Univerzální algebra

Univerzální algebra je odvětví matematiky , které studuje obecné vlastnosti algebraických systémů , využívá podobnosti mezi různými algebraickými strukturami - grupy, kruhy, moduly, svazy, zavádí pojmy, které jsou jim všem vlastní, a zakládá prohlášení společná pro všechny z nich. Zaujímá střední pozici mezi matematickou logikou a obecnou algebrou jako realizační aparát matematické logiky, jak je aplikován na obecné algebraické struktury.

Ústředním pojmem je algebraický systém , objekt maximální obecnosti, zahrnující významnou část variant algebraických struktur ; nad tímto objektem lze konstruovat koncepty homomorfismu a faktorové systémy, zobecňujícím odpovídající konstrukce z teorií grup, kruhů, svazů a tak dále. Rozvinutým směrem v této sekci je studium tříd axiomatizovatelných algebraických systémů, především těch, které jsou definovány identitami odrůdy (včetně volných algeber ), a které jsou definovány kvazi-identitami kvazi -variety . V matematické klasifikaci předmětů je sekce nejvyšší úrovně přiřazena univerzální algebře 08.

Historie

První zmínka o oboru matematiky s tímto názvem se vztahuje k Alfredu Whiteheadovi (jeho „Pojednání o univerzální algebře, s aplikacemi“ [1] bylo publikováno v roce 1898 ) [2] , nicméně vznik samostatné disciplíny, která studuje algebraické struktury neboť libovolné množiny s libovolnými množinami operací a vztahů je spojeno s dílem Garretta Birkhoffa v roce 1935 [3] [4] , v rámci své práce o teorii svazů upozornil na řadu paralelních konstrukcí používaných v teorii skupin a kruhů : homomorfismy , faktorové grupy a faktorové kruhy , normální podgrupy a oboustranné ideály . Birkhoffova práce nějakou dobu nevyvolávala publikované ohlasy a vývoj, nicméně 40. léta 20. století znamenala vznik určitého „folklóru“ spojeného s takto univerzálním přístupem k algebře, konkrétně tento přístup nastínil v přednáškách koncem 40. let Philip Hall . Hall ) na University of Cambridge [2] .

Dalším krokem k vytvoření univerzální algebry jako oboru matematiky jsou práce Alfreda Tarskiho o teorii modelů a Kenjiro Shoda o algebrách s binárními operacemi , stejně jako práce Leona Genkina [5] , Anatolije Malceva [6] , Abraham Robinson [7] , Bjarni Jonsson ( Isl . Bjarni Jónsson ) [8] , kteří upozornili na efektivitu aplikace aparátu matematické logiky, používaného v rámci teorie modelů budovaných v těchto letech , ke studiu algebraických systémů jako struktur, které zobecňují modely a algebry. Ve stejné době byla Malcevova práce z roku 1941 [9] označena jako předvídající logický přístup k univerzální algebře, ale kvůli válce se nedočkala odpovědí a včasného vývoje a Tarskiho přednáška na Mezinárodním kongresu matematiků v roce 1950 byla označena jako výchozí bod pro druhé období vývoje úseku [10] .

Od konce 50. let 20. století se rozvinul směr zkoumání volných algeber , především díky práci Edvarda Marchevského a následné sérii více než padesáti článků polských matematiků v tomto směru [11] . V polovině 50. let Philip Higgins představil a studoval multioperátorové skupiny [12] [13] jako struktury, ve kterých lze zobecnit pojem komutátoru a jakoukoli kongruenci lze reprezentovat jako rozklad na kosety v ideálech (analogicky s odpovídajícími vlastnosti normální podgrupy a oboustranného ideálního kruhu), později byly studovány i speciální třídy multioperátorových grup (multioperátorové kruhy a algebry).

Od počátku 60. let se rozvíjí teorie kvazivariet a otázky jejich spojení s axiomatizovatelnými třídami algebraických systémů (Maltsev, Gorbunov ), nejrychleji se rozvíjejícím směrem na počátku až polovině 70. let bylo studium variet kongruencí. (Bjarni Jónsson, Gretzer).

Do roku 1968 obsahovala bibliografie o univerzální algebře více než 1 000 článků, do roku 1980 více než 5 000; v období 1976 až 1988 vyšlo 2 tisíce prací [14] .

Ve druhé polovině 70. let 20. století vznikly aplikace univerzální algebry v informatice - teorie abstraktních datových typů , teorie systémů správy databází [15] , aplikace jsou postaveny především na konceptu mnohotřídních algeber . Mezi hlavní oblasti, které se nejaktivněji rozvíjely v 80.–90. letech [16] , patří teorie kvazivariet, teorie komutátorů pro variety kongruencí a teorie přirozené duality . V roce 2000 se intenzivně rozvíjel samostatný směr – univerzální algebraická geometrie , zobecňující klasickou algebraickou geometrii , pracující s algebraickými poli , na širší třídy algebraických systémů [17] .

Algebraické systémy, algebry a modely

Základním předmětem studia sekce je algebraický systém — libovolná neprázdná množina s danou (možná nekonečnou) množinou operací konečných polí a relacemi konečných polí: , , . Množina se v tomto případě nazývá nosná (neboli hlavní množina ) systému, množina funkčních a predikátových symbolů s jejich aritami je její signaturou . Systém s prázdnou množinou relací se nazývá univerzální algebra (v kontextu předmětu - častěji jen algebra ), a s prázdnou množinou operací - model [18] nebo systém relací , relační systém [19] . ${\mathfrak {A}}=\langle A,\;F,\;R\rangle$ $F=\langle f_{1}\dvojtečka A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\dvojtečka A^{n_{i}}\to A,\;\ ldots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1)),\;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i)),\;\ldots \rangle$ $A$ $\langle F,\;R,\;\langle n_{1},\;\ldots n_{i},\;\ldots \rangle ,\;\langle m_{1}\ldots m_{i} ,\;\ldots \rangle \rangle$

Do této abstrakce zapadají všechny základní obecné algebraické struktury, například částečně uspořádaná množina je relační systém vybavený binární relací částečného řádu a grupa je algebra vybavená nulovou operací [20] , která vybírá neutrální prvek , a unární operace pro získání inverzního prvku a binární asociativní operace.

Vzhledem k tomu, že libovolnou -ární operaci lze reprezentovat jako -dimenzionální vztah , lze jakékoli algebraické systémy studovat jako modely pomocí nástrojů modelově teoretické [21] . $n$ $f\colon A^{n}\to A$ $(n+1)$ $\mathrm {r} f=\{\langle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n},\;a_{n+1}\rangle \mid a_{n+1}= f(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})\}$

Základní návrhy

Pro algebraické systémy jsou zavedeny konstrukce, které jsou charakteristické pro všechny základní obecné algebraické struktury: podsystém ( subalgebra , podmodel ), jako podmnožina nositele systému, uzavřená vzhledem ke všem operacím a vztahům, homomorfismus systémů, jako zobrazení mezi systémy stejného typu, zachovávající základní operace a vztahy, izomorfismus , jako invertibilní homomorfismus, automorfismus jako izomorfismus na sebe. Zavedení pojmu kongruence jako stabilního vztahu ekvivalence na systému umožňuje sestrojit takovou konstrukci jako faktorový systém ( faktorová algebra , faktorový model ) - systém nad třídami ekvivalence. Zároveň je dokázána věta o homomorfismu , která je společná všem algebraickým systémům , která říká, že pro jakýkoli homomorfismus je přirozené zobrazení faktorové soustavy s ohledem na jadernou shodu na homomorfismus a v případě algeber , je to izomorfismus . $\varphi \colon {\mathfrak {A}}(A,\;\Sigma )\to {\mathfrak {A}}'(A',\;\Sigma )$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\{(x,\;y)\in A\times A'\mid \varphi (x)=\varphi (y)\))$ ${\mathfrak A}'$

Všechny podsystémy algebraického systému tvoří úplnou mříž , navíc každá algebraická mřížka (tj. mříž, jejíž každý prvek může být reprezentován jako nejmenší horní mez jejích kompaktních prvků) je izomorfní k mříži subalgeber některých univerzální algebra [22] . Byly studovány grupy automorfismů algebraických systémů [23] , svazy kongruencí . Zejména je ukázáno, že pro jakoukoli grupu a svazy a existuje univerzální algebra taková, že , , . $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$ $G$ $L_0$ $L_{1}$ $\mathfrak A$ $G\cong \mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{0}\cong \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{1}\cong \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$

Přes rodinu algebraických systémů stejného typu je přímý součin definován jako systém, jehož operace a vztahy jsou souřadnicově definovány na kartézském součinu nosičů: tedy pro - , a pro - . Přímé projekce produktu jsou přirozené surjektivní homomorfismy , které obnovují operace a vztahy ve složkách produktu. Kartézský stupeň algebraického systému je přímým součinem sám se sebou: ; mřížku kongruencí algebry v tomto smyslu lze považovat za vstup do mřížky subalgeber její kartézské čtverce , navíc bylo zjištěno, že je v ní úplnou podmřížkou [24] . $\prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}(A_{i},\;\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\dvojtečka A^{n_{i}}\to A,\;\ldots \rangle ,\;\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}}, \;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\;\ldots \rangle )}$ $f_{k}\colon (\prod _{i\in I}A_{i})^{n_{k}}\to \prod _{i\in I}A_{i}$ $f_{k}(\langle \ldots a_{i,\;1}\ldots \rangle ,\;\ldots ,\;\langle \ldots a_{i,\;n_{k))\ldots \ rozsah )=\langle \ldots ,\;f(a_{i,\;1},\;\ldots a_{i,\;n_{k}}),\;\ldots \rangle$ $r_{k}\subseteq (\prod _{{i\in I}}A_{i})^{{n_{k}}}$ $\{\langle \ldots ,\;r(a_{i,\;1},\;\ldots ,\;a_{i,\;k}),\;\ldots \rangle \mid a_{ i,\;j}\v A_{i},\;i\v I,\;1\leqslant j\leqslant k\}$ $\pi _{k}\colon \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}}\to {\mathfrak {A}}_{k}$ ${\mathfrak A}^{n}=\prod _{{i=1}}^{n}{{\mathfrak A}_{i}}$ $\mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}^{2}$

Odrůdy

Různé algebraické systémy (nebo rovnicová třída ) je třída algebraických systémů s pevným podpisem, axiomatizovaným sadou identit vyjádřených termíny podpisu, tento koncept zobecňuje takové speciální axiomaticky dané třídy algeber jako třídu všech pologrup, třída všech skupin, třída všech kroužků. Základem pro studium takové zobecněné konstrukce jako variety je Birkhoffova věta , která říká, že aby neprázdná třída algebraických systémů byla axiomatizovatelná identitami, je nutné a postačující, aby obsahovala: ${\mathfrak {K}}$

Kartézský součin libovolné posloupnosti (byl multiplikativně uzavřen); ${\mathfrak {K}}$
jakýkoli subsystém libovolného -systému (byl dědičný); ${\mathfrak {K}}$
homomorfní obraz libovolného -systému (byl homomorfně uzavřený) [25] . ${\mathfrak {K}}$

Třetí podmínka je ekvivalentní uzavření s ohledem na faktorové systémy.

Ve studiích univerzální algebry jsou podrobně studovány strukturní vlastnosti variet a problematika ponořitelnosti systémů jedné variety do systémů jiné. Podvariety pro danou rovnici třídu tvoří mříž inkluzí a vlastnosti takových mřížek variet jsou různé, konkrétně mřížka všech variet mřížek je distributivní a má mohutnost kontinua a mřížka všech variet skupiny je modulární , ale není distributivní.

Kromě variet jsou takové obecnější třídy systémů, jako jsou prevariety (replika-kompletní třídy), což jsou třídy uzavřené s ohledem na subalgebry a kartézské součiny, obsahující jednoprvkový systém a kvazivariety , axiomatizovány množinou kvaziidentit ( definované Hornovými klauzulemi ) a také definitivně uzavřené varianty variet a kvaziodrůdy jsou pseudoodrůdy a pseudokvazivariety .

Volné algebry

Speciální algebry

Kategorie algebraických systémů

Aplikace

Poznámky

↑ Whitehead, Alfred North. Pojednání o univerzální algebře s aplikacemi . - Cambridge : Cambridge University Press , 1898. - 547 s.
↑ 1 2 Kohn, 1969 , str. jedenáct.
↑ Maltsev, 1970 , s. 7.
↑ Gretzer, 2008 , Přestože Whitehead rozpoznal potřebu univerzální algebry, neměl žádné výsledky. První výsledky publikoval G. Birkhoff ve třicátých letech, str. vii.
↑ Henkin L. Některé vzájemné souvislosti mezi moderní algebrou a matematickou logikou // Transactions of the American Mathematical Society . - 1953. - Sv. 74 . - str. 410-427 . — ISSN 0002-9947 . Archivováno z originálu 21. září 2015.
↑ A. I. Malcev. K obecné teorii algebraických systémů // Matematická sbírka . - 1954. - T. 35 , č. 77 . - S. 3-20 . (Ruština)
↑ Abraham Robinson. Poznámka k větě o vkládání pro algebraické systémy // Journal of the London Mathamtical Society . - 1955. - Sv. 30 . - str. 249-252 .
↑ Bjarni Jonsson. Univerzální relační systémy (anglicky) // Mathematica Scandinavica. - 1957. - Ne. 5 . - str. 224-229 . — ISSN 0025-5521 .
↑ Maltsev A.I. O obecné metodě pro získání místních teorémů teorie grup // Vědecké poznámky Ivanovského státního pedagogického institutu. Řada fyzikálních a matematických věd. - 1941. - T. 1 , č. 1 . - S. 3-20 .
↑ Gretzer, 2008 , Mal'cevův článek z roku 1941 byl první, ale kvůli válce zůstal nepovšimnut. Po válce v této oblasti začali pracovat A. Tarski, LA Henkin a A. Robinson a své výsledky začali publikovat kolem roku 1950. Přednášku A. Tarského na Mezinárodním kongresu matematiků (Cambridge, Massachusetts, 1950) lze považovat za začátek nového období., str. viii.
↑ Gretzer, 2008 , Marczewski zdůraznil důležitost bází volných algeber; nazval je nezávislé množiny. Výsledkem bylo, že Marczewski, J. Mycielski, W. Narkiewicz, W. Nitka, J. Plonka, S. Swierczkowski, K. Urbanik a další byli zodpovědní za více než 50 prací o algebraické teorii volných algeber, str. viii.
↑ Higgins PJ skupiny s více operátory // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - Sv. 6 , č. 3 . - str. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh A. G. Přednášky o obecné algebře / ed. O. N. Golovin - 2. vyd. — M .: Nauka , 1973. — 400 s. — ISBN 978-5-8114-0617-3
↑ Obecná algebra, 1991 , str. 45.
↑ Plotkin B. I. Univerzální algebra, algebraická logika a databáze. — M .: Nauka, 1991. — 448 s. - 3960 výtisků. — ISBN 5-02-014635-8 .
↑ Gretzer, 2008 , str. 584.
↑ Prezidium Ruské akademie věd rozhodlo (říjen-listopad 2007) // Bulletin Ruské akademie věd. - 2008. - T. 78 , č. 3 . - S. 286 . Archivováno z originálu 9. prosince 2014.
↑ Maltsev, 1970 .
↑ Gretzer, 2008 , str. osm.
↑ Předpokládá se, že $A^{0}=\varnothing$
↑ Obecná algebra, 1991 , str. 313.
↑ Gretzer, 2008 , Věta 2, str. 48.
↑ Plotkin B. I. Automorfismus grup algebraických systémů. — M .: Nauka , 1966. — 603 s. - 6000 výtisků.
↑ Obecná algebra, 1991 , str. 302.
↑ Maltsev, 1970 , pp. 337-339.

Literatura

Artamonov V.A. Kapitola VI. Univerzální algebry // Obecná algebra / Ed. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referenční matematická knihovna). — 25 000 výtisků. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Kon P. Univerzální algebra. - M .: Mir , 1969. - 351 s.
Maltsev AI Algebraické systémy. — M .: Nauka , 1970. — 392 s. - 17 500 výtisků.
Gratzer, George. Univerzální algebra. — 2. - Springer , 2008. - 585 s. — ISBN 978-0-387-77486-2 .

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"