Euklidovský prostor

Euklidovský prostor (též Euklidovský prostor ) v původním smyslu je prostor , jehož vlastnosti jsou popsány axiomy euklidovské geometrie . V tomto případě se předpokládá, že prostor má rozměr rovný 3, to znamená, že je trojrozměrný .

V moderním smyslu, v obecnějším smyslu, to může označovat jeden z podobných a blízce příbuzných objektů: konečný -dimenzionální reálný vektorový prostor s pozitivně-definitivním skalárním součinem zavedeným na něm ; nebo metrický prostor odpovídající takovému vektorovému prostoru. Někteří autoři kladou rovnítko mezi euklidovský a pre-Hilbertův prostor . V tomto článku bude první definice brána jako výchozí. $\mathbb {R} ^{n}$

$n$ -rozměrný euklidovský prostor se obvykle označuje ; zápis se také často používá , když je z kontextu zřejmé, že prostor je opatřen přirozenou euklidovskou strukturou. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Formální definice

K definování euklidovského prostoru je nejjednodušší použít jako základ pojem tečkového součinu . Euklidovský vektorový prostor je definován jako konečný -dimenzionální vektorový prostor nad polem reálných čísel , na jejichž párech vektorů je dána funkce s reálnou hodnotou , která má následující tři vlastnosti: $(\cdot,\cdot),$

Linearita: pro libovolné vektory a pro jakákoli reálná čísla platí vztahy ; $\mathbf {u,v,w}$ $a,b$ $(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)}$
Symetrie: pro všechny vektory platí rovnost $u,v$ $\mathbf {(u,v)=(v,u)} ;$
Pozitivní definitivnost: pro jakékoli a $\mathbf {(u,u)} \geqslant 0$ $ty$ $\mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.$

Afinní prostor odpovídající takovému vektorovému prostoru se nazývá euklidovský afinní prostor nebo jednoduše euklidovský prostor [1] .

Příkladem euklidovského prostoru je souřadnicový prostor sestávající ze všech možných množin reálných čísel , kde je skalární součin definován vzorcem $\mathbb {R} ^{n},$ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ $\mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2 }+\cdots +x_{n}y_{n}.$

Délky a úhly

Skalární součin daný na euklidovském prostoru je dostatečný k zavedení geometrických pojmů délky a úhlu . Délka vektoru je definována jako a označena [2] [3] Kladná určitost skalárního součinu zaručuje, že délka nenulového vektoru je nenulová a z bilinearity vyplývá, že délky proporcionálních vektorů jsou úměrné. $u$ ${\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}$ $|\mathbf {u} |.$ $|a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,$

Úhel mezi vektory a je definován jako Z kosinové věty vyplývá, že pro dvourozměrný euklidovský prostor ( euklidovská rovina ) se tato definice úhlu shoduje s obvyklou . Nenulové ortogonální vektory, jako v trojrozměrném prostoru, mohou být definovány jako vektory pod úhlem , tedy jako vektory s nulovým vnitřním součinem. ${\mathbf x}$ ${\mathbf y}$ $\arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .$ ${\tfrac {\pi }{2)),$

Poznámka

Je třeba objasnit, že k definování arkuskosinusu je nutné a postačující , aby byla splněna nerovnost Tato nerovnost je skutečně pravdivá v libovolném euklidovském prostoru: nazývá se Cauchyho-Bunyakovského nerovnost . Z toho zase plyne trojúhelníková nerovnost : Trojúhelníková nerovnost spolu s výše uvedenými vlastnostmi délky znamená, že délka vektoru je normou v euklidovském vektorovém prostoru a funkce nebo nastavuje strukturu metrického prostoru na euklidovském prostoru (tato funkce se nazývá euklidovská metrika ). Zejména vzdálenost mezi prvky (body) a souřadnicovým prostorem je dána vzorcem $\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}}$ $\left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.$ $\mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .$ $d\mathbf {(x,y)} ,$ $\mathbf {|xy|} ,$ ${\mathbf x}$ ${\mathbf y}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{ i}-y_{i})^{2}}}.$

Algebraické vlastnosti

Ortonormální báze

Ortonormální báze v euklidovském (vektorovém) prostoru je báze skládající se z párových ortogonálních jednotkových normových vektorů. Pro výpočty jsou nejvhodnější ortonormální báze. Takže například skalární součin vektorů se souřadnicemi a v ortonormální bázi lze vypočítat podle vzorce V jakémkoli euklidovském prostoru existuje ortonormální báze. Výběrem ortonormálních bází ve dvou euklidovských prostorech a převodem jednoho z nich do druhého lineárním zobrazením můžeme dokázat, že jakékoli dva euklidovské prostory stejné dimenze jsou izomorfní [4] (zejména -rozměrný euklidovský prostor je izomorfní s standardní skalární součin). $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Ortografické projekce

O vektoru se říká, že je ortogonální k podprostoru, pokud je ortogonální ke všem vektorům v tomto podprostoru. Ortogonální projekce vektoru do podprostoru je ortogonální vektor takový, který reprezentujeme ve tvaru kde Vzdálenost mezi konci vektorů a je minimální vzdálenost mezi vzdálenostmi od konce vektoru k podprostoru Ortogonální projekce ve vysokorozměrných prostorech se používají například v metodě nejmenších čtverců . $X$ $U$ $h,$ $ty$ $X$ $u+h,$ $u\v U.$ $u$ $X$ $X$ $U.$

Duální mezery a operátory

Jakýkoli vektor euklidovského prostoru definuje lineární funkcionál na tomto prostoru, definovaný jako Toto srovnání je izomorfismus mezi euklidovským prostorem a jeho duálním prostorem [5] a umožňuje je identifikovat bez kompromisů ve výpočtech. Zejména adjungované operátory lze považovat za operátory působící na původní prostor, a nikoli na jeho duální, a samoadjungované operátory lze definovat jako operátory shodující se s jejich sousedními. Na ortonormálním základě je matice adjungovaného operátoru transponována na matici původního operátoru a matice samoadjungovaného operátoru je symetrická . $X$ $x^{*}$ $x^{*}(y)=(x,y).$

Euklidovské prostorové pohyby

Euklidovské prostorové pohyby jsou metricky zachovávající transformace prostoru na sebe (také nazývané izometrie prostoru na sebe ). Příkladem pohybu je paralelní translace na vektoru , který převádí bod na bod . Je snadné vidět, že jakýkoli pohyb je kompozicí paralelní translace a transformace, která udržuje jeden bod fixovaný. Výběrem pevného bodu jako počátku lze každý takový pohyb považovat za ortogonální transformaci . Ortogonální transformace n - rozměrného euklidovského prostoru tvoří grupu, označovanou O( n ) . Zvolíme-li ortonormální bázi v prostoru, lze tuto skupinu reprezentovat jako skupinu n × n matic splňujících podmínku , kde je transponovaná matice a je matice identity . ${\mathbf v}$ ${\mathbf p}$ $\mathbf {p+v}$ $Q^{\mathsf {T}}Q=E$ $Q^{\mathsf {T}}$ $E$

Příklady

Dobrými příklady euklidovských prostorů jsou následující prostory:

$\mathbb {E^{1}}$ rozměry ( skutečná čára - například číselná osa ); $jeden$
$\mathbb {E^{2}}$ rozměry ( euklidovská rovina ); $2$
$\mathbb {E^{3}}$ dimenze ( euklidovský trojrozměrný prostor ). $3$

Abstraktnější příklad:

prostor reálných polynomů , jejichž stupně nepřesahují n , s vnitřním součinem definovaným jako integrál jejich součinu podél konečného segmentu (nebo podél celé čáry, ale například s rychle klesající váhovou funkcí ). ${\mathcal {P}}^{n}$ $e^{-x^{2}}$

Příklady geometrických obrazců ve vícerozměrném euklidovském prostoru:

pravidelné vícerozměrné mnohostěny (např. N - rozměrná krychle , N - rozměrný osmistěn , N - rozměrný čtyřstěn );
hypersféra ;
hypertorus .

Související definice

Euklidovskou metriku lze chápat jako metriku popsanou výše, stejně jako odpovídající Riemannovu metriku .

Lokální euklidovství obvykle znamená, že každý tečný prostor Riemannovy variety je euklidovský prostor se všemi následujícími vlastnostmi, například možností (kvůli hladkosti metriky) zavést souřadnice do malého okolí bodu, ve kterém vzdálenost je vyjádřen (do určitého řádu), jak je popsáno výše.

Metrický prostor se také nazývá lokálně euklidovský, pokud je možné na něj zavést souřadnice, ve kterých bude metrika euklidovská (ve smyslu druhé definice) všude (nebo alespoň na konečné oblasti) - což je např. Riemannova varieta nulového zakřivení.

Variace a zobecnění

Pokud nepoužijeme jako hlavní těleso pole reálných čísel, ale pole komplexních čísel , pak to dá definici unitárního (nebo hermitovského) prostoru .

Odmítnutí požadavku konečné-dimenzionality dává definici pre-Hilbertova prostoru . Odmítnutí požadavku pozitivní určitosti skalárního součinu vede k definici pseudoeuklidovského prostoru . Požadavek, aby pre-Hilbertův prostor byl metrický - kompletní, vede k definici Hilbertova prostoru ; prostorem čtvercových součtových posloupností je Hilbertův prostor, který lze považovat za prostor vektorů s nekonečným počtem souřadnic.

Poznámky

↑ Gelfand, 1998 , s. 35.
↑ Gelfand, 1998 , s. 39.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , str. 118.
↑ Shilov G. E. Úvod do teorie lineárních prostorů. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - str. 182
↑ Tento výsledek platí i pro pseudoeuklidovské a unitární prostory, pro Hilbertovy prostory je to složitější a nazývá se Rieszova věta .

Literatura

Gelfand I. M. Přednášky o lineární algebře. - 5. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 s. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineární algebra a geometrie. — M .: Nauka , 1986. — 304 s.
Vulikh BZ Úvod do funkční analýzy. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 s. - 7500 výtisků.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný

Dimenze prostoru
Prostory podle dimenzí	Nulový rozměr jednorozměrný 2D 3D čtyřrozměrný pětirozměrný šestirozměrný sedmirozměrný osmičková devítirozměrný n-rozměrný Negativní rozměr
Polytopy a postavy	Simplexní hyperkrychle tesseract Hyperobdélník (ortotop) Semihypercube Cross-polytope hypersféra
Typy prostorů	konečně-dimenzionální prostor Euklidovský prostor afinní prostor projektivní prostor Modul zdarma Rozdělovač Dimenze algebraické proměnné vesmírný čas
Jiné dimenzionální koncepty	Krullova dimenze Lebesgueova dimenze Indukční rozměr Zlomková dimenze ( Minkowského dimenze , Hausdorffova dimenze ) fraktální dimenze Stupně svobody
Matematika