Seznam matrik

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Zde jsou shromážděny nejdůležitější třídy matic používaných v matematice , vědě (obecně) a aplikované vědě (zejména).

Matice je obdélníkové pole čísel nazývané prvky . Matice mají dlouhou historii výzkumu a aplikací, což vede k řadě způsobů, jak je klasifikovat. První skupina matic splňuje specifické podmínky a omezení svých prvků, včetně konstantních matic. Důležitým příkladem matic tohoto druhu je matice identity :

Označuje se také písmenem E. Další způsoby klasifikace matic jsou spojeny buď s vlastními hodnotami nebo s podmínkami ve formě maticových rovnic (relací). Konečně v mnoha oblastech (ve fyzice a chemii) existují matice speciálního typu, které se používají výhradně v těchto oblastech.

Matice definované podmínkami na prvcích

Níže uvedený seznam matic je určen podmínkami, které jsou kladeny na prvky matic. Ukázalo se, že mnoho z těchto vlastností je aplikovatelných pouze na čtvercové matice. Čtvercová matice má dvě úhlopříčky: hlavní úhlopříčku (jde z levého horního rohu do pravého dolního rohu) a vedlejší úhlopříčku (jde z levého dolního rohu do pravého horního rohu).

Obecné matice

Níže uvedené matice se vyznačují tím, že podmínky na prvcích matic jsou popsány z hlediska struktury matice. Patří sem vzájemné uspořádání nenulových prvků a také vlastnosti invariance vzhledem k maticovým transformacím.

název Popis Poznámky, vysvětlení
binární matice Matice skládající se z nul a jedniček. Synonyma: booleovská matice, logická matice.
Alternační matice Matice, jejíž prvky představují hodnoty funkcí v určitých bodech.
Nulová matice Matice sestávající výhradně z nul.
Antidiagonální matice Čtvercová matice, jejíž všechny prvky ležící mimo sekundární diagonálu jsou rovny nule.
Anti-hermitovská matrice Čtvercová matice se složitými prvky, která se transformuje do sebe se změnou znaménka v rámci operace Hermitovské konjugace (tj. s komplexní konjugací každého prvku a následnou transpozicí matice), Synonymum pro šikmou-hermitovskou matici.
Antisymetrická matice Synonymum pro šikmo symetrickou matici.
Arrow matrix Čtvercová matice, jejíž všechny nenulové prvky jsou prvky prvního sloupce, prvního řádku nebo hlavní diagonály.
Pásková matrice Čtvercová matice, ve které všechny nenulové prvky sousedí s hlavní diagonálou.
dvouúhelníková Matice, jejíž všechny nenulové prvky jsou na hlavní diagonále a na jedné ze sub- nebo overdiagonál.
Bisymetrická matice Čtvercová matice, která je symetrická jak podle hlavní diagonály, tak i podle vedlejší diagonály.
Bloková diagonální matice Bloková matice , která má matice pouze na hlavní diagonále.
bloková matice Matice, která je rozdělena na dílčí matice nazývané bloky.
tridiagonální Bloková matice, jejíž bloky jsou organizovány stejným způsobem jako tridiagonální matice .
booleovská matice synonymum pro (0,1)-matici, binární matici a logickou matici.
Cauchyho matrice Matice, jejíž každý prvek má tvar kde a  jsou dvě injektivní sekvence
Centrosymetrická matice Matice, která je symetrická ke svému středu, tedy:
Matice konference Čtvercová matice s nulovými prvky na diagonále a prvky ve tvaru +1 a -1 mimo úhlopříčku, taková, která  je maticí identity.
Complex Hadamard Matrix Matice, jejíž všechny řádky a sloupce jsou párově ortogonální a samotné prvky jsou unimodulární.
Pozitivní semidefinitní matice Čtvercová matice s reálnými prvky taková, že kvadratická forma je nezáporná pro každý nezáporný .
Diagonálně dominantní matice Matice, jejíž prvky splňují podmínku uvedenou zde:
Diagonální matice Matice, ve které jsou všechny prvky mimo hlavní diagonálu rovny nule.
základní matice Matice, která je získána z matice identity pomocí elementárních transformací.
Ekvivalentní matice Matice, která je získána z jiné matice pomocí elementárních transformací na řádcích nebo sloupcích.
Frobeniova matice Matice, která se získá z matice identity posunutím a přidáním nového sloupce.
Hermitovská matice , Hermitovská samoadjungovaná matice Čtvercová matice se složitými prvky, která se transformuje do sebe pomocí hermitovské konjugace (tj. s komplexní konjugací každého prvku a následnou transpozicí matice),
Nezáporná matice Matice, jejíž všechny prvky jsou nezáporné.
Permutační matice Čtvercová matice, ve které každý sloupec a každý řádek obsahuje právě jednu 1 a zbytek jsou nuly. Je maticová reprezentace permutace.
Zobecněná permutační matice Čtvercová matice s přesně jedním nenulovým prvkem v každém řádku a každém sloupci.
Persymetrická matice Matice, která je symetrická vzhledem k sekundární diagonále:
Polynomiální matice Matice, jejíž všechny prvky jsou polynomy.
pozitivní matrice Matice, ve které jsou všechny prvky kladné.
Kvartérní matice Matice, jejíž prvky jsou všechny čtveřice .
Znaková matice Matice, jejíž prvky jsou všechny 1, 0 nebo -1.
matice Matice, jejíž všechny prvky jsou buď 1, nebo -1.
Šikmá-hermitovská matice Čtvercová komplexní matice, která mění znaménko při hermitovské konjugaci . Stejné jako antihermitská matrice .
Zkosit matici Čtvercová matice, která při transpozici mění znaménko, Stejné jako antisymetrická matice .
Heavenly Matrix Pásková matrice , reorganizovaná tak, aby se zmenšil prostor, který zabírá.
řídká matrice Matice sestávající téměř výhradně z nul. Algoritmy pro řídké matice umožňují zpracování větších matic než pro husté.
Sylvestrovská matrice Čtvercová matice, jejíž prvky jsou koeficienty dvou polynomů. Sylvesterova matice je nedegenerovaná tehdy a jen tehdy, když jsou dva polynomy coprime .
Symetrická matice Čtvercová matice , která je stejná jako její transpozice: ( ).
Toeplitzova matrice Matice, která má stejné prvky na úhlopříčkách.
trojúhelníková matice Matice, ve které jsou všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové (dolní trojúhelníková matice), nebo matice, ve které jsou všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové (horní trojúhelníková matice).
tridiagonální matice Matice, ve které jsou všechny nenulové prvky umístěny na třech diagonálách: hlavní, první shora a první zdola.
unitární matice Čtvercová komplexní matice, jejíž inverze poskytuje hermitovskou konjugovanou matici ,
Speciální unitární matice Unitární matice, jejíž determinant je jedna
Vandermondova matice Matice, jejíž řádky (nebo sloupce) jsou po sobě jdoucí mocniny: 1, a , a 2 , a 3 , …, a n
Matrix Čtvercová matice o velikosti rovné mocnině dvou, skládající se z prvků +1 nebo -1.
Z-matice Matice, ve které jsou všechny mimodiagonální položky menší než nula.
Hankelova matrice Čtvercová matice se stejnými položkami na každé boční úhlopříčce.

Konstantní matice

Níže uvedené matice se vyznačují tím, že jejich prvky jsou stejné pro všechny možné velikosti matic.

název Popis Podmínky na prvcích Poznámky
Výměnná matice Binární matice , která má 1 na sekundární diagonále a všechny ostatní prvky jsou 0. Viz permutační matice .
Hilbertova matice Viz Hankelova matrice .
Matice identity Čtvercová matice s jedničkami na hlavní diagonále a nulami na ostatních prvcích.
Lehmerova matice a ij = min ( i, j ) ÷ max ( i, j ) Viz kladná symetrická matice .
Jednotková matice Matice, jejíž všechny prvky jsou jednotkami.
Pascalova matice Matice skládající se z prvků Pascalova trojúhelníku .
Pauliho matrice Bloková matice sestávající z 2 × 2 bloků, z nichž každý je komplexní hermitovská a unitární matice.
Redhefferova matrice a ij = 1, pokud i je dělitelné j nebo pokud j = 1; jinak a ij = 0. Viz (0, 1)-matice .
Posunovací matice Matice, která má jedničky na jedné ze svých bočních úhlopříček a 0 na ostatních prvcích. nebo Vynásobením touto maticí se prvky posunou o jednu pozici.
Nulová matice Matice, ve které jsou všechny prvky nulové.

Transformované matice

Matice, které splňují podmínky pro součiny nebo inverzní matice

název Popis Poznámky
Idempotentní matrice Matice A s vlastností A ² = AA = A .
Invertibilní matice Čtverec, který má inverzní , tedy matici B takovou, že AB = BA = I . Invertibilní matice tvoří obecnou lineární grupu .
Involutivní matice Čtvercová matice A , inverzní sama k sobě, tj. AA = I .
Nilpotentní matrice Čtvercová matice A taková, že A q = 0 pro nějaké kladné q . Ekvivalentně jsou všechna vlastní čísla A 0.
Normální matice Čtvercová matice, která komutuje se svým hermitovským konjugátem : AA ∗ = A ∗ A Pro takové matice platí spektrální věta .
ortogonální matice Matice inverzní k její transpozici : A −1 = A T . Takové matice tvoří ortogonální grupu .
Ortonormální matice Matice, jejíž sloupce jsou ortonormální vektory.
Singulární matice Čtvercová matice, která není invertibilní.
Unimodulární matice Čtvercová matice s celočíselnými koeficienty, jejichž determinant je +1 nebo -1.
Unipotentní matrice Čtvercová matice, všechna vlastní čísla jsou 1. Ekvivalentně je A − I nilpotentní. Viz také unipotentní skupina .
Zcela unimodulární matice Matice, jejíž každá invertibilní podmatice je unimodulární . Používá se lineárním programováním při relaxaci celých programů.
Hmotnostní matice Čtvercová matice, jejíž prvky patří do množiny {0, 1, −1 }, takže AA T = wI pro nějaké celé číslo w .

Matice používané v teorii grafů

Matice používané ve fyzice

Odkazy

Literatura