Zobecněný vlastní vektor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. října 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Zobecněný vlastní vektor matice je vektor , který splňuje určitá kritéria, která jsou slabší než kritéria pro (obyčejné) vlastní vektory [1] . $n\krát n$ $A$

Nechť být -rozměrný vektorový prostor . Dovolit být lineární zobrazení do , množina všech lineárních zobrazení od sebe. Dovolit být maticová reprezentace zobrazení pro nějaký uspořádaný základ . $PROTI$ $n$ $\phi$ $L(V)$ $PROTI$ $A$ $\phi$

Nemusí existovat úplná sada lineárně nezávislých vlastních vektorů matice , které tvoří úplný základ pro . To znamená, že matici nelze diagonalizovat [2] [3] . K tomu dochází, když je algebraická násobnost alespoň jedné vlastní hodnoty větší než její geometrická násobnost ( míra degenerace matice nebo dimenze jejího jádra). V tomto případě se nazývá defektní eigenvalue a samotná matice se nazývá defektní matice [4] . $n$ $A$ $PROTI$ $A$ $\lambda _{i}$ $(A-\lambda _{i}E)$ $\lambda _{i}$ $A$

Zobecněný vlastní vektor odpovídající , tvoří spolu s maticí Jordanův řetězec lineárně nezávislých zobecněných vlastních vektorů, které tvoří základ pro invariantní podprostor prostoru [5] [6] [7] . $x_{i}$ $\lambda _{i}$ $(A-\lambda _{i}E)$ $PROTI$

Pomocí zobecněných vlastních vektorů lze množinu lineárně nezávislých maticových vlastních vektorů v případě potřeby rozšířit na úplný základ pro [8] . Tento základ lze použít k definování "téměř diagonální matice" v Jordanově normální formě jako matice , která se používá při počítání určitých maticových funkcí z [1] . Matice se také používá při řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic , kde není nutně diagonalizovatelná [9] [3] . $A$ $PROTI$ $J$ $A$ $A$ $J$ $\mathbf {x} '=A\mathbf {x}$ $A$

Dimenze zobecněného vlastního prostoru odpovídající danému vlastnímu číslu je rovna algebraické násobnosti [8] . $\lambda$ $\lambda$

Přehled a definice

Existuje několik ekvivalentních způsobů, jak definovat obyčejný vlastní vektor [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] . Pro naše účely je vlastní vektor spojený s vlastním číslem matice nenulovým vektorem, pro který , kde je matice identity a je vektor s nulovou délkou [12] . To je jádro transformace . Pokud má lineárně nezávislé vlastní vektory, pak je podobná diagonální matici . To znamená, že existuje nesingulární matice , takže je diagonalizovatelná pomocí transformace podobnosti [18] [19] . Matice se nazývá spektrální matice matice . Matice se nazývá modální matice matice [20] . Zvláště zajímavé jsou diagonalizovatelné matice, protože z nich lze snadno vypočítat maticové funkce [21] . $\mathbf u$ $\lambda$ $n\krát n$ $A$ $(A-\lambda E)\mathbf {u} =\mathbf {0}$ $E$ $n\krát n$ ${\mathbf 0}$ $n$ $\mathbf u$ $(A-\lambda E)$ $A$ $n$ $A$ $D$ $M$ $A$ $D=M^{-1}AM$ $D$ $A$ $M$ $A$

Na druhou stranu, pokud s maticí nejsou spojeny žádné lineárně nezávislé vlastní vektory, pak není diagonalizovatelná [18] [19] . $A$ $n$ $A$

Definice: Vektor je zobecněný vlastní vektor úrovně matice odpovídající vlastní hodnotě , pokud: ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$ $m$ $A$ $\lambda$

(A-\lambda E)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} ~,

ale

(A-\lambda E)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} ~.

[1] .

Zobecněný vlastní vektor úrovně 1 je obyčejný vlastní vektor [22] . Jakákoli matice má lineárně nezávislé zobecněné vlastní vektory, které jsou s ní spojené, a lze ji ukázat jako podobnou „téměř diagonální“ matici v Jordanově normální formě [23] . To znamená, že existuje invertibilní matice taková, že [24] . Matice se v tomto případě nazývá zobecněná modální matice matice [25] . Jestliže je vlastní číslo s algebraickou násobností , pak bude mít lineárně nezávislé zobecněné vlastní vektory odpovídající [8] . Tyto výsledky zase poskytují metodu pro výpočet určitých maticových funkcí z [26] . $n\krát n$ $A$ $n$ $J$ $M$ $J=M^{-1}AM$ $M$ $A$ $\lambda$ $\mu$ $A$ $\mu$ $\lambda$ $A$

Poznámka : Aby byla matice nad polem vyjádřena v Jordanově normálním tvaru, musí být všechny vlastní hodnoty matice v . To znamená, že charakteristický polynom musí být zcela rozložen na lineární faktory. Alternativní příklad: pokud se matice skládá z reálných prvků, může se ukázat, že složky vlastních čísel a vlastních vektorů budou obsahovat imaginární hodnoty [4] [27] [3] . $n\krát n$ $A$ $F$ $A$ $F$ $f(x)$ $A$

Lineární rozpětí všech zobecněných vlastních vektorů pro daný tvoří zobecněný vlastní prostor pro [3] . $\lambda$ $\lambda$

Příklady

Několik příkladů pro ilustraci konceptu zobecněných vlastních vektorů. Některé podrobnosti budou popsány níže.

Příklad 1

Níže uvedený typ matice se často používá v učebnicích [3] [28] [2] . Vezměme si matrici

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}~.

Pak existuje pouze jedna vlastní hodnota, , a její algebraická násobnost . $\lambda =1$ $m=2$

Všimněte si, že tato matice má Jordanovu normální formu, ale není diagonální . Proto tato matice není diagonalizovatelná. Protože nadúhlopříčka obsahuje jeden prvek, existuje jeden zobecněný vlastní vektor o hodnosti větší než 1 (všimněte si, že vektorový prostor má dimenzi 2, takže může existovat nejvýše jeden zobecněný vlastní vektor hodnosti větší než 1). Můžete také vypočítat rozměr jádra matice , který se rovná , pak existují zobecněné vlastní vektory o hodnosti větší než 1. $PROTI$ $A-\lambda E$ $p=1$ $mp=1$

Obyčejný vlastní vektor se vypočítá standardní metodou (viz článek Vlastní vektor ). Pomocí tohoto vlastního vektoru je zobecněný vlastní vektor určen řešením rovnice: $\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2))$

(A-\lambda E)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}~.

Zapisování hodnot:

\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_ {21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end {pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}~.

Tento výraz zjednodušuje:

v_{22}=1~.

Prvek nemá žádná omezení. Zobecněný vlastní vektor úrovně 2 je pak , kde může mít libovolnou skalární hodnotu. Výběr je většinou nejjednodušší. $v_{21}$ $\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}$ $A$ $a=0$

kde:

(A-\lambda E)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix ))={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1}~,

stejně jako zobecněný vlastní vektor, ${\displaystyle \mathbf {v} _{2))$

(A-\lambda E)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix ))={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ~,

tak je obyčejný vlastní vektor a a jsou lineárně nezávislé, a proto tvoří základ pro vektorový prostor . ${\displaystyle \mathbf {v} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2))$ $PROTI$

Příklad 2

Následující příklad je poněkud složitější než příklad 1 , ale také malý [29] . Matice

A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix))

má vlastní čísla as algebraickou násobností a , ale geometrická násobnost bude rovna a . $\lambda _{1}=1$ $\lambda _{2}=2$ $\mu _{1}=2$ $\mu _{2}=3$ $\gamma _{1}=1$ $\gamma _{2}=1$

Zobecněný vlastní podprostor matice je vypočítán níže. je obvyklý vlastní vektor spojený s . je zobecněný vlastní vektor spojený s . je zobecněný vlastní vektor spojený s . a jsou zobecněné vlastní vektory spojené s . $A$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1))$ $\lambda_1$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2))$ $\lambda_1$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{1))$ $\lambda_2$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{3))$ $\lambda_2$

(A-1E)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1)\end\pmatrix{0} \\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf { 0}~,

(A-1E)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1)\end\pmatrix{101} \\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}= \mathbf {x} _{1}~,

(A-2E)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0)\gin{pmatrix pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0}~,

(A-2E)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0)\gin{pmatrix pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y}_{1}~,

(A-2E)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0)\gin{pmatrix pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\ mathbf {y} _{2}~.

Získáme základ pro každý ze zobecněných vlastních prostorů matice . Dohromady lineární kombinace dvou řetězců zobecněných vlastních vektorů vyplňují prostor všech 5rozměrných sloupcových vektorů: $A$

\left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\ \9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\}~,\left\{ \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\ 0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\ 1\\-2\\0\end{pmatrix}}\vpravo\}~.

"Téměř diagonální" matice v Jordanově normální formě , jako je , se získá takto: $J$ $A$

M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2} &\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{101} }}~,

J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}}~,

kde je zobecněná modální matice matice , sloupce matice jsou kanonický základ matice a [30] . $M$ $A$ $M$ $A$ $AM=MJ$

Jordan řetězy

Definice: Nechť je zobecněný hodnostní vlastní vektor odpovídající matici a vlastní hodnotě . Řetězec tvořený vektorem je množina vektorů definovaných výrazem: ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$ $m$ $A$ $\lambda$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\tečky ,\mathbf {x} _{1}\right\))$

$\mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{m}~,$
$\mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda E)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{ m-1}~,$
$\mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda E)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{ m-2}~,$

\vtečky

$\mathbf {x} _{1}=(A-\lambda E)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{ 2}~.$

(jeden)

Pak:

\mathbf {x} _{j}=(A-\lambda E)^{mj}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{j+ 1 }\qquad (j=1,2,\tečky ,m-1)~.

(2)

Vektor daný vzorcem ( 2 ) je zobecněným vlastním vektorem úrovně odpovídající vlastní hodnotě . Řetězec je množina lineárně nezávislých vektorů [6] . ${\displaystyle \mathbf {x} _{j))$ $j$ $\lambda$

Kanonický základ

Definice: Množina lineárně nezávislých zobecněných vlastních vektorů je kanonickou bází , pokud se množina skládá výhradně z Jordanových řetězců. $n$

Pokud je tedy zobecněný vlastní vektor hodnosti v kanonické bázi, pak jsou vektory v Jordanově řetězci tvořeném také v kanonické bázi [31] . $m$ $m-1$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$

Dovolit být vlastní číslo matice s algebraickou násobností . Najděte (maticové) úrovně matic . Celé číslo je definováno jako první číslo , pro které má hodnost (zde se rovná počtu řádků nebo sloupců matice , to znamená, že matice má velikost ). $\lambda_i$ $A$ ${\displaystyle \mu _{i))$ $(A-\lambda _{i}E),(A-\lambda _{i}E)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}E)^{m_{i }}$ $m_i$ $(A-\lambda _{i}R)^{m_{i))$ ${\displaystyle n-\mu _{i))$ $n$ $A$ $A$ $n\krát n$

Dále definujeme:

\rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}E)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}E)^ {k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i})~.

Proměnná označuje počet lineárně nezávislých zobecněných vlastních vektorů úrovně odpovídající vlastní hodnotě , která se objeví v kanonické bázi matice . kde: ${\displaystyle \rho _{k))$ $k$ $\lambda_i$ $A$

\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}E)^{0}=\operatorname {rank} (E)=n

[32] .

Výpočet zobecněných vlastních vektorů

Předchozí sekce představovaly techniky pro získání lineárně nezávislých vlastních zobecněných vlastních vektorů kanonické báze pro vektorový prostor spojený s maticí . Tyto techniky lze shromáždit v postupu: $n$ $PROTI$ $n\krát n$ $A$

Řešíme charakteristický polynom matice , abychom získali vlastní čísla a jejich algebraické násobnosti ;

A

\lambda_i

{\displaystyle \mu _{i))

Pro každého :

\lambda_i

Definujeme ;

{\displaystyle n-\mu _{i))

Definujeme ;

m_i

Definujeme pro ;

{\displaystyle \rho _{k))

(k=1,\ldots ,m_{i})

Každý Jordanův řetězec definujeme pro .

\lambda _{i}

Příklad 3

Matice

A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}

má vlastní hodnotu s algebraickou násobností a vlastní hodnotu s algebraickou násobností , zatímco . Pro každý se provádí: . $\lambda _{1}=5$ $\mu _{1}=3$ $\lambda _{2}=4$ $\mu _{2}=1$ $n=4$ $\lambda _{1}$ $n-\mu _{1}=4-3=1$

(A-5E)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatorname {rank} (A-5E)= 3~.

(A-5E)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatorname {rank} (A -5E)^{2}=2~.

(A-5E)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatorname {rank} (A -5E)^{3}=1~.

První celé číslo , pro které má hodnost, je . $m_1$ $(A-5E)^{m_{1))$ $n-\mu _{1}=1$ $m_{1}=3$

Dále definujeme:

\rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5E)^{2}-\operatorname {rank} (A-5E)^{3}=2-1=1~,

\rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5E)^{1}-\operatorname {rank} (A-5E)^{2}=3-2=1~,

\rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5E)^{0}-\operatorname {rank} (A-5E)^{1}=4-3=1~.

Proto budou existovat tři lineárně nezávislé zobecněné vlastní vektory, po jednom z úrovní 3, 2 a 1. Protože odpovídá jednomu řetězci tří lineárně nezávislých zobecněných vlastních vektorů, existuje zobecněný vlastní vektor úrovně 3 odpovídající , takže: $\lambda _{1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{3))$ $\lambda _{1}$

(A-5E)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0} ~,

(3)

ale:

(A-5E)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} ~.

(čtyři)

Výrazy ( 3 ) a ( 4 ) představují lineární systém , který lze relativně řešit . Nechat ${\displaystyle \mathbf {x} _{3))$

\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}~.

Pak:

(A-5E)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\ begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34} \\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

(A-5E)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\ begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\ 4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}~.

Pak, aby byly splněny podmínky ( 3 ) a ( 4 ), je nutné mít a . Na a nejsou kladena žádná omezení . Výběrem získáme: $x_{34}=0$ $x_{33}\neq 0$ $x_{31}$ $x_{32}$ $x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1$

\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}~,

jako zobecněný vlastní vektor úrovně 3 odpovídající . Je možné získat nekonečně mnoho dalších zobecněných vlastních vektorů úrovně 3 výběrem jiných hodnot , a pro . Provedená volba je však nejjednodušší [33] . $\lambda _{1}=5$ $x_{31}$ $x_{32}$ ${\displaystyle x_{33))$ $x_{33}\neq 0$

Nyní pomocí rovnosti ( 1 ) získáme a jako zobecněné vlastní vektory pořadí 2 a 1, kde: ${\displaystyle \mathbf {x} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1))$

\mathbf {x} _{2}=(A-5E)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix} }

\mathbf {x} _{1}=(A-5E)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix)) ~.

Nenásobné vlastní číslo lze vypočítat pomocí standardních technik a odpovídá obvyklému vlastnímu vektoru: $\lambda _{2}=4$

\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}~.

Kanonický základ matice bude: $A$

\left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\} =\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\} ~.

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2))$ a budou zobecněné vlastní vektory spojené s , zatímco je obvyklý vlastní vektor spojený s . ${\displaystyle \mathbf {x} _{3))$ $\lambda_1$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{1))$ $\lambda_2$

Toto je docela jednoduchý příklad. Obecně platí, že počty lineárně nezávislých zobecněných vlastních řadových vektorů nebudou vždy stejné. To znamená, že mohou existovat řetězce s různými délkami odpovídajících vlastních čísel [34] . ${\displaystyle \rho _{k))$ $k$

Zobecněná modální matice

Buď matice . Zobecněná modální matice pro je matice, jejíž sloupce, považované za vektory, tvoří kanonickou bázi matice a objevují se v souladu s následujícími pravidly: $A$ $n\krát n$ $M$ $A$ $n\krát n$ $A$ $M$

Všechny Jordanovy řetězce sestávající z jednoho vektoru (tj. jednoho vektoru dlouhého) se objeví v prvním sloupci matice . $M$
Všechny vektory jednoho řetězce se objevují společně v sousedních sloupcích matice . $M$
Každý řetězec se objevuje v pořadí zvyšující se hodnosti (tj. zobecněný charakteristický vektor hodnosti 1 se objeví před zobecněným vlastním vektorem hodnosti 2 stejného řetězce, tento vektor se objeví před zobecněným vlastním vektorem hodnosti 3 stejného řetězce atd.) [25] . $M$

Jordan normální tvar

Nechť být -rozměrný vektorový prostor. Nechť je lineární zobrazení od ) , množina všech lineárních zobrazení od sebe. Dovolit být maticová reprezentace pro nějaký uspořádaný základ. Lze ukázat, že pokud se charakteristický polynom matice rozloží na lineární faktory, tak má tvar: $PROTI$ $n$ $\phi$ $L(V$ $PROTI$ $A$ $\phi$ $f(\lambda)$ $A$ $f(\lambda)$

f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1))(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2} }\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}}~,

kde jsou odlišné vlastní hodnoty , pak každá je algebraickou násobností odpovídající vlastní hodnoty a je podobná matici v Jordanově normálním tvaru , kde se každá objevuje na diagonále postupně. Navíc prvek bezprostředně nad každým (tj. na nadúhlopříčce ) je buď 0 nebo 1 - prvky nad prvním výskytem každého z nich jsou vždy 0; všechny ostatní prvky na superúhlopříčce jsou rovny 1. Navíc všechny ostatní prvky mimo úhlopříčku a superúhlopříčku se rovnají 0. Matice je nejblíže diagonalizaci matice . Pokud je matice diagonalizovatelná, jsou všechny položky nad diagonálou nulové [35] . Všimněte si, že v některých knihách jsou jednotky umístěny na subdiagonále, tedy přímo pod hlavní úhlopříčkou, nikoli na superúhlopříčce. Vlastní čísla zůstávají na hlavní diagonále [36] [37] . ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r))$ $A$ $\mu _{i}$ $\lambda _{i}$ $A$ $J$ $\lambda _{i}$ $\mu _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $J$ $A$ $A$

Jakákoli matice je podobná matici v Jordanově normální formě, která se získá podobnostními transformacemi , kde je zobecněná modální matice matice [38] (viz poznámka výše). $n\krát n$ $A$ $J$ $J=M^{-1}AM$ $M$ $A$

Příklad 4

Pojďme najít matici v Jordanově normálním tvaru, která je podobná:

A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}~.

Řešení: Charakteristická rovnice matice - je tedy vlastní číslo s algebraickou násobností tři. Podle postupu z předchozí části zjistíme, že: $A$ $(\lambda -2)^{3}=0$ $\lambda =2$

\operatorname {rank} (A-2E)=1

\operatorname {rank} (A-2E)^{2}=0=n-\mu ~.

Potom a , z čehož vyplývá, že kanonický základ matice bude obsahovat jeden lineárně nezávislý zobecněný vlastní vektor úrovně 2 a dva lineárně nezávislé zobecněné vlastní vektory úrovně 1, nebo ekvivalentně: jeden řetězec dvou vektorů a jeden řetězec vektorů . Označením dostaneme: $\rho _{2}=1$ $\rho _{1}=2$ $A$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\))$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\))$ $M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix))$

M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}}

J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}~,

kde je zobecněná modální matice matice , sloupce matice jsou kanonickým základem matice a [39] . Vzhledem k tomu, že zobecněné vlastní vektory samy o sobě nejsou jedinečné a protože některé sloupce matic a mohou být zaměněny, vyplývá z toho, že matice i matice nejsou jedinečné [40] . $M$ $A$ $M$ $A$ $AM=MJ$ $M$ $J$ $M$ $J$

Příklad 5

V příkladu 3 byl nalezen kanonický základ lineárně nezávislých zobecněných vlastních vektorů matice . Zobecněná modální matice je: $A$ $A$

M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}~.

Matice v Jordanově normální formě, jako matice , je: $A$

J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}}~,

tak . $AM=MJ$

Aplikace

Maticové funkce

Tři hlavní operace, které lze provádět se čtvercovými maticemi , jsou sčítání matic, skalární násobení a násobení matic [41] . To jsou přesně ty operace, které jsou potřeba k určení polynomiální funkce matice [42] . Mnoho funkcí může být reprezentováno jako Maclaurinova řada , proto lze definovat obecnější funkce matic [43] . Pokud je matice diagonalizovatelná, to znamená: $n\krát n$ $A$ $A$

D=M^{-1}AM~,

D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0& \cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}~,

pak:

D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}~,

a sumace Maclaurinovy řady funkce je značně zjednodušena [44] . Chcete-li například získat jakýkoli stupeň k matice , stačí vypočítat vynásobením matice vlevo a poté vpravo [45] . $A$ $A$ $D^{k}$ $D^{k}$ $M$ $M^{-1}$

Pomocí zobecněných vlastních vektorů lze získat Jordanovu normální formu matice a tyto výsledky lze zobecnit a získat přímou metodu pro výpočet funkcí z nediagonalizovatelných matic [46] (viz Jordanův rozklad .) $A$

Diferenciální rovnice

Zvažte problém řešení soustavy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic:

\mathbf {x} '=A\mathbf {x} ~,

(5)

kde:

\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix)) ~,\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\ konec{pmatrix}}~,

A=(a_{ij})~.

Pokud je matice diagonalizovatelná, takže pro systém ( 5 ) se redukuje na systém rovnic, které mají tvar: $A$ $a_{ij}=0$ $já \ne j$ $n$

$x_{1}'=a_{11}x_{1}$
$x_{2}'=a_{22}x_{2}$

\vtečky

$x_{n}'=a_{nn}x_{n}~.$

(6)

V tomto případě je obecné řešení dáno výrazy:

{\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t))

{\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t))

\vtečky

x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}~.

V obecném případě bychom měli matici diagonalizovat a redukovat systém ( 5 ) na systém tvaru ( 6 ), jak je uvedeno níže. Pokud je matice diagonalizovatelná, máme , kde je modální matice matice . Po substituci se rovnost ( 5 ) stane , nebo: $A$ $A$ $D=M^{-1}AM$ $M$ $A$ $A=MDM^{-1}$ $M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )$

\mathbf {y} '=D\mathbf {y} ~,

(7)

kde:

\mathbf {x} =M\mathbf {y} ~.

(osm)

Řešení rovnice ( 7 ) bude:

{\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t))

{\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t))

\vtečky

y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}~.

Řešení soustavy ( 5 ) pak získáme pomocí vztahu ( 8 ) [47] . $\mathbf {x}$

Na druhou stranu, pokud matice není diagonalizovatelná, zvolíme jako matici zobecněnou modální matici pro matici , takže jde o Jordanovu normální formu matice . Systém vypadá takto: $A$ $M$ $A$ $J=M^{-1}AM$ $A$ $\mathbf {y} '=J\mathbf {y}$

${\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1} '&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n}~ ,\end{aligned}}$

(9)

kde hodnoty jsou vlastní hodnoty z hlavní úhlopříčky matice a hodnoty jsou jedničky a nuly z nadúhlopříčky matice . Systém ( 9 ) je často snadněji řešitelný než ( 5 ), například podle následujícího schématu: $\lambda_i$ $J$ $\epsilon _{i}$ $J$

Řešením poslední rovnosti v ( 9 ) vzhledem k dostaneme . Dosazením získané hodnoty do předposlední rovnosti v ( 9 ) ji vyřešíme vzhledem k . Pokračujeme v tomto procesu a projdeme všechny rovnosti ( 9 ) od poslední po první, čímž vyřešíme celý systém rovnic. Řešení pak získáme ze vztahů ( 8 ) [48] . $y_{n}$ ${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t))$ $y_{n}$ ${\displaystyle y_{n-1))$ $\mathbf {x}$

Poznámky

↑ 1 2 3 Bronson, 1970 , str. 189.
↑ 1 2 Beauregard, Fraleigh, 1973 , str. 310.
↑ 1 2 3 4 5 Nering, 1970 , str. 118.
↑ 1 2 Golub, Van Loan, 1996 , str. 316.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 319.
↑ 12 Bronson , 1970 , s. 194–195.
↑ Golub, Van Loan, 1996 , s. 311.
↑ 1 2 3 Bronson, 1970 , str. 196.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 316–318.
↑ Anton, 1987 , str. 301–302.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 266.
↑ 1 2 Burden, Faires, 1993 , str. 401.
↑ Golub, Van Loan, 1996 , s. 310–311.
↑ Harper, 1976 , s. 58.
↑ Herstein, 1964 , str. 225.
↑ Kreyszig, 1972 , str. 273,684.
↑ Nering, 1970 , str. 104.
↑ 1 2 Beauregard, Fraleigh, 1973 , str. 270–274.
↑ 12 Bronson , 1970 , s. 179–183.
↑ Bronson, 1970 , str. 181.
↑ Bronson, 1970 , str. 179.
↑ Bronson, 1970 , str. 190,202.
↑ Bronson, 1970 , str. 189,203.
↑ Bronson, 1970 , str. 206–207.
↑ 12 Bronson , 1970 , s. 205.
↑ Bronson, 1970 , str. 189,209-215.
↑ Herstein, 1964 , str. 259.
↑ Herstein, 1964 , str. 261.
↑ Nering, 1970 , str. 122,123.
↑ Bronson, 1970 , str. 189–209.
↑ Bronson, 1970 , str. 196,197.
↑ Bronson, 1970 , str. 197,198.
↑ Bronson, 1970 , str. 190–191.
↑ Bronson, 1970 , str. 197–198.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 311.
↑ Cullen, 1966 , s. 114.
↑ Franklin, 1968 , str. 122.
↑ Bronson, 1970 , str. 207.
↑ Bronson, 1970 , str. 208.
↑ Bronson, 1970 , str. 206.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 57–61.
↑ Bronson, 1970 , str. 104.
↑ Bronson, 1970 , str. 105.
↑ Bronson, 1970 , str. 184.
↑ Bronson, 1970 , str. 185.
↑ Bronson, 1970 , str. 209–218.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 274–275.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 317.

Literatura

Anton Howard. Elementární lineární algebra. — 5. - New York: Wiley , 1987. - ISBN 0-471-84819-0 .
Sheldon Axler. Lineární algebra Hotovo správně. — 2. - Springer, 1997. - ISBN 978-0-387-98258-8 .
Raymond A. Beauregard, John B. Fraleigh. První kurz lineární algebry: s volitelným úvodem do grup, okruhů a polí . — Boston: Houghton Mifflin Co. , 1973. - ISBN 0-395-14017-X .
Richard Bronson. Maticové metody: Úvod . — New York: Academic Press , 1970.
Richard L. Burden, J. Douglas Faires. Numerická analýza . — 5. — Boston: Prindle, Weber a Schmidt , 1993. — ISBN 0-534-93219-3 .
Charles G. Cullen. Matice a lineární transformace . — Čtení: Addison-Wesley , 1966.
Joel N. Franklin. Teorie matic. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall , 1968.
Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Maticové výpočty. — 3. - Baltimore: Johns Hopkins University Press , 1996. - ISBN 0-8018-5414-8 .
- Přeložili J. Golub, C. Van Lone. Maticové výpočty. - M. : "Mir", 1999. - ISBN 5-03-002406-9 .
Charlie Harper. Úvod do matematické fyziky . - New Jersey: Prentice-Hall , 1976. - ISBN 0-13-487538-9 .
Herstein IN Témata V Algebře. - Waltham: Blaisdell Publishing Company , 1964. - ISBN 978-1114541016 .
Erwin Kreyszig. Pokročilá inženýrská matematika . — 3. - New York: Wiley , 1972. - ISBN 0-471-50728-8 .
Evar D. Nering. Lineární algebra a teorie matic. — 2. — New York: Wiley , 1970.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný

Matematika

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"