Pravidelný pětiúhelník

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. listopadu 2020; kontroly vyžadují 20 úprav .

Pentagon
pravidelný pětiúhelník
Typ	pravidelný mnohoúhelník
žebra	5
symbol Schläfli	{5}
Coxeter-Dynkinův diagram
Nějaká symetrie	Dihedrální skupina (D 5 )
Náměstí
Vnitřní roh	108°
Vlastnosti
konvexní , vepsaný , rovnostranný , rovnoúhelníkový , izotoxální
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Pravidelný pětiúhelník (nebo pětiúhelník z řeckého πενταγωνον ) je geometrický útvar , pravidelný mnohoúhelník s pěti stranami.

Vlastnosti

• Pravidelný pětiúhelník má úhel

• Plocha pravidelného pětiúhelníku se vypočítá pomocí libovolného ze vzorců:

, kde  je poloměr kružnice opsané ,  je poloměr kružnice vepsané,  je úhlopříčka ,  je strana.

• Výška pravidelného pětiúhelníku:

• Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku jsou trisektory jeho vnitřních úhlů.
• Poměr úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku ke straně se rovná zlatému řezu , tedy číslu .

Proto lze poloměr vepsané kružnice, poloměr opsané kružnice, výšku a plochu pravidelného pětiúhelníku vypočítat bez použití trigonometrických funkcí:

• Postranní:

• Poloměr vepsané kružnice:

• Poloměr opsané kružnice:

• Úhlopříčka:

• Náměstí:

• Není možné vyplnit rovinu bez mezer pravidelným pětiúhelníkem (viz také Parkety )
• Poměr ploch pravidelného pětiúhelníku a dalšího pravidelného pětiúhelníku tvořeného průsečíkem úhlopříček původního (středu pětiúhelníkové hvězdy)

kde  je poměr zlatého řezu .

Konstrukce

Pravidelný pětiúhelník může být sestrojen pomocí kružítka a pravítka, nebo jeho vepsáním do daného kruhu nebo jeho stavbou z dané strany. Tento proces popisuje Euclid ve svých Elementech kolem roku 300 př.n.l. E.

Zde je jedna metoda pro konstrukci pravidelného pětiúhelníku v daném kruhu:

1. Sestrojte kružnici, do které bude vepsán pětiúhelník, a označte její střed jako O . (Toto je zelený kruh na obrázku vpravo).
2. Vyberte bod A na kružnici , který bude jedním z vrcholů pětiúhelníku. Sestrojte přímku přes O a A .
3. Sestrojte přímku kolmou k přímce OA procházející bodem O . Označte jeden z jeho průsečíků s kružnicí jako bod B .
4. Zakreslete bod C uprostřed mezi O a B .
5. Nakreslete kružnici se středem v bodě C přes bod A . Označte její průsečík s přímkou ​​OB (uvnitř původní kružnice) jako bod D .
6. Nakreslete kružnici se středem v A přes bod D , označte průsečík této kružnice s originálem (zelená kružnice) jako body E a F.
7. Nakreslete kružnici se středem v E přes bod A . Označte jeho další průsečík s původní kružnicí jako bod G .
8. Nakreslete kružnici se středem v F přes bod A . Označte jeho další průsečík s původní kružnicí jako bod H .
9. Sestavte pravidelný pětiúhelník AEGHF .

• Konstrukce pravidelného pětiúhelníku

• Konstrukce pravidelného pětiúhelníku

• Konstrukce pravidelného pětiúhelníku

• Alternativní metoda pro konstrukci pravidelného mnohoúhelníku pomocí pravítka a kružítka

Získání s papírovým proužkem

Pravidelný pětiúhelník lze získat svázáním proužku papíru na uzel.

V přírodě

V přírodě neexistují žádné krystaly s plochami ve tvaru pravidelného pětiúhelníku, ale studie tvorby vodního ledu na plochém měděném povrchu při teplotách 100–140 K ukázaly, že za prvé, řetězce molekul široké asi 1 nm se na povrchu neobjevují jako šestiúhelníková, ale pětiúhelníková struktura. [1] Pentasymetrii lze vidět u mnoha květin a některých plodů, jako je tento germánský mišpule . Ostnokožci (například hvězdice ) a některé rostliny mají pentasymetrii . Viz také Vzory v přírodě .

• Echinoderms , takový jako hvězdice , mít pentasymetrii

• Pentasymetrii lze vidět u mnoha květin a některých plodů, jako je mišpule germánský .

Zajímavosti

• Dvanáctstěn  je jediný pravidelný mnohostěn , jehož plochy jsou pravidelné pětiúhelníky.
• Pravidelný pětiúhelník je pravidelný mnohoúhelník s nejmenším počtem úhlů, které nelze položit na rovinu.
• Pravidelný pětiúhelník se všemi svými úhlopříčkami je projekcí pravidelného pětičlánku (4-simplex).
• Pentagon  – budova amerického ministerstva obrany  – má tvar pravidelného pětiúhelníku.

Viz také

• Zlatý řez
• Pentagon
• pětistěn
• Pentagram
• Státní značka kvality SSSR

Poznámky

1. ↑ Jednorozměrná ledová struktura postavená z pětiúhelníků. přírodní materiály. 8. března 2009 Archivováno 22. dubna 2009 na Wayback Machine 

Polygony
Podle počtu stran	Monogon Bigon Trojúhelník Čtyřúhelník Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon Desetiúhelník Hendecagon dvanáctiúhelník Třináct čtyřúhelník Pentagon Šestiúhelník Sedmnáct osmiúhelník Devatenáctiúhelník dvanáctiúhelník jednadvacetistranný Dvacet dva úhlů Twentytrigon Dvacet čtyřúhelníkové Dvacet pětiúhelník Dvacet osmiúhelník Trojúhelník Thirty-Biagon čtyřicet čtverečních Čtyřicet dvouúhelník letniční letniční Hexagon Sixty-quad Heptagon Octagon Nonagon [ en Millagon Deset tisíc gon Stotisícina Miliogon nekonečno
opravit	konvexní Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon hvězdicový Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram
trojúhelníky	Rovnoramenné Že jo Obdélníkový
Čtyřúhelníky	Napsaný popsaný Nepopsané Rovnoběžník Antiparalelogram Obdélník zlatý obdélník Kosočtverec Kosodélník Trapéz Deltový Náměstí jednotkový čtverec Lambert saccheri
viz také	Seznam polygonů Bod patřící do mnohoúhelníku Bolyai-Gervinova věta Brahmaguptova věta Gauss-Wanzelova věta Vrcholový vzorec Věta o součtu mnohoúhelníkových úhlů Bretschneiderův poměr

symbol Schläfli
Polygony	{jeden} {2} {3} {čtyři} {5} {6} {7} {osm} {9} {deset} {jedenáct} {12} {čtrnáct} {patnáct} {17} {osmnáct} {dvacet} {třicet} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
hvězdné polygony	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Ploché parkety _	{3,6} {4,4} {6,3}
Pravidelné mnohostěny a kulové parkety	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsotův mnohostěn	{5/2,5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
voštiny	{4,3,4}
Čtyřrozměrné mnohostěny	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}