Logaritmus

Logaritmus čísla k základu $b$ $A$ (z jiného řeckého λόγος , „poměr“ + ἀριθμός „číslo“ [1] ) je definován [2] jako indikátor stupně , na který musí být základ zvýšen , aby bylo číslo . Zápis: , vyslovováno: " základní logaritmus ". $A$ $b$ $\log _{a}b$ $b$ $A$

Z definice vyplývá, že nalezení je ekvivalentní řešení rovnice . Například proto, že . $x=\log _{a}b$ $a^{x}=b$ $\log _{2}8=3$ $2^{3}=8$

Výpočet logaritmu se nazývá logaritmus . Čísla jsou nejčastěji skutečná , ale existuje také teorie komplexních logaritmů . $a,b$

Logaritmy mají jedinečné vlastnosti, které předurčily jejich široké použití k výraznému zjednodušení časově náročných výpočtů [3] . Při přechodu „do světa logaritmů“ je násobení nahrazeno mnohem jednodušším sčítáním, dělením odčítáním a umocňování a exponování odmocnin jsou převedeny na násobení a dělení exponentem. Laplace řekl, že vynález logaritmů, „snížení práce astronoma, zdvojnásobilo jeho život“ [4] .

Definici logaritmů a tabulku jejich hodnot (pro goniometrické funkce ) poprvé publikoval v roce 1614 skotský matematik John Napier . Logaritmické tabulky, rozšířené a zpřesněné jinými matematiky, byly široce používány pro vědecké a inženýrské výpočty po více než tři století, dokud se neobjevily elektronické kalkulačky a počítače.

Postupem času se ukázalo, že logaritmická funkce je nepostradatelná i v mnoha dalších oblastech lidské činnosti: řešení diferenciálních rovnic , klasifikace hodnot veličin (například frekvence a intenzita zvuku ), aproximace různých závislostí, informace . teorie , teorie pravděpodobnosti atd. Tato funkce se vztahuje k počtu elementárních , je inverzní vzhledem k exponenciální funkci . Nejčastěji se používají reálné logaritmy se základy ( binární ), Eulerovým číslem e ( přirozený ) a ( dekadický logaritmus ). $y=\log _{a}x$ $2$ $deset$

Skutečný logaritmus

Logaritmus reálného čísla je podle definice řešením rovnice . Případ nás nezajímá, protože tato rovnice nemá řešení a pro jakékoli číslo je řešením; v obou případech není logaritmus definován. Podobně dojdeme k závěru, že logaritmus neexistuje pro nulu nebo zápor ; kromě toho je hodnota exponenciální funkce vždy kladná, takže případ záporu by měl být také vyloučen . Nakonec dostáváme [5] : $x=\log _{a}b$ $a^{x}=b$ $a=1$ $b\neq 1$ $b=1$ $A$ $a^{x}$ $b$

Skutečný logaritmus dává smysl, když $\log _{a}b$ $a>0,a\neq 1,b>0$

Jak víte, exponenciální funkce (za zadaných podmínek pro ) existuje, je monotónní a každá hodnota trvá pouze jednou a rozsah jejích hodnot obsahuje všechna kladná reálná čísla [6] . To znamená, že hodnota reálného logaritmu kladného čísla vždy existuje a je jednoznačně určena. ${\displaystyle y=a^{x))$ $A$

Nejpoužívanější jsou následující typy logaritmů:

Natural : nebo , základ: Eulerovo číslo ( e ); $\log _{e}\,b$ $\ln\,b$
Desetinné : nebo , základ: číslo ; $\log _{10}\,b$ $\lg \,b$ $deset$
Binární : nebo , základ: . Používají se například v teorii informace , informatice a v mnoha odvětvích diskrétní matematiky . $\log _{2}\,b$ $\operatorname {lb} \,b$ $2$

Vlastnosti

Základní logaritmická identita

Základní logaritmická identita vyplývá z definice logaritmu [7] :

a^{\log _{a}b}=b

Důsledek: z rovnosti dvou reálných logaritmů vyplývá rovnost logaritmických výrazů. Opravdu, jestliže , pak , odkud, podle hlavní identity: . $\log _{a}b=\log _{a}c$ ${\displaystyle a^{\log _{a}b}=a^{\log _{a}c))$ $b=c$

Logaritmy jednoty a základní číslo

Dvě rovnosti, zřejmé z definice logaritmu:

\log _{a}1=0;\;\log _{a}a=1.

Logaritmus podílového součinu, stupně a odmocniny

Zde je shrnutí vzorců za předpokladu, že všechny hodnoty jsou kladné [8] :

	Vzorec	Příklad	Důkaz
Práce	$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3= 5$
Podíl dělení	$\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Stupeň	$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$	Důkaz $\log _{a}{x^{p}}=y$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p))$ $p\cdot log_{a}{x}=y$
Titul na základně	$\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p))\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}( x)}{p}}$	$\log _{2^{10}}{\sin {\left({\frac {\pi }{6}}\right)))={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0{,}1$	Důkaz $\log _{a^{p}}{x}=y$ $a^{y\cdot p}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Vykořenit	$\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{ a}(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5$	Důkaz $\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}=y$ $a^{y}={\sqrt[{p}]{x))$ $a^{p\cdot y}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Kořen na základně	$\log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)$	$\log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \operatorname {arctg} {1})}=2\cdot \log _{\pi }{\left(4\cdot {\frac {\pi }{4}}\right)}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2$	Důkaz $\log _{\sqrt[{p}]{a}}{x}=y$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p))$ $p\cdot log_{a}{x}=y$

Je zřejmé zobecnění výše uvedených vzorců na případ, kdy jsou povoleny záporné hodnoty proměnných, například:

\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|

\log _{a}\!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|

Vzorce pro logaritmus součinu lze snadno zobecnit na libovolný počet faktorů:

\log _{a}(x_{1}x_{2}\tečky x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\ tečky +\log _{a}(x_{n})

\log _{a}|x_{1}x_{2}\tečky x_{n}|=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\ tečky +\log _{a}|x_{n}|

Výše uvedené vlastnosti vysvětlují, proč použití logaritmů (před vynálezem kalkulaček) značně usnadnilo výpočty. Například násobení vícehodnotových čísel pomocí logaritmických tabulek bylo provedeno podle následujícího algoritmu: $x, y$

najít logaritmy čísel v tabulkách ; $x, y$
sečtěte tyto logaritmy a získáte (podle první vlastnosti) logaritmus součinu ; $x\cdot y$
podle logaritmu součinu najděte v tabulkách samotný součin.

Dělení, které je bez pomoci logaritmů mnohem pracnější než násobení, bylo provedeno podle stejného algoritmu, jen se sčítáním logaritmů bylo nahrazeno odečítáním. Podobně bylo zjednodušeno umocňování a extrakce kořenů .

Nahrazení základny logaritmu

Logaritmus na základ lze převést [5] na logaritmus na jiný základ : $\log _{a}b$ $A$ $C$

\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a))

Důsledek (when ) je permutací základu a logaritmického výrazu: $b=c$

\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}

Příklad takové permutace naleznete v části o logaritmu .

Koeficient ve vzorci pro nahrazení báze se nazývá modul přechodu z jedné báze na druhou [9] . ${\frac {1}{\log _{c}a}}=\log _{a}c$

Nerovnosti

Hodnota logaritmu je kladná právě tehdy, když čísla leží na stejné straně jedničky (to znamená, že buď jsou obě větší než jedna, nebo jsou obě menší). Pokud leží na opačných stranách jednoty, pak je logaritmus záporný [10] . $\log _{a}{b}$ $a,b$ $a,b$

Jakákoli nerovnost pro kladná čísla může být logaritmizována. V tomto případě, pokud je základ logaritmu větší než jedna, pak je znaménko nerovnosti zachováno, a pokud je základ menší než jedna, je znaménko nerovnosti obráceno [10] .

Další identity a vlastnosti

Pokud výrazy pro základ logaritmu a pro logaritmický výraz obsahují umocnění, lze pro jednoduchost použít následující identitu:

{\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}

Tato identita je okamžitě získána, pokud je v logaritmu nalevo báze nahrazena podle výše uvedeného vzorce pro změnu báze. Důsledky: $a^{q}$ $A$

\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n \log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b

Další užitečná identita:

c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}

Abychom to dokázali, všimneme si, že logaritmy levé a pravé strany se shodují v základu (rovné ), a pak, podle důsledků z hlavní logaritmické identity, jsou levá a pravá strana identicky stejné. Vezmeme-li logaritmus předchozí identity v libovolném základu , získáme další identitu „základní výměny“: $A$ $\log _{a}b\cdot \log _{a}c$ $d,$

\log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c

Logaritmická funkce

Klíčové vlastnosti

Pokud uvažujeme logaritmické číslo jako proměnnou, dostaneme logaritmickou funkci . Je definováno na . Rozsah hodnot: . Tato křivka se často nazývá logaritmus [11] . Ze vzorce pro změnu základu logaritmu je vidět, že grafy logaritmických funkcí s různými základy většími než jedna se od sebe liší pouze měřítkem podél osy ; grafy pro báze menší než jedna jsou jejich zrcadlovým obrazem kolem vodorovné osy. $y=\log _{a}x$ $a>0;\ a\neq 1;x>0$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y$

Z definice vyplývá, že logaritmická závislost je inverzní funkcí pro exponenciální funkci , proto jsou jejich grafy symetrické vzhledem k ose prvního a třetího kvadrantu (viz obrázek). Stejně jako exponenciála patří logaritmická funkce do kategorie transcendentálních funkcí . ${\displaystyle y=a^{x))$

Funkce je přísně rostoucí pro (viz grafy níže) a přísně klesající pro . Bodem prochází graf libovolné logaritmické funkce . Funkce je spojitá a neomezeně diferencovatelná všude ve svém oboru definice. $a>1$ $0<a<1$ $(1;0)$

Osa y ( ) je vertikální asymptota , protože: $x=0$

\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=-\infty

v ;

a>1

\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=+\infty

v .

0<a<1

Derivace logaritmické funkce je:

{\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\cdot \ln a}}

Z hlediska algebry implementuje logaritmická funkce (jediný možný) izomorfismus mezi multiplikativní grupou kladných reálných čísel a aditivní grupou všech reálných čísel. Jinými slovy, logaritmická funkce je jediné (definované pro všechny kladné hodnoty argumentu) spojité řešení funkcionální rovnice [12] :

f(xy)=f(x)+f(y)

Přirozený logaritmus

Z výše uvedeného obecného derivačního vzorce pro přirozený logaritmus dostáváme obzvláště jednoduchý výsledek:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}

Z tohoto důvodu se přirozené logaritmy používají hlavně v matematickém výzkumu. Často se objevují při řešení diferenciálních rovnic , studiu statistických závislostí (například rozdělení prvočísel ) atd.

Po integraci vzorce pro derivaci v rozsahu od do dostaneme: $x=1$ $x=b$

\ln b=\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}

Jinými slovy, přirozený logaritmus se rovná ploše pod hyperbolou pro zadaný x interval . $y={\frac {1}{x}}$

Neurčitý integrál přirozeného logaritmu lze snadno najít integrací po částech :

\int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C

V matematické analýze a teorii diferenciálních rovnic hraje důležitou roli koncept logaritmické derivace funkce : $f(x)$

{\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)))

Rozšíření řad a výpočet přirozeného logaritmu

Rozšiřujeme přirozený logaritmus v Taylorově řadě blízké jednotě:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}} +\tečky

(Řádek 1)

Tato řada, nazvaná „ Mercatorova řada“, konverguje k . Zejména: $-1<x\leqslant 1$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\tečky

Vzorec řady 1 je pro praktický výpočet logaritmů nevhodný, protože řada konverguje velmi pomalu a pouze v úzkém intervalu. Není však obtížné získat z něj pohodlnější vzorec:

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\tečky \right)

(Řádek 2)

Tato řada konverguje rychleji a navíc levá strana vzorce nyní může vyjádřit logaritmus libovolného kladného čísla , protože pak je absolutní hodnota menší než jedna. Tento algoritmus je již vhodný pro reálné numerické výpočty logaritmických hodnot, není však z hlediska pracnosti nejlepší. Existují efektivnější algoritmy [13] . $z={\frac {1+x}{1-x}}$ $x={\frac {z-1}{z+1))$

Desetinný logaritmus

Logaritmy na základ 10 (symbol: ) byly široce používány pro výpočty před vynálezem kalkulaček . Oproti logaritmům s jiným základem mají výhodu: celočíselnou část logaritmu čísla lze snadno určit [14] : $\lg x$ $[\lg x]$ $X$

Jestliže , pak 1 je menší než počet číslic v celé části čísla . Například je hned zřejmé, co je v intervalu . $x\geqslant 1$ $[\lg x]$ $X$ $\lg 345$ $(2,3)$
Je-li , pak se nejbližší celé číslo k menší straně rovná celkovému počtu nul před první nenulovou číslicí (včetně nuly před desetinnou čárkou) se znaménkem mínus. Například je v intervalu . $0<x<1$ $\lg x$ $X$ $\lg 0{,}0014$ $(-3,-2)$

Při posunu desetinné čárky v čísle po číslicích se navíc hodnota desetinného logaritmu tohoto čísla změní na . Například . Z toho vyplývá, že pro výpočet dekadických logaritmů stačí sestavit tabulku logaritmů pro čísla v rozsahu od do [14] . $n$ $n$ $\lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3$ $jeden$ $deset$

Vztah k přirozenému logaritmu [15] :

\ln x\cca 2{,}30259\ \lg x,\quad \ln x={\frac {\lg x}{\lg e))=\ln 10\cdot \lg x=(2{,} 30259\tečky )\lg x

\lg x\cca 0{,}43429\ \ln x,\quad \lg x={\frac {\ln x}{\ln 10))=\lg e\cdot \ln x=(0{,} 43429\tečky )\ln x

Protože používání logaritmů pro výpočty s nástupem výpočetní techniky téměř přestalo, dnes je dekadický logaritmus z velké části nahrazen logaritmem přirozeným [16] . Zachovává se především v těch matematických modelech, kde se historicky zakořenil – např. při konstrukci logaritmických měřítek .

Limitní poměry

Zde jsou některé užitečné limity související s logaritmy [17] :

\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}

\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b))}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left( 1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Další vlastnosti

Z Gelfondovy věty vyplývá, že pokud jsou algebraická čísla ( ), pak buď racionální , nebo transcendentální . V tomto případě je logaritmus racionální a rovný pouze v případě [18] , kdy jsou čísla spojena vztahem . $a,b$ $a\neq 1$ $\log _{a}b$ ${p\over q}$ $a,b$ $a^{p}=b^{q}$
Součet (částečný součet harmonické řady ) se celkově chová jako , kde je Euler-Mascheroniho konstanta . $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))$ $n$ $\ln n+\gamma +O(n^{-1})$ $\gamma \cca 0{,}5772156649\tečky$

Logaritmické rovnice

Komplexní logaritmus

Definice a vlastnosti

Pro komplexní čísla je logaritmus definován stejným způsobem jako skutečný. V praxi se téměř výhradně používá přirozený komplexní logaritmus, který je označován a definován jako řešení rovnice (další ekvivalentní definice jsou uvedeny níže). $\mathrm {Ln} \,z$ $w$ $e^{w}=z$

V oboru komplexních čísel není řešení této rovnice na rozdíl od reálného případu jednoznačně určeno. Například podle Eulerovy identity , ; však také . To je způsobeno tím, že exponenciální funkce podél pomyslné osy je periodická (s periodou ) [19] a funkce nabývá nekonečně mnohokrát stejnou hodnotu. Komplexní logaritmická funkce je tedy vícehodnotová . $e^{\pi i}=-1$ $e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\tečky =-1$ $2\pi i$ $w=\mathrm {Ln} \,z$

Komplexní nula nemá logaritmus, protože komplexní exponent nenabývá nulové hodnoty. Nenulové mohou být reprezentovány v exponenciální formě: $z$

z=r\cdot e^{i\varphi }

Pak se zjistí podle vzorce [20] : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)

Zde je skutečný logaritmus, je libovolné celé číslo . Z toho plyne: $\ln \,r=\ln \,|z|$ $k$

Komplexní logaritmus existuje pro libovolný a jeho skutečná část je jednoznačně určena, zatímco imaginární část má nekonečný počet hodnot, které se liší o celý násobek . $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2\pi$

Ze vzorce je vidět, že jedna a pouze jedna z hodnot má imaginární část v intervalu . Tato hodnota se nazývá hlavní hodnota komplexního přirozeného logaritmu [11] . Odpovídající (již jednohodnotová) funkce se nazývá hlavní větev logaritmu a označuje se . Někdy také označují hodnotu logaritmu, která neleží na hlavní větvi. Jestliže je reálné číslo, pak hlavní hodnota jeho logaritmu se shoduje s obvyklým reálným logaritmem. $(-\pi ,\pi ]$ $\ln\,z$ $\ln\,z$ $z$

Z výše uvedeného vzorce také vyplývá, že skutečná část logaritmu je určena následovně prostřednictvím složek argumentu:

\operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})

Obrázek ukazuje, že skutečná součást jako funkce komponent je středově symetrická a závisí pouze na vzdálenosti k počátku. Získá se otočením grafu reálného logaritmu kolem svislé osy. Jak se blíží nule, funkce má tendenci . $-\infty$

Logaritmus záporného čísla se najde podle vzorce [20] :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\tečky)

Příklady hodnot pro komplexní logaritmus

Zde je hlavní hodnota logaritmu ( ) a jeho obecný výraz ( ) pro některé argumenty: $\ln$ $\mathrm{Ln}$

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi }{2));\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2))\pi

Při převodu složitých logaritmů byste měli být opatrní a vzít v úvahu, že jsou vícehodnotové, a proto rovnost těchto výrazů nevyplývá z rovnosti logaritmů žádných výrazů. Příklad chybné úvahy:

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

je chyba, která však nepřímo naznačuje, že hodnoty lišící se o , jsou logaritmy stejného čísla. Všimněte si, že hlavní hodnota logaritmu je vlevo a hodnota ze základní větve ( ) je vpravo. Důvodem chyby je nedbalé použití vlastnosti , což obecně znamená ve složitém případě celou nekonečnou množinu hodnot logaritmu, a ne pouze hlavní hodnotu. $2i\pi$ $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

Komplexní logaritmická funkce a Riemannův povrch

V komplexní analýze bylo místo uvažování vícehodnotových funkcí v komplexní rovině učiněno jiné rozhodnutí: považovat funkci za jednohodnotovou, ale definovanou ne v rovině, ale na složitější varietě , která se nazývá Riemann povrch [21] . Do této kategorie patří také komplexní logaritmická funkce: její obraz (viz obrázek) se skládá z nekonečného počtu spirálovitě stočených větví. Tato plocha je souvislá a jednoduše spojená . Jediná nula funkce (prvního řádu) je získána v . Singulární body: a (body větve nekonečného řádu) [22] . $z=1$ $z=0$ $z=\infty$

Díky tomu, že je Riemannova plocha logaritmu jednoduše spojena, je univerzálním krytem [23] pro komplexní rovinu bez bodu . $0$

Analytické pokračování

Logaritmus komplexního čísla může být také definován jako analytické pokračování skutečného logaritmu k celé komplexní rovině . Nechte křivku začínat na jedničce, neprocházet nulou a neprotínat zápornou část reálné osy. Potom lze hlavní hodnotu logaritmu v koncovém bodě křivky určit podle vzorce [22] : $\Gamma$ $w$ $\Gamma$

{\displaystyle \ln w=\int \limits _{\Gamma }{du \over u))

Pokud je jednoduchá křivka (bez vlastních průniků), pak pro čísla na ní ležící lze bez obav použít logaritmické identity, například: $\Gamma$

\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma

Hlavní větev logaritmické funkce je spojitá a diferencovatelná na celé komplexní rovině , kromě záporné části reálné osy, na kterou skočí imaginární část na . Tato skutečnost je však důsledkem umělého omezení imaginární části jistiny intervalem . Pokud uvažujeme všechny větve funkce, pak kontinuita probíhá ve všech bodech kromě nuly, kde funkce není definována. Pokud je dovoleno, aby křivka protínala zápornou část reálné osy, pak první takový průsečík přenese výsledek z větve hlavní hodnoty do sousední větve a každý další průsečík způsobí podobný posun podél větví logaritmické funkce [22 ] (viz obrázek). $2\pi$ $(-\pi ,\pi ]$ $\Gamma$

Z analytického pokračovacího vzorce vyplývá, že na libovolné větvi logaritmu [19] :

{\frac {d}{dz}}\ln z={1 \over z}

Pro jakoukoli kružnici obklopující bod : $S$ $0$

\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i

Integrál se bere v kladném směru ( proti směru hodinových ručiček ). Tato identita je základem teorie zbytků .

Analytické pokračování komplexního logaritmu lze také definovat pomocí výše uvedené řady: řada 1 nebo řada 2 , zobecněné na případ komplexního argumentu. Z tvaru těchto řad však vyplývá, že v jednotě je součet řady roven nule, to znamená, že řada se vztahuje pouze k hlavní větvi vícehodnotové funkce komplexního logaritmu. Poloměr konvergence obou řad je 1.

Vztah k inverzním goniometrickým a hyperbolickým funkcím

Protože komplexní goniometrické funkce souvisí s exponenciálou ( Eulerův vzorec ), pak komplexní logaritmus jako inverzní k exponenciální funkci souvisí s inverzními goniometrickými funkcemi [24] [25] :

\operatorname {Arcsin} z=-i\operatorname {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatorname {Arccos} z=-i\operatorname {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatorname {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

\operatorname {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

Hyperbolické funkce v komplexní rovině lze považovat za goniometrické funkce imaginárního argumentu, takže i zde existuje souvislost s logaritmem [25] :

\operatorname {Arsh} z=\operatorname {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1)))

- inverzní hyperbolický sinus

\operatorname {Arch} z=\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)

je inverzní hyperbolický kosinus

\operatorname {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)

je inverzní hyperbolická tečna

\operatorname {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)

je inverzní hyperbolický kotangens

Historický nástin

Předchůdci

Ideologickým zdrojem a podnětem pro použití logaritmů byla skutečnost (známá Archimédovi [26] ), že při násobení mocnin se jejich exponenty sčítají [27] : . Indický matematik z 8. století Virasena , zkoumající mocenské závislosti, publikoval tabulku celočíselných exponentů (to je ve skutečnosti logaritmů) pro základy 2, 3, 4 [28] . ${\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c))$

Rozhodující krok byl učiněn ve středověké Evropě. Potřeba složitých výpočtů v 16. století rychle rostla a velká část obtíží byla spojena s násobením a dělením víceciferných čísel, stejně jako s odmocňováním . Na konci století přišlo několik matematiků téměř současně s nápadem: nahradit časově náročné násobení jednoduchým sčítáním, porovnáváním geometrických a aritmetických posloupností pomocí speciálních tabulek, přičemž geometrická bude původní [26]. . Pak je dělení automaticky nahrazeno nezměrně jednodušším a spolehlivějším odečítáním a zjednoduší se i umocňování a extrakce odmocnin .

Prvním, kdo tuto myšlenku publikoval ve své knize „ Arithmetica integra “ (1544) , byl Michael Stiefel , který se však vážněji nesnažil o praktickou realizaci své myšlenky [29] [30] . Stiefelovou hlavní zásluhou je přechod od celočíselných exponentů k libovolným racionálním exponentům [31] (první kroky tímto směrem učinili Nikolay Orem ve 14. století a Nicola Schuquet v 15. století).

John Napier a jeho "úžasná tabulka logaritmů"

V roce 1614 vydal skotský amatérský matematik John Napier dílo v latině s názvem Popis úžasné tabulky logaritmů ( latinsky: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Měl stručný popis logaritmů a jejich vlastností, stejně jako 8místné tabulky logaritmů sinusů , kosinů a tečen s krokem 1'. Termín logaritmus , navržený Napierem, se ve vědě prosadil. Napier představil teorii logaritmů v další ze svých knih, „ Konstrukce úžasné tabulky logaritmů “ ( lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), kterou posmrtně publikoval v roce 1619 jeho syn Robert.

Soudě podle dokumentů, Napier zvládl techniku logaritmu v roce 1594 [32] . Bezprostředním účelem jeho vývoje bylo usnadnit složité astrologické výpočty pro Napier [33] ; proto byly do tabulek zahrnuty pouze logaritmy goniometrických funkcí .

Představa o funkci přesto neexistovala a Napier definoval logaritmus kinematicky , srovnával jednotný a logaritmicky pomalý pohyb; například definoval logaritmus sinu takto [34] :

Logaritmus daného sinu je číslo, které se vždy aritmeticky zvyšovalo stejnou rychlostí, jakou začal geometricky klesat úplný sinus.

V moderní notaci lze Napierův kinematický model reprezentovat diferenciální rovnicí [35] :

{\frac {dx}{x}}=-{\frac {dy}{M}}

kde M je měřítko zavedené, aby se hodnota ukázala jako celé číslo s požadovaným počtem číslic ( desetinné zlomky se tehdy ještě moc nepoužívaly). Napier vzal M = 10 000 000.

Přísně vzato, Napier tabeloval špatnou funkci, která se nyní nazývá logaritmus. Označíme-li jeho funkci jako , pak souvisí s přirozeným logaritmem takto [35] : $\operatorname {LogNap} (x)$

\operatorname {LogNap} (x)=M\cdot (\ln(M)-\ln(x))

Logaritmus „plného sinusu“ (odpovídající 90°) je zjevně nulový – toho dosáhl Napier svou definicí. Také chtěl, aby všechny logaritmy byly kladné; je snadné ověřit, zda je tato podmínka splněna. . $\operatorname {LogNap} (M)=0$ $x<M$ $\operatorname {LogNap} (0)=\infty$

Hlavní vlastnost Napierova logaritmu: jestliže veličiny tvoří geometrickou posloupnost , pak jejich logaritmy tvoří aritmetický průběh . Nicméně, pravidla pro logaritmus pro non-Peer funkce se lišila od pravidel pro moderní logaritmus, například:

\operatorname {LogNap} (a\cdot b)=\operatorname {LogNap} (a)+\operatorname {LogNap} (b)-\operatorname {LogNap} (1)

Další vývoj

Jak se brzy ukázalo, kvůli chybě v algoritmu všechny hodnoty Napierovy tabulky obsahovaly nesprávná čísla za šestou číslicí [36] . To však nezabránilo tomu, aby nová metoda výpočtu získala širokou popularitu a mnoho evropských matematiků se ujalo kompilace logaritmických tabulek. Kepler vložil nadšené věnování Napierovi do astronomické příručky, kterou vydal v roce 1620 (nevěda, že vynálezce logaritmů již zemřel). V roce 1624 Kepler zveřejnil svou vlastní verzi logaritmických tabulek ( lat. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) [37] . Použití logaritmů umožnilo Keplerovi poměrně rychle dokončit mnohaletou práci na Rudolfských tabulkách , což upevnilo úspěch heliocentrické astronomie .

Několik let po Napierově knize se objevily logaritmické tabulky využívající modernější chápání logaritmu. Londýnský profesor Henry Briggs publikoval 14místné tabulky dekadických logaritmů (1617), a ne pro goniometrické funkce, ale pro libovolná celá čísla do 1000 (7 let později Briggs zvýšil počet čísel na 20000). V roce 1619 londýnský učitel matematiky John Spidell znovu publikoval Napierovy logaritmické tabulky, opravené a doplněné tak, že se ve skutečnosti staly tabulkami přirozených logaritmů. Spidell měl také logaritmy samotných čísel až do 1000 (navíc logaritmus jednoty, jako Briggs, byl roven nule) - ačkoli Spidell zachoval měřítko na celá čísla [38] [39] .

Brzy se ukázalo, že místo logaritmů v matematice není omezeno pouze na výpočetní vymoženosti. V roce 1629 belgický matematik Grégoire de Saint-Vincent ukázal, že plocha pod hyperbolou se mění podle logaritmického zákona [40] . V roce 1668 německý matematik Nicholas Mercator (Kaufmann) objevil a publikoval ve své knize Logarithmotechnia expanzi logaritmu do nekonečné řady [41] . Podle mnoha historiků měl příchod logaritmů silný vliv na mnoho matematických konceptů, včetně: $y={\frac {1}{x}}$

Utváření a rozpoznávání obecného konceptu iracionálních a transcendentálních čísel [42] .
Vznik exponenciální funkce a obecný koncept numerické funkce , Eulerovo číslo , vývoj teorie diferenčních rovnic [43] .
Začínáme s nekonečnou řadou [41] .
Obecné metody řešení diferenciálních rovnic různých typů.
Podstatný vývoj v teorii numerických metod potřebný k výpočtu přesných logaritmických tabulek.

Až do konce 19. století neexistovalo žádné obecně přijímané označení logaritmu, základ a se uváděl buď vlevo a nad logem , pak nad ním. Nakonec matematici došli k závěru, že nejvhodnější místo pro základnu je pod čarou, za logem : symbol . Stručná označení nejběžnějších typů logaritmu - pro dekadický a přirozený - se objevila mnohem dříve u několika autorů najednou a byla definitivně stanovena také koncem 19. století [44] . $\log _{a}b$ $\lg ,\;\ln$

V blízkosti moderního chápání logaritmu - jako operace, zpáteční rychlost zvyšování k moci - se poprvé objevila u Wallise (1685) a Johanna Bernoulliho (1694) a nakonec byla legitimizována Eulerem [36] . V knize „Úvod do analýzy nekonečna“ ( 1748 ) Euler podal moderní definice exponenciálních i logaritmických funkcí, rozšířil je do mocninných řad a zvláště si všiml role přirozeného logaritmu [45] . Euler má také zásluhu na rozšíření logaritmické funkce na komplexní doménu.

Rozšíření logaritmu na komplexní doménu

První pokusy rozšířit logaritmy na komplexní čísla učinili na přelomu 17. a 18. století Leibniz a Johann Bernoulli , ale nepodařilo se jim vytvořit holistickou teorii, a to především z toho důvodu, že pojem logaritmu sám o sobě ještě nebyl jasný. definováno [46] . Diskuse na toto téma byla nejprve mezi Leibnizem a Bernoullim a v polovině 18. století mezi d'Alembertem a Eulerem. Bernoulli a d'Alembert věřili, že jeden by měl definovat , zatímco Leibniz argumentoval, že logaritmus záporného čísla je imaginární číslo [46] . Kompletní teorii logaritmů záporných a komplexních čísel publikoval Euler v letech 1747-1751 a v podstatě se neliší od té moderní [47] . Ačkoli spory pokračovaly (d'Alembert obhajoval svůj názor a podrobně jej argumentoval v článku ve své Encyklopedii a v dalších dílech), Eulerův přístup ke konci 18. století získal všeobecné uznání. $\log(-x)=\log(x)$

V 19. století, s rozvojem komplexní analýzy , studie komplexního logaritmu podnítila nové objevy. Gauss v roce 1811 vyvinul úplnou teorii vícehodnoty logaritmické funkce [48] , definovanou jako integrál . Riemann , spoléhat se na již známá fakta o této a podobných funkcích, zkonstruoval obecnou teorii Riemannových ploch . ${\frac {1}{z))$

Rozvoj teorie konformních zobrazení ukázal, že Mercatorovu projekci v kartografii , která vznikla ještě před objevem logaritmů (1550), lze označit za komplexní logaritmus [49] .

Některé praktické aplikace

Logaritmické vztahy ve vědě a přírodě

Logaritmické funkce jsou extrémně rozšířené jak v matematice, tak v přírodních vědách. Logaritmy se často objevují tam, kde dochází k sebepodobnosti , to znamená, že nějaký objekt je konzistentně reprodukován ve zmenšeném nebo zvětšeném měřítku; viz níže příklady, jako jsou rekurzivní algoritmy , fraktály nebo lastury. Zde je několik příkladů použití logaritmů v různých vědách.

Teorie čísel

Rozdělení prvočísel se asymptoticky řídí jednoduchými zákony [50] :

Počet prvočísel mezi 1 a přibližně se rovná . $n$ ${\frac {n}{\ln n))$
k -té prvočíslo je přibližně rovno . $k\ln k$

Ještě přesnější odhady používají integrální logaritmus .

Často vzniká problém hrubého odhadu velmi velkého čísla, jako je faktoriál nebo Mersennovo číslo s velkým číslem. K tomu by bylo vhodné zapsat číslo přibližně v exponenciálním formátu , tedy ve tvaru mantisy a desetinného exponentu.

Problém lze snadno vyřešit pomocí logaritmů. Vezměme si například 44. Mersennovo číslo . $M=2^{32582657}-1$

\lg M\cca 32582657\cdot \lg 2\cca 9808357{,}09543

Proto je mantisa výsledku rovna Nakonec dostáváme: $10^{0{,}09543}\cca 1{,}25.$

M\cca 1{,}25\cdot 10^{9808357}.

Matematická analýza

Logaritmy často vznikají při hledání integrálů a při řešení diferenciálních rovnic . Příklady:

\int {\operatorname {tg} x}\,dx=-\ln |\cos x|+C;\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a} }}=-\ln \ \left|\ x+{\sqrt {x^{2}+a}}\ \right|+C

Teorie pravděpodobnosti a statistika

Ve statistice a teorii pravděpodobnosti je logaritmus součástí řady prakticky důležitých rozdělení pravděpodobnosti. Například logaritmické rozdělení [51] se používá v genetice a fyzice. Lognormální rozdělení se často vyskytuje v situacích, kdy je studovaná hodnota součinem několika nezávislých pozitivních náhodných veličin [52] .

Benfordův zákon ("zákon první číslice") popisuje pravděpodobnost výskytu určité první významné číslice při měření skutečných hodnot.

K odhadu neznámého parametru se široce používá metoda maximální věrohodnosti a související logaritmická věrohodnostní funkce [53] .

Kolísání náhodné chůze popisuje Khinchin-Kolmogorovův zákon .

Počítačová věda a výpočetní matematika

V informatice : měrná jednotka pro informaci ( bit ). Například pro uložení přirozeného čísla v počítači (v obvyklém binárním formátu pro počítač) potřebujete bity. $N$ $\log _{2}N+1$

Informační entropie je měřítkem množství informací.

Odhad asymptotické složitosti rekurzivních algoritmů rozděl a panuj [54] , jako je quicksort , rychlá Fourierova transformace atd.

Číselné hodnoty jsou obvykle uloženy v paměti počítače nebo specializovaného procesoru ve formátu s plovoucí desetinnou čárkou . Pokud se však sčítání a odčítání u skupiny dat provádí jen zřídka, ale mnohem častěji se provádí násobení, dělení, umocňování a odmocňování, pak má smysl uvažovat o uložení takových dat v logaritmickém formátu . V tomto případě se místo čísla ukládá logaritmus jeho modulu a znaménko a rychlost výpočtů díky vlastnostem logaritmu se výrazně zvyšuje [55] . Logaritmický formát úložiště byl použit v několika systémech, kde se ukázal jako účinný [56] [57] .

Fraktály a dimenze

Logaritmy pomáhají vyjádřit Hausdorffovu dimenzi fraktálu [58 ] . Uvažujme například Sierpinského trojúhelník , který je získán z rovnostranného trojúhelníku postupným odstraňováním podobných trojúhelníků, přičemž lineární velikost každého z nich je v každé fázi poloviční (viz obrázek). Rozměr výsledku je určen vzorcem:

{\frac {\ln 3}{\ln 2))\cca 1{,}58

Mechanika a fyzika

Boltzmannův princip ve statistické termodynamice je jednou z nejdůležitějších funkcí stavu termodynamického systému , charakterizující stupeň jeho náhodnosti .

Ciolkovského vzorec se používá k výpočtu rychlosti rakety.

Chemie a fyzikální chemie

Nernstova rovnice spojuje redoxní potenciál systému s aktivitami látek zahrnutých v elektrochemické rovnici a také se standardními elektrodovými potenciály redoxních párů.

Logaritmus se používá v definicích takových veličin, jako je index autoprotolytické konstanty (samoionizace molekuly) a vodíkový index (kyselost roztoku).

Hudební teorie

Chcete-li vyřešit otázku, kolik částí rozdělit oktávu , je nutné najít racionální aproximaci pro . Pokud toto číslo rozšíříme na spojitý zlomek , pak třetí konvergentní zlomek (7/12) nám umožňuje ospravedlnit klasické rozdělení oktávy na 12 půltónů [59] . $\log _{2}{\frac {3}{2}}\cca 0{,}585$

Psychologie a fyziologie

Lidské vnímání mnoha jevů dobře popisuje logaritmický zákon.

Weber-Fechnerův zákon je empirický psychofyziologický zákon, který říká, že intenzita vjemu je úměrná logaritmu intenzity podnětu [60] - hlasitosti zvuku [61] , jasu světla.

Fittsův zákon : čím dále či přesněji je pohyb těla proveden, tím větší korekce je pro jeho provedení nutná a čím déle se tato korekce provádí [62] .

Čas k rozhodnutí za přítomnosti volby lze odhadnout podle Hickova zákona [63] .

Biologie

Řada biologických forem dobře odpovídá logaritmické spirále [64] - křivce, ve které tečna v každém bodě svírá stejný úhel s vektorem poloměru v tomto bodě, to znamená, že přírůstek poloměru na jednotku délky kruhu je konstantní:

Skořápka Nautilus
Umístění semen na slunečnici
květák Romanesco

Různé

Počet kol hry podle olympijského systému se rovná binárnímu logaritmu počtu účastníků soutěže zaokrouhlenému nahoru na nejbližší vyšší celé číslo [65] .

Logaritmická stupnice

Nejednotná stupnice dekadických logaritmů se používá v mnoha oblastech vědy. Pro zajištění výpočtů se vykresluje na logaritmická pravítka . Další příklady:

Akustika - hladina akustického tlaku a intenzita zvuku ( decibely ) [66] .
Poměr signálu k šumu v radiotechnice a telekomunikacích [67] .
Astronomie - stupnice jasnosti hvězd [68] .
Chemie - aktivita vodíkových iontů ( pH ) [69] .
Seismologie - Richterova stupnice [70] .
Optická hustota je mírou absorpce světla průhlednými předměty nebo odrazu světla neprůhlednými předměty [71] .
Fotografická zeměpisná šířka je charakteristická pro fotocitlivý materiál [72] .
Rychlost závěrky a stupnice clony ve fotografii [73] .
Teorie hudby je hudební stupnice ve vztahu k frekvencím hudebních zvuků [59] .
Zemědělství je hlavní hydrofyzikální charakteristika půdy [74] .
Teorie řízení - logaritmická amplitudově-fázová frekvenční charakteristika [75] .

Logaritmická stupnice je užitečná zejména v případech, kdy hladiny měřené veličiny tvoří geometrickou posloupnost , od té doby jsou jejich logaritmy rozloženy s konstantním krokem. Například 12 půltónů klasické oktávy tvoří (přibližně) takový průběh [59] se jmenovatelem . Stejně tak každá úroveň Richterovy stupnice odpovídá 10krát více energie než předchozí úroveň. I při absenci geometrické progrese může být logaritmická škála užitečná pro kompaktní reprezentaci široké škály naměřených hodnot. ${\sqrt[{12}]{2}}\cca 1{,}059$

Logaritmická škála je také široce používána pro hodnocení exponentu v exponenciálních závislostech a koeficientu v exponentu. Současně má graf vykreslený v logaritmickém měřítku podél jedné nebo dvou os podobu přímky, která se snáze studuje.

Logaritmické tabulky

Z vlastností logaritmu vyplývá, že místo časově náročného násobení vícehodnotových čísel stačí najít (podle tabulek) a sečíst jejich logaritmy a následně provést potenciaci pomocí stejných tabulek (část " Antilogaritmy " ) , tj. najít hodnotu výsledku podle jeho logaritmu. Dělení se liší pouze tím, že se logaritmy odečítají.

První tabulky logaritmů publikoval John Napier ( 1614 ) a obsahovaly pouze logaritmy goniometrických funkcí a s chybami. Nezávisle na něm vydal jeho tabulky Jost Bürgi , přítel Keplera ( 1620 ). V roce 1617 publikoval oxfordský profesor matematiky Henry Briggs tabulky, které již obsahovaly dekadické logaritmy samotných čísel, od 1 do 1000, s 8 (později 14) číslicemi. Chyby ale byly i v tabulkách Briggs. První neomylné vydání založené na tabulkách Georga Vegy ( 1783 ) se objevilo až v roce 1857 v Berlíně ( Bremikerovy tabulky ) [76] .

V Rusku byly první tabulky logaritmů publikovány v roce 1703 za účasti L. F. Magnitského [77] . V SSSR bylo publikováno několik sbírek logaritmických tabulek [78] :

Bradis V. M. Čtyřhodnotové matematické tabulky. M.: Drop obecný, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Bradisovy tabulky, publikované od roku 1921, se používaly ve vzdělávacích institucích a v inženýrských výpočtech, které nevyžadují velkou přesnost. Obsahovaly mantisy dekadických logaritmů čísel a goniometrických funkcí, přirozené logaritmy a některé další užitečné výpočetní nástroje.
Vega G. Tabulky sedmimístných logaritmů, 4. vydání, M.: Nedra, 1971. Profesionální sbírka pro přesné výpočty.
Bremiker K. Logaritmicko-trigonometrické tabulky. M.: Nauka, 1962. 664 s. Klasické šestimístné tabulky, vhodné pro výpočty s goniometrickými funkcemi .
Pětimístné tabulky přirozených hodnot goniometrických veličin, jejich logaritmy a logaritmy čísel, 6. vydání, M.: Nauka, 1972.
Tabulky přirozených logaritmů, 2. vydání, ve 2 svazcích, Moskva: Nauka, 1971.
Desetimístné tabulky logaritmů komplexních čísel. M., 1952.

Posuvné pravítko

Ve dvacátých letech 17. století vynalezli Edmund Wingate a William Oughtred první logaritmické pravítko , které sloužilo jako nepostradatelný výpočetní nástroj pro inženýra až do příchodu kapesních kalkulaček [79] . S tímto kompaktním nástrojem můžete rychle provádět všechny algebraické operace, včetně těch, které zahrnují goniometrické funkce [80] . Přesnost výpočtů je asi 3 platné číslice.

Variace a zobecnění

Logaritmus jako řešení rovnice lze definovat nejen pro reálná a komplexní čísla. $a^{x}=b$

Pro čtveřice můžete zadat logaritmickou funkci (viz funkce proměnných čtveřice ). Většina algebraických vlastností logaritmu je však ztracena [81] — například logaritmus součinu není roven součtu logaritmů, a to snižuje praktickou hodnotu takového zobecnění.
Pokud jsou prvky konečné abelovské multiplikativní grupy , pak se logaritmus v uvedeném smyslu (pokud existuje) nazývá diskrétní . Nejčastěji je považován za konečnou skupinu reziduálního kruhu modulo some, kde se nazývá index modulo this [82] a hraje důležitou roli v kryptografii . V cyklických skupinách existuje logaritmus, pokud je jeho základ primitivním kořenem této skupiny. $a,b$
Logaritmus matice :Logaritmy můžete definovat také promatice [83] .
Lze definovat p-adický logaritmus pro některá p-adická čísla [84] .
Pro práci s velmi velkými čísly je zaveden koncept superlogaritmu , který nesouvisí s umocňováním , ale s operací vyššího řádu: tetrace .

Viz také

Poznámky

↑ Stručný slovník cizích slov. M.: Ruský jazyk, 1984.
↑ Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 186.
↑ Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 184-186.
↑ Shvetsov K.I., Bevz G.P. Příručka elementární matematiky. Aritmetika, algebra. Kyjev: Naukova Dumka, 1966. §40. Historické informace o logaritmech a logaritmu.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , str. 34.
↑ Algebra a začátek analýzy. Učebnice pro 10-11 ročníků. 12. vydání, Moskva: Osvícení, 2002. Pp. 229.
↑ Algebra a začátek analýzy. Učebnice pro 10-11 ročníků. 12. vydání, Moskva: Osvícení, 2002. Pp. 233.
↑ Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 187.
↑ Elementární matematika, 1976 , s. 93f.
↑ 1 2 Elementární matematika, 1976 , s. 89.
↑ 1 2 Logaritmická funkce. // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3.
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , svazek I, s. 159-160.
↑ Sasaki T., Kanada Y. Prakticky rychlé vyhodnocení log(x ) s více přesností // Journal of Information Processing. - 1982. - Sv. 5 , iss. 4 . - S. 247-250 .
↑ 1 2 Elementární matematika, 1976 , s. 94-100.
↑ Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 189.
↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího hlediska, 1987 , s. 406.
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , svazek I, s. 164.
↑ Baker, Alan (1975), Transcendentální teorie čísel , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3 , s. deset.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , svazek II, s. 520-522.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , str. 623.
↑ Sveshnikov A. G., Tichonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné, 1967 , s. 92-94.
↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tichonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné, 1967 , str. 45-46, 99-100.
↑ Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Vizuální topologie . - M. : Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvantová knihovna, číslo 21).
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , svazek II, s. 522-526.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , str. 624.
↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Esej o historii logaritmů, 1923 , s. 9.
↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu, 1987 , s. 206.
↑ Gupta, RC (2000), Dějiny matematiky v Indii , v Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students' Britannica India: Select essays , New Delhi: Popular Prakashan, s. 329 Archivováno 17. března 2018 na Wayback Machine
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 54-55.
↑ Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics , New York: Holt, Rinehart, Winston, str. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 , < https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel >
↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího hlediska, 1987 , s. 210.
↑ Uspensky Ya. V. Esej o historii logaritmů, 1923 , s. 13.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 56.
↑ Čítanka o dějinách matematiky. Matematická analýza. Teorie pravděpodobnosti / Ed. A. P. Juškevič . - M . : Vzdělávání, 1977. - S. 40. - 224 s.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 59.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 61.
↑ Uspensky Ya. V. Esej o historii logaritmů, 1923 , s. 39.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 63.
↑ Charles Hutton. Matematické tabulky. Archivováno 11. září 2016 na Wayback Machine London, 1811, s. třicet.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 133.
↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Esej o historii logaritmů, 1923 , s. 52.
↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího hlediska, 1987 , s. 51, 286, 352.
↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího hlediska, 1987 , s. 213, 217.
↑ Florian Cajori . Historie matematiky, 5. vydání (neurčité) . - Knihkupectví AMS, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024 .
↑ Rybnikov K. A. Dějiny matematiky. Ve dvou svazcích. - M .: Ed. Moskevská státní univerzita, 1963. - T. II. - S. 25.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, svazek III, 1972 , str. 325-328.
↑ Rybnikov K. A. Dějiny matematiky. Ve dvou svazcích. - M .: Ed. Moskevská státní univerzita, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
↑ Matematika 19. století. Svazek II: Geometrie. Teorie analytických funkcí, 1981 , s. 122-123.
↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu . - M. : Nauka, 1987. - T. II. Geometrie. - S. 159-161. — 416 s.
↑ Derbyshire, John. Jednoduchá posedlost. Bernhard Riemann a největší nevyřešený problém v matematice. - Astrel, 2010. - 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Weisstein , Eric W. Log-Series Distribution . matematický svět. Získáno 26. dubna 2012. Archivováno z originálu 11. května 2012.
↑ Logaritmicky normální rozdělení // Mathematical Encyclopedia (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3.
↑ Metoda maximální věrohodnosti // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3.
↑ Harel, David; Feldman, Yishai A. Algorithmics: the spirit of computing . - New York: Addison-Wesley, 2004. - S. 143 . - ISBN 978-0-321-11784-7 .
↑ N.G. Kingsburg, PJW Rayner. Digitální filtrování pomocí logaritmické aritmetiky // Electronics Letters : deník. - 1971. - 28. ledna ( 7. díl ). — S. 55 .
↑ R. C. Ismail a J. N. Coleman. LNS bez ROM (neopr.) // 20. 20. sympozium IEEE o počítačové aritmetice (ARITH). - 2011. - Červenec. - S. 43-51 . - doi : 10.1109/ARITH.2011.15 .
↑ Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk. Porovnání reprezentací s pohyblivou řádovou čárkou a logaritmickým číslem pro rekonfigurovatelné zrychlení // IEEE Conference on Field Programmable Technology: journal. - 2006. - Prosinec. - str. 337 . - doi : 10.1109/FPT.2006.270342 .
↑ Ivanov M. G. Velikost a rozměry // "Potenciál", srpen 2006.
↑ 1 2 3 Shilov G. E. Jednoduchá gama. Zařízení hudební stupnice. Archivní kopie ze dne 22. února 2014 na Wayback Machine M.: Fizmatgiz, 1963. 20 s. Řada "Populární přednášky z matematiky", číslo 37.
↑ Golovin S. Yu.WEBER-FECHNEROVO PRÁVO // Slovník praktického psychologa . Získáno 17. dubna 2012. Archivováno z originálu 27. května 2012. (neurčitý)
↑ Irina Aldoshina. Základy psychoakustiky // Zvukový inženýr. - 1999. - Vydání. 6 .
↑ Fittsův zákon // Psychologická encyklopedie . Získáno 17. dubna 2012. Archivováno z originálu 27. května 2012. (neurčitý)
↑ Welford, A. T. Základy dovednosti . - Londýn: Methuen, 1968. - S. 61 . - ISBN 978-0-416-03000-6 .
↑ Logaritmická spirála //Matematický encyklopedický slovník / Ch. vyd. Yu V. Prochorov . - M .: Sovětská encyklopedie , 1988. - S. 328. - 847 s. — ISBN 5-85270-278-1 .
↑ Kharin A. A. Organizace a pořádání soutěží. Metodická příručka . - Iževsk: UdGU, 2011. - S. 27.
↑ Decibel // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Vzdělávací a metodický komplex: Metody a prostředky zpracování signálů . Získáno 28. dubna 2012. Archivováno z originálu 18. února 2012. (neurčitý)
↑ Hvězdná velikost // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Bates R. Stanovení pH. Teorie a praxe. - 2. vyd. - L .: Chemie, 1972.
↑ Gorkin A.P. Richter scale // Geografie. - M. : Rosmen-Press, 2006. - 624 s. — (Moderní ilustrovaná encyklopedie). — 10 000 výtisků. — ISBN 5-353-02443-5 .
↑ Optická hustota // Fotokinotechnika: Encyklopedie / Ch. vyd. E. A. Iofis . — M .: Sovětská encyklopedie , 1981. — 447 s.
↑ Fotografická šířka // Fotokinotechnika: Encyklopedie / Ch. vyd. E. A. Iofis . — M .: Sovětská encyklopedie , 1981. — 447 s.
↑ Kulagin S. V. Výňatek // Technika fotokina: Encyklopedie / Ch. vyd. E. A. Iofis . — M .: Sovětská encyklopedie , 1981. — 447 s.
↑ Shein E. V. Kurz fyziky půdy. M.: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 2005. - 432 s. ISBN 5-211-05021-5 .
↑ Koncept frekvenční charakteristiky . Získáno 28. dubna 2012. Archivováno z originálu 27. května 2012. (neurčitý)
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 62.
↑ Gnedenko B. V. Eseje o dějinách matematiky v Rusku, 2. vydání. - M. : KomKniga, 2005. - S. 66. - 296 s. - ISBN 5-484-00123-4 .
↑ Logaritmické tabulky // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 65-66.
↑ Berezin S.I. Počítací logaritmické pravítko. - M .: Mashinostroenie, 1968.
↑ David Eberly. Kvaternionová algebra a počet (anglicky) (2. března 1999). Získáno 12. dubna 2012. Archivováno z originálu 27. května 2012.
↑ Vinogradov I. M. Základy teorie čísel . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 97. - 180 s.
↑ Gantmakher F. R. Teorie matice. — M .: Nauka, 1967. — 576 s.
↑ p-adic exponenciální a p-adic logaritmus // PlanetMath.org .

Literatura

Teorie logaritmů

Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky . — M .: Nauka, 1978.
- Reedice: AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . - M .: Nauka, 1973. - 720 s.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - ed. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 s.
Shakhmeister A. Kh. Logaritmy. Příručka pro školáky, účastníky a učitele. - ed. 5. - Petrohrad. : MTSNMO, 2016. - 288 s. - ISBN 978-5-4439-0648-5 .

Historie logaritmů

Abelson I. B. Zrození logaritmů . - M. - L .: Gostekhizdat, 1948. - 231 s.
Girshvald L. Ya. Historie objevu logaritmů. - Charkov: Nakladatelství Charkovské univerzity, 1952. - 33 s.
Klein F. Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu . - M .: Nauka, 1987. - T.I. Aritmetika. Algebra. Analýza. — 432 s.
Matematika 17. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. II.
Matematika 18. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
Kolmogorov A. N. , Juškevič A. P. (ed.). Matematika 19. století. Geometrie. Teorie analytických funkcí. - M . : Nauka, 1981. - T. II.
Uspensky Ya. V. Esej o historii logaritmů. - Petrohrad: Vědecké nakladatelství, 1923. - 78 s.

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX527539 BNF : 11941516p GND : 4168047-9 J9U : 987007533701405171 LCCN : sh85078091 NDL : 00572566