku
- Kterákoli ze dvou níže uvedených podmínek, braná samostatně, je nezbytnou , ale ne postačující podmínkou pro to, aby byl daný konvexní čtyřúhelník vepsán-opsán pro některé kružnice:

AB+CD=BC+AD

a .

\angle A+\úhel C=\úhel B+\úhel D=180^{\circ }

- Splnění posledních dvou podmínek současně pro nějaký konvexní čtyřúhelník je nutné a postačující, aby tento čtyřúhelník mohl být vepsán-opsán .

Věty pro vepsané čtyřúhelníky

- Fussova věta. Pro poloměry R a r opsané a vepsané kružnice daného čtyřúhelníku a vzdálenost x mezi středy a těchto kružnic (viz obr.) je splněn vztah, který představuje čtyřúhelníkovou analogii Eulerovy věty (tam je podobný Eulerův vzorec pro trojúhelník) [18] [19] [20 ] : $já$ $Ó$

{\frac {1}{(R+x)^{2}}}+{\frac {1}{(Rx)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}}

nebo

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

nebo

{\displaystyle x^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

nebo

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))}.

- Věta . Následující tři podmínky pro opsaný čtyřúhelník se týkají bodů, ve kterých je kružnice vepsaná do tečného čtyřúhelníku tečnou ke stranám. Je-li kružnice tečnou ke stranám AB , BC , CD , DA v bodech W , X , Y , Z, pak je tečný čtyřúhelník ABCD také opsán tehdy a jen tehdy, je-li splněna některá z následujících tří podmínek (viz. obrázek): [21]
- WY kolmé na XZ
- ${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
- ${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$ .
- Ponceletova věta . Pro opsaný čtyřúhelník platí Ponceletova věta .

Plocha vepsaného opsaného čtyřúhelníku

- Pokud je čtyřúhelník vepsán i popsán, pak podle vzorce (1) v rámečku v odstavci „Plocha“ máme: . $S={\sqrt {abcd))$
- Poslední vzorec se získá z plošného vzorce z předchozího odstavce pro opsaný čtyřúhelník , za předpokladu, že (pro vepsaný čtyřúhelník ). $S={\sqrt {abcd}}\sin \theta$ $\theta =90^{\circ };\sin 90^{0}=1$ $2\theta =~\úhel A+\úhel C=\úhel B+\úhel D=180^{\circ }$
- Protože je čtyřúhelník opsaný, jeho plocha je rovněž rovna polovině jeho obvodu p krát poloměr r kružnice vepsané: . $S=pr$
- Další vzorec pro oblast vepsaného opsaného čtyřúhelníku:

S={\frac {p^{2}}{\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}+\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}+\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}+\jméno operátora {tg} {\frac {D}{2}}}}

Rozdělení stran tečného čtyřúhelníku body dotyku s kružnicí

Osm "délek tečny" ("e", "f", "g", "h" na obrázku vpravo) tečného čtyřúhelníku jsou úsečky od vrcholu k bodům, kde se kružnice dotýká stran. Z každého vrcholu jsou dvě tečny ke kružnici stejné délky (viz obrázek).
Označme také dvě „tečné tětivy“ („k“ a „l“ na obrázku) tečného čtyřúhelníku – to jsou úsečky, které spojují body na protilehlých stranách, kde se kružnice těchto stran dotýká. Jsou to také úhlopříčky „kontaktního čtyřúhelníku“, který má vrcholy v bodech dotyku čtyřúhelníku s kružnicí. $abeceda$

Potom je plocha opsaného čtyřúhelníku [21] :str.128

S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h),

stejně jako

S=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Pokud se kromě dvou tětiv pro tečny k a l a úhlopříčky p a q zavedou další dva bimediány m a n konvexního čtyřúhelníku jako segmenty přímek spojujících středy protilehlých stran, pak plocha vepsaného -opsaný čtyřúhelník bude roven [22]

S=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

S={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2))}.

Neopsané čtyřúhelníky

Neopsaný čtyřúhelník pro kružnici

Neopsaný čtyřúhelník je konvexní čtyřúhelník, jehož prodloužení všech čtyř stran je tečnou ke kružnici (mimo čtyřúhelník) [23] . Kruh se nazývá excircle . Střed kružnice leží v průsečíku šesti os.
Kružnice neexistuje pro každý čtyřúhelník. Pokud se protilehlé strany konvexního čtyřúhelníku ABCD protínají v bodech E a F , pak podmínkou pro jeho nepopis je jedna z následujících dvou podmínek:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Neopsaný čtyřúhelník pro parabolu

Parabola , popsaná pro čtyřúhelník . Taková parabola existuje pro libovolný konvexní čtyřúhelník a dotýká se všech 4 stran daného čtyřúhelníku (čtyřúhelníku) nebo jejich prodloužení. Jeho přímka se shoduje s Auber-Steinerovou linií [24] .

Čtyřúhelníky s kolmými prvky

Níže jsou odstavce pro čtyřúhelníky s kolmými dvojicemi prvků: se 2 kolmými stranami a se 2 kolmými úhlopříčkami.
Tyto čtyřúhelníky se zvrhnou v pravoúhlý trojúhelník , pokud délka jedné požadované strany (z jejich 4 stran), ležící blízko pravého úhlu nebo spočívající svými konci na tomto úhlu, má tendenci k nule.

Čtyřúhelníky s kolmými stranami

Čtyřúhelníky s kolmými protilehlými stranami

Dvě protilehlé strany čtyřúhelníku jsou kolmé právě tehdy, když se součet čtverců ostatních dvou protilehlých stran rovná součtu čtverců úhlopříček.
Je-li součet úhlů na jedné ze základen lichoběžníku 90°, pak se prodloužení bočních (protilehlých) stran protínají v pravých úhlech a segment spojující středy základen je roven polovičnímu rozdílu základny.

Čtyřúhelníky se 2 páry kolmých sousedních stran

Pokud má konvexní čtyřúhelník dva páry sousedních stran, které jsou kolmé (to znamená, že dva protilehlé úhly jsou pravé), pak tento čtyřúhelník může být vepsán do nějaké kružnice. Kromě toho bude průměr této kružnice úhlopříčka, na které spočívají na jednom konci označené dva páry sousedních stran.
Soukromé čtyřúhelníky s kolmými stranami jsou: obdélník , čtverec a obdélníkový lichoběžník .

Čtyřúhelníky se 3 kolmými sousedními stranami

Pokud má konvexní čtyřúhelník 3 sousední strany kolmé (tj. 2 vnitřní úhly jsou pravé), pak je tento čtyřúhelník obdélníkový lichoběžník .

Čtyřúhelníky s kolmými úhlopříčkami

Čtyřúhelníky s kolmými úhlopříčkami se nazývají ortodiagonální čtyřúhelníky.
Úhlopříčky čtyřúhelníku jsou kolmé právě tehdy, když se součty čtverců protilehlých stran rovnají.
Plocha ortodiagonálního čtyřúhelníku se rovná polovině součinu jeho úhlopříček: . $S={\frac {1}{2}}ef$
Středové čáry čtyřúhelníku jsou si rovny právě tehdy, když se součty čtverců jeho protilehlých stran rovnají.
Antimediatrix čtyřúhelníku je úsečka, která vychází ze středu jedné z jeho stran a je kolmá na opačnou stranu.
Brahmaguptův teorém . Má-li čtyřúhelník kolmé úhlopříčky a lze jej vepsat do nějaké kružnice, pak se jeho čtyři antimediatrice protínají v jednom bodě. Navíc tento průsečík antimediatris je průsečíkem jeho diagonál.
Pokud má čtyřúhelník kolmé úhlopříčky a lze jej vepsat do nějaké kružnice, pak se čtyřnásobný čtverec jeho poloměru R rovná součtu čtverců libovolné dvojice jeho protilehlých stran: $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}.$
Pokud má čtyřúhelník kolmé úhlopříčky a lze jej opsat kolem určité kružnice, pak jsou součiny dvou párů protilehlých stran stejné: $ac=bd.$
Varignonův rovnoběžník s vrcholy ve středních bodech stran ortodiagonálního čtyřúhelníku je obdélník .
Pokud jsou úhlopříčky ve čtyřúhelníku kolmé, pak na jedné kružnici ( kružnice osmi bodů čtyřúhelníku ) leží osm bodů: středy stran a průměty středů stran na protilehlé strany [16] .
Jednotlivé ortodiagonální čtyřúhelníky jsou: kosočtverec , čtverec , deltoid .
Jestliže má konvexní čtyřúhelník kolmé úhlopříčky, pak středy jeho čtyř stran jsou vrcholy obdélníku (důsledek Varignonovy věty ). Opak je také pravdou. Kromě toho jsou úhlopříčky obdélníku stejné. Proto jsou úhlopříčky konvexního čtyřúhelníku kolmé právě tehdy, když jsou délky jeho dvou bimediánů (délky dvou segmentů spojujících středy protilehlých stran) stejné [25] .
Tabulka porovnání vlastností opsaného a ortodiagonálního čtyřúhelníku:

Jejich metrické vlastnosti jsou velmi podobné (viz tabulka) [25] . Zde jsou vyznačeny: a , b , c , d - délky jejich stran R 1 , R 2 , R 3 , R 4 a poloměry kružnic opsaných těmito stranami a průsečíkem úhlopříček , h 1 , h 2 , h 3 , h 4 jsou výšky spouštěné na ně z průsečíku úhlopříček .

opsaný čtyřúhelník	ortodiagonální čtyřúhelník
$a+c=b+d$	$a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 }{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Navíc pro střednice na stranách pravoúhlého čtyřúhelníku, sníženého z průsečíku úhlopříček , platí: . ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$

Jakýkoli ortodiagonální čtyřúhelník může být vepsán nekonečně mnoha obdélníky, které patří do následujících dvou sad:

i) obdélníky, jejichž strany jsou rovnoběžné s úhlopříčkami pravoúhlého čtyřúhelníku (ii) obdélníky definované Pascalovými [26] [27] [28] bodovými kružnicemi .

Vlastnosti úhlopříček některých čtyřúhelníků

Následující tabulka ukazuje, zda úhlopříčky některých nejzákladnějších čtyřúhelníků mají v průsečíku půlení, zda jsou úhlopříčky kolmé , zda jsou délky úhlopříček stejné a zda půlí úhly [29] . Seznam se týká nejobecnějších případů a vyčerpává jmenované podmnožiny čtyřúhelníků.

Čtyřúhelník	Rozdělení úhlopříček na polovinu v jejich průsečíku	Kolmost úhlopříček	Rovnost délek úhlopříček	Půlení rohů úhlopříčkami
Trapéz	Ne	Viz poznámka 1	Ne	Ne
Rovnoramenný lichoběžník	Ne	Viz poznámka 1	Ano	Alespoň dva protilehlé rohy
Rovnoběžník	Ano	Ne	Ne	Ne
Deltoidní	Viz poznámka 2	Ano	Viz poznámka 2	Viz poznámka 2
Obdélník	Ano	Ne	Ano	Ne
Kosočtverec	Ano	Ano	Ne	Ano
Náměstí	Ano	Ano	Ano	Ano

Poznámka 1: Nejběžnější lichoběžníky a rovnoramenné lichoběžníky nemají kolmé úhlopříčky, ale existuje nekonečný počet (nepodobných) lichoběžníků a rovnoramenných lichoběžníků, které mají kolmé úhlopříčky a nejsou jako jakýkoli jiný pojmenovaný čtyřúhelník .
Poznámka 2: V deltoidu jedna úhlopříčka půlí druhou. Další úhlopříčka půlí jeho protilehlé rohy. Nejběžnější deltoid má nestejné úhlopříčky, ale existuje nekonečný počet (nepodobných) deltoidů, jejichž úhlopříčky jsou stejně dlouhé (a deltoidy nejsou žádným jiným pojmenovaným čtyřúhelníkem) .

Symetrie čtyřúhelníků

Na Obr. jsou zobrazeny některé symetrické čtyřúhelníky, jejich přechod do sebe a také jejich duály. Označení na obr.:

Kite (had) - deltoid (kosočtverec)
Rovnoběžník - rovnoběžník
Nepravidelný čtyřúhelník - nepravidelný čtyřúhelník
Rhombus - kosočtverec
Obdélník - obdélník
Čtverec - čtverec
Gyrational Square - rotující náměstí
Rovnoramenný lichoběžník - rovnoramenný lichoběžník

Oblast

Plocha libovolného neprotínajícího se konvexního čtyřúhelníku s úhlopříčkami a úhel mezi nimi (nebo jejich prodloužení) se rovná: $S$ $d_{1}$ $d_{2}$ $\alpha$

$S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \alpha }{2))$

Plocha libovolného konvexního čtyřúhelníku se rovná součinu první a druhé střední čáry čtyřúhelníku a sinu úhlu mezi nimi, tj. $GH$ $IJ$ $\phi$

S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi

Poznámka . První a druhá střední čára čtyřúhelníku jsou segmenty spojující středy jeho protilehlých stran.

Plocha libovolného konvexního čtyřúhelníku je [14] :

16S^{2}=4d_{1}^{2}d_{2}^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\ správně)^{2}

, kde , jsou délky úhlopříček; a, b, c, d jsou délky stran.

d_{1}

d_{2}

Plocha libovolného konvexního čtyřúhelníku je také rovna

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$ (jeden)

kde p je půlobvod a je poloviční součet protilehlých úhlů čtyřúhelníku (Nezáleží na tom, kterou dvojici protilehlých úhlů vzít, protože pokud je poloviční součet jedné dvojice protilehlých úhlů roven , pak poloviční součet ostatních dvou úhlů bude a ). Z tohoto vzorce pro vepsané čtyřúhelníky vyplývá Brahmaguptův vzorec . $\theta ={\frac {\úhel A+\úhel C}{2))$ $\theta$ $180^{\circ }-\theta$ $\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta$

Plochu libovolného konvexního čtyřúhelníku podle vzorce (1) v rámečku výše, s přihlédnutím k jednomu z Bretschneiderových vztahů (viz výše), lze zapsat jako:

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}((ef)^{2}-(ac+bd)^{2)))))=$ $={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}(ef+ac+bd)(ef-ac-bd)))$ kde p je semiperimetr, e a f jsou úhlopříčky čtyřúhelníku.

Plocha libovolného neprotínajícího se čtyřúhelníku, daná v rovině souřadnicemi jeho vrcholů v pořadí průchodu, se rovná: $S$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$

$S={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{1}-x_{2})(y_{1}+y_{2})+(x_{2}-x_ {3})(y_{2}+y_{3})+(x_{3}-x_{4})(y_{3}+y_{4})+(x_{4}-x_{1}) (y_{4}+y_{1}){\big |}$

Historie

Ve starověku používali Egypťané a některé další národy k určení plochy čtyřúhelníku nesprávný vzorec - součin polovičních součtů jeho protilehlých stran a, b, c, d [30] :

S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}

Pro nepravoúhlé čtyřúhelníky tento vzorec udává nadhodnocenou plochu. Lze předpokládat, že sloužil pouze k určení výměry téměř obdélníkových pozemků. Při nepřesných měřeních stran obdélníku vám tento vzorec umožňuje zlepšit přesnost výsledku zprůměrováním původních měření.

Viz také

Polygony

Podle počtu stran

Monogon
Bigon
Trojúhelník
Čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmiúhelník
Osmiúhelník
Pentagon
Decagon
Hendecagon
dvanáctiúhelník
Třináct
čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmnáct
osmiúhelník
Devatenáctiúhelník
dvanáctiúhelník
jednadvacetistranný
Dvacet dva úhlů
Twentytrigon
Dvacet čtyřúhelníkové
Dvacet pětiúhelník
Dvacet osmiúhelník
Trojúhelník
Thirty-Biagon
čtyřicet čtverečních
Čtyřicet dvouúhelník
letniční
letniční
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ en
Millagon
Deset tisíc gon
Stotisícina
Miliogon
nekonečno

opravit

konvexní	Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
hvězdicový	Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram

trojúhelníky

Čtyřúhelníky

viz také

Poznámky

↑ Jakov Ponarin . Elementární geometrie. 1. díl: Planimetrie, rovinné transformace . — Litry, 2018-07-11. - S. 52. - 312 s.
↑ EW Weisstein. bimediální . MathWorld – webový zdroj Wolfram. (neurčitý)
↑ Steve Phelps. Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA
↑ Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , str. 118, úkol 9.
↑ Pro definici antimedatris viz Glosář planimetrie
↑ Pozoruhodné body a čáry čtyřúhelníků// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Mongeův teorém// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ 1 2 Starikov, 2014 , str. 38, pravý sloupec, bod 7.
↑ Ayeme , str. 6, Př. 8, Obr. 13.
↑ Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyklické čtyřkolky , Poklady matematické olympiády , Springer, str. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
↑ Ayeme , str. 5, Př. 7, Obr. 11, důsledek.
↑ Viz podsekce "Úhlopříčky" článku " Vepsaný čtyřúhelník "
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. co., 2007
↑ 1 2 Ponarin , str. 74.
↑ Starikov, 2014 , str. 7-39.
↑ 1 2 Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , str. 118, úkol 11.
↑ Starikov, 2014 , str. 39, levý sloupec, poslední odstavec.
↑ Dorrie, Heinrich. 100 velkých problémů elementární matematiky : jejich historie a řešení . - New York: Dover, 1965. - S. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
↑ Yiu, Paul, Euclidean Geometry , [1] (odkaz není k dispozici) , 1998, pp. 158-164.
↑ Salazar, Juan Carlos (2006), Fussova věta, Mathematical Gazette vol . 90 (červenec): 306–307 .
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2010), Characterizations of Bicentric Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol . 10: 165–173 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf > .
↑ Josefsson, Martin (2011), Oblast bicentrického čtyřúhelníku , Forum Geometricorum vol . 11: 155–164 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf > .
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , str. 33-52.
↑ Junko HIRAKAWA. Některé věty o ortopole. Tohoku Mathematical Journal, první řada. 1933 sv. 36. S. 253, Lemma I// https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/cs
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2012), Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol . 12: 13–25 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf > .
↑ David, Fraivert (2019), Sada obdélníků vepsaných do pravoúhlého čtyřúhelníku a definovaných Pascal-Points Circles , Journal for Geometry and Graphics Vol . 23: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > .
↑ David, Fraivert (2017), Vlastnosti kružnice Pascalových bodů ve čtyřúhelníku s kolmými úhlopříčkami , Forum Geometricorum vol . 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf >
↑ Freivert, D. M. (2019), Nové téma v euklidovské geometrii v rovině: Teorie „pascalových bodů“ tvořených kružnicí na stranách čtyřúhelníku , Matematické vzdělávání: Stav umění a perspektivy: Sborník mezinárodních Vědecká konference , < https://libr.msu.by/handle/123456789/9675 >
↑ Jennifer Kahle, Geometrie: Základní myšlenky. Geometrie: Základní myšlenky [2] , přístup 28. prosince 2012.
↑ G. G. Zeiten Dějiny matematiky ve starověku a ve středověku, GTTI, M-L, 1932.

Literatura

Boltyansky V. , Čtyřúhelníky . Kvant , č. 9, 1974.
Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M . : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .
Starikov V. N. Geometry research // Sborník publikací vědeckého časopisu Globus na základě materiálů V. mezinárodní vědecko-praktické konference "Achievements and problems of modern science", Petrohrad: sborník článků (standardní úroveň, akadem. úroveň) // Vědecký časopis Globus . - S-P., 2016.
Starikov V. N. Notes on Geometry// Vědecké vyhledávání: humanitní a socioekonomické vědy: sborník vědeckých prací / Ch. vyd. Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Vydání. 1 .
Matematika v úlohách. Sborník materiálů z polních škol moskevského týmu pro Všeruskou matematickou olympiádu / Edited by A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov and A. V. Shapovalov .. - Moskva: MTsNMO, 2009 - ISBN 94057-5- 477-4 .
Jean-Louis Ayeme. Feurbachova věta. Nový syntetický čistě důkaz. (nedostupný odkaz) . Získáno 2. října 2016. Archivováno z originálu 13. listopadu 2013. (Ruština) Poněkud rozšířený překlad - „O Archimedově problému“
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimír Kadum. Podmínka, že tečný čtyřúhelník je zároveň tětivovým // Mathematical Communications. - 2007. - Vydání. 12 .
D. Fraivert, A. Sigler a M. Stupel. Společné vlastnosti lichoběžníků a konvexních čtyřúhelníků // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 38 . — S. 49–71. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121635 .