Pozoruhodné body trojúhelníku

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 2. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Pozoruhodné body trojúhelníku jsou body, jejichž umístění je jednoznačně určeno trojúhelníkem a nezávisí na pořadí, ve kterém jsou strany a vrcholy trojúhelníku brány.

Obvykle jsou umístěny uvnitř trojúhelníku, ale to není nutné. Zejména průsečík výšek může být mimo trojúhelník. Další pozoruhodné trojúhelníkové body najdete v Encyklopedie trojúhelníkových center .

Příklady

Pozoruhodné body trojúhelníku jsou

Průsečíky:
- medián - těžiště , těžiště (hmotnost) ;
- osa - střed nebo střed vepsané kružnice ;
- antibisector - centrum antibisectors;
- osou vnějších úhlů je střed kružnice ;
- výšky - ortocentrum ;
- střední kolmice - střed opsané kružnice ;
- simedian - Lemoine point ;
- osa středního trojúhelníku (jeho střed) - Spieker Center ;
- trojúhelníkové výložníky jsou také Spiekerovým středem;
- tři (nebo dokonce dva) kruhy, postavené jako na průměru na segmentu spojujícím základny vnitřní a vnější půlky, uvolněné z jednoho rohu - dva body Apollonia ;
- segmenty spojující vrcholy trojúhelníku:
  - s body dotyku protilehlých stran a vepsané kružnice - Gergonneův bod ;
  - s body dotyku protilehlých stran a kružnic - Nagelův bod ;
  - s odpovídajícími volnými vrcholy rovnostranných trojúhelníků postavených na stranách trojúhelníku (směrem ven) - první bod Torricelliho ;
  - s odpovídajícími volnými vrcholy pravidelných trojúhelníků vestavěnými uvnitř trojúhelníku - druhý bod Torricelliho ;
  - s odpovídajícími volnými vrcholy trojúhelníků podobnými původnímu trojúhelníku a postavenými na jeho stranách - Brokarovy body ;

Minimax bodů trojúhelníku

Minimax (extrémní) body trojúhelníku jsou body, ve kterých je dosaženo minima určité funkce, například součet stupňů vzdáleností ke stranám nebo vrcholům trojúhelníku [1] .

Minimax body trojúhelníku jsou:

Průsečík tří mediánů , který má nejmenší součet druhých mocnin vzdáleností k vrcholům trojúhelníku ( Leibnizova věta ).
Průsečík tří střednic trojúhelníku je jediným bodem trojúhelníku tak, že tři ceviany, kterými prochází, rozdělují strany trojúhelníku svými konci na šest segmentů. V tomto případě je součin délek tří z těchto šesti segmentů, které nemají společné konce, maximální [2]
Torricelliho bod (první), který má nejmenší součet vzdáleností k vrcholům trojúhelníku s úhly ne většími než . $120^{\circ }$
bod Lemoine , který má nejmenší součet čtverců vzdáleností ke stranám trojúhelníku.
Základny výšek ostroúhlého trojúhelníku tvoří pravoúhlý trojúhelník s nejmenším obvodem ze všech trojúhelníků vepsaných do daného trojúhelníku.

Izo-body a izo-čáry trojúhelníků

Iso-body jsou body trojúhelníku, které dávají libovolné stejné parametry tří trojúhelníků, které se vytvoří, když je izo-bod spojen úsečkami se třemi vrcholy trojúhelníku [3] . V důsledku toho se vytvoří postava typu „ dračí oko “ (viz obr.)

Izobody trojúhelníku tvořící tvar dračího oka

Izobody tohoto typu trojúhelníku jsou:

ortocentrum (dává tři trojúhelníky se třemi stejnými poloměry tří opsaných kružnic),
průsečík mediánů (dává tři trojúhelníky se třemi stejnými plochami)
střed (dává tři trojúhelníky se třemi stejnými výškami)
střed opsané kružnice (dává tři rovnoramenné trojúhelníky se třemi stejnými dvojicemi stran),
bod se stejnými obvody nebo izoperimetrický bod (dává tři trojúhelníky se třemi stejnými obvody [4] ), $P$
Torricelliho bod (první) (dává tři trojúhelníky se třemi stejnými tupými úhly v ). $120^{\circ }$
Rozdělení bodu trojúhelníku na tři trojúhelníky se třemi stejnými poloměry vepsaných kružnic
Spiekerův střed trojúhelníku je radikálním středem jeho tří exkruhů [5] (má tři páry stejných tečen ke třem exkruhům najednou).

Izobody trojúhelníku tvořící tvar " Trojlístek (uzel) "

Izobody trojúhelníku tohoto typu jsou (viz obr.):

Spiekerův střed je průsečík čar , a , kde , a podobně, rovnoramenné a identicky umístěné, postavené na vnějších stranách trojúhelníku , mající stejný úhel na základně [6] . $S$ $AX$ $BY$ $CZ$ $XBC$ $YCA$ $ZAB$ $ABC$ $\operatorname {arctg} [\operatorname {tg} (A/2)\operatorname {tg} (B/2)\operatorname {tg} (C/2)]$
Napoleonův první bod , stejně jako Spiekerův střed , je průsečík čar , a , kde , a podobně, rovnoramenné a identicky umístěné, postavené na stranách trojúhelníku zvenčí, mající stejný úhel u základny . $N_1$ $AX$ $BY$ $CZ$ $XBC$ $YCA$ $ZAB$ $ABC$ $30^{\circ }$
Zde by bylo potřeba vypsat všechny body ležící na Kiepertově hyperbole .

Izobody trojúhelníku tvořící tvar květu tradescantia

Izobody trojúhelníku, které tvoří obrazec typu Tradescantia Flower (viz obr.), jsou následující:

průsečík střednic tvoří tři čtyřúhelníky se stejnými plochami třemi malými segmenty cevianů.
průsečík os tvoří tři čtyřúhelníky se třemi kolmicemi ke třem stranám trojúhelníku - deltoid se dvěma stejnými sousedními stranami pro všechny. Druhý pár stejných sousedních stran je obecně pro každého jiný. Všechny tři deltoidy mají pár stejných opačných úhlů v . Jsou to vepsané-opsané čtyřúhelníky. $90^{\circ }$
Tři kružnice nakreslené uvnitř trojúhelníku přes Mikelův bod protínají strany trojúhelníku ve třech bodech. Tři tětivy protažené Miquelovým bodem a tři průsečíky tří kružnic se třemi různými stranami trojúhelníku svírají se stranami stejné úhly.

Izobody trojúhelníku, tvořící znak jako " Model povrchu zakřiveného trojúhelníku " (viz obrázek)

Mezi tyto body patří:

Body Eulerova kruhu
Body v Thomsenově větě
Body v Tookerově teorému . Pokud na Obr. k Thomsenově větě vpravo dole nakreslete podobnou 6-článkovou přerušovanou čáru, postupně se střídají segmenty rovnoběžné, antiparalelní, rovnoběžné, znovu antiparalelní, opět rovnoběžné s opačnou proudovou stranou atd., poté se poslední 6. segment vrátí na výchozí bodu, jako v Thomsenově větě, a lomená čára se uzavře. Tuckerova věta říká, že v tomto případě bude 6 bodů lomené čáry ležící na stranách trojúhelníku ležet na Tuckerově kružnici [7] [8]

Izo-body trojúhelníku tvořící znak jako „ Nebezpečí. Radioaktivní látky nebo ionizující záření » (viz obr.)

Izobody tohoto typu trojúhelníku jsou:

Lemoine bod (bod stejných antiparalel) - bod s vlastností: tři antiparalely protažené skrz něj (čáry antiparalelní ke třem stranám trojúhelníku) dávají uvnitř trojúhelníku tři stejně dlouhé segmenty.
bod stejných rovnoběžek (Equal Parallelians Point) [9] . V jistém smyslu je to podobné jako Lemoine point . Bod má tu vlastnost, že tři rovnoběžky, kterými prochází (čáry rovnoběžné se třemi stranami trojúhelníku), dávají uvnitř trojúhelníku tři úsečky stejné délky.
Yff Center of Congruence [10]
průsečík 3 protisměrů trojúhelníku . Pokud tímto bodem nakreslíme 3 rovné čáry rovnoběžné se stranami trojúhelníku, pak odříznou 3 stejné vnitřní (střední) segmenty na stranách trojúhelníku.
Jiná formulace posledního tvrzení: Úsečky stran trojúhelníku uzavřené mezi čarami vedenými středem protisměrů rovnoběžných se třemi stranami jsou si navzájem rovné.

Další izo-body trojúhelníku tvořící obecné ceviany

body Skutin jsou body stejných cevianů trojúhelníku. Skutinův teorém říká, že tři úsečky nebo ceviany nakreslené uvnitř trojúhelníku přes jeho tři vrcholy a přes jakékoli ohnisko popsané Steinerovy elipsy jsou si navzájem rovné. Tato ohniska jsou často označována jako Skutinovy body .

Iso-přímky

Izočáry ( izočáry ) trojúhelníku jsou čáry, které rozřezávají daný trojúhelník na dva trojúhelníky mající stejné parametry [3] . Izočáry trojúhelníku jsou:

Střed trojúhelníku půlí opačnou stranu a rozřezává trojúhelník na dva trojúhelníky se stejnou plochou.
Osa ( Bisector ) trojúhelníku půlí úhel, z jehož vrcholu vystupuje.
Výška trojúhelníku protíná protilehlou stranu (nebo její prodloužení) v pravém úhlu (to znamená, že svírá dva stejné úhly se stranou na každé jeho straně) a rozřezává trojúhelník na dva trojúhelníky se stejnými (pravými) úhly.
Symmedián je místo bodů uvnitř trojúhelníku, který vychází z jednoho vrcholu a dává dva stejné segmenty, které jsou antiparalelní ke dvěma stranám, které se v tomto vrcholu protínají a jsou ohraničeny třemi stranami.
Trojúhelníkový výložník půlí obvod . Výložník trojúhelníku je segment, jehož jeden konec je uprostřed jedné ze stran trojúhelníku, druhý konec je na jedné ze dvou zbývajících stran. Kromě toho je výložník rovnoběžný s jednou z úhlových os. Každý z výložníků prochází těžištěm obvodu trojúhelníku ABC, takže všechny tři výložníky se protínají ve Spiekerově středu .
Také rozděluje obvod na polovinu segmentem spojujícím bod dotyku strany trojúhelníku a kružnice s vrcholem protilehlým k dané straně. Tři takové segmenty trojúhelníku nakreslené z jeho tří vrcholů se protínají v Nagelově bodě . Jinými slovy, tento segment je ceviana bodu Nagel . ( Chevian of the Nagel point v anglické literatuře se někdy nazývá splitter (splitter) nebo dělič v polovině obvodu . Oni také odkazují na splitter jako výložník ).
Ekvalizér (ekvalizér) nebo ekvalizér (zarovnávač) - přímkový segment, který rozřezává trojúhelník na dvě postavy se stejnou plochou a obvodem [11]
Něco málo o ekvalizéru (ekvalizéru). Jakákoli přímka ( ekvalizér ), která prochází trojúhelníkem a půlí plochu a obvod trojúhelníku, prochází středem vepsané kružnice. Takové řádky mohou být tři, dva nebo jeden. [12]

Poznámka k izočarám trojúhelníku

V anglické literatuře se zavádí pojem bisection , jako rozdělení něčeho na dvě stejné části. Například rovnoramenný trojúhelník na dva stejné, úsečka na dva stejné, plochý úhel na dva stejné. Odpovídající úsečky budou speciálním případem izopřímek (izopřímek) trojúhelníku.

Přímý $n$

Důležitým konkrétním případem izočar jsou takzvané čáry $n$ trojúhelníku. Přímka trojúhelníku, vycházející z jeho vrcholu, rozděluje opačnou stranu ve vztahu k -tým stupňům dvou sousedních stran [13] . Důležité speciální případy linek jsou: $n$ $n$ $n$

medián ( ), $n=0$
osa (sektor) ( ), $n=1$
antibisector ( ), $n=-1$
simian ( ), $n=2$
přímé kostky ( ). $n=3$

U přímých trojúhelníků je velmi snadné najít některé vlastnosti obecně. Například pro čáru bude čára izogonálně konjugovaná a čára bude izotomicky konjugovaná . $n$ $n$ $(2-n)$ $-n$

Poznámka

Barycentrické souřadnice středu, zapsané v podmínkách stran (nebo goniometrických funkcí úhlů) trojúhelníku, umožňují převést mnoho problémů o středech trojúhelníku do algebraického jazyka. Například zjistit, zda dvě definice definují stejný střed nebo zda tři dané středy leží na stejné čáře.

Můžete také použít trilineární souřadnice středu, které velmi jednoduše souvisí s barycentrickými souřadnicemi . Nicméně například izogonálně sdružené body v trilineárních souřadnicích jsou vyjádřeny jednodušeji.

Variace a zobecnění

Uvažují se dvojice středisek. Například,
- Brocard body ;
- Apolloniovy body . Pro nějaký non-degenerovaný trojúhelník , jeden může sestrojit Apolloniův kruh ke straně procházet bodem . Takto zkonstruované kruhy do tří stran se budou protínat ve dvou bodech – vnitřním a vnějším Apolloniovi. $ABC$ $AB$ $C$

Nově objevené body (středy) trojúhelníku

Yff Center of Congruence [14 ]
Gossard Perspector [ 15 ]
Midpoint ( anglicky Mittenpunkt ) [16]
1. a 2. body Ajima -Malfatti ( eng. 1ST AND 2ND Ajima-Malfatti Points ) [17]
Apolloniův bod – nezaměňovat s Apolloniovými body [18]
Bailey Points [ 19 ]
Hofstadter Points [ 20 ]
Isoscelizer-congruent point ( anglicky. Congruent Isoscelizers Point ) [21]
1. a 2. Morleyův bod spojený s Morleyovým trojúhelníkem ( eng. 1ST AND 2ND Morley Centers ) [22]
Parry Point [ 23 ]
Izoperimetrický bod a stejný objížďkový bod [ 24 ]
Equal Parallelians Point [ 25 ]
Schifflerův bod [ 26 ] _
Exeterský bod [27]
Bod rozdělení trojúhelníku na tři trojúhelníky se třemi stejnými poloměry tří vepsaných kružnic [28]

Poznámky

↑ Starikov V.N. Geometrická studia. // Sborník publikací vědeckého časopisu Globus na základě materiálů V. mezinárodní vědecko-praktické konference "Úspěchy a problémy moderní vědy", Petrohrad: sborník článků (standardní úroveň, akademická úroveň). - Petrohrad. , 2016. - S. 97 .
↑ Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. Průvodce pro učitele . - 2. vyd. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 12, úkol. (Ruština)
↑ 1 2 Starikov V. N. Poznámky ke geometrii // Vědecké vyhledávání: humanitní a socioekonomické vědy: sborník vědeckých prací. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - S. 37, levý sloupec, poslední odstavec . (Ruština)
↑ Izoperimetrický bod a stejný bod objížďky . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 10. května 2012.
↑ Odenhal, 2010 , s. 35-40.
↑ Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola na webu Wolfram MathWorld .
↑ Zetel S.I. Nová trojúhelníková geometrie. Průvodce pro učitele. 2. vydání. M.: Uchpedgiz, 1962. s. 92. odstavec 74.
↑ Myakishev A. G. Walking in circles: from Euler to Taylor // Archimedes: vědecká a metodologická sbírka. 2011. Vydání. 7. str. 83// https://www.mathedu.ru/text/arhimed_2011_v7/p83/
↑ Rovnoběžný bod . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 16. května 2012.
↑ Yff centrum kongruence// https://en.wikipedia.org/wiki/Yff_center_of_congruence Archivováno 22. října 2021 na Wayback Machine
↑ Kodokostas, Dimitrios (2010), Triangle equalizers , Mathematics Magazine vol . 83 (2): 141–146 , DOI 10.4169/002557010X482916 .
↑ Dimitrios Kodokostas. Trojúhelníkové ekvalizéry // Magazín Matematika. - 2010. - Vydání. 83, duben . - S. 141-146. .
↑ Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. Průvodce pro učitele . - 2. vyd. - M .: Uchpedgiz, 1962. - S. 120-125, úkol, odstavce 109-113. (Ruština)
↑ Yff Center of Congruence . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 16. května 2012. (neurčitý)
↑ Gossard Perspector . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 10. května 2012. (neurčitý)
↑ Mittenpunkt . Získáno 4. 9. 2015. Archivováno z originálu 5. 8. 2015. (neurčitý)
↑ 1. A 2. BODY AJIMA-MALFATTI . Získáno 4. 9. 2015. Archivováno z originálu 5. 8. 2015. (neurčitý)
↑ Apolloniův bod . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 10. května 2012. (neurčitý)
↑ Bailey Point . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 6. srpna 2015. (neurčitý)
↑ Hofstadterovy body . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 10. května 2012. (neurčitý)
↑ Bod kongruentních izoscelizerů . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 16. května 2012. (neurčitý)
↑ Morley Centers . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 13. prosince 2012. (neurčitý)
↑ Parry Point . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 16. května 2012. (neurčitý)
↑ Izoperimetrický bod a stejný bod objížďky . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 10. května 2012. (neurčitý)
↑ Bod rovných rovnoběžek . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 16. května 2012. (neurčitý)
↑ Schifflerův bod . Získáno 4. 9. 2015. Archivováno z originálu 5. 8. 2015. (neurčitý)
↑ Exeter Point . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 16. května 2012. (neurčitý)
↑ Starikov V.N. 9. studie o geometrii (§ Řešení problému cevianu, který rozděluje 3-k na 2 3-k se stejnými vepsanými kruhy) // Vědecký recenzovaný elektronický časopis Moskevské státní agrární univerzity "Science and Education". 2020. č. 1. 7 p.// http://opusmgau.ru/index.php/see/issue/view/1603

Literatura

Encyklopedie pro děti. T. 11. Matematika / Kapitola. vyd. M. D. Aksjonová. — M.: Avanta+, 2001. — 688 s.: nemocný.
A. G. MYAKISHEV Prvky geometrie trojúhelníku . — M. : MTsNMO, 2002.
Boris Odenhal. Některé středy trojúhelníků spojené s kružnicemi tečnými k kružnicím // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .
Glosář planimetrie// https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B8% D0 %B9_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8

Odkazy

Pozoruhodné body trojúhelníku
Encyklopedie Triangle Centers Archivováno 19. dubna 2012 na Wayback Machine
Encyklopedie trojúhelníkových center

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní