Navier-Stokesovy rovnice

Navier-Stokesovy rovnice jsou soustavou parciálních diferenciálních rovnic popisujících pohyb viskózní newtonovské tekutiny . Navier-Stokesovy rovnice patří mezi nejdůležitější v hydrodynamice a používají se při matematickém modelování mnoha přírodních jevů a technických problémů. Pojmenováno po francouzském fyzikovi Henri Navierovi a britském matematikovi George Stokesovi .

V případě nestlačitelné tekutiny se systém skládá ze dvou rovnic:

V hydrodynamice se Navier-Stokesova rovnice obvykle nazývá pouze jedna vektorová pohybová rovnice [1] [2] [3] [4] [5] [6] . Navierovu-Stokesovu rovnici poprvé získali Navier (1822, nestlačitelná tekutina [7] ) a Poisson (1829, stlačitelná tekutina [8] ), kteří vycházeli z modelových koncepcí molekulárních sil. Později fenomenologické odvození rovnice podali Saint-Venant [9] a Stokes [10] .

Ve vektorové podobě pro kapalinu jsou zapsány takto:

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))=-({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))+\nu \Delta {\vec {v}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {f)),

kde je operátor nabla , je Laplaceův vektorový operátor , je čas , je kinematický viskozitní koeficient , je hustota , je tlak , je vektorové pole rychlosti , je vektorové pole tělesných sil . Neznámé a jsou funkce času a souřadnice , kde , je plochá nebo trojrozměrná oblast, ve které se tekutina pohybuje. $\nabla$ $\Delta$ $t$ $\nu$ $\rho$ $p$ ${\vec {v}}=(v^{1},\;\ldots ,\;v^{n})$ ${\vec {f}}$ $p$ $\vec{v}$ $t$ $x\in \Omega$ $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $n=2,\;3$

Pro nestlačitelnou tekutinu by měly být Navier-Stokesovy rovnice doplněny rovnicí nestlačitelnosti :

\nabla \cdot {\vec {v}}=0.

Obvykle se do Navier-Stokesovy soustavy rovnic přidávají okrajové a počáteční podmínky, například:

{\vec {v}}|_{\partial \Omega }=0,

{\vec {v}}|_{t=0}={\vec {v}}_{0}.

Někdy systém Navier-Stokesových rovnic navíc obsahuje rovnici tepla a stavovou rovnici.

Když se vezme v úvahu stlačitelnost, Navier-Stokesovy rovnice mají následující podobu:

\rho \left({\frac {\částečné v_{i}}{\částečné t}}+v_{k}{\frac {\částečné v_{i}}{\částečné x_{k}}} \right)=-{\frac {\částečné p}{\částečné x_{i))}+{\frac {\částečné }{\částečné x_{k))}\doleva\{\eta \left({\ frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}} \delta _{ik}{\frac {\částečné v_{l}}{\částečné x_{l}}}\pravé)\pravé\}+{\frac {\částečné }{\částečné x_{k}}} \left(\zeta {\frac {\částečné v_{l)){\částečné x_{l))}\delta _{ik}\right),

kde je koeficient dynamické viskozity (smyková viskozita ), je „druhá viskozita “ nebo objemová viskozita , je Kroneckerova delta . Tato rovnice se za podmínek konstantních viskozit redukuje na vektorovou rovnici $\eta$ $\zeta$ $\delta_{ik}$ $\eta$ $\zeta$

\rho \left({\frac {\částečné {\vec {v))}{\částečné t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))\ right)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v))+\left(\zeta +{\frac {\eta }{3))\right)\nabla \operatorname {div} {\vec { proti}}.

Rovnice kontinuity pro stlačitelnou tekutinu má tvar

{\frac {\částečné \rho }{\částečné t))+\nabla \cdot (\rho {\vec {v)))=0.

Analýza a řešení rovnic

Analýza řešení rovnic je podstatou jednoho ze sedmi „ problémů tisíciletí “, za který Clay Mathematical Institute udělil cenu 1 milion USD. Je nutné dokázat nebo vyvrátit existenci globálního hladkého řešení Cauchyho úlohy pro trojrozměrné Navier-Stokesovy rovnice. Nalezení obecného analytického řešení Navier-Stokesovy soustavy pro trojrozměrné nebo rovinné proudění je komplikované tím, že je nelineární a silně závisí na počátečních a okrajových podmínkách.

Nějaká přesná řešení:

Stacionární proudění v jednoduchých kanálech ( Poiseuilleův proud , Couette-Taylorův proud , Couetteův proud atd.).
Solitony a nelineární vlny . Obyčejná solitonová plechovka být řešením systému za velmi složitých okrajových podmínek. Poprvé byl experimentálně pozorován v kanálu inženýrem Scottem Russellem.
Řešení, které existuje po omezenou dobu (tzv. „blow-up režimy“). Tuto hypotézu předložil Jean Leray v roce 1933 . Navrhl, že turbulence ( chaos ) v kapalině vzniká v důsledku tvorby bodů nebo vírového vlákna, na kterém se některá složka rychlosti stává nekonečnou.
Zvukové vibrace . Pro malé amplitudy vln se stávají také řešením . Nelineární členy rovnice lze vyřadit, protože neovlivňují řešení. Řešením jsou harmonické funkce sinus nebo kosinus, tedy zvukové vibrace.

Základní vlastnosti systému Navier-Stokes

Když Reynoldsovo číslo překročí určitou kritickou hodnotu, analytické exaktní řešení pro prostorové nebo ploché proudění poskytuje chaotické proudění (tzv. turbulence ). V konkrétním případě je spojena s Feigenbaumovou teorií nebo jinými scénáři přechodu k chaosu. Jak Reynoldsovo číslo klesá pod kritickou hodnotu, roztok opět poskytuje nechaotickou formu proudění.
Výjimečná citlivost na změny koeficientů rovnice v turbulentních podmínkách: při změně Re čísla o 0,05% jsou řešení navzájem zcela odlišná.

Aplikace

Systém Navier-Stokesových rovnic, doplněný rovnicemi přenosu tepla a přenosu hmoty , jakož i odpovídajícími tělesnými silami, může popisovat konvekci , tepelnou difúzi v kapalinách, chování vícesložkových směsí různých kapalin atd.

Pokud je však Lorentzova síla do rovnice zavedena jako tělesná síla a systém je doplněn o Maxwellovy rovnice pro pole ve spojitém prostředí, pak model umožňuje popis jevů elektro- a magnetohydrodynamiky . Zejména jsou takové modely úspěšně používány při modelování chování plazmatu , mezihvězdného plynu .

Navier-Stokesův systém rovnic je základem geofyzikální hydrodynamiky , včetně použití k popisu proudění v zemském plášti („ problém dynama “).

Také variace Navier-Stokesovy rovnice se používají v dynamické meteorologii k popisu pohybu atmosférických vzduchových hmot, zejména při vytváření předpovědi počasí. Pro popis skutečných toků v různých technických zařízeních lze přijatelnou přesnost numerického řešení získat pouze s takovou výpočetní sítí, jejíž buňky jsou menší než nejmenší vír. To vyžaduje velmi velké výdaje na odhadovaný čas na moderních počítačích. Proto byly vytvořeny různé modely turbulence pro zjednodušení výpočtu skutečných průtoků.

Viz také

otevřené matematické problémy
Eulerova rovnice (pro nevazkou tekutinu)
Metoda mřížkových Boltzmannových rovnic
Rovnice pro mělkou vodu

Poznámky

↑ Sedov L.I. Mechanika kontinua . - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 s. Archivováno 28. listopadu 2014 na Wayback Machine
↑ Landau, Lifshitz, s. 73.
↑ L. Prandtl [libgen.org/book/index.php?md5=9B89B99CB6361E775F97B48B9F816F25 Fluid Aeromechanics]. - M.-Iževsk: NIC "Regular and Chaotic Dynamics", 2000. - S. 147. - 576 s. — ISBN 5-93972-015-2 . (nedostupný odkaz)
↑ Kochin N. E. , Kibel I. A. , Rose N. V. Teoretická hydromechanika . - M. : Fizmatlit, 1963. - T. 2. - S. 387. - 728 s. Archivováno 26. srpna 2014 na Wayback Machine
↑ Batchelor J. Úvod do dynamiky tekutin / Per. z angličtiny. vyd. G. Yu Stepanova . - M .: Mir, 1973. - S. 194. - 760 s. Archivováno 26. srpna 2014 na Wayback Machine
↑ Navier-Stokesovy rovnice – článek z Velké sovětské encyklopedie . Targ S. M. .
↑ Navier. Mémoire sur les lois du mouvement des fluides (francouzsky) // Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. - 1822. - Sv. 6 . Archivováno z originálu 7. prosince 2013.
↑ Poisson. Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides (francouzsky) // Journal de l'École Polytechnique. - 1831. - Sv. 13 . Archivováno z originálu 7. prosince 2013.
↑ Saint-Venant. Note à joindre au Mémoire sur la dynamicique des fluides, pésenté le 14. dubna 1834 (francouzsky) // Comptes rendus. - 1843. - Sv. 17 , ne 22. _ _ Archivováno z originálu 7. prosince 2013.
↑ Stokes. O teoriích vnitřního tření tekutin v pohybu a o rovnováze a pohybu elastických pevných látek (anglicky) // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1845. - Sv. 8 . Archivováno z originálu 7. prosince 2013.

Literatura

Temam R. Navier-Stokesovy rovnice. Teorie a numerická analýza. - 2. vyd. — M .: Mir, 1981. — 408 s.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamika. - 4. vydání, stereotypní. — M .: Nauka , 1988. — 736 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek VI).
Kutepov A. M., Sterman L. S., Styushin N. G. Hydrodynamika a přenos tepla během odpařování. - 3. vydání, Rev. - M . : Vyšší škola, 1986. - 448 s.
Kutepov A. M., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D., Vyazmin A. V., Kazenin D. A. Chemická hydrodynamika. - M. : Quantum, 1996. - 336 s. - 1500 výtisků.
Durmagambetov A. A. Navier-Stokes Equations— Millennium Prize Problems // Asset A. Durmagambetov, Leyla S. Fazilova Natural Science. Vědecký výzkum akademický vydavatel. - 2015. - T. 7 , č. 2 . - S. 88-99 . - doi : 10.4236/ns.2015.72010 .

Odkazy

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata