Pythagorova věta

Pythagorova věta

Pojmenoval podle	Pythagoras
Vzorec popisující zákon nebo větu	$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Označení ve vzorci	$C$ a _ $A$ $b$
Prvek nebo příkaz popisuje	pravoúhlý trojuhelník
Popsáno v odkazu	geogebra.org/m/ZF… ( anglicky)
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Pythagorova věta je jedním ze základních teorémů Euklidovské geometrie , zakládající vztah mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku : součet čtverců délek nohou se rovná čtverci délky přepony .

Poměr v té či oné podobě byl údajně znám různým starověkým civilizacím dávno před naším letopočtem; první geometrický důkaz je připisován Pythagorovi . Příkaz se objeví jako Tvrzení 47 v Euklidových prvcích [ .

Geometricky lze také vyjádřit, že plocha čtverce postaveného na přeponě se rovná součtu ploch čtverců postavených na nohách. Platí i obrácené tvrzení : trojúhelník, ve kterém se součet druhých mocnin délek dvou stran rovná druhé mocnině délky třetí strany, je pravoúhlý trojúhelník.

Existuje řada zobecnění této věty - pro libovolné trojúhelníky , pro obrazce v prostorech vyšších rozměrů. V neeuklidovských geometriích věta neplatí .

Historie

Podle historika matematiky Moritze Cantora se ve starověkém Egyptě za dob krále Amenemheta I. (kolem 23. století př. n. l. ) vědělo o pravoúhlém trojúhelníku se stranami 3, 4, 5 - používali ho harpedonapti - " napínače lana“ [1] . Ve starověkém babylonském textu pocházejícím z doby Hammurabiho ( XX století př. n. l. ) je uveden přibližný výpočet přepony [2] . Podle van der Waerdena je velmi pravděpodobné, že poměr obecně byl v Babylonu znám již kolem 18. století před naším letopočtem. E.

Ve staré čínské knize " Zhou bi suan jing ", datované do období 5.-3. století před naším letopočtem. je dán trojúhelník se stranami 3, 4 a 5, navíc lze obrázek interpretovat jako grafické zdůvodnění poměru věty [3] . V čínské sbírce problémů „ Matematika v devíti knihách “ (X-II století před naším letopočtem) je aplikaci této věty věnována samostatná kniha.

Obecně se uznává, že důkaz korelace podal starověký řecký filozof Pythagoras (570-490 př.nl). Existují důkazy od Prokla (412-485 n. l.), že Pythagoras používal algebraické metody k nalezení pythagorejských trojic [4] , ale pět století po Pythagorově smrti neexistuje žádná přímá zmínka o důkazu jeho autorství. Když však Plutarchos a Cicero píší o Pythagorově větě, z obsahu vyplývá, že autorství Pythagora je dobře známé a nepochybné [5] [6] . Existuje legenda, kterou uvádí Diogenes Laertes , podle které Pythagoras údajně oslavil objev své věty obří hostinou, kdy pro radost porazil sto býků [7] .

Přibližně 400 let před naším letopočtem. e., podle Proclus, Plato dal metodu pro nalezení Pythagorean trojice, kombinovat algebru a geometrii. Kolem roku 300 př. Kr. E. v „Prvcích“ Euklida se objevil nejstarší axiomatický důkaz Pythagorovy věty [8] .

Formulace

Hlavní formulace obsahuje algebraické operace - v pravoúhlém trojúhelníku, jehož délky ramen jsou rovné a , a délka přepony je , vztah $A$ $b$ $C$

a^{2}+b^{2}=c^{2}.

Je také možná ekvivalentní geometrická formulace, která se uchýlí ke konceptu plochy obrázku : v pravoúhlém trojúhelníku se plocha čtverce postaveného na přeponě rovná součtu ploch čtverců postavených na nohách. V této podobě je věta formulována v Euklidových prvcích.

Inverzní Pythagorova věta je tvrzení o pravoúhlosti jakéhokoli trojúhelníku, jehož délky stran jsou ve vztahu k poměru . V důsledku toho pro jakýkoli trojitý kladných čísel , A , Tak, že , Existuje pravoúhlý trojúhelník s nohama a a přepona . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $A$ $b$ $C$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $A$ $b$ $C$

Důkazy

Ve vědecké literatuře bylo zaznamenáno nejméně 400 důkazů Pythagorovy věty [9] , což je vysvětleno jak základní hodnotou pro geometrii, tak elementární povahou výsledku. Hlavní směry důkazů jsou: algebraické využití poměrů prvků trojúhelníku (například oblíbená podobnostní metoda ), plošná metoda , existují i různé exotické důkazy (například pomocí diferenciálních rovnic).

Prostřednictvím podobných trojúhelníků

Jedním z nejoblíbenějších důkazů algebraické formulace v naučné literatuře je důkaz pomocí techniky podobnosti trojúhelníku , přičemž je téměř přímo odvozen z axiomů a nezahrnuje pojem plochy obrazce . [10] V něm se pro trojúhelník s pravým úhlem ve vrcholu se stranami opačnými k vrcholům kreslí výška a (podle kritéria podobnosti pro rovnost dvou úhlů) vznikají vztahy podobnosti: a , ze kterého vztahy přímo vyplývají $\trojúhelník ABC$ $C$ $a,b,c$ $A, B, C$ $CH$ $\triangle ABC\sim \triangle ACH$ $\triangle ABC\sim \triangle CBH$

{\frac {a}{c}}={\frac {|HB|}{a}},\quad {\frac {b}{c}}={\frac {|AH|}{b }}.

Při násobení krajních členů proporcí jsou odvozeny rovnosti

a^{2}=c\cdot |HB|,\quad b^{2}=c\cdot |AH|,

jehož přidání po komponentě dává požadovaný výsledek:

a^{2}+b^{2}=c\cdot {\big (}|HB|+|AH|{\big )}=c^{2}\quad \Leftrightarrow \quad a^{ 2}+b^{2}=c^{2}.

Důkazy plošnou metodou

Velké množství důkazů zahrnuje koncept oblasti. Přes zdánlivou jednoduchost mnoha z nich takové důkazy využívají vlastností ploch obrazců, jejichž důkazy jsou složitější než důkazy samotné Pythagorovy věty.

Důkaz ekvivalence

Důkaz ekvikomplementace používá čtyři kopie pravoúhlého trojúhelníku s nohami a přeponou , uspořádaných tak, aby tvořily čtverec se stranami a vnitřní čtyřúhelník se stranami délky . Vnitřní čtyřúhelník v této konfiguraci je čtverec , protože součet dvou ostrých úhlů opačných k pravému je 90° a přímý úhel je 180°. Plocha vnějšího čtverce je rovna , skládá se z vnitřního čtverce o ploše a čtyř pravoúhlých trojúhelníků, každý o ploše , v důsledku toho tvrzení věty vyplývá ze vztahu při algebraické transformaci . $a,b$ $C$ $a+b$ $C$ $(a+b)^{2}$ $c^{2}$ ${\frac {ab}{2))$ $(a+b)^{2}=4\cdot {\frac {ab}{2}}+c^{2}$

Euklidův důkaz

Euklidův klasický důkaz si klade za cíl stanovit rovnost ploch mezi obdélníky vytvořenými disekcí čtverce nad přeponou s výškou z pravého úhlu se čtverci nad nohama. [jedenáct]

Konstrukce použitá pro důkaz je následující: pro pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem , čtverce nad nohama a a čtverec nad přeponou , je sestrojena výška a paprsek, který v ní pokračuje , rozdělující čtverec nad přeponou na dva obdélníky a . Důkaz je zaměřen na stanovení rovnosti ploch obdélníku se čtvercem nad nohou ; obdobným způsobem se stanoví rovnost ploch druhého obdélníku, což je čtverec nad přeponou, a obdélníku nad druhým ramenem. $\trojúhelník ABC$ $C$ $ACED$ $BCFG$ $ABIK$ $CH$ $s$ $AHJK$ $BHJI$ $AHJK$ $AC$

Rovnost ploch obdélníku a je stanovena prostřednictvím shody trojúhelníků a , přičemž plocha každého z nich se rovná polovině plochy obdélníků , respektive ve spojení s následující vlastností: plocha trojúhelníku se rovná polovině plochy obdélníku, pokud mají postavy společnou stranu, a výška trojúhelníku ke společné straně je druhá strana obdélníku. Kongruence trojúhelníků vyplývá z rovnosti dvou stran (stran čtverců) a úhlu mezi nimi (složeného z pravého úhlu a úhlu v ). $AHJK$ $ACED$ $\triangle ACK$ $\triangle ABD$ $AHJK$ $ACED$ $A$

Důkaz tedy stanoví, že plocha čtverce nad přeponou, složená z obdélníků a , se rovná součtu ploch čtverců nad nohami. $AHJK$ $BHJI$

Důkaz Leonarda da Vinciho

S metodou ploch souvisí také důkaz připisovaný Leonardu da Vincimu . Podle německého matematika Franze Lemmermeyera tento důkaz ve skutečnosti vynalezl Johann Tobias Mayer [12] . Nechť pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem a čtverce , a je dáno (viz obrázek). V tomto důkazu , trojúhelník je konstruován na straně druhé k vnější straně, shodný , Navíc se odráží jak ve vztahu k přeponě, tak ve vztahu k výšce k ní (to znamená a ). Přímka rozděluje čtverec postavený na přeponě na dvě stejné části, protože trojúhelníky a jsou stejné v konstrukci. Důkaz stanoví shodu čtyřúhelníků a , přičemž plocha každého z nich se na jedné straně rovná součtu poloviny ploch čtverců na nohách a plochy původního trojúhelníku, na na druhé straně na polovinu plochy čtverce na přeponě plus plochu původního trojúhelníku. Celkově se polovina součtu ploch čtverců nad nohama rovná polovině plochy čtverce nad přeponou, což je ekvivalentní geometrické formulaci Pythagorovy věty. $\trojúhelník ABC$ $C$ $ACED$ $BCFG$ $ABHJ$ $HJ$ $\trojúhelník ABC$ $JI=BC$ $HI=AC$ $CI$ $\trojúhelník ABC$ $\triangle JHI$ $CAJI$ $DABG$

Přes oblasti podobných trojúhelníků

Následující důkaz je založen na skutečnosti, že plochy podobných trojúhelníků spolu souvisí jako čtverce odpovídajících stran. [13]

Nechť existuje pravoúhlý trojúhelník, odvěsna klesla na přeponu z vrcholu pravého úhlu. Trojúhelníky jsou podobné, protože mají pravý úhel a společný úhel . Prostředek $ABC$ $INZERÁT$ $ABC$ $DBA$ $B$

{\frac {{\text{area}}~DBA}{{\text{area}}~ABC}}={\frac {AB^{2}}{BC^{2}}}.

Podobně to dostáváme

{\frac {{\text{area}}~DAC}({\text{area}}~ABC}}={\frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.

Protože trojúhelníky a dohromady tvoří , součet ploch a je roven ploše . Odtud $DBA$ $DAC$ $\trojúhelník ABC$ $\triangle DBA$ $\triangle DAC$ $\trojúhelník ABC$

{\frac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1

nebo $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.$

Důkaz infinitezimální metodou

Existuje několik důkazů, které se uchylují k technice diferenciálních rovnic . Zvláště, Hardy je připočítán s důkazem používat nekonečně malé přírůstky nohou a a přepona . Například zvýšení nohy , když je noha konstantní , vede ke zvýšení přepony , takže $A$ $b$ $C$ $ano$ $b$ $dc$

{\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}.

Metodou separace proměnných se z nich odvodí diferenciální rovnice , jejíž integrací vznikne vztah . Použitím počátečních podmínek je konstanta definována jako , což vede k tvrzení věty. $c\,dc=a\,da$ $c^{2}=a^{2}+\mathrm {const}$ $a=0,\ c=b$ $b^{2}$

Kvadratická závislost v konečném vzorci se objevuje v důsledku lineární úměrnosti mezi stranami trojúhelníku a přírůstky, zatímco součet je způsoben nezávislými příspěvky přírůstku různých větví.

Variace a zobecnění

Podobné geometrické tvary na třech stranách

Důležité geometrické zobecnění Pythagorovy věty podal Euklides v Principia , přecházející od ploch čtverců na stranách k plochám libovolných podobných geometrických obrazců [14] : součet ploch takových obrazců postavených na nohách bude se rovná ploše postavy podobné jim, postavené na přeponě.

Hlavní myšlenkou tohoto zobecnění je, že plocha takového geometrického útvaru je úměrná čtverci libovolného z jeho lineárních rozměrů a zejména druhé mocnině délky kterékoli strany. Proto pro podobné obrazce s plochami a , postavené na nohách s délkami a přeponami , v tomto pořadí platí následující vztah: $A$ $B$ $C$ $A$ $b$ $C$

{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,\ Šipka vpravo \,A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C

Protože podle Pythagorovy věty pak . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $A+B=C$

Pokud je navíc možné bez použití Pythagorovy věty dokázat, že pro plochy tří podobných geometrických útvarů na stranách pravoúhlého trojúhelníku je vztah splněn , pak pomocí opačného důkazu Euklidova zobecnění dokáže odvodit důkaz Pythagorovy věty. Například, pokud na přeponě sestrojíme pravoúhlý trojúhelník shodný s počátečním trojúhelníkem s plochou , a na nohách - dva podobné pravoúhlé trojúhelníky s plochami a , pak se ukáže, že trojúhelníky na nohách jsou vytvořeny jako výsledkem dělení počátečního trojúhelníku jeho výškou, to znamená, že součet dvou menších oblastí trojúhelníků se rovná ploše třetiny, tímto způsobem a použitím poměru pro podobná čísla je odvozena Pythagorova věta. $A+B=C$ $C$ $A$ $B$ $A+B=C$

Kosinová věta

Pythagorova věta je speciálním případem obecnější kosinové věty, která dává do souvislosti délky stran v libovolném trojúhelníku [15] :

{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2))

kde je úhel mezi stranami a . Pokud je úhel 90°, pak , a vzorec je zjednodušen na obvyklou Pythagorovu větu. $\theta$ $A$ $b$ $\cos \theta =0$

Libovolný trojúhelník

Existuje zobecnění Pythagorovy věty na libovolný trojúhelník, fungující pouze na poměru délek stran. Předpokládá se, že jej jako první založil sabánský astronom Thabit ibn Qurra [16] . V něm je pro libovolný trojúhelník se stranami vepsán rovnoramenný trojúhelník se základnou na straně , vrcholem shodným s vrcholem původního trojúhelníku, naproti straně , a úhly na základně rovnými úhlu protilehlému strana . V důsledku toho se vytvoří dva trojúhelníky, podobné původnímu: první se stranami , boční strana vepsaného rovnoramenného trojúhelníku nejdále od něj a - části strany ; druhá je k ní symetrická ze strany se stranou - odpovídající část strany . Výsledkem je, že vztah [17] [18] $a,b,c$ $C$ $C$ $\theta$ $C$ $A$ $r$ $C$ $b$ $s$ $C$

a^{2}+b^{2}=c(r+s),

degenerující do Pythagorovy věty na . Poměr je důsledkem podobnosti vytvořených trojúhelníků: $\theta =\pi /2$

{\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}},\quad {\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\quad \Rightarrow \quad cr+cs=a^{2}+b^{2}.

Pappusova oblastní věta

Pappusův plošný teorém , který umožňuje z libovolného trojúhelníku a libovolných rovnoběžníků na jeho dvou stranách sestrojit rovnoběžník na třetí straně tak, že jeho plocha je rovna součtu ploch dvou daných rovnoběžníků. jako zobecnění Pythagorovy věty [19] : v případě, kdy je původní trojúhelník pravoúhlý a čtverce jsou dány jako rovnoběžníky na nohách, ukazuje se, že čtverec postavený na přeponě splňuje podmínky Pappusovy oblasti teorém.

Vícerozměrná zobecnění

Zobecněním Pythagorovy věty pro trojrozměrný euklidovský prostor je de Guova věta : pokud se tři pravé úhly sbíhají v jednom vrcholu čtyřstěnu , pak se čtverec plochy protilehlé k tomuto vrcholu rovná součtu čtverce oblastí ostatních tří tváří. Tento závěr lze také zobecnit jako „ n -rozměrnou Pythagorovu větu“ pro euklidovské prostory vyšších dimenzí [20] — pro plochy ortogonálně- rozměrného simplexu s plochami ortogonálních ploch a plochou k nim protilehlou je vztah splněn : $n$ $S_{1},\dots ,S_{n}$ $S_{0}$

S_{0}^{2}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}

Další multidimenzionální zobecnění vyplývá z problému nalezení druhé mocniny délky úhlopříčky obdélníkového boxu : pro jeho výpočet je třeba dvakrát použít Pythagorovu větu, v důsledku toho to bude součet čtverců délek. ze tří sousedních stran krabice. Obecně je délka diagonálního kvádru s přilehlými stranami s délkami : $n$ $a_{1},\tečky ,a_{n}$

d^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}

stejně jako v trojrozměrném případě je výsledek důsledkem postupné aplikace Pythagorovy věty na pravoúhlé trojúhelníky v kolmých rovinách.

Zobecněním Pythagorovy věty pro nekonečněrozměrný prostor je Parsevalova rovnost [21] .

Neeuklidovská geometrie

Pythagorova věta je odvozena z axiomů euklidovské geometrie a pro neeuklidovskou geometrii je neplatná [22] - naplnění Pythagorovy věty je ekvivalentní Euklidovu postulátu rovnoběžnosti [23] [24] .

V neeuklidovské geometrii bude vztah mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku nutně ve formě odlišné od Pythagorovy věty. Například ve sférické geometrii mají všechny tři strany pravoúhlého trojúhelníku, který váže oktant jednotkové koule, délku , což je v rozporu s Pythagorovou větou. $\pi/2$

Pythagorova věta přitom platí v hyperbolické a eliptické geometrii, pokud je požadavek, aby trojúhelník byl pravoúhlý, nahrazen podmínkou, že součet dvou úhlů trojúhelníku se musí rovnat třetímu [25] .

Sférická geometrie

Pro jakýkoli pravoúhlý trojúhelník na kouli o poloměru (například pokud je úhel v trojúhelníku pravoúhlý trojúhelník) se stranami má poměr mezi stranami tvar [26] $R$ $\gamma$ $a,b,c$

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}.

Tuto rovnost lze odvodit jako speciální případ sférického kosinusového teorému , který platí pro všechny sférické trojúhelníky:

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a }{R}}\cdot \sin {\frac {b}{R}}\cdot \cos \gamma .

Aplikováním Taylorovy řady ve funkci kosinus ( ) lze ukázat, že pokud má poloměr tendenci k nekonečnu a argumenty mají tendenci k nule, pak se sférický poměr mezi stranami v pravoúhlém trojúhelníku blíží Pythagorově větě. $\cos x\cca 1-{\dfrac {x^{2}}{2}}$ $R$ ${\dfrac {a}{R))$ ${\dfrac {b}{R))$ ${\dfrac {c}{R))$

Geometrie Lobačevského

V Lobačevského geometrii pro pravoúhlý trojúhelník se stranami se stranou protilehlou pravému úhlu bude poměr mezi stranami následující [27] : $a,b,c$ $C$

\operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\cdot \operatorname {ch} b

kde je hyperbolický kosinus [28] . Tento vzorec je speciálním případem hyperbolické kosinové věty, která platí pro všechny trojúhelníky [29] : $\operatorname {ch}$

\operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\cdot \operatorname {ch} b-\operatorname {sh} a\cdot \operatorname {sh} b\cdot \cos \gamma

kde je úhel, jehož vrchol je opačný ke straně . $\gamma$ $C$

Pomocí Taylorovy řady pro hyperbolický kosinus ( ) lze ukázat, že pokud hyperbolický trojúhelník klesá (tedy když , a inklinují k nule), pak se hyperbolické vztahy v pravoúhlém trojúhelníku blíží vztahu klasické Pythagorovy věty. $\operatorname {ch} x\cca 1+{\dfrac {x^{2}}{2}}$ $A$ $b$ $C$

Aplikace

Vzdálenost ve dvourozměrných pravoúhlých systémech

Nejdůležitější aplikací Pythagorovy věty je určení vzdálenosti mezi dvěma body v pravoúhlém souřadnicovém systému : vzdálenost mezi body se souřadnicemi a je rovna $s$ $(a,b)$ $(c,d)$

s={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}.

Pro komplexní čísla dává Pythagorova věta přirozený vzorec pro nalezení modulu komplexního čísla - protože se rovná délce vektoru poloměru v komplexní rovině k bodu : $z=x+yi$ $(x, y)$

|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Vzdálenost mezi komplexními čísly a je také reprezentována ve formě Pythagorovy věty [30] : $z_{1}=x_{1}+y_{1}i$ $z_{2}=x_{2}+y_{2}i$

|z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2} }}.

Vzdálenost mezi dvěma body v Lobačevského rovině

$ds^{2}=dx^{2}+\jméno operátora {ch} ^{2}\left({\frac {y}{R))\right)dy^{2}$ .

Zde R je poloměr zakřivení Lobačevského roviny, ch je hyperbolický kosinus .

Euklidovská metrika

Euklidovská metrika - vzdálenostní funkce v euklidovských prostorech , určená Pythagorovou větou, její přímá aplikace ve dvourozměrném případě a sekvenční ve vícerozměrném; pro body -rozměrného prostoru a vzdálenost mezi nimi se určuje takto: $n$ $p=(p_{1},\tečky ,p_{n})$ $q=(q_{1},\tečky ,q_{n})$ $d(p,q)$

d(p,q)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2))))

Teorie čísel

Pythagorova trojice je množina tří přirozených čísel , která mohou mít délky stran pravoúhlého trojúhelníku, tedy přirozená čísla splňující Diofantovu rovnici . Pythagorejské trojice hrají důležitou roli v teorii čísel , problém jejich efektivního nalezení dal vzniknout celé řadě děl, od starověku až po současnost. Formulace Fermatovy poslední věty je podobná problému hledání pythagorejských trojic pro stupeň větší než 2. $(x,\;y,\;z)$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

Jediná pythagorejská trojice sestávající ze tří po sobě jdoucích čísel je 3, 4 a 5: [31] . $3^{2}+4^{2}=5^{2}$

V populární kultuře

Jeden z obrazů důkazu věty je spojen s populárním výrazem v ruském školním folklóru „Pythagorejské kalhoty jsou si na všech stranách rovné“, který získal zvláštní slávu díky komické opeře Ivanov Pavel z roku 1915 [32] [ 33] .

Poznámky

↑ Kantor odkazuje na Papyrus 6619 Berlínského muzea
↑ Téma historie: Pythagorova věta v babylonské matematice . Získáno 1. června 2009. Archivováno z originálu 6. června 2011. (neurčitý)
↑ Věda, technické a vojenské myšlení, zdravotnictví a vzdělávání // Duchovní kultura Číny: encyklopedie v 5 svazcích / Titarenko M. L. - M . : Východní literatura Ruské akademie věd, 2009. - V. 5. - P. 939-941. — 1055 s. — ISBN 9785020184299 . Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine
↑ Euclid, 1956 , s. 351.
↑ Heath, 1921 , svazek I, s. 144.
↑ Kurt von Fritz . The Discovery of Incommensurability by Hippas of Metapontum (anglicky) // The Annals of Mathematics, Second Series: journal. - Annals of Mathematics, 1945. - Duben ( sv. 46 , č. 2 ). - str. 242-264 . — . : "Patří tento vzorec osobně do Pythagorova pera..., ale můžeme s jistotou uvažovat, že patří do nejstaršího období pythagorejské matematiky."
↑ Georg Hegel. Přednášky z dějin filozofie . — Litry, 2016-09-08. - S. 282. - 1762 s. — ISBN 9785457981690 .
↑ Asger Aaboe. Epizody z rané historie matematiky (anglicky) . - Mathematical Association of America , 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131 . Archivováno 9. srpna 2016 na Wayback Machine . - "...až Euklides najdeme logickou posloupnost obecných vět s náležitými důkazy."
↑ Elisha Scott Loomis. Pythagorejský návrh
↑ Viz například Geometrie podle Kiselyova archivovaná 1. března 2021 na Wayback Machine , § 196.
↑ Viz například Geometrie podle Kiselyova archivovaná 1. března 2021 na Wayback Machine , § 259.
↑ Franz Lemmermeyer. Důkaz Pythagorovy věty od Leonarda da Vinciho (anglicky) . The College Mathematics Journal 47(5):361 (listopad 2016). Získáno 22. října 2021. Archivováno z originálu dne 7. června 2022.
↑ Viz například Geometrie podle Kiselyova archivovaná 1. března 2021 na Wayback Machine , § 263.
↑ Euclid's Elements : kniha VI, výrok VI 31: "V pravoúhlých trojúhelníkech je obrazec na straně svírající pravý úhel roven podobným a podobně popsaným obrazcům na stranách obsahujících pravý úhel".
↑ Lawrence S. Leff. Citované dílo . - Barronova vzdělávací řada, 2005. - S. 326. - ISBN 0764128922 .
↑ Howard Whitley Eves. § 4.8: …zobecnění Pythagorovy věty // Velké okamžiky v matematice (před rokem 1650 ) . - Mathematical Association of America, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108 . Archivováno 9. srpna 2016 na Wayback Machine
↑ Aydin Sayili . Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem (anglicky) // Isis : journal. - 1960. - březen ( roč. 51 , č. 1 ). - str. 35-37 . - doi : 10.1086/348837 . — .
↑ Judith D. Sally, Paul Sally. Cvičení 2.10(II) // Citovaná práce . - 2007. - S. 62. - ISBN 0821844032 . Archivováno 9. srpna 2016 na Wayback Machine
↑ George Jennings. Obrázek 1.32: Zobecněná Pythagorova věta // Moderní geometrie s aplikacemi: se 150 obrázky . — 3. — Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X .
↑ Rajendra Bhatia. maticová analýza . — Springer , 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465 .
↑ Shilov G. E. Matematická analýza. Speciální kurz. - M.: Fizmatlit, 1961. - C. 194
↑ Stephen W. Hawking. Citované dílo . - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229 . Archivováno 17. srpna 2016 na Wayback Machine
↑ Eric W. Weisstein. CRC stručná encyklopedie matematiky . — 2. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472 . Archivováno 17. srpna 2016 na Wayback Machine . — "Paralelní postulát je ekvivalentní postulátu ekvidistance , Playfairovu axiomu , Proklovu axiomu , postulátu trojúhelníku a Pythagorově větě ."
↑ Alexander R. Pruss. Zásada dostatečného důvodu : přehodnocení . - Cambridge University Press , 2006. - S. 11. - ISBN 052185959X . Archivováno 9. srpna 2016 na Wayback Machine . "Mohli bychom zahrnout... paralelní postulát a odvodit Pythagorovu větu." Nebo bychom místo toho mohli vytvořit Pythagorovu větu mezi ostatními axiomy a odvodit paralelní postulát."
↑ Victor Pambuccian . Hyperbolická Pythagorova věta Marie Teresy Calapso (anglicky) // The Mathematical Intelligencer: journal. - 2010. - Prosinec ( vol. 32 ). — P. 2 . - doi : 10.1007/s00283-010-9169-0 .
↑ Barrett O'Neill. Cvičení 4 // Elementární diferenciální geometrie . — 2. - Academic Press , 2006. - S. 441. - ISBN 0120887355 .
↑ Saul Stahl. Věta 8.3 // Poincarého polorovina: brána do moderní geometrie (anglicky) . — Jones & Bartlett Learning, 1993. - S. 122. - ISBN 086720298X .
↑ Mikisha A. M., Orlov V. B. Explanatory Mathematical Dictionary. Základní pojmy. - M. ruský jazyk, 1989
↑ Jane Gilmanová. Hyperbolické trojúhelníky // Dvougenerátorové diskrétní podgrupy PSL (2, R ) . - American Mathematical Society Bookstore, 1995. - ISBN 0821803611 .
↑ Alfred Gray , Elsa Abbena, Simon Salamon. Moderní diferenciální geometrie křivek a ploch s Mathematica . — 3. - CRC Press , 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487 .
↑ Siegel E. Tato jedna rovnice, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², posouvá Pythagora na zcela novou úroveň . Forbes (6. března 2020). Získáno 28. dubna 2020. Archivováno z originálu dne 4. dubna 2020.
↑ Legendární opera: Text a hudba . LiveJournal (4. srpna 2016). Získáno 9. ledna 2020. Archivováno z originálu dne 9. června 2020. (neurčitý)
↑ Slovník moderních citací. Litry, 20. března. 2019. S. 9 .

Literatura

Van der Waerden B. L. Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka. - M., 1959.
Glazer G.I. Historie matematiky ve škole. - M., 1982.
Yelensky Sh. Po stopách Pythagora. — M.: Detgiz , 1961. — 486 s. : ill., mapy.
Claudy Alsina. Sekta čísel. Pythagorova věta. - M. : De Agostini, 2014. - 152 s. — (Svět matematiky: ve 45 svazcích, svazek 5). - ISBN 978-5-9774-0633-8 .
Litzman V. Pythagorova věta. - M., 1960.
- Stránky o Pythagorově větě s velkým množstvím důkazů, materiál je převzat z knihy V. Litzmana, velké množství kreseb je prezentováno jako samostatné grafické soubory.
Skopets Z. A. Geometrické miniatury. - M., 1990
Euklides. The Elements (3 sv.) / Přeložil Johan Ludvig Heiberg s úvodem a komentářem Thomase L. Heatha. - Dotisk z roku 1908. - Dover, 1956. - Sv. 1 (knihy I a II). — ISBN 0-486-60088-2 .
Heath S. Historie řecké matematiky (2 svazky). — Edice Dover Publications, Inc. (1981). - Clarendon Press, Oxford, 1921. - ISBN 0-486-24073-8 .

Odkazy

Historie Pythagorovy věty
Glazer G. , akademik Ruské pedagogické akademie v Moskvě. O Pythagorově větě a jak ji dokázat
Klip ze série " Matematické etudy ", věnované Pythagorově větě (pro počítač , iPhone , iPad )
Pythagorova věta a Pythagorovy trojice. Archivováno 3. března 2016 na Wayback Machine Kapitola z knihy D. V. Anosova "Pohled na matematiku a něco z ní"
Pythagorova věta ve WolframMathWorld
Cut-The-Knot, část o Pythagorově větě, asi 70 důkazů a rozsáhlé doplňkové informace (angl.)

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX4809534 BNF : 11946942j GND : 4176546-1 J9U : 987007551078005171 LCCN : sh85109374 NDL : 00934581

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní

Trigonometrie
Všeobecné	Přehled trigonometrie Příběh Používání Funkce Zvrátit Málo používané Generalizovaná trigonometrie
Adresář	Totožnosti Přesné konstanty tabulky jednotkový kruh
Zákony a věty	Sinusová věta Pythagorova věta Kosinová věta Věta tečny Kotangensová věta Řešení trojúhelníků
Matematická analýza	Trigonometrické substituce Integrály ( inverzní funkce ) Deriváty