Teorie kategorií

Teorie kategorií je odvětví matematiky , které studuje vlastnosti vztahů mezi matematickými objekty , které nezávisí na vnitřní struktuře objektů.

Teorie kategorií je centrální pro moderní matematiku [1] , a také našla použití v informatice [2] , logice [3] a teoretické fyzice [4] [5] . Moderní výklad algebraické geometrie a homologické algebry se v podstatě opírá o koncepty teorie kategorií. Koncepty obecných kategorií jsou také aktivně využívány ve funkcionálním programovacím jazyce Haskell [6] .

Definice

Kategorie je: ${\mathcal {C}}$

třída objektu ; $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$
pro každou dvojici objektů je uvedena množina morfismů ( nebo šipek) a každý morfismus odpovídá jediným a ; $A$ $B$ ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}}}(A,B)$ $A$ $B$
pro dvojici morfismů a složení je definováno ; $f\in {\mathrm {Hom}} (A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}} (B,C)$ $g\circ f\in {\mathrm {Hom}} (A,C)$
pro každý objekt je dán morfismus identity ; $A$ $\mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)$

a jsou splněny dva axiomy :

operace složení je asociativní : a $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
identitní morfismus působí triviálně: pro $f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f$ $f\in {\mathrm {Hom}} (A,B)$

Malá kategorie

Třída objektů není nutně množinou ve smyslu axiomatické teorie množin . Kategorie, ve které je množina a (množina všech morfismů kategorie) je množina, se nazývá malá . Navíc je možné (s mírnou korekcí definice) uvažovat o kategoriích, ve kterých morfismy mezi libovolnými dvěma objekty také tvoří třídu nebo dokonce větší strukturu [7] . V této variantě definice se o kategorii, ve které morfismy mezi dvěma pevnými objekty tvoří množinu, říká, že je lokálně malá . ${\mathcal {C}}$ $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$

Příklady kategorií

Set je kategorie sad . Objekty v této kategorii jsou množiny , morfismy jsou zobrazení množin.
Grp je kategorie skupin . Objekty jsou skupiny, morfismy jsou zobrazení, která zachovávají strukturu skupiny (skupinové homomorfismy ).
Vect K je kategorie vektorových prostorů nad polem K . Morfismy jsou lineární zobrazení .
Kategorie modulů .

Kategorie pro jiné algebraické systémy jsou definovány podobně .

Top je kategorie topologických prostorů . Morfismy jsou spojitá zobrazení .
Pro jakýkoli poset lze zkonstruovat malou kategorii, jejíž objekty jsou prvky množiny , a mezi prvky x a y existuje jedinečný morfismus právě tehdy, když x ≤ y (samozřejmě je třeba tuto kategorii odlišit od kategorie částečně objednaných sad!).
Met je kategorie, jejíž objekty jsou metrické prostory a jejíž morfismy jsou krátká zobrazení .

Komutativní diagramy

Komutativní diagramy jsou standardním způsobem popisu tvrzení teorie kategorií . Komutativní diagram je orientovaný graf s objekty v jeho vrcholech a morfismy jako šipky a výsledek složení šipek nezávisí na zvolené cestě. Například axiomy teorie kategorií (asociativita kompozice a vlastnost morfismu identity) mohou být zapsány pomocí diagramů:

Dualita

Pro kategorii můžete definovat duální kategorii , ve které: ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$

objekty odpovídají objektům původní kategorie;
morfismy se získají "obrácením šipek": ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}^{{op}}}}(B,A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}} }(A,B)$

Princip duality říká, že pro jakýkoli výrok teorie kategorií je možné formulovat duální výrok pomocí obrácení šipek, přičemž pravdivost výroku se nemění. Duální pojem se často označuje stejným termínem s předponou co- (viz příklady níže).

Základní definice a vlastnosti

Izomorfismus, endomorfismus, automorfismus

Morfismus se nazývá izomorfismus , pokud existuje takový morfismus , že a . Dva objekty mezi kterými je izomorfismus jsou řekl, aby byl izomorfní . Zejména identitní morfismus je izomorfismus, takže jakýkoli objekt je izomorfní sám sobě. $f\in {\mathrm {Hom}} (A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}} (B,A)$ $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$

Morfismy, ve kterých se začátek a konec shodují, se nazývají endomorfismy . Soubor endomorfismů je monoid s ohledem na operaci kompozice s prvkem identity . ${\mathrm {End}}(A)={\mathrm {Hom}}(A,A)$ $\mathrm {id} _{A}$

Endomorfismy, které jsou také izomorfismy, se nazývají automorfismy . Automorfismy jakéhokoli objektu tvoří skupinu automorfismu složením. ${\mathrm {Aut}} (A)$

Monomorfismus, epimorfismus, bimorfismus

Monomorfismus je morfismustakový, že pro kteroukoliznich vyplývá, že. Složení monomorfismů je monomorfismus. $f\in {\mathrm {Hom}} (A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}} (X,A)$ $f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$ $g_{1}=g_{2}$

Epimorfismus je morfismustakový, že pro některouznásledujících. Složení epimorfismů je epimorfismus. $f\in {\mathrm {Hom}} (A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}} (B,X)$ $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ $g_{1}=g_{2}$

Bimorfismus je morfismus, který je jak monomorfismus, tak epimorfismus. Každý izomorfismus je bimorfismus, ale ne každý bimorfismus je izomorfismus.

Monomorfismus, epimorfismus a bimorfismus jsou zobecnění pojmů injective, surjective a bijective mapping , příslušně . Jakýkoli izomorfismus je monomorfismus a epimorfismus, naopak, obecně řečeno, neplatí pro všechny kategorie.

Počáteční a koncové objekty

Počáteční (počáteční, univerzálně odpudivý) objekt kategorie je takový objekt, od kterého existuje jedinečný morfismus k jakémukoli objektu kategorie.

Pokud existují počáteční objekty v kategorii, pak jsou všechny izomorfní.

Duálním způsobem je definován terminální nebo univerzálně přitahující objekt - jedná se o takový objekt, ke kterému z jakéhokoli objektu kategorie existuje jedinečný morfismus.

Objekt kategorie se nazývá null , pokud je počáteční i koncový.

Příklad: V kategorii Set je počátečním objektem prázdná množina , koncovým objektem je libovolná množina jednoho prvku .

\varno nic

\{\cdot \}

Příklad: V kategorii Grp je nulový objekt - jedná se o skupinu jednoho prvku.

Součin a součet objektů

Součin (dvojice) objektů A a B je objekts morfismyatakový, že pro jakýkoli objekts morfismyaexistuje jedinečný morfismus, takže diagram zobrazený vpravo je komutativní. Morfismysenazývají projekce . $A\krát B$ $p_{1}:A\krát B\to A$ $p_{2}:A\krát B\to B$ $C$ $f_{1}:C\to A$ $f_{2}:C\to B$ $g:C\to A\krát B$ $p_{1}:A\krát B\to A$ $p_{2}:A\krát B\to B$

Součet nebo koprodukt objektů a je duálně definován . Odpovídající morfismy se nazývají vložení . Navzdory svému názvu obecně nemusí být monomorfismy . $A+B$ $A$ $B$ $\imath _{A}:A\do A+B$ $\imath _{B}:B\do A+B$

Pokud existuje produkt a koprodukt, pak jsou jednoznačně určeny až do izomorfismu.

Příklad: V kategorii Set je součin A a B přímým součinem ve smyslu teorie množin a součet je disjunktní sjednocení .

A\krát B

A \sqcup B

Příklad: V kategorii Prsten je součet součin tenzoru a součin přímým součtem prstenů .

Někdy B

A\oplus B

Příklad: V kategorii Vect K (konečný) jsou součin a součet izomorfní - jedná se o přímý součet vektorových prostorů .

A\oplus B

Podobným způsobem je snadné definovat součin jakékoli rodiny objektů . Nekonečné produkty jsou obecně mnohem složitější než konečné produkty. Například zatímco konečné produkty a vedlejší produkty ve Vect K jsou izomorfní k přímým součtům, nekonečné produkty a vedlejší produkty izomorfní nejsou . Prvky nekonečného součinu jsou libovolné nekonečné posloupnosti prvků , zatímco prvky nekonečného součinu jsou posloupnosti, ve kterých je pouze konečný počet členů nenulový. $\prod _{{i\in I}}A_{i}$ $\prod _{{i\in I}}V_{i}$ $v_{i}\in V_{i}$ $\coprod _{{i\in I}}V_{i}$

Funktory

Funktory jsou strukturně zachovávající zobrazení kategorií. Přesněji,

Funktor (kovariantní) spojuje každý objekt kategorie s objektem kategorie a každý morfismus s morfismem tak, že ${\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ $f:A\do B$ $F(f):{\mathcal {F}}(A)\to {\mathcal {F}}(B)$

${\displaystyle F(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{F(A)))$ a
$F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)$ .

Kontravariantní funktor , nebo kofunktor , lze chápat jako kovariantní funktor od do (nebo od do ), tedy "funktor, který obrací šipky". Totiž, s každým morfismem spojuje morfismus , a pravidlo složení je podle toho obráceno: . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{op}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$ ${\mathcal {D}}$ $f:A\do B$ $F(f):{\mathcal {F}}(B)\to {\mathcal {F}}(A)$ $F(g)\circ F(f)=F(f\circ g)$

Přirozené proměny

Pojem přirozené přeměny vyjadřuje vztah mezi dvěma funktory. Funktory často popisují "přirozené konstrukce", v tomto smyslu přirozené transformace popisují "přirozené morfismy" takových konstrukcí.

Jestliže a jsou kovariantní funktory z kategorie do , pak přirozená transformace přiřadí každému objektu kategorie morfismus takovým způsobem, že pro jakýkoli morfismus v kategorii je následující diagram komutativní: $F$ $G$ $C$ $D$ $\eta$ $X$ $C$ $\eta_X: F(X)\to G(X)$ $f:X\to Y$ $C$

O dvou funktorech se říká , že jsou přirozeně izomorfní , pokud mezi nimi existuje přirozená transformace, která je izomorfismem pro jakýkoli . $\eta _{X}$ $X$

Některé typy kategorií

Viz také

Poznámky

↑ Helemsky, 2004 .
↑ Rydeheard, Burstall, 1988 .
↑ Goldblatt, 1983 .
↑ Rodin, 2010 .
↑ Ivanov .
↑ Teorie kategorií v Haskellu .
↑ J. Adámek, H. Herrlich, GE Strecker Abstraktní a konkrétní kategorie: Radost koček Archivováno 25. března 2010 na Wayback Machine , - New York: John Wiley and Sons, - 1990.

Odkazy

"Teorie kategorií" ve Stanford Encyclopedia of Philosophy (anglicky) .
I. Ivanov. Potřebují fyzici teorii kategorií? . Živly (10. září 2008). (Ruština)
Teorie kategorií v Haskellu . Získáno 13. března 2011. Archivováno z originálu dne 23. srpna 2011.

Literatura

S. Maclane [Maclane S.] Kategorie pro pracujícího matematika . - Moskva: Fizmatlit, 2004. (Ruština)
S. Maclane [Maclane S.] Homologie . - Moskva: Mir , 1966. - T. 114. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Ruština)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Kategorie . - 1969. - T. 06. - (VINITI - Výsledky vědy a techniky, Algebra-Topologie-Geometrie). (Ruština)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Přednášky o teorii kategorií . - Moskva: Nauka , 1970. (Ruština)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Základy teorie kategorií . - Moskva: Nauka , 1974. (Ruština)
Bucur I., Deleanu A. Úvod do teorie kategorií a funktorů . - Moskva: Mir , 1972. - S. 259. (Ruština)
Faith [Faith C.] svazek 1 // Algebra - kruhy, moduly a kategorie . - Moskva: Mir , 1977. - T. 190. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Ruština)
Faith [Faith C.] svazek 2 // Algebra - kruhy, moduly a kategorie . - Moskva: Mir , 1977. - T. 191. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Ruština)
Gabriel [Gabriel P.], Zisman [Zisman M.] Kategorie kvocientů a teorie homotopie . - Moskva: Mir , 1977. - T. 35. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Ruština)
Goldblatt [Goldblatt R.] Topoi - kategoriální analýza logiky . - 1983. - T. 98. - ( Studie z logiky a základů matematiky ). (Ruština)
Fulton E, MacPherson R. Kategorický přístup ke studiu prostorů se singularitami / ed. Buchstaber V. M .. - 1983. - T. 33. - ( Novinka v zahraniční vědě, matematice ). (Ruština)
Artamonov V. A., Salii V. N., Skornyakov L. A., Shevrin L. N., Shulgeifer E. G. Obecná algebra . - Moskva: Nauka , 1991. - T. 2. - 480 s. - ( Novinka v zahraniční vědě, matematice ). — 25 500 výtisků. — ISBN 5-02-014427-4 . (Ruština)
DE Rydeheard, RM Burstall. Teorie výpočetních kategorií . - New York: Prentice Hall, 1988. - 257 s. — ISBN 0-13-162736-8 .
Helemsky A. Ya Přednášky o funkcionální analýze . - Moskva: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (Ruština)
R. Goldblatt. Topoi. Kategorická analýza logiky = Topoi. Kategoriální analýza logiky . - Moskva: Mir , 1983. - 488 s. (Ruština)
Rodin A. V. Teorie kategorií a hledání nových matematických základů fyziky // Otázky filozofie . - 2010. - č. 7 . - S. 67 .

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"