Matrix (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. prosince 2021; kontroly vyžadují 16 úprav .

Matice je matematický objekt napsaný jako obdélníková tabulka prvků kruhu nebo pole (například celá čísla , reálná nebo komplexní čísla), což je soubor řádků a sloupců , na jejichž průsečíku se nacházejí jeho prvky. Počet řádků a sloupců určuje velikost matice. Ačkoli se historicky uvažovalo například o trojúhelníkových maticích [1] , v současnosti se hovoří výhradně o pravoúhlých maticích, neboť jsou nejpohodlnější a nejobecnější.

Matice jsou široce používány v matematice pro kompaktní reprezentaci systémů lineárních algebraických nebo diferenciálních rovnic. V tomto případě počet řádků matice odpovídá počtu rovnic a počet sloupců odpovídá počtu neznámých. V důsledku toho se řešení soustav lineárních rovnic redukuje na operace s maticemi.

Pro matici jsou definovány následující algebraické operace :

přidání matic se stejnou velikostí ;
násobení matic vhodné velikosti (matici se sloupci lze násobit vpravo maticí s řádky) ; $n$ $n$
včetně násobení matice sloupcovým vektorem a násobení řádkového vektoru maticí (podle obvyklého pravidla násobení matic; vektor je v tomto smyslu speciálním případem matice) ;
násobení matice prvkem podkladového prstence nebo pole (tedy skalárem ) .

S ohledem na sčítání, matice tvoří abelian skupinu ; pokud uvažujeme i násobení skalárem, pak matice tvoří modul nad odpovídajícím prstencem ( vektorový prostor nad polem). Množina čtvercových matic je uzavřena při násobení matic, takže čtvercové matice stejné velikosti tvoří asociativní kruh s jednotou při sčítání matic a násobení matic.

Je dokázáno, že každý lineární operátor působící v -rozměrném lineárním prostoru může být spojen s jedinečnou čtvercovou maticí řádu ; a naopak - každá matice čtvercového řádu může být spojena s jedinečným lineárním operátorem působícím v tomto prostoru. [2] Vlastnosti matice odpovídají vlastnostem lineárního operátoru. Konkrétně, vlastní hodnoty matice jsou vlastní hodnoty operátoru odpovídající odpovídajícím vlastním vektorům . $n$ $n$ $n$

Totéž lze říci o reprezentaci bilineárních (kvadratických) forem maticemi .

V matematice se uvažuje o mnoha různých typech a typech matic . Takovými jsou například jednotkové , symetrické , šikmo symetrické , horní trojúhelníkové (dolní trojúhelníkové) atd. matice.

V teorii matic mají zvláštní význam všechny druhy normálních forem , tj. kanonická forma, na kterou lze matici redukovat změnou souřadnic. Nejdůležitější (v teoretickém smyslu) a propracovaná je teorie Jordanových normálních forem . V praxi se však používají normální formy, které mají další vlastnosti, jako je stabilita.

Historie

Poprvé byly matrice zmíněny ve starověké Číně, tehdy nazývané " magický čtverec ". Hlavní aplikací matic bylo řešení lineárních rovnic [3] . Také magické čtverce byly mezi arabskými matematiky známy o něco později, přibližně v té době se objevil princip sčítání matic. Po rozvinutí teorie determinantů na konci 17. století začal Gabriel Cramer rozvíjet svou teorii v 18. století a v roce 1751 publikoval Cramerovo pravidlo . Přibližně ve stejném časovém období se objevila „ Gaussova metoda “. Teorie matic začala svou existenci v polovině 19. století v dílech Williama Hamiltona a Arthura Cayleyho . Základní výsledky v teorii matic jsou díky Weierstrassovi , Jordanovi , Frobeniusovi . Termín „matrix“ zavedl James Sylvester v roce 1850 [4]

Úvod

Matice přirozeně vznikají při řešení soustav lineárních rovnic , stejně jako při zvažování lineárních transformací .

Soustavy lineárních rovnic

Uvažujme soustavu lineárních rovnic ve tvaru:

\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{ případy}

Tento systém se skládá z lineárních rovnic o neznámých. Lze ji zapsat jako následující maticovou rovnici: $m$ $n$

sekera = b

kde

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ; \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}

Matice je matice koeficientů systému lineárních rovnic, sloupcový vektor je vektor neznámých a sloupcový vektor je nějaký daný vektor. $A$ $X$ $b$

Aby systém měl řešení (alespoň jedno), je nutné a postačující , aby vektor byl lineární kombinací sloupců a vektorem pak byl vektor obsahující koeficienty expanze vektoru přes sloupce matice . $b$ $A$ $X$ $b$ $A$

V řeči matic je podmínka řešitelnosti soustavy lineárních rovnic formulována jako Kronecker-Capelliho věta :

hodnost matice se rovná hodnosti rozšířené matice ,

A

[A|b]

složený ze sloupů a sloupu . $A$ $b$

Důležitý speciální případ . Pokud se počet rovnic shoduje s počtem neznámých ( , to znamená, že matice je čtvercová), pak je podmínka jedinečné řešitelnosti ekvivalentní podmínce, aby matice byla invertibilní . $m=n$ $A$ $A$

(Pozn. Řešitelnost systému ještě neznamená nedegeneraci matice. Příklad: .) $0x=0$

Zejména, pokud je matice invertibilní, pak řešení systému může být zapsáno (a pokud je vypočteno , pak nalezeno) ve tvaru $A$ $A^{{-1}}$

x = A^{-1}b

To vede k algoritmu pro výpočet hodnot neznámých podle Cramerova pravidla .

Lineární transformace

Zvažte lineární transformaci z -rozměrného vektorového prostoru na -rozměrný vektorový prostor , který má následující tvar: $\mathcal{A}\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $\mathbb {R} ^{m}$

\left\{\begin{array}{rcl}y_1&=&a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n\\ y_2&=&a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n\\ & \cdots & \\ y_m&=&a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n\\ \end{array}\vpravo.

V maticovém tvaru se jedná o transformaci rovnice ve tvaru:

y=ax

Matrix je matice lineárních transformačních koeficientů. $A$

Uvažujeme-li působení lineární transformace na vektory tvaru $\mathcal{A}$

e_j=(0,\tečky,0,1_j,0,\tečky,0)^T,\quad j=\overline{1,n}

tvoří základ prostoru , pak - toto je -tý sloupec matice . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathcal{A}\mathbf{e}_j$ $j$ $A$

Matice tedy kompletně popisuje lineární transformaci , a proto se nazývá lineární transformační matice . $A$ $\mathcal{A}$

Definice

Obdélníková matice

Nechť existují dvě konečné množiny:

čísla řádků: ; $M=\{1,2,\tečky,m\}$

čísla sloupců: , kde a jsou přirozená čísla . $N=\{1,2,\tečky,n\}$ $m$ $n$

Nazvěme matici velikosti (čtěte dále ) ( - řádky , - sloupce ) s prvky z nějakého kruhu nebo pole zobrazením tvaru . Matice je zapsána jako $A$ $m\krát n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $\mathcal{K}$ $A\dvojtečka M\krát N\to\mathcal{K}$

{\textstyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &a_{ij}&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},}

kde prvek matice je v průsečíku -tého řádku a -tého sloupce . $a_{ij}=a(i,j)$ $i$ $j$

$i$ -tý řádek matice ${\textstyle A(i,)={\begin{pmatrix}a_{{i1}}&a_{{i2}}&\cdots &a_{{in}}\end{pmatrix}};}$
$j$ -tý sloupec matice ${\textstyle A(,j)={\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix)).}$

V tomto případě je počet prvků matice roven . $m\cdot n$

Podle tohoto

každý řádek matice může být interpretován jako vektor v- rozměrném souřadnicovém prostoru ; $n$ $\mathcal{K}^{n}$
každý sloupec matice je jako vektor v dimenzionálním souřadnicovém prostoru . $m$ $\mathcal{K}^{m}$

Matice samotná je přirozeně interpretována jako vektor v prostoru dimenze . To umožňuje zavést komponentu po komponentě sčítání matic a násobení matice číslem (viz níže); pokud jde o násobení matice , spoléhá se silně na pravoúhlou strukturu matice. $\mathcal{K}^{mn}$ $mn$

Čtvercová matice

Pokud má matice stejný počet řádků jako počet sloupců , pak se taková matice nazývá čtvercová a číslo se nazývá velikost čtvercové matice nebo její pořadí . $m$ $n$ $m=n$

Řádkový vektor a sloupcový vektor

Matice velikosti a jsou prvky prostorů , resp. $m\krát 1$ $1\krát n$ $\mathcal{K}^{m}$ $\mathcal{K}^{n}$

matice velikosti se nazývá sloupcový vektor a má speciální zápis: $m\krát 1$

\mathrm{dvojtečka}\,(a_1,\tečky,a_i,\tečky,a_m) =\left( \begin{array}{c}a_1 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_m \end{ pole} \right) =(a_1,\tečky,a_i,\tečky,a_m)^{T};

matice velikosti se nazývá řádkový vektor a má speciální zápis: $1\krát n$

\mathrm{řádek}\,(a_1,\tečky,a_i,\tečky,a_n)=(a_1,\tečky,a_i,\tečky,a_n);

Elementární maticové transformace

Následující transformace se nazývají elementární transformace řádků matice:

Vynásobením řetězce nenulovým číslem,
Přidání jednoho řádku do druhého řádku
Přeuspořádání dvou řádků.

Elementární transformace maticových sloupců jsou definovány obdobně.

Pořadí matice

Řádky a sloupce matice jsou prvky odpovídajících vektorových prostorů:

sloupce matice tvoří prvky rozměrového prostoru ; $A$ $m$
řádky matice tvoří prvky kótovacího prostoru . $A$ $n$

Hodnost matice je počet lineárně nezávislých sloupců matice ( hodnota sloupců matice) nebo počet lineárně nezávislých řádků matice (řada řádků matice ). Ekvivalentní této definici je definice hodnosti matice jako řád maximální nenulové minority matice.

Při elementárních transformacích se hodnost matice nemění.

Notace

Matice se obvykle označuje velkým písmenem latinské abecedy: let

A\colon M\times N\to {\mathcal {K)),

pak je matice, která je interpretována jako pravoúhlé pole prvků pole ve tvaru , kde $A$ $\mathcal{K}$ $a_{ij}=A(i,j)$

první index znamená index řádku: ; $i=\overline{1,m}$
druhý index znamená index sloupce: ; $j=\overline{1,n}$

tedy je prvek matice umístěný na průsečíku -tého řádku a -tého sloupce. V souladu s tím je přijat následující kompaktní zápis pro matici velikosti : $a_{{ij}}$ $A$ $i$ $j$ $m\krát n$

A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n},

nebo jednoduše

A=(a_{ij}),

pokud potřebujete pouze specifikovat označení prvků matice.

Někdy místo , píší , aby oddělili indexy od sebe a předešli záměně se součinem dvou čísel. $a_{{ij}}$ $a_{i,j}$

Pokud je nutné podat podrobné znázornění matice ve formě tabulky, použijte záznam formuláře

\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn } \end{pmatrix},\quad\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right],\quad\left\|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j } & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \ vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right\|

Najdete jak označení se závorkami "(...)", tak označení s hranatými závorkami "[...]". Méně obvyklé jsou symboly s dvojitými rovnými čarami „||…||“).

Protože se matice skládá z řádků a sloupců, používá se pro ně následující zápis:

a_{i\cdot}=A_i=[ \begin{array}{cccc} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \end{array}]

je tý řádek matice ,

i

A

a_{\cdot j}=A^j=\left[ \begin{array}{c} a_{1j}\\\vdots \\a_{ij} \\\vdots \\a_{mj} \\ \end {pole}\vpravo]

je tý sloupec matice .

j

A

Matice má tedy dvojí zobrazení - řádky:

A=[ \begin{array}{ccccc} A^{1} & \cdots & A^{j} & \cdots & A^{n} \\ \end{array}]

a podle sloupců:

A=\left[ \begin{array}{c} A_{1}\\\vdots \\A_{i} \\\vdots \\A_{m} \\ \end{array}\right]

Tato reprezentace umožňuje formulovat vlastnosti matic z hlediska řádků nebo z hlediska sloupců.

Transponovaná matice

Pro každou velikostní matici $A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix}i={\overline {1,m}}\\j={\overline {1,n}}\end{smallmatrix}} ={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\ konec{pmatrix}}$ $m\krát n$

lze sestavit matici velikosti , $B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix}j={\overline {1,n}}\\i={\overline {1,m}}\end{smallmatrix}} ={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\ konec{pmatrix}}$ $n\krát m$

který má pro všechny a . ${\displaystyle b_{j,i}=a_{i,j))$ $i=\overline{1,m}$ $j=\overline{1,n}$

Taková matice se nazývá transponovaná matice pro a označuje se , $A$ $A^{T}$

někdy (pokud neexistuje možnost záměny s diferenciací ) je označeno , $A'$

někdy (pokud neexistuje možnost záměny s hermitovskou konjugací ) se označuje . $A^{*}$

Při transpozici se řádky (sloupce) matic stanou sloupci (respektive řádky) matice . $A$ $A^{T}$

Samozřejmě . $(A^{T})^{T}=A$

Pro matrices over a ring , transpozice je izomorfismus moduli matrices , protože $\mathcal{K}$ $\mathcal{K}$

(A+B)^T=A^T+B^T

(\lambda \cdot A)^{T}=\lambda \cdot (A^{T})

, pro jakýkoli .

\lambda \in {\mathcal {K}}

Diagonální matice

Diagonální matice – čtvercová matice, jejíž všechny prvky kromě diagonálních jsou nulové , někdy se zapisuje jako: $(i \neq j: a_{ij} = 0)$

\mathrm{diag}(a_1, a_2, \tečky, a_n).

Jiné maticové diagonály

Kromě hlavní úhlopříčky se někdy berou v úvahu maticové prvky, které jsou přímo nad diagonálními prvky. Tyto prvky tvoří naddiagonálu matice. Prvky bezprostředně pod diagonálou tvoří subdiagonální matici (viz bidiagonální matice ).

Prvky umístěné v místech tvoří boční úhlopříčku (viz např. typy Side diagonal nebo Matrix ). ${\displaystyle a_{1,n},a_{2,n-1},\tečky ,a_{n,1))$

Identifikační matice

Matice identity je matice, po vynásobení, kterou jakákoli matice (nebo vektor) zůstává nezměněna, je diagonální matice s identitními (všemi) diagonálními prvky:

\mathrm{diag}(1, 1, \tečky, 1).

Pro jeho označení se nejčastěji používá označení I nebo E , stejně jako jednoduše 1 (nebo 1 ve speciálním fontu).

K označení jeho prvků se také používá symbol Kronecker , definovaný jako: $\delta _{{ij}}$

\delta_{ii} = 1

\delta_{ij} = 0

i \neq j.

Nulová matice

Pro označení nulové matice - matice, jejíž všechny prvky jsou nulové (když je přidána do jakékoli matice, zůstává nezměněna a po vynásobení jakoukoli maticí se získá nulová matice) - obvykle je jednoduše 0 nebo 0 používá se speciálním písmem nebo písmenem podobným nule, například . $\Theta$

Maticové operace

Sčítání matice

Můžete přidat pouze matice stejné velikosti.

Sčítání matice je operace nalezení matice , jejíž všechny prvky se rovnají párovému součtu všech odpovídajících prvků matic , to znamená, že každý prvek matice je roven $A+B$ $C$ $A$ $B$ $C$

\ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Vlastnosti sčítání matice:

komutativnost : ; $A+B=B+A$
asociativita : ; $(A+B)+C=A+(B+C)$
sčítání s nulovou maticí: ; $A+\theta =\theta +A=A$
existence opačné matice: ; $A+(-A)=\theta$

Všechny vlastnosti lineárních operací opakují axiomy lineárního prostoru , a proto platí následující věta:

Množina všech matic stejné velikosti s prvky z pole (pole všech reálných nebo komplexních čísel ) tvoří lineární prostor nad polem (každá taková matice je vektorem tohoto prostoru). Především proto, aby se předešlo terminologickému zmatku, se matice vyhýbají v běžných kontextech bez nutnosti (což v nejběžnějších standardních aplikacích není) a jasné specifikace použití termínu pro volání vektorů. $m\krát n$ $P$ $P$

Násobení matice číslem

Vynásobením matice číslem vznikne matice . $A$ $\lambda \in \mathcal{K}$ $\lambda A = ( \lambda a_{ij} )$

Vlastnosti násobení matic číslem:

násobení jednou: ; $1\cdot A=A\cdot 1=A$
asociativita : ; $(\lambda \beta )A=\lambda (\beta A)$
distributivita: ; $(\lambda +\beta )A=\lambda A+\beta A$
distributivita: ; $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

Maticové násobení

Násobení matice (zápis:, zřídka se znaménkem násobení) je operace výpočtu matice, jejíž každý prvek se rovná součtu součinů prvků v odpovídajícím řádku prvního faktoru a sloupci druhého. $AB$ $A\krát B$ $C$

{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj))

Počet sloupců v matici musí odpovídat počtu řádků v matici , jinými slovy, matice musí být konzistentní s maticí . Pokud má matice rozměr , - , pak rozměr jejich produktu je . $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $m\krát n$ $B$ $n \krát k$ $AB=C$ $m \čas k$

Vlastnosti násobení matic:

asociativita : ; $(AB)C=A(BC)$
nekomutativnost (obecně): ; $AB\neq BA$
součin je komutativní v případě násobení s maticí identity: ; $AI=IA=A$
distributivita : , $(A+B)C=AC+BC$

$A(B+C)=AB+AC$ ;

asociativita a komutativnost vzhledem k násobení číslem: . $(\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda (AB)$

Násobení vektoru maticí

Podle obvyklých pravidel násobení matic se sloupcový vektor násobí maticí, která se zapisuje nalevo od něj, a řádkový vektor se násobí maticí, která se zapisuje napravo od něj. Protože prvky sloupcového vektoru nebo řádkového vektoru lze zapsat (což se obvykle provádí) pomocí jednoho indexu namísto dvou, lze toto násobení zapsat jako:

pro sloupcový vektor (získání nového sloupcového vektoru ): $proti$ $Av$

(Av)_{i} = \sum^n_{k=1} a_{ik} v_{k},

pro řádkový vektor (získání nového řádkového vektoru ): $s$ $sA$

(sA)_{i} = \sum^n_{k=1} s_k a_{ki}.

Řádkový vektor, matici a sloupcový vektor lze vzájemně vynásobit, čímž získáte číslo (skalární):

sAv = \sum\limits_{k,i} s_k a_{ki} v_i.

(Pořadí je důležité: řádkový vektor je vlevo, sloupcový je vpravo od matice).

Tyto operace jsou základem maticové reprezentace lineárních operátorů a lineárních souřadnicových transformací (změna bází), jako jsou rotace, měřítka, zrcadlové odrazy a také (poslední) maticová reprezentace bilineárních (kvadratických) forem.

Při reprezentaci vektoru reálného vektorového prostoru na ortonormální bázi (což je ekvivalentní použití pravoúhlých kartézských souřadnic) se sloupcový vektor a řádkový vektor, které jsou sadou vektorových složek, shodují (prvek po prvku), liší se pouze formálně svým obrazem pro správnost maticových operací (pak se jedna získá od druhé jednoduše transpoziční operací). Při použití neortonormálních základen (například šikmé souřadnice nebo alespoň různá měřítka podél os) sloupcový vektor odpovídá složkám vektoru v hlavní bázi a řádkový vektor odpovídá základu duální k hlavní bázi. [5] (Někdy se o prostoru řádkových vektorů mluví také jako o speciálním, duálním prostoru sloupcových vektorů, prostoru covektorů ).

Všimněte si, že obvyklou motivací pro zavádění matic a definování operace násobení matic (viz také v článku o násobení matic ) je právě jejich zavedení, počínaje násobením vektoru maticí (která se zavádí na základě transformací báze nebo obecně lineární operace s vektory) a teprve poté se porovnává složení transformací se součinem matic. Skutečně, jestliže nový vektor Av , získaný z původního vektoru v transformací reprezentovanou násobením maticí A , je nyní transformován znovu transformací reprezentovanou násobením maticí B , čímž se získá B(Av) , pak na základě pravidla pro násobení vektoru maticí uvedenou na začátku této části (pomocí asociativity násobení čísel a obrácením pořadí sčítání) je snadné vidět výsledný vzorec udávající prvky matice (BA) představující složení první a druhé transformace a shodující se s obvyklou definicí násobení matic.

Komplexní konjugace

Pokud jsou prvky matice komplexní čísla, pak se matice komplexně sdružené (nezaměňovat s hermitovskou sdruženou ! Viz níže) rovná . Zde je komplexní konjugát . $A=(a_{ij})$ $\bar A = (\bar a_{i,j} )$ ${\bar {a}}$ $A$

Transpozice a hermitovská konjugace

Transpozice již byla diskutována výše: if , then . Pro komplexní matice je běžnější hermitovská konjugace : . Z hlediska operátorového pohledu na matice jsou transponovaná a hermitovská konjugovaná matice maticemi operátorového konjugátu vzhledem ke skalárnímu , respektive hermitovskému součinu. $A=(a_{ij})$ $A^T = (a_{ji})$ $A^* = \bar A^T$

Nezletilí

Další

Pro čtvercovou matici se součet diagonálních prvků (tj. hlavních minoritních prvků prvního řádu) nazývá stopa : $A$

\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}a_{ii} = a_{11}+ \ldots +a_{nn}

(jiná označení , , ). $\mathrm{trace}$ $\mathrm{Sp}$ $\mathrm{Spur}$

Vlastnosti:

Jestliže a jsou definovány , pak . $AB$ $BA$ $\mathrm{Tr} (AB) = \mathrm{Tr} (BA)$
Stopa je invariantem transformací podobnosti matice , tj. pokud je nedegenerovaný, pak . $S$ $\mathrm{Tr} A = \mathrm{Tr} (S^{-1}AS)$
Stopa je rovna součtu (všech, s přihlédnutím k násobnosti) vlastních čísel matice: . Navíc pro jakékoli celé (kladné) číslo , . $\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}\lambda_{i} = \lambda_{1}+ \ldots +\lambda_{n}$ $k$ $\mathrm{Tr} (A^{k}) = \sum\limits_{i}\lambda_{i}^{k} = \lambda_{1}^{k}+ \ldots +\lambda_{n}^{ k}$

Determinant (determinant)

Nechť je matice čtvercová, pak označení determinantu: . Pokud je matice pak $A$ $\Delta =\det A$ $2\times 2$ ${\displaystyle \Delta =\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21))$

Trvalé

Související pojmy

Lineární kombinace

Ve vektorovém prostoru je lineární kombinace vektorů vektorem $\mathbf{x}_1,\tečky,\mathbf{x}_n$

\mathbf{x}=a_1\mathbf{x}_1+\dots+a_n\mathbf{x}_n,

kde jsou expanzní koeficienty: $a_1,\tečky,a_n$

pokud jsou všechny koeficienty rovny nule, pak se taková kombinace nazývá triviální ,
pokud se alespoň jeden koeficient liší od nuly, pak se taková kombinace nazývá netriviální .

To umožňuje popsat součin matic a členů lineárních kombinací: $C=AB$ $A$ $B$

maticové sloupce jsou lineární kombinace maticových sloupců s koeficienty převzatými z matice ; $C$ $A$ $B$
maticové řádky jsou lineární kombinace maticových řádků s koeficienty převzatými z matice . $C$ $B$ $A$

Lineární závislost

Pokud lze libovolný vektor znázornit jako lineární kombinaci, pak se hovoří o lineární závislosti tohoto vektoru na prvcích kombinace.

Přesněji říkají toto: určitá množina prvků vektorového prostoru se nazývá lineárně závislá , pokud existuje lineární kombinace prvků této množiny rovna nule resp.

\mathbf{0}=a_1\mathbf{x_1}+\dots+a_n\mathbf{x_n},

kde ne všechna čísla jsou rovna nule; pokud taková netriviální kombinace neexistuje, pak se daný soubor vektorů nazývá lineárně nezávislý . $a_1,\tečky,a_n$

Lineární závislost vektorů znamená, že některý vektor dané množiny je lineárně vyjádřen přes zbytek vektorů.

Každá matice je sbírka vektorů (ze stejného prostoru). Dvě takové matice jsou dvě množiny. Pokud je každý vektor jedné množiny lineárně vyjádřen pomocí vektorů jiné množiny, pak v jazyce teorie matic je tato skutečnost popsána pomocí součinu matic:

pokud jsou řádky matice lineárně závislé na řádcích matice , pak pro nějakou matici ; $C$ $B$ $C=AB$ $A$
pokud jsou sloupce matice lineárně závislé na sloupcích jiné matice , pak pro nějakou matici . $C$ $A$ $C=AB$ $B$

Vlastnosti

Maticové operace

Sčítání a odčítání je povoleno pouze pro matice stejné velikosti.

Existuje nulová matice taková, že její přidání k jiné matici A nezmění A, tzn. $\Theta$

A + \Theta = A

Všechny prvky nulové matice jsou rovny nule.

Pouze čtvercové matice mohou být umocněny .

Asociativnost sčítání: $A + (B + C) = (A + B) + C.$
Komutativnost sčítání: $A + B = B + A.$
Asociativita násobení: $A(BC) = (AB)C.$
Obecně řečeno, maticové násobení je nekomutativní : . Pomocí této vlastnosti je zaveden maticový komutátor . $AB \ne BA$
Distributivita násobení s ohledem na sčítání: $A(B + C) = AB + AC;$ $(B + C) A = BA + CA.$
Vzhledem k výše uvedeným vlastnostem tvoří matice kruh s ohledem na operace sčítání a násobení.
Vlastnosti operace transpozice matice: $(A^T)^T=A$ $(AB)^T=B^TA^T$ $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ pokud inverzní matice existuje. $A^{{-1}}$ $(A+B)^T=A^T+B^T$ $\text{det}\; A=\text{det}\; A^T$

Příklady

Čtvercová matice a související definice

Pokud se počet řádků matice rovná počtu sloupců, pak se taková matice nazývá čtvercová .

Pro čtvercové matice existuje matice identity (analogická k jednotě pro operaci násobení čísel ), takže vynásobení jakékoli matice touto maticí neovlivní výsledek, jmenovitě $E$

EA=AE=A

Identitní matice má jednotky pouze podél hlavní diagonály, zbytek prvků je roven nule

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end {pmatrix}

Pro některé čtvercové matice lze nalézt tzv. inverzní matici . Inverzní matice je taková, že pokud je matice vynásobena její inverzní maticí, získá se matice identity: $A^{{-1}}$

AA^{- 1} = E

Inverzní matice vždy neexistuje. Matice, pro které existuje inverzní matice, se nazývají nedegenerované (nebo regulární) a pro které neexistuje - degenerované (nebo singulární ). Matice je nedegenerovaná, pokud jsou všechny její řádky (sloupce) lineárně nezávislé jako vektory . Maximální počet lineárně nezávislých řádků (sloupců) se nazývá hodnost matice. Determinant (determinant) matice je hodnota normalizované šikmo symetrické (antisymetrické) multilineární valenční formy na sloupcích matice. Čtvercová matice nad číselným polem je degenerovaná právě tehdy, když je její determinant nulový. $(p;\;0)$

Matrix kroužek

Z výše uvedených vlastností sčítání a násobení matic (asociativita a komutivita sčítání, distributivita násobení, existence matice, která je navíc nulová a opačná) vyplývá, že n x n čtvercových matic s prvky z libovolného kruhu R tvoří a kruh izomorfní s endomorfním kruhem volného modulu R n . Tento prsten je označen nebo . Jestliže R je komutativní kruh , je také asociativní algebra přes R . Determinant matice s prvky z komutativního kruhu lze vypočítat pomocí obvyklého vzorce a matice bude invertibilní právě tehdy, když je její determinant invertovatelný v R . To zobecňuje situaci s maticemi s prvky z pole , protože jakýkoli prvek kromě nuly je v poli invertibilní. $M(n,R)$ $M_{n}(R)$ $M(n,R)$

Matice v teorii grup

Matice hrají důležitou roli v teorii grup . Používají se při konstrukci obecných lineárních grup , speciálních lineárních grup , diagonálních grup , trojúhelníkových grup , unittrojúhelníkových grup .

Konečnou grupu (zejména symetrickou) lze (izomorfně) modelovat permutačními maticemi (obsahujícími pouze „0“ a „1“),

například pro : , , , , , . $S_{3}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

Pole komplexních čísel může být (izomorfně) modelováno přes pole reálných čísel: $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}$

pro maticové analogy , , kde ; $z = x + iy , \quad c = a + ib \in \mathbb{C}$ $Z = \begin{pmatrix} x & y\\-y & x \end{pmatrix}$ $C = \begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix}$ $x , y , a , b \in \mathbb{R}$

$z + c = (x + a) + i (y + b)$ zápasy ; $Z + C = \begin{pmatrix} x + a & y + b\\- y - b & x + a\end{pmatrix}$

$zc = (xa - yb) + i (xb + ya)$ zápasy ; $ZC = \begin{pmatrix} xa - yb & xb + ya\\- ya - xb & - yb + xa\end{pmatrix}$

$\bar{z} = x - iy$ zápasy ; $Z^T = \begin{pmatrix} x & -y\\y & x \end{pmatrix}$

$|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=\det(Z)\in \mathbb {R}$ ;

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}$ at odpovídá at ; $z \ne 0$ $Z^{-1}={\frac {Z^{T}}{\det(Z)))$ $\det(Z)\neq 0$

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos(y)+i\,\sin(y))$ korespondence . $e^{x}{\begin{pmatrix}\cos(y)&\sin(y)\\-\sin(y)&\cos(y)\end{pmatrix))$

Zejména pro $E = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}$ $I = \begin{pmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix}$

$z = x + iy \in \mathbb{C}$ odpovídá , $Z = x E + y I$

kde . $I^2=-E$

Komentář. Model má automorfismus , tzn $(já \k -já)$ $Z \to Z^T$

Tělo čtveřice může být (izomorfně) modelováno přes pole reálných čísel: $\mathbb{H}$ $\mathbb{R}$

pro maticový analog , kde . $q=t+ix+jy+kz\in \mathbb {H}$ $Q = \begin{pmatrix} t & x & y & -z\\ -x & t & -z & -y\\ -y & z & t & x\\ z & y & -x & t \end{ pmatrix}$ $t , x , y , z \in \mathbb{R}$

Aby kvaternion odpovídal matici , $q = t + ix + jy + kz$ $Q = tE + x I + y J + z K$

kde , , , , $I^2=J^2=K^2=-E$ $IJ=-JI=K$ $JK=-KJ=I$ $KI=-IK=J$

můžete zadat základní prvky

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ , , , . $I = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\-a & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & b\\0 & 0 & -b & 0\end{pmatrix}$ $J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c & 0\\0 & 0 & 0 & d\\-c & 0 & 0 & 0\\0 & -d & 0 & 0\end{pmatrix}$ $K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & ad\\0 & 0 & -ac & 0\\0 & -bd & 0 & 0\\bc & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Parametry musí splňovat podmínky: a . $a , b , c , d \v \left \{ -1, +1 \vpravo \}$ $abcd=-1$

K dispozici je 8 řešení (8 pohledů).

Viz také

Maticová norma
Maticový determinant
Vlastní vektory, hodnoty a prostory
Pole je datový typ v programování, který odpovídá matici (multidimenzionality je dosaženo vnořenými poli).
Řídké pole je jednou z počítačových forem reprezentace řídkých matic .
Lineární maticové nerovnosti jsou aparátem pro řešení úloh syntézy zákonů řízení.
lambda matrice
Jordan normální forma
Seznam matrik

Poznámky

↑ Trojúhelníkové matice jsou nyní chápány jako matice, jejichž nenulové prvky vyplňují trojúhelníkovou oblast v tabulce matic, zatímco zbývající prvky jsou nuly.
↑ Tento izomorfismus je zcela specifikován volbou báze v lineárním prostoru: pro pevnou bázi je izomorfismus fixní a tím je realizována korespondence matic s operátory jedna ku jedné. To neznamená, že takový izomorfismus je v zásadě jedinečný: v jiné bázi budou stejné lineární operátory odpovídat jiným maticím (také jedna ku jedné, když je tato nová báze pevná).
↑ Berezkina E. I. [libgen.pw/view.php?id=1211718 Matematika staré Číny] / Ed. vyd. B.A. Rosenfeld. - M .: Nauka, 1980. - S. 173-206. - 312 s.
↑ Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Cesty a labyrinty. Eseje o dějinách matematiky: Per. z francouzštiny - M .: Mir, 1986. - S. 397.
↑ Formálně je v této definici vše symetrické a bylo by možné měnit místa „hlavního“ a duálního základu (oba jsou prostě vzájemně duální), ale právě popsaná shoda je akceptována.

Literatura

Bellman R. Úvod do teorie matic . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Birkhoff G. (Garrett Birkhoff), Barty T. (Thomas C. Bartee) Moderní aplikovaná algebra. — M .: Mir, 1976. — 400 s.
Van der Waerden B. L. (BL van der Waerden) Algebra. (2. vyd.) - M. : Nauka, 1979. - 624 s.
Gantmakher F. R. teorie matice. - 5. vyd. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 s. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2. vyd.). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Maticové výpočty. — M .: Mir, 1999. — 548 s. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Kurz vyšší algebry. - 9. vyd. - M .: Nauka, 1968. - 432 s.
Kurosh A. G. Přednášky o obecné algebře. - 2. vyd. - M. : Nauka, 1973. - 400 s.
Lancaster P. (P. Lankaster) Teorie matic / Per. z angličtiny. - 2. vyd. — M .: Nauka, 1982. — 272 s.; 1. vyd. - M .: Nauka, 1973 (djvu) .
Leng S. (Serge Lang) Algebra. — M .: Mir, 1968. — 564 s.
Naimark M. A. Teorie reprezentace skupin. — M .: Nauka, 1976. — 560 s.
NP Sokolov Prostorové matice a jejich aplikace . — M .: GIFML, 1960 (djvu).
Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson) Maticová analýza. — M .: Mir, 1989. — 655 s. — ISBN 5-03-001042-4
Halmos P. Konecnorozměrné vektorové prostory = Konecnorozměrné vektorové prostory. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný