Dirichletův integrál

V matematice existuje několik integrálů známých jako Dirichletův integrál , pojmenovaných po německém matematikovi Peteru Gustavu Lejeune Dirichletovi , z nichž jeden je nevlastní integrál funkce sinc nad kladnou reálnou čárou:

\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2)).

Tento integrál není absolutně konvergentní , což znamená, že není integrovatelný Lebesgue, a proto není Dirichletův integrál definován podle Lebesgueovy integrace . Je však definována podle nevlastního Riemannova integrálu nebo zobecněného Riemannova nebo Henstock-Kurzweilova integrálu . [1] [2] Hodnotu integrálu (podle Riemannova nebo Henstockova integrálu) lze získat různými způsoby, včetně Laplaceovy transformace, dvojité integrace, derivace pod znaménkem integrálu, integrace obrysu a Dirichletovy transformace. jádro . ${\Biggl |}{\frac {\sin x}{x}}{\Biggl |}$

Definice

Laplaceova transformace

Nechte funkci definovat kdykoli . Pak má Laplaceova transformace funkce tvar $f(t)$ $t\geq 0$

{\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,

pokud integrál existuje. [3]

Vlastnost Laplaceovy transformace, užitečná pro výpočet nesprávných integrálů:

{\mathcal {L}}{\Biggl [}{\frac {f(t)}{t}}{\Biggl ]}=\int _{s}^{\infty }F(u)\ ,du,

za předpokladu, že existuje. $\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(t)}{t))$

Tuto vlastnost lze použít k výpočtu Dirichletova integrálu následovně:

{\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t))\,dt&=\lim _{s\rightarrow 0}\int _{0 }^{\infty }e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\lim _{s\rightarrow 0}{\mathcal {L}}{\Biggl [}{ \frac {\sin t}{t)){\Biggl ]}\\[6pt]&=\lim _{s\rightarrow 0}\int _{s}^{\infty }{\frac {du}{ u^{2}+1}}=\lim _{s\rightarrow 0}\arctan u{\Biggl |}_{s}^{\infty }\\[6pt]&=\lim _{s\rightarrow 0}{\Biggl [}{\frac {\pi }{2}}-\arctan(s){\Biggl ]}={\frac {\pi }{2)),\end{aligned))

od Laplaceovy transformace funkce . (Viz diferenciace v části "Diferenciace pod integrálním znakem".) ${\mathcal {L}}\{\sin t\}={\frac {1}{s^{2}+1}}$ $\sin t$

Dvojitá integrace

Výpočet Dirichletova integrálu pomocí Laplaceovy transformace je ekvivalentní pokusu spočítat stejný dvakrát definovaný integrál dvěma různými způsoby, a to obrácením pořadí integrace , konkrétně:

\left(I_{1}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,dt\,ds\right )=\left(I_{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,ds\,dt\right) ,

\left(I_{1}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s^{2}+1}}\,ds={\frac {\pi }{ 2}}\right)=\left(I_{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt\right),

za podmínky

s>0.

Diferenciace pod znaménkem integrálu (Feynmanův trik)

Nejprve přepišme integrál jako funkci doplňkové proměnné . Nechat $A$

f(a)=\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega .

Pro výpočet Dirichletova integrálu musíme definovat . $f(0)$

Diferencujte a aplikujte Leibnizův vzorec pro derivování pod integrálním znakem $A$

{\begin{aligned}{\frac {df}{da}}&={\frac {d}{da}}\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega } {\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega =\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial a}}e^{-a\ omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega \\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega }\sin \omega \,d\omega .\end{aligned}}

Nyní můžeme pomocí Eulerova vzorce vyjádřit sinusoidu pomocí komplexních exponenciálních funkcí. Tak máme $e^{i\omega }=\cos \omega +i\sin \omega ,$

\sin(\omega )={\frac {1}{2i}}\left(e^{i\omega }-e^{-i\omega }\right).

Tudíž,

{\begin{aligned}{\frac {df}{da}}&=-\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega }\sin \omega \,d\omega =-\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega }{\frac {e^{i\omega }-e^{-i\omega }}{2i}}d\omega \ \[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\int _{0}^{\infty }\left[e^{-\omega (ai)}-e^{-\omega (a +i)}\right]d\omega \\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left[{\frac {-1}{ai}}e^{-\omega (ai )}-{\frac {-1}{a+i}}e^{-\omega (a+i)}\right]{\Biggl |}_{0}^{\infty }\\[6pt] &=-{\frac {1}{2i}}\left[0-\left({\frac {-1}{ai}}+{\frac {1}{a+i}}\right)\right ]=-{\frac {1}{2i}}\left({\frac {1}{ai}}-{\frac {1}{a+i}}\right)\\[6pt]&=- {\frac {1}{2i}}\left({\frac {a+i-(ai)}{a^{2}+1}}\right)=-{\frac {1}{a^{ 2}+1}}.\end{aligned}}

Integrace přes dává $A$

f(a)=\int {\frac {-da}{a^{2}+1}}=A-\arctan a,

Kde je třeba určit integrační konstantu. Protože pomocí hlavní hodnoty. To znamená $A$ $\lim _{a\to \infty }f(a)=0,$ $A=\lim _{a\to \infty }\arctan(a)={\frac {\pi }{2)),$

f(a)={\frac {\pi }{2}}-\arctan {a}.

Konečně, protože máme , jako předtím. $a=0$ $f(0)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(0)={\frac {\pi }{2}}$

Komplexní integrace

Stejného výsledku lze získat komplexní integrací. Zvážit

f(z)={\frac {e^{iz}}{z}}.

Jako funkce komplexní proměnné má na počátku jednoduchý pól, což brání aplikaci Jordanova lemmatu , jehož ostatní podmínky jsou splněny. $z$

Definujeme novou funkci [4]

g(z)={\frac {e^{iz}}{z+i\varepsilon }}.

Pól byl odsunut od skutečné osy, takže se integruje podél půlkruhu poloměru ve středu a je uzavřen podél skutečné osy. Pak vezmeme limit . $g(z)$ $R$ $z=0$ $\varepsilon \rightarrow 0$

Komplexní integrál je nulový podle věty o zbytku , protože uvnitř integrační cesty nejsou žádné póly.

0=\int _{\gamma }g(z)\,dz=\int _{-R}^{R}{\frac {e^{ix}}{x+i\varepsilon }}\ ,dx+\int _{0}^{\pi }{\frac {e^{i(Re^{i\theta }+\theta )}}{Re^{i\theta }+i\varepsilon }}iR \,d\theta .

Druhý člen mizí, když se blíží k nekonečnu. Pokud jde o první integrál, můžeme použít jednu verzi Sochockiho-Plemeljova teorému pro integrály podél reálné čáry: pro komplexní funkci f definovanou a spojitě derivovatelnou na reálné přímce a reálné konstanty a , s vědomím, že můžeme najít $R$ $A$ $b$ $a<0<b$

\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,

kde označuje Cauchyho hlavní hodnotu . Vrátíme-li se k původnímu výpočtu výše, lze psát ${\mathcal {P}}$

0={\mathcal {P}}\int {\frac {e^{ix}}{x}}\,dx-\pi i.

Vezmeme-li imaginární část na obou stranách a všimneme si, že funkce je sudá, dostaneme $\sin(x)/x$

\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=2\int _{0}^{+\infty }{\ frac {\sin(x)}{x}}\,dx.

Konečně,

\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\int _{0}^ {\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.

Alternativně můžete jako integrační obrys zvolit kombinaci horních poloplochých půlkruhů poloměrů a společně se dvěma segmenty skutečné čáry, které je spojují. Na jedné straně je obrysový integrál roven nule bez ohledu na a ; na druhé straně for a imaginární část integrálu konverguje k ( je jakákoli větev logaritmu v horní polorovině), což vede k . $F$ $\varepsilon$ $R$ $\varepsilon$ $R$ $\varepsilon \to 0$ $R\to \infty$ $2I+\Im {\big (}\ln 0-\ln(\pi i){\big )}=2I-\pi$ $\ln z$ $I={\frac {\pi }{2}}$

Dirichlet jádro

Nechat

D_{n}(x)=1+2\součet _{k=1}^{n}\cos(2kx)={\frac {\sin[(2n+1)x]}{\sin (X)}}

bude jádro Dirichlet . [5]

Z toho tedy vyplývá

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}D_{n}(x)dx={\frac {\pi }{2)).$

Definujeme

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{\sin(x)))&x\neq 0\\[6pt]0&x= 0\end{cases}}

Je jasné, že to je spojité, když je aplikováno L'Hopitalovo pravidlo , abychom viděli jeho spojitost v 0 . $F$ $x\neq 0$

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)-x}{x\sin(x)))=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos( x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {-\sin(x)}{2\cos(x)-x \sin(x)}}=0.

Splňuje tedy požadavky Riemann-Lebesgueova lemmatu . To znamená $F$

\lim _{\lambda \to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\sin(\lambda x)dx=0\Rightarrow \lim _{\lambda \to \infty }\int _{a}^{b}{\frac {\sin(\lambda x)}{x}}dx=\lim _{\lambda \to \infty }\int _{a}^{b} {\frac {\sin(\lambda x)}{\sin(x)))dx.

(Forma zde použitého Riemann-Lebesgueova lemmatu je dokázána v citovaném článku.)

Vyberte si limity a . Chceme to říct $a=0$ $b=\pi /2$

{\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t}}dt=&\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(t)}{t}}dt\\[6pt]=&\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(\lambda x)}{x}}dx\\[6pt]=&\lim _{\ lambda \to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(\lambda x)}{\sin(x)))dx\\[6pt] =&\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin((2n+1)x)}{\sin(x )}}dx\\[6pt]=&\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}D_{n}(x)dx={\ frac {\pi }{2}}\end{aligned}}

Abychom to však udělali, musíme zdůvodnit přepnutí skutečné limity na integrální limitu v . Ve skutečnosti je to oprávněné, pokud dokážeme, že limit skutečně existuje. Pojďme to dokázat. $\lambda$ $n$

Pomocí integrace po částech máme:

\int _{a}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}dx=\int _{a}^{b}{\frac {d(1-\cos( x))}{x}}dx=\vlevo.{\frac {1-\cos(x)}{x}}\vpravo|_{a}^{b}+\int _{a}^{b }{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}dx

Nyní, od a , termín nalevo konverguje bez problémů. Viz seznam limit goniometrických funkcí . Nyní ukážeme, že se integrujeme, což znamená, že limita existuje. [6] $a\to 0$ $b\to \infty$ $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1-\cos(x)}{x^{2))}dx$

Nejprve se zaměříme na vyhodnocení integrálu poblíž počátku. Pomocí Taylorovy řady expanze kosinu blízko nuly,

1-\cos(x)=1-\součet _{k\geq 0}{\frac {x^{2k}}{2k!}}=-\součet _{k\geq 1}{\ frac {x^{2k}}{2k!}}.

Tudíž,

\left|{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}\right|=\left|-\sum _{k\geq 0}{\frac {x^{ 2k}}{2(k+1)!}}\right|\leq \sum _{k\geq 0}{\frac {|x|^{k}}{k!}}=e^{|x |}.

Rozdělíme integrál na části, dostaneme

\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {1-\cos(x)}{x^{2))}\right|dx\leq \int _{- \infty }^{-\varepsilon }{\frac {2}{x^{2))}dx+\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{|x|}dx+\int _{\ varepsilon }^{\infty }{\frac {2}{x^{2}}}dx\leq K,

za nějakou stálou . To ukazuje, že integrál je absolutně integrovatelný, což znamená, že původní integrál existuje a přechod z do byl ve skutečnosti oprávněný a důkaz je kompletní. $K>0$ $\lambda$ $n$

Viz také

Poznámky

↑ Bartle, Robert G. (10. června 1996). "Návrat k Riemannově integrálu" (PDF) . Americký matematický měsíčník ]. 103 (8): 625-632. DOI : 10.2307/2974874 . JSTOR 2974874 . Archivováno z originálu (PDF) dne 2017-11-18 . Staženo 2020-12-03 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
↑ Bartle, Robert G. Kapitola 10: Zobecněný Riemannův integrál // Úvod do reálné analýzy : [ eng. ] / Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert. - John Wiley & Sons, 2011. - S. 311 . - ISBN 978-0-471-43331-6 .
↑ Zill, Dennis G. Chapter 7: The Laplace Transform // Diferenciální rovnice s hraničními hodnotami : [ eng. ] / Dennis G. Zill, Warren S. Wright. — Cengage Learning, 2013. — S. 274-5 . — ISBN 978-1-111-82706-9 .
↑ Appell, Walter. Matematika pro fyziku a fyziky . Princeton University Press, 2007, s. 226. ISBN 978-0-691-13102-3 .
↑ Chen, Guo (26. června 2009),Léčba Dirichletova integrálu prostřednictvím metod skutečné analýzy, < https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2009/REUPapers/ChenGuo.pdf > . Staženo 3. prosince 2020. .
↑ RC Daileda,Nesprávné integrály, < http://ramanujan.math.trinity.edu/rdaileda/teach/m4342f10/improper_integrals.pdf > . Staženo 3. prosince 2020. .

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů