Čtvercové parkety

čtvercová mozaika
Typ	Správná mozaika
Konfigurace obličeje	4.4.4.4 (nebo 4 4 )|
Konfigurace obličeje	V4.4.4.4 (nebo V4 4 )
symbol Schläfli	{4,4}
symbol Wythoff	4 | 24
Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy
Symetrie	p4m , [4,4], (*442)
Rotační symetrie	], p4 , [4,4] + , (442)|
Duální obklad	self-duální
Vlastnosti	vertex-tranitive face-tranitive edge-transitive

Čtvercové parkety , čtvercové parkety [1] , čtvercová mozaika nebo čtvercová mřížka  je obklad roviny se stejnými čtverci umístěnými vedle sebe, přičemž vrcholy čtyř sousedních čtverců jsou v jednom bodě. Symbol Schläfli pro dlaždice je {4,4}, což znamená, že kolem každého vrcholu jsou 4 čtverce .

Conway nazval tuto mozaikovou čtveřici ( quadrille ).

Vnitřní úhel čtverce je 90 stupňů, takže čtyři čtverce ve vrcholu dávají celých 360 stupňů. Obklad je jedním ze tří pravidelných obkladů na rovině . Další dva jsou trojúhelníkový obklad a šestihranný obklad .

Jednotné barvy

Existuje 9 různých jednotných barev čtvercového obkladu. Barvy 4 čtverečků podle barevných indexů kolem vrcholu: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Případy s jednoduchou zrcadlovou symetrií a průchozí ( ii) pouzdra s posuvnou zrcadlovou symetrií. Tři z těchto variant lze uvažovat ve stejné základní oblasti jako redukovaná zbarvení - 1112i se získá z 1213, 1123i z 1234 a 1112 ii z 1123 ii .

Šachové zbarvení (barvy 1212) je základem pro mnoho her a hádanek, například pole šachovnice je čtvercová parketa, také pro mnoho dalších her na kostkovaném poli , křížovky , polyomino , model života a další dvourozměrné celulární automaty atd. P.

Deska jedné barvy (barvy 1111) se používá například ve hře Go .

Související mnohostěny a obklady

Tento obklad je topologicky součástí sekvence pravidelných mnohostěnů a obkladů, která pokračuje v hyperbolické rovině : {4,p}, p=3,4,5…

Možnosti symetrie * n 42 běžných obkladů: {4, n }
Sférický	euklidovský	Kompaktní hyperbolické				Paracompact
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4,∞}

Čtvercové obklady jsou součástí sekvence pravidelných mnohostěnů a obkladů, které mají čtyři plochy na vrchol. Sekvence začíná osmistěnem , Schläfliho symboly sekvence jsou {n,4} a Coxeterovy diagramy jsou protože n má sklon k nekonečnu.

Wythoffova konstrukce ze čtvercového obkladu

Stejně jako jednotné mnohostěny existuje osm jednotných obkladů založených na pravidelném čtvercovém obkladu.

Vymalováním původních ploch červenou barvou, původních vrcholů žlutou barvou a původních hran modrou barvou získáme 8 různých obkladů. Existují však pouze tři topologicky odlišné obklady - čtvercový obklad , zkrácený čtvercový obklad a snub čtvercový obklad .

Jednotné obklady založené na symetrii čtvercového obkladu
Symetrie : [4,4], (*442)							[4,4] + , (442)	[4,4 + ], (4*2)
{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
jednotné duály
V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Topologicky ekvivalentní obklady

Jiné čtvercové dlaždice mohou být topologicky ekvivalentní čtvercovým dlaždicím (4 čtverce v každém vrcholu).

Izoedrické obklady mají stejné plochy ( přechodnost tváře ) a jsou vertexově tranzitivní . K dispozici je 18 možností, přičemž 6 má trojúhelníkové plochy, které se nespojují od okraje k okraji, a dalších 6 se skládá ze čtyřúhelníků se dvěma rovnoběžnými hranami (lichoběžníky). Daná symetrie předpokládá, že všechny plochy jsou namalovány stejnou barvou [2] .

Balící kruhy

Čtvercový obklad lze použít k balení kruhů umístěním kruhů o stejném průměru se středem ve vrcholech čtverců. Každý kruh je v kontaktu se čtyřmi dalšími obalovými kruhy ( kontaktní číslo ) [3] . Hustota balení je . K dispozici jsou 4 jednotné barvy kruhového balení.

Související pravidelná komplexní nekonečna

Existují 3 pravidelné komplexní apeirogony , které mají stejné vrcholy jako čtvercový obklad. Pravidelné komplexní apeirogony mají vrcholy a hrany, zatímco hrany mohou obsahovat 2 nebo více vrcholů. Pravidelné apeirogony p{q}r jsou ohraničeny výrazem 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Zde se předpokládá, že hrany obsahují p vrcholů a vrcholový obrazec je r -gonální [4] .

Self-duální	Dvojí
4{4}4 nebo	2{8}4 nebo	4{8}2 nebo

Viz také

• Buňka (nákres)
• Seznam pravidelných vícerozměrných mnohostěnů a sloučenin
• Seznam jednotných obkladů
• Čtvercová mříž
• Mozaiky konvexních pravidelných mnohoúhelníků na euklidovské rovině

Poznámky

1. ↑ Golomb, 1975 , str. 147.
2. ↑ Grünbaum a Shephard 1987 , s. 473-481.
3. ↑ Critchlow, 1987 , str. 74-75.
4. ↑ Coxeter, 1973 , str. 111-112, 136.

Literatura

• Golomb S. V. Polyomino = Polyominoes / Per. z angličtiny. V. Firsová. Úvodní slovo a ed. I. Yagloma. — M .: Mir, 1975. — 207 s.
• Tabulka II Coxeter HCM : Běžné plástve //Regular Polytopes (kniha) . - Třetí edice. - Vydání Dover, 1973. - S.  296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Klitzing, Richard 2D euklidovské obklady o4o4x - squat - O1 Archivováno 9. prosince 2017 na Wayback Machine
• Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - New York: Dover Publications , 1979. - S.  36 . — ISBN 0-486-23729-X .
• Branko Grünbaum , GC Shephard. Obklady a vzory . - W.H. Freeman, 1987. - S. 58-65 (kapitola 2.1: Pravidelné a jednotné obklady). - ISBN 0-7167-1193-1 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Symetrie věcí . - Wellesley, MA: A. K. Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Archivováno19. září 2010 naWayback Machine
• Keith Critchlow. Objednávka ve vesmíru: Zdrojová kniha designu. - New York: Thames & Hudson, 1987. - S. 77-76, vzor 8. - ISBN 0-500-34033-1 .

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Square Grid  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Weisstein , Eric W. Regular tessellation  ve Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Uniform tessellation  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Základní konvexní pravidelné a jednotné plástve v prostorech dimenzí 2–10

Rodina / / Homogenní mozaika {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Šestihranný Homogenní konvexní plástve {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 jednotná pětirozměrná plástev {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Plástev o 24 buňkách jednotná šestirozměrná plástev {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 jednotná sedmirozměrná plástev {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ jednotná osmirozměrná plástev {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 jednotná devítirozměrná plástev {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Jednotné n -rozměrné plástve {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21