Stochastická diferenciální rovnice

Stochastická diferenciální rovnice (SDE) je diferenciální rovnice , ve které jeden nebo více členů má stochastickou povahu, to znamená, že jde o stochastický (náhodný) proces . Řešení rovnice se tedy také ukazuje jako stochastické procesy. Nejznámějším a nejčastěji používaným příkladem SDE je rovnice s prvkem bílého šumu (který lze považovat za příklad derivace Wienerova procesu ). Existují však i jiné typy náhodných fluktuací, jako je proces skoku .

Historie

V literatuře je první použití SDE tradičně spojováno s prací na popisu Brownova pohybu , kterou nezávisle provedli Marian Smoluchowski ( 1904 ) a Albert Einstein ( 1905 ). SDE však použil o něco dříve ( 1900 ) francouzský matematik Louis Bouchelier ve své doktorské práci „Teorie předpokladů“. Na základě myšlenek této práce začal francouzský fyzik Paul Langevin uplatňovat SDE ve své práci o fyzice. Později spolu s ruským fyzikem Ruslanem Stratonovičem vyvinuli přísnější matematické odůvodnění SDE.

Terminologie

Ve fyzice se SDE tradičně zapisují ve formě Langevinovy rovnice. A často, ale ne zcela přesně, označovaná jako samotná Langevinova rovnice , i když SDE lze zapsat mnoha jinými způsoby. SDE ve formě Langevinovy rovnice sestává z obyčejné nestochastické diferenciální rovnice a další části popisující bílý šum . Druhou běžnou formou je Fokker-Planck rovnice , což je parciální diferenciální rovnice, která popisuje vývoj hustoty pravděpodobnosti v čase. Třetí forma SDE se běžněji používá v matematice a finanční matematice, podobá se Langevinovým rovnicím, ale je zapsána pomocí stochastických diferenciálů (viz podrobnosti níže).

Stochastický kalkul

Brownův pohyb (v jazyce matematiky Wienerův proces) se ukázal jako velmi složitý matematický objekt. Konkrétně Wienerův proces je nediferencovatelný, takže manipulace s procesy tohoto typu vyžadovala vytvoření vlastního počtu (teorie stochastických integrálů ). V současné době se používají dvě verze stochastického počtu , Itô stochastický počet a Stratonovičův stochastický počet . Obvykle lze SDE ve formě Ito snadno přepsat do SDE ve tvaru Stratonovich a naopak, vždy je však nutné výslovně specifikovat formu, ve které je SDE zapsán.

Existence a jedinečnost řešení

Stejně jako u obyčejných diferenciálních rovnic je důležité vědět, zda má SDE řešení, a pokud ano, zda je toto řešení jedinečné. Uvádíme formulaci věty o existenci a jednoznačnosti pro rovnici Itô . Důkaz lze nalézt v Øksendal (2003, § 5.2).

Nechť řešení nabývá hodnot v -rozměrném euklidovském prostoru , kde je definován -rozměrný náhodný proces , který popisuje Brownův pohyb ; $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $B$

Nechat a nechat $T>0$

\mu :{\mathbb {R}}^{{n}}\krát [0,T]\to {\mathbb {R}}^{{n}};

\sigma :{\mathbb {R}}^{{n}}\krát [0,T]\to {\mathbb {R}}^{{n\times m}});

jsou měřitelné funkce , pro které existují konstanty a takové, že $C$ $D$

{\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t){\big |}{\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};

{\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t)-\sigma ( y,t){\big |}{\big |}\leq D|xy|;

pro všechny a pro všechny a kde $t\in[0,T]$ $X$ $y\in {\mathbb {R}}^{n}$

|\sigma |^{{2}}=\sum _{{i,j=1}}^{{n}}|\sigma _{{ij}}|^{{2}}.

Nechť je náhodná proměnná nezávislá na -algebře generované procesem , , a mající konečný druhý moment : $Z$ $\sigma$ $B_{s}$ $s\geq 0$

{\mathbb {E}}{\big [}|Z|^{{2}}{\big ]}<+\infty .

Poté stochastická diferenciální rovnice pro dané počáteční podmínky

{\mathrm {d}}X_{{t}}=\mu (X_{{t}},t)\,{\mathrm {d}}t+\sigma (X_{{t}},t)\, {\mathrm {d}}B_{{t}}

pro

t\in[0,T];

X_{{t}}=Z;

má jedinečné (ve smyslu „téměř pravděpodobně“) a -kontinuální řešení , které je přizpůsobeným procesem filtraci generované a , , a $t$ $(t,\omega )\shortmid \!\to X_{t}(\omega )$ $X$ $F_{t}^{Z}$ $Z$ $B_{s}$ $s\leq t$

{\mathbb {E}}\left[\int \limits _{{0}}^{{T}}|X_{{t}}|^{{2}}\,{\mathrm {d}}t \right]<+\infty .

Aplikace stochastických rovnic

Fyzika

Ve fyzice jsou SDE často zapsány ve formě Langevinovy rovnice. Například systém SDE prvního řádu lze zapsat jako:

{\dot {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{m=1}^ {n}g_{i}^{m}(\mathbf {x} )\eta _{m}(t),

kde je množina neznámých a jsou to libovolné funkce a jsou to náhodné funkce času, které se často nazývají šumové termíny. Tento zápis se používá, protože existuje standardní technika pro převod rovnice s vyššími derivacemi na systém rovnic prvního řádu zavedením nových neznámých. Pokud jsou konstanty, pak se říká, že systém podléhá aditivnímu šumu. Uvažujeme také o systémech s multiplikativním šumem, když . Ze dvou uvažovaných případů je aditivní šum jednodušší. Řešení systému s aditivním šumem lze často nalézt pouze pomocí metod standardního počtu . Zejména lze použít obvyklý způsob skládání neznámých funkcí. V případě multiplikativního šumu je však Langevinova rovnice špatně definována ve smyslu běžné matematické analýzy a musí být interpretována v termínech Itô kalkulu nebo Stratonovichova kalkulu. ${\mathbf {x}}=\{x_{i}|1\leq i\leq k\}$ $f_{i}$ $g_i$ $\eta_{m}$ $g_i$ $g(x)\propto x$

Ve fyzice je hlavní metodou řešení SDE nalezení řešení ve formě hustoty pravděpodobnosti a transformace původní rovnice na Fokker-Planckovu rovnici. Fokker-Planckova rovnice je parciální diferenciální rovnice bez stochastických členů. Určuje časový vývoj hustoty pravděpodobnosti, stejně jako Schrödingerova rovnice určuje časovou závislost vlnové funkce systému v kvantové mechanice nebo rovnice difúze určuje časový vývoj chemické koncentrace. Řešení lze hledat i numericky, například pomocí metody Monte Carlo . Jiné techniky pro hledání řešení využívají dráhový integrál , tato technika je založena na analogii mezi statistickou fyzikou a kvantovou mechanikou (např. Fokker-Planckovu rovnici lze transformovat na Schrödingerovu rovnici pomocí nějaké transformace proměnných), nebo řešení obyčejné diferenciální rovnice pro momenty hustoty pravděpodobnosti .

Odkazy

Stochastický svět – jednoduchý úvod do stochastických diferenciálních rovnic

Literatura

Adomian, George. Stochastické systémy . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Matematika ve vědě a inženýrství (169)).
Adomian, George. Nelineární stochastické operátorové rovnice . — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
Adomian, George. Teorie nelineárních stochastických systémů a aplikace ve fyzice . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1989. - (Matematika a její aplikace (46)).
Øksendal, Bernt K.Stochastické diferenciální rovnice :Úvod s aplikacemi . — Berlín: Springer, 2003.
Teugels, J. a Sund B. (eds.). Encyklopedie pojistně-matematických věd (anglicky) . - Chichester: Wiley, 2004. - S. 523-527.
CW Gardiner . Příručka stochastických metod: pro fyziku, chemii a přírodní vědy . - Springer, 2004. - S. 415 .
Tomáš Mikosch. Elementární stochastický počet: s pohledem na finance . - Singapur: World Scientific Publishing , 1998. - S. 212 .
Bachelier, L.,. Théorie de la Spekulace (ve francouzštině), PhD Thesis (anglicky) . - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0 , 1900.

Slovníky a encyklopedie

Velký Rus

V bibliografických katalozích
BNF : 120480366 GND : 4057621-8 J9U : 987007536304005171 LCCN : sh85128177 NDL : 00575718 NKC : ph388475

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata