Homogenní mozaika

Jednotný obklad je vrcholově tranzitivní obklad na rovině s pravidelnými polygonálními plochami.

Jednotný obklad může existovat jak na euklidovské rovině , tak na hyperbolické rovině . Jednotné obklady jsou příbuzné konečným jednotným mnohostěnům , které lze považovat za jednotné mozaikování koule .

Nejjednotnější obklady lze získat Wythoffovou konstrukcí symetrie , počínaje jediným generujícím bodem uvnitř základní oblasti . Skupina rovinné symetrie má polygonální základní oblast a může být reprezentována pořadím zrcadel v posloupnosti vrcholů.

Trojúhelníková fundamentální doména má řády zrcadlení ( p q r ) a obdélníková trojúhelníková doména má řády zrcadlení ( p q 2), kde p , q , r jsou celá čísla větší než jedna. Trojúhelník může být sférický trojúhelník , euklidovský trojúhelník nebo trojúhelník v hyperbolické rovině, která závisí na hodnotách p , q a r .

Existuje několik symbolických schémat pro pojmenování výsledných obrazců, počínaje modifikovaným Schläfliho symbolem pro základní oblast ve tvaru pravoúhlého trojúhelníku ( p q 2) → { p , q }. Coxeter-Dynkinův diagram je graf s označenými hranami p , q , r . Pokud r = 2, je graf lineární, protože uzly řádu 2 netvoří žádné odrazy. Znak Wythoff používá 3 celá čísla se svislou čárou (|) mezi nimi. Pokud generující bod není na zrcadle, symbol vrcholu naproti zrcadlu se umístí před svislou čáru.

Nakonec lze obklady popsat z hlediska jejich vrcholové konfigurace , tj. sekvence polygonů kolem každého vrcholu.

Všechny jednotné obklady lze stavět různými operacemi aplikovanými na běžné obklady . Názvy těchto operací dal americký matematik Norman Johnson , jedná se o zkrácení ( zkrácení , oříznutí vrcholů), rektifikace ( úplné zkrácení , oříznutí vrcholů, dokud původní hrany úplně nezmizí) a cantellation ( zkosení , oříznutí hran). Omnitruncation ( truncation ) je operace, která kombinuje zkrácení a zkosení. Snubbing (odříznutí nosů) je operace střídavého zkracování zcela zkrácených forem. ( Podrobné vysvětlení operací naleznete v části Operátoři stavby Wythoff .)

Coxeter skupiny

Coxeterovy skupiny v rovině definují Wythoffovu konstrukci a mohou být reprezentovány Coxeter-Dynkinovými diagramy :

Pro skupiny s celočíselným pořadím:

Orbifold symetry [	Skupina Coxeter			Coxeterův graf	Poznámky
Kompaktní
*333	(3 3 3)		[3 [3] ]		3 zrcadlové tvary, 1 snub
*442	(4 4 2)		[4,4]		5 tvarů zrcadel, 1 nástavec
*632	(6 3 2)		[6,3]		7 tvarů zrcadel, 1 nástavec
*2222	(∞2∞2)	×	[∞,2,∞]		3 zrcadlové tvary, 1 snub
Nekompaktní ( obrubník )
*∞∞	(∞)		[∞]
*22∞	(2 2∞)	×	[∞,2]		2 zrcadlové tvary, 1 snub

Orbifold symetry [	Skupina Coxeter		Coxeterův graf	Poznámky
Kompaktní
*pq2	(pq 2)	[p,q]		2(p+q) < pq
*pqr	(pqr)	[(p,q,r)]		pq+pr+qr < pqr
Paracompact
*∞p2	(p ∞ 2)	[p,∞]		p>=3
*∞pq	(pq∞)	[(p,q,∞)]		p,q>=3, p+q>6
*∞∞str	(p∞∞)	[(p,∞,∞)]		p>=3
*∞∞∞	(∞∞∞)	[(∞,∞,∞)]

Jednotné obklady v euklidovské rovině

Na euklidovské rovině existují grupy symetrie, které jsou získány ze základních trojúhelníků (4 4 2), (6 3 2) a (3 3 3). Každý z nich je reprezentován soustavou přímek (zrcadlení) rozdělujících rovinu na základní trojúhelníky.

Tyto skupiny symetrie vytvářejí 3 pravidelné obklady a 7 polopravidelných obkladů. Počet polopravidelných obkladů se opakuje pro různé konstrukce symetrie.

Prizmatická skupina symetrie, reprezentovaná symbolem (2 2 2 2), je dána dvěma sadami rovnoběžných zrcadel, která obecně mohou mít pravoúhlou základní oblast. Skupina netvoří nové obklady.

Dále, prizmatická skupina symetrie reprezentovaná symbolem (∞ 2 2) má nekonečnou základní doménu. Skupina dává dva jednotné obklady, nekonečně úhlový hranol a nekonečně úhlový antihranol .

Spojením čelních ploch těchto dvou prizmatických obkladů získáme v rovině non-Withoff homogenní obklad. Říká se jí isokurnosny trojúhelníková parketa a skládá se z postupných vrstev čtverců a trojúhelníků.

Pravoúhlý základní trojúhelník ( p q 2)

( p q 2)	Fond. trojúhelníky	Rodič	Zkrácený	Plně zkrácený	Bicut	Plně bicut (duální)	zkosený	Zkrácený	plochý nos
symbol Wythoff		q | p2 _	2 q | p	2 | p q	2p | _ q	p | q2 _	p q | 2	p q 2 |	| p q 2
symbol Schläfli		t { p , q }	t { p , q }	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Coxeterův graf
Vertexová postava		p q	q.2p.2p	(pq) 2	p.2q.2q	qp _	str.4.q.4	4.2p.2q	3.3.p.3.q
Čtvercová mozaika (4 4 2)		{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
Šestihranná mozaika (6 3 2)		{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Obecné základní trojúhelníky (pqr)

symbol Wythoff (pqr)	Fond. trojúhelníky	q | pr	rq | p	r | pq	rp | q	p | qr	pq | r	pqr |	| pqr
Coxeterův graf
Konfigurace vertexu		(pq) r	r.2p.q.2p	(pr) q	q.2r.p.2r	(qr) str	q.2r.p.2r	r.2q.p.2q	3.r.3.q.3.p
Trojúhelníkový (3 3 3)		(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Nesimpliciální základní domény

Jedinou možnou základní doménou v euklidovském prostoru, která není simplexem , je obdélník (∞ 2 ∞ 2) s Coxeterovým diagramem . Z této oblasti se vyrábí pouze čtvercové parkety .

Homogenní obklady v hyperbolické rovině

V hyperbolické rovině je nekonečně mnoho jednotných dlaždic konvexních pravidelných polygonů , z nichž každá je založena na jiné skupině zrcadlové symetrie (pqr).

Zde uvedené příklady jsou uvedeny v projekci disku Poincare .

Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy jsou uvedeny v lineární formě, i když se ve skutečnosti jedná o trojúhelníky, ve kterých je koncový segment r připojen k prvnímu uzlu.

Kromě toho na hyperbolické rovině existují čtyřúhelníkové základní oblasti začínající od (2 2 2 3), které mohou vytvářet nové tvary. Existují také základní oblasti s vrcholy v nekonečnu, jako je (∞ 2 3).

Pravoúhlé základní trojúhelníky ( p q 2)

(pq 2)	Fond. trojúhelníky	Rodič	zkrácený	Plně zkrácený	Bicut	Plně bicut (duální)	zkosený	Zkrácený	plochý nos
symbol Wythoff		q | p2	2 q | p	2 | pq	2p | q	p | q2	pq | 2	pq 2 |	| pq 2
symbol Schläfli		t{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Coxeter-Dynkinův diagram
Vertexová postava		p q	(q.2p.2p)	(pqpq)	(str. 2q.2q)	qp _	(str. 4.q.4)	(4,2p.2q)	(3.3.p. 3.q)
(Hyperbolická rovina) (5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(Hyperbolická rovina) (5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(Hyperbolická rovina) (7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(Hyperbolická rovina) (8 3 2)	V4.6.16	{8,3} ]	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

Základní trojúhelníky (pqr) obecného tvaru

symbol Wythoff (pqr)	Fundam. trojúhelníky	q | pr	rq | p	r | pq	rp | q	p | qr	pq | r	pqr |	| pqr
Coxeter-Dynkinův diagram
Vertexová postava		(pr) q	(r.2p.q.2p)	(pq) r	(q.2r.p. 2r)	(qr) str	(r.2q.p. 2q)	(2p.2q.2r)	(3.r.3.q.3.p)
Hyperbolické (4 3 3)	V6.6.8	(3.4) 3	3.8.3.8	(3.4) 3	3.6.4.6	(3.3) 4	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
Hyperbolické (4 4 3)	V6.8.8	(3.4) 4	3.8.4.8	(4.4) 3	3.6.4.6	(3.4) 4	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
Hyperbolické (4 4 4)	V8.8.8	(4.4) 4	4.8.4.8	(4.4) 4	4.8.4.8	(4.4) 4	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

Rozšířený seznam jednotných obkladů

Existuje několik způsobů, jak rozšířit seznam homogenních mozaik:

1. Vrcholové tvary mohou mít zdegenerované plochy a obtékat vrchol více než jednou.
2. Můžete povolit dlaždice s hvězdicovými polygony .
3. Apeirogony , {∞}, lze použít jako obkladové plochy .
4. Omezení, že se plochy obkladu dotýkají od okraje k okraji, lze upustit, což má za následek další obklady, jako je Pythagorejský obklad .

Trojúhelníky skupiny symetrie s degenerovanými plochami zahrnují:

Mezi trojúhelníky skupiny symetrie s nekonečny patří:

Branko Grünbaum v knize Obklady a vzory z roku 1987 (Mozaiky a vzory) v sekci 12.3 uvádí 25 jednotných obkladů, včetně 11 konvexních a 14 dalších, které nazývá duté obklady . Mezi posledně jmenované jsou zahrnuty první dva výše zmíněné rozšířené obklady, obklady se stelovanými polygonálními plochami a figurami vrcholů.

Harold Coxeter a kol .

Nakonec, pokud počítáme obklady se 2 nekonečny, můžeme napočítat celkem 39 jednotných obkladů.

7 nových dlaždic s plochami {∞} s tvary vrcholů a symboly Wythoff :

1. ∞.∞ (dvě polorovinové plochy, nekonečný dihedron )
2. 4.4.∞ — ∞ 2 | 2 ( nekonečnoúhlý hranol )
3. 3.3.3.∞ - | 2 2 ∞ ( antihranol s nekonečným úhlem )
4. 4.∞.4/3.∞ - 4/3 4 | ∞ (střídané čtvercové parkety)
5. 3.∞.3.∞.3.∞ - 3/2 | 3 ∞ (střídavě trojúhelníkové parkety)
6. 6.∞.6/5.∞ - 6/5 6 | ∞ (střídavé trihexagonální obklady, pouze s šestiúhelníky)
7. ∞.3.∞.3/2 - 3/2 3 | ∞ (střídavé trihexagonální obklady, pouze s trojúhelníky)

Zbývající seznam obsahuje 21 dlaždic se 7 {∞} plochami (nekonečné úhly). Pokud jsou obklady nakresleny jako grafy, zbývá pouze 14 jedinečných obkladů a první je identický s obkladem 3.4.6.4 .

21 mozaik seskupených do společných grafů s vyznačením vrcholu a Wythoffovým symbolem:

Samodvojné obklady

Mozaiky mohou být self-duální . Čtvercová parketa se symbolem Schläfli {4,4} je dvoudílná. Obrázek ukazuje dvě čtvercové parkety (červené a černé) zdvojené k sobě.

Viz také

• symbol Wythoff
• Seznam jednotných obkladů
• Jednotné obklady v hyperbolické rovině
• Jednotný mnohostěn

Poznámky

Literatura

• Norman Johnson Uniform Polytopes , Rukopis (1991)
  • NW Johnson : Teorie jednotných polytopů a voštin , Ph.D. Disertační práce, University of Toronto, 1966
• Grünbaum, Branko , G. C. Shephard. Obklady a vzory  (neurčité) . — W. H. Freeman and Company, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 . (Hvězdné obklady sekce 12.3)
• HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins, JCP Miller, Uniform polyhedra , Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR : [1] (tabulka 8)

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Uniform tessellation  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Uniform Tessellations na Euclidově letadle Archivováno 4. června 2016 na Wayback Machine
• Tessellations of the Plane Archived 24. února 2020 na Wayback Machine
• World of Tessellations Davida Baileyho archivován 2. dubna 2016 na Wayback Machine
• k-jednotné obklady
• n-uniform obklady Archivováno 21. května 2016 na Wayback Machine
• Richard Klitzing, 4D, euklidovské obklady Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine

Základní konvexní pravidelné a jednotné plástve v prostorech dimenzí 2–10

Rodina / / Homogenní mozaika {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Šestihranný Homogenní konvexní plástve {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 jednotná pětirozměrná plástev {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Plástev o 24 buňkách jednotná šestirozměrná plástev {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 jednotná sedmirozměrná plástev {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ jednotná osmirozměrná plástev {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 jednotná devítirozměrná plástev {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Jednotné n -rozměrné plástve {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21