Jednotný obklad je vrcholově tranzitivní obklad na rovině s pravidelnými polygonálními plochami.
Jednotný obklad může existovat jak na euklidovské rovině , tak na hyperbolické rovině . Jednotné obklady jsou příbuzné konečným jednotným mnohostěnům , které lze považovat za jednotné mozaikování koule .
Nejjednotnější obklady lze získat Wythoffovou konstrukcí symetrie , počínaje jediným generujícím bodem uvnitř základní oblasti . Skupina rovinné symetrie má polygonální základní oblast a může být reprezentována pořadím zrcadel v posloupnosti vrcholů.
Trojúhelníková fundamentální doména má řády zrcadlení ( p q r ) a obdélníková trojúhelníková doména má řády zrcadlení ( p q 2), kde p , q , r jsou celá čísla větší než jedna. Trojúhelník může být sférický trojúhelník , euklidovský trojúhelník nebo trojúhelník v hyperbolické rovině, která závisí na hodnotách p , q a r .
Existuje několik symbolických schémat pro pojmenování výsledných obrazců, počínaje modifikovaným Schläfliho symbolem pro základní oblast ve tvaru pravoúhlého trojúhelníku ( p q 2) → { p , q }. Coxeter-Dynkinův diagram je graf s označenými hranami p , q , r . Pokud r = 2, je graf lineární, protože uzly řádu 2 netvoří žádné odrazy. Znak Wythoff používá 3 celá čísla se svislou čárou (|) mezi nimi. Pokud generující bod není na zrcadle, symbol vrcholu naproti zrcadlu se umístí před svislou čáru.
Nakonec lze obklady popsat z hlediska jejich vrcholové konfigurace , tj. sekvence polygonů kolem každého vrcholu.
Všechny jednotné obklady lze stavět různými operacemi aplikovanými na běžné obklady . Názvy těchto operací dal americký matematik Norman Johnson , jedná se o zkrácení ( zkrácení , oříznutí vrcholů), rektifikace ( úplné zkrácení , oříznutí vrcholů, dokud původní hrany úplně nezmizí) a cantellation ( zkosení , oříznutí hran). Omnitruncation ( truncation ) je operace, která kombinuje zkrácení a zkosení. Snubbing (odříznutí nosů) je operace střídavého zkracování zcela zkrácených forem. ( Podrobné vysvětlení operací naleznete v části Operátoři stavby Wythoff .)
Coxeterovy skupiny v rovině definují Wythoffovu konstrukci a mohou být reprezentovány Coxeter-Dynkinovými diagramy :
Pro skupiny s celočíselným pořadím:
Orbifold symetry [ | Skupina Coxeter | Coxeterův graf |
Poznámky | ||
---|---|---|---|---|---|
Kompaktní | |||||
*333 | (3 3 3) | [3 [3] ] | ![]() ![]() ![]() |
3 zrcadlové tvary, 1 snub | |
*442 | (4 4 2) | [4,4] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
5 tvarů zrcadel, 1 nástavec | |
*632 | (6 3 2) | [6,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
7 tvarů zrcadel, 1 nástavec | |
*2222 | (∞2∞2) | × | [∞,2,∞] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
3 zrcadlové tvary, 1 snub |
Nekompaktní ( obrubník ) | |||||
*∞∞ | (∞) | [∞] | ![]() ![]() ![]() |
||
*22∞ | (2 2∞) | × | [∞,2] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2 zrcadlové tvary, 1 snub |
Orbifold symetry [ | Skupina Coxeter | Coxeterův graf |
Poznámky | |
---|---|---|---|---|
Kompaktní | ||||
*pq2 | (pq 2) | [p,q] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2(p+q) < pq |
*pqr | (pqr) | [(p,q,r)] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
pq+pr+qr < pqr |
Paracompact | ||||
*∞p2 | (p ∞ 2) | [p,∞] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
p>=3 |
*∞pq | (pq∞) | [(p,q,∞)] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
p,q>=3, p+q>6 |
*∞∞str | (p∞∞) | [(p,∞,∞)] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
p>=3 |
*∞∞∞ | (∞∞∞) | [(∞,∞,∞)] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Na euklidovské rovině existují grupy symetrie, které jsou získány ze základních trojúhelníků (4 4 2), (6 3 2) a (3 3 3). Každý z nich je reprezentován soustavou přímek (zrcadlení) rozdělujících rovinu na základní trojúhelníky.
Tyto skupiny symetrie vytvářejí 3 pravidelné obklady a 7 polopravidelných obkladů. Počet polopravidelných obkladů se opakuje pro různé konstrukce symetrie.
Prizmatická skupina symetrie, reprezentovaná symbolem (2 2 2 2), je dána dvěma sadami rovnoběžných zrcadel, která obecně mohou mít pravoúhlou základní oblast. Skupina netvoří nové obklady.
Dále, prizmatická skupina symetrie reprezentovaná symbolem (∞ 2 2) má nekonečnou základní doménu. Skupina dává dva jednotné obklady, nekonečně úhlový hranol a nekonečně úhlový antihranol .
Spojením čelních ploch těchto dvou prizmatických obkladů získáme v rovině non-Withoff homogenní obklad. Říká se jí isokurnosny trojúhelníková parketa a skládá se z postupných vrstev čtverců a trojúhelníků.
Pravoúhlý základní trojúhelník ( p q 2)
( p q 2) | Fond. trojúhelníky |
Rodič | Zkrácený | Plně zkrácený | Bicut | Plně bicut (duální) |
zkosený | Zkrácený | plochý nos |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
symbol Wythoff | q | p2 _ | 2 q | p | 2 | p q | 2p | _ q | p | q2 _ | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 | |
symbol Schläfli | t { p , q } | t { p , q } | r{p,q} | 2t{p,q}=t{q,p} | 2r{p,q}={q,p} | rr{p,q} | tr{p,q} | sr{p,q} | |
Coxeterův graf | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Vertexová postava | p q | q.2p.2p | (pq) 2 | p.2q.2q | qp _ | str.4.q.4 | 4.2p.2q | 3.3.p.3.q | |
Čtvercová mozaika (4 4 2) |
{4,4} |
4.8.8 |
4.4.4.4 |
4.8.8 |
{4,4} |
4.4.4.4 |
4.8.8 |
3.3.4.3.4 | |
Šestihranná mozaika (6 3 2) |
{6,3} |
3.12.12 |
3.6.3.6 |
6.6.6 |
{3,6} |
3.4.6.4 |
4.6.12 |
3.3.3.3.6 |
Obecné základní trojúhelníky (pqr)
symbol Wythoff (pqr) |
Fond. trojúhelníky |
q | pr | rq | p | r | pq | rp | q | p | qr | pq | r | pqr | | | pqr |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Coxeterův graf | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Konfigurace vertexu | (pq) r | r.2p.q.2p | (pr) q | q.2r.p.2r | (qr) str | q.2r.p.2r | r.2q.p.2q | 3.r.3.q.3.p | |
Trojúhelníkový (3 3 3) |
(3.3) 3 |
3.6.3.6 |
(3.3) 3 |
3.6.3.6 |
(3.3) 3 |
3.6.3.6 |
6.6.6 |
3.3.3.3.3.3 |
Nesimpliciální základní domény
Jedinou možnou základní doménou v euklidovském prostoru, která není simplexem , je obdélník (∞ 2 ∞ 2) s Coxeterovým diagramem . Z této oblasti se vyrábí pouze čtvercové parkety .
V hyperbolické rovině je nekonečně mnoho jednotných dlaždic konvexních pravidelných polygonů , z nichž každá je založena na jiné skupině zrcadlové symetrie (pqr).
Zde uvedené příklady jsou uvedeny v projekci disku Poincare .
Coxeter-Dynkinovy diagramy jsou uvedeny v lineární formě, i když se ve skutečnosti jedná o trojúhelníky, ve kterých je koncový segment r připojen k prvnímu uzlu.
Kromě toho na hyperbolické rovině existují čtyřúhelníkové základní oblasti začínající od (2 2 2 3), které mohou vytvářet nové tvary. Existují také základní oblasti s vrcholy v nekonečnu, jako je (∞ 2 3).
Pravoúhlé základní trojúhelníky ( p q 2)
(pq 2) | Fond. trojúhelníky |
Rodič | zkrácený | Plně zkrácený | Bicut | Plně bicut (duální) |
zkosený | Zkrácený | plochý nos |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
symbol Wythoff | q | p2 | 2 q | p | 2 | pq | 2p | q | p | q2 | pq | 2 | pq 2 | | | pq 2 | |
symbol Schläfli | t{p,q} | t{p,q} | r{p,q} | 2t{p,q}=t{q,p} | 2r{p,q}={q,p} | rr{p,q} | tr{p,q} | sr{p,q} | |
Coxeter-Dynkinův diagram | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Vertexová postava | p q | (q.2p.2p) | (pqpq) | (str. 2q.2q) | qp _ | (str. 4.q.4) | (4,2p.2q) | (3.3.p. 3.q) | |
(Hyperbolická rovina) (5 4 2) |
V4.8.10 |
{5,4} |
4.10.10 |
4.5.4.5 |
5.8.8 |
{4,5} |
4.4.5.4 |
4.8.10 |
3.3.4.3.5 |
(Hyperbolická rovina) (5 5 2) |
V4.10.10 |
{5,5} |
5.10.10 |
5.5.5.5 |
5.10.10 |
{5,5} |
5.4.5.4 |
4.10.10 |
3.3.5.3.5 |
(Hyperbolická rovina) (7 3 2) |
V4.6.14 |
{7,3} |
3.14.14 |
3.7.3.7 |
7.6.6 |
{3,7 |
3.4.7.4 |
4.6.14 |
3.3.3.3.7 |
(Hyperbolická rovina) (8 3 2) |
V4.6.16 |
{8,3} ] |
3.16.16 |
3.8.3.8 |
8.6.6 |
{3,8 |
3.4.8.4 |
4.6.16 |
3.3.3.3.8 |
Základní trojúhelníky (pqr) obecného tvaru
symbol Wythoff (pqr) |
Fundam. trojúhelníky |
q | pr | rq | p | r | pq | rp | q | p | qr | pq | r | pqr | | | pqr |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Coxeter-Dynkinův diagram | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Vertexová postava | (pr) q | (r.2p.q.2p) | (pq) r | (q.2r.p. 2r) | (qr) str | (r.2q.p. 2q) | (2p.2q.2r) | (3.r.3.q.3.p) | |
Hyperbolické (4 3 3) |
V6.6.8 |
(3.4) 3 |
3.8.3.8 |
(3.4) 3 |
3.6.4.6 |
(3.3) 4 |
3.6.4.6 |
6.6.8 |
3.3.3.3.3.4 |
Hyperbolické (4 4 3) |
V6.8.8 |
(3.4) 4 |
3.8.4.8 |
(4.4) 3 |
3.6.4.6 |
(3.4) 4 |
4.6.4.6 |
6.8.8 |
3.3.3.4.3.4 |
Hyperbolické (4 4 4) |
V8.8.8 |
(4.4) 4 |
4.8.4.8 |
(4.4) 4 |
4.8.4.8 |
(4.4) 4 |
4.8.4.8 |
8.8.8 |
3.4.3.4.3.4 |
Existuje několik způsobů, jak rozšířit seznam homogenních mozaik:
Trojúhelníky skupiny symetrie s degenerovanými plochami zahrnují:
(4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)Mezi trojúhelníky skupiny symetrie s nekonečny patří:
(4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)Branko Grünbaum v knize Obklady a vzory z roku 1987 (Mozaiky a vzory) v sekci 12.3 uvádí 25 jednotných obkladů, včetně 11 konvexních a 14 dalších, které nazývá duté obklady . Mezi posledně jmenované jsou zahrnuty první dva výše zmíněné rozšířené obklady, obklady se stelovanými polygonálními plochami a figurami vrcholů.
Harold Coxeter a kol .
Nakonec, pokud počítáme obklady se 2 nekonečny, můžeme napočítat celkem 39 jednotných obkladů.
7 nových dlaždic s plochami {∞} s tvary vrcholů a symboly Wythoff :
Zbývající seznam obsahuje 21 dlaždic se 7 {∞} plochami (nekonečné úhly). Pokud jsou obklady nakresleny jako grafy, zbývá pouze 14 jedinečných obkladů a první je identický s obkladem 3.4.6.4 .
21 mozaik seskupených do společných grafů s vyznačením vrcholu a Wythoffovým symbolem:
Typ | Konfigurace vertexu |
symbol Wythoff |
---|---|---|
jeden | 3/2.12.6.12 | 3/2 6 | 6 |
4.12.4/3.12/11 | 2 6 (3/2 3) | | |
2 | 8/3.4.8/3.∞ | 4∞ | 4/3 |
8/3.8.8/5.8/7 | 4/3 4 (2∞) | | |
8,4/3,8.∞ | 4/3∞ | čtyři | |
3 | 12/5.6.12/5.∞ | 6∞ | 6/5 |
12/5.12.12/7.12/11 | 6/5 6 (3∞) | | |
12.6/5.12.∞ | 6/5∞ | 6 | |
čtyři | 12/5.3.12/5.6/5 | 3 6 | 6/5 |
12/5.4.12/7.4/3 | 2 6/5 (3/2 3) | | |
4,3/2,4,6/5 | 3/2 6 | 2 | |
5 | 8,8/3,∞ | 4/3 4∞ | |
6 | 12.12/5.∞ | 6/5 6 ∞ | |
7 | 8,4/3,8/5 | 2 4/3 4 | |
osm | 6.4/3.12/7 | 2 3 6/5 | |
9 | 12.6/5.12/7 | 3 6/5 6 | |
deset | 4,8/5,8/5 | 2 4 | 4/3 |
jedenáct | 12/5.12/5.3/2 | 2 3 | 6/5 |
12 | 4.4.3/2.3/2.3/2 | newiethoff |
13 | 4.3/2.4.3/2.3/2 | | 2 4/3 4/3 (plochý nos) |
čtrnáct | 3.4.3.4/3.3.∞ | | 4/3 4 ∞ (potlačení) |
Mozaiky mohou být self-duální . Čtvercová parketa se symbolem Schläfli {4,4} je dvoudílná. Obrázek ukazuje dvě čtvercové parkety (červené a černé) zdvojené k sobě.
Základní konvexní pravidelné a jednotné plástve v prostorech dimenzí 2–10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
geometrické mozaiky | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pravidelné |
| ||||||||
aperiodický |
| ||||||||
jiný |
| ||||||||
Podle konfigurace vrcholu |
|