Kosočtverečná mozaika

Kosočtverečná mozaika
Typ Lavesova mozaika
Coxeterův graf CDel uzel.pngCDel 3.pngCDel uzel f1.pngCDel 6.pngCDel uzel.png
CDel uzel h1.pngCDel 3.pngCDel uzel.pngCDel 6.pngCDel uzel f1.png
Fazety diamanty 60°–120°
Konfigurace obličeje V3.6.3.6
Skupina symetrie p6m, [6,3], *632
p3m1, [3 [3] ], *333
Rotační skupina p6, [6,3] + , (632)
p3, [3 [3] ] + , (333)
dvojí trojhranná mozaika
Vlastnosti hraně-tranzitivní
face-tranitive

Kosočtverečný obklad [1] , naklápěcí tvárnice [2] , oboustranné krychle nebo kubická mříž  - obklad shodných kosočtverců s úhlem 60° v euklidovské rovině . Každý kosočtverec má dva úhly 60° a dva 120° . Takovým kosočtvercům se někdy říká diamanty . Sady tří kosočtverců jsou v kontaktu s vrcholy s úhlem 120° a sady po šesti jsou v kontaktu s vrcholy s úhlem 60°.

Vlastnosti

Kosočtvercový obklad lze považovat za rozdělený šestiúhelníkový obklad , ve kterém je každý šestiúhelník rozdělen na tři kosočtverce , které mají společný vrchol ve středu šestiúhelníku. Toto dělení představuje pravidelný spojený obklad . Může být také viděn jako rozdělení čtyř šestiúhelníkových obkladů, ve kterých jsou šestiúhelníky rozděleny do 12 kosočtverců.

Úhlopříčky kosočtverce jsou ve vztahu 1:√3. Kosočtverečný obklad je duálem trihexagonálního obkladu nebo mřížky kagome . Jako duální obklad jednotného obkladu je to jeden z jedenácti možných obkladů Laves a jeho vrcholová konfigurace je označena jako [3.6.3.6] [4] .

Obklad je také jedním z 56 možných izoedrických obkladů po čtyřúhelnících [5] a jedním z 8 obkladů roviny, ve které jakákoli hrana leží na ose symetrie obkladu [6] .

Kosočtvercový obklad je možné vložit do podmnožiny trojrozměrné celočíselné mřížky tak, že dva vrcholy sousedí právě tehdy, když jsou odpovídající body mřížky od sebe vzdáleny na jednotku. Přesněji, když počet hran na nejkratší cestě mezi dvěma vrcholy mozaiky je roven vzdálenosti městských bloků mezi odpovídajícími body mřížky. Na kosočtverečný obklad lze tedy pohlížet jako na příklad nekonečného jednotkového grafu vzdálenosti a částečné krychle [7] .

Aplikace v umění

Kosočtverečný obklad lze interpretovat jako izometrickou projekci sady krychlí dvěma různými způsoby, které představují reverzibilní obrazce spojené s Neckerovou kostkou . Tento jev je známý jako iluze „reverzibilních kostek“ [8] .

V dřevorytech Metamorphoses I , Metamorphoses II a Metamorphoses III Escher používá tuto interpretaci mozaiky jako způsob transformace z dvourozměrných na trojrozměrné formy [9] . Ve svém dalším díle, Cyklus (1938), si Escher pohrává s vnitřním rozporem mezi dvojrozměrností a trojrozměrností této mozaiky – kresba ukazuje budovy, které mají jako architektonické prvky velké krychlové bloky a nahoře terasu, dlážděnou s kosočtvercovou mozaikou. Lidské postavy sestupující z nádvoří po kostkách se stávají stylizovanými a plochými [10] . Tyto práce používají pouze jednu 3D interpretaci mozaiky, ale v Convex and Concave Escher experimentuje s reverzibilními figurami a zahrnuje obraz vratných kostek na vlajce [11] .

Kosočtverečná mozaika se také používá na parkety [12] a jako dlažba nebo obklady, někdy se změnou tvaru kosočtverců [13] Kosočtverečný vzor se nachází na staré mozaikové podlaze v řeckém Délos [14] a na italská podlaha z 11. století [15] , i když dlaždice v mozaice katedrály v Sieně jsou z pozdější výroby [16] . Prošívaný materiál je znám již od 50. let 19. století jako vzor „trombovacích bloků“, který vyjadřuje vizuální disonanci způsobenou dvourozměrnou trojrozměrnou interpretací [2] [15] [17] . Tento vzor má mnoho dalších názvů, jako je nebeský žebřík a Pandořina skříňka [17] . Předpokládá se, že tento vzor byl používán jako signál na podzemní dráze  - když ho otroci viděli oběšeného na plotě, sebrali své věci a schovali se [18] . Tyto dekorativní vzory mohou používat diamanty různých barev, ale obvykle se používají tři odstíny, světlejší diamanty s horizontálními dlouhými úhlopříčkami a tmavší v ostatních dvou směrech, což umocňuje jejich trojrozměrný efekt. V anglické heraldice je známa jedna přítomnost kosočtvercových a trihexagonálních mozaik  - na erbu armády Geal / e [19] .

Topologicky ekvivalentní obklady

Kosočtverečné mozaiky se někdy vyrábějí s menším stupněm symetrie. Například následující dvě možnosti. Někdy se těmto variantám říká kubické mozaiky pro iluzi trojrozměrných naskládaných kostek viděných pod úhlem.

Jiné aplikace

Kosočtvercový obklad lze považovat za výsledek superpozice dvou různých šestiúhelníkových obkladů, posunutých tak, že vrcholy jednoho obkladu jsou ve středu šestiúhelníků druhého obkladu. V této podobě lze kosočtvercový obklad použít k vytvoření blokového buněčného automatu , ve kterém jsou obkladové kosočtverce buňkami automatu a šestiúhelníky dvou obkladů slouží jako bloky ve střídavých krocích automatu. V této souvislosti je stroj označován jako „Q*bert pole“, podle videohry Q*bert , ve které hrací pole vypadá jako pyramida z kostek. Pole Q*bert lze použít k podpoře univerzálního systému pomocí simulace kulečníkového počítače [20] .

Ve fyzice kondenzované hmoty je kosočtverečný obklad známý jako kubická mřížka nebo dvojitá mřížka kagome . Je to jedna z několika opakujících se struktur, které byly použity ke studiu Isingova modelu a spřažených systémů spinových interakcí v dvouatomových krystalech [21] a byla také studována v teorii perkolace [22] .

Symetrie

Kosočtverečný obklad má *632 symetrií, ale vrcholy mohou být obarveny střídavými barvami, výsledkem je *333 symetrií.

Obrázek
(2 barvy)
(3 barvy)
Symetrie p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3 [3] ], (*333)
coxeter CDel uzel.pngCDel 6.pngCDel uzel f1.pngCDel 3.pngCDel uzel.png CDel 3.pngCDel 3.pngCDel uzel f1.pngCDel 3.pngCDel uzel.pngCDel 3.pngCDel uzel f1.pngCDel 3.pngCDel 3.png=CDel uzel h1.pngCDel 6.pngCDel uzel.pngCDel 3.pngCDel uzel f1.png

Související mnohostěny a obklady

Kosočtvercový obklad je duálem trojhranného obkladu a patří tedy do souboru homogenních duálních obkladů. Je také součástí sekvence kosočtvercových mnohostěnů a obkladů s Coxeterovou skupinou symetrie [n,3], která začíná krychlí, kterou lze považovat za kosočtvercový šestistěn, se čtverci sloužícími jako kosočtverce. N -tý prvek této sekvence má konfiguraci plochy V3.n.3.n.

Symetrie duálních duálních kvazipravidelných obkladů: V(3.n) 2
Sférický euklidovský Hyperbolický
*n32 *332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Mozaika
Conf. V(3.3) 2 V(3.4) 2 V(3,5) 2 V(3.6) 2 V(3,7) 2 V(3,8) 2 V(3.∞) 2

Kosočtverečné obklady jsou jedním z mnoha způsobů, jak obkládat rovinu kosočtverci. Mezi další patří

plochá verze čtvercových parket (s paralelním přenosem) mozaika použitá ve schématu tuhého skládání Miura-ori (střídání paralelních překladů a odrazů) Penrose obklad , který používá dva typy kosočtverců s ostrými úhly 36° a 72° aperiodicky , stejně jako další aperiodické obklady

K nim přiléhá mozaika Sfinga , která je stejně jako kosočtverečná mozaika založena na šestiúhelníkové mozaice .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 , str. 288.
  2. ↑ 12 Smith, 2002 .
  3. ↑ Guy, Woodrow, 1996 , str. 79.
  4. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 .
  5. ↑ Grünbaum a Shephard 1987 , s. 477, Obr. 9.1.2, Mozaika P 4 -42.
  6. ↑ Kirby, Umble, 2011 , str. 283–289.
  7. ↑ Deza, Grishukhin, Shtogrin, 2004 , str. 150.
  8. ↑ Warren, 1919 , str. 262.
  9. ↑ Kaplan, 2008 , s. 39–46.
  10. ↑ Escher, 2001 , str. 29–30.
  11. ↑ DeMay, 2003 , str. 130–141.
  12. ↑ Schleining, O'Rourke, 2003 , str. 58.
  13. ↑ Tessellation Tango Archived 30. prosince 2019 na Wayback Machine , The Mathematical Tourist, Drexel University, získáno 23.05.2012.
  14. ↑ Dunbabin, 1999 , s. 32.
  15. ↑ 1 2 Tatem, 2010 , str. 115.
  16. ↑ Wallis, 1902 , str. xxv.
  17. ↑ 12 Fowler , 2008 .
  18. ↑ Tobin, Dobard, 2000 , str. 81.
  19. ↑ Pomocné zbraně: symbolismus Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine , Symbolismus ve zbrani, Plejáda, vyhledáno 17. 4. 2013.
  20. ↑ Čtvrť Q*Bert Archivováno 4. června 2012 na Wayback Machine , Tim Tyler.
  21. ↑ Fisher, 1959 , str. 969–981.
  22. ↑ Yonezawa, Sakamoto & Hori, 1989 , s. 636–649.

Literatura

Další čtení

 geometrické mozaiky
Pravidelné
aperiodický
jiný
Podle konfigurace vrcholu
Sférický
opravit
polosprávné
_
hyperbolický
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 38 _
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3,8) 2
  • 3,14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 45 _
  • 4 6
  • 4 7
  • 48 _
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4,8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4,14 2
  • 4,16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6,8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6,16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7,14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8,6 2
  • 8,16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞, 6 2
  • ∞, 8 2