Šestihranné parkety

Šestihranná mozaika
Typ	Správná mozaika
Vertexová postava	6.6.6 (6 3 )
symbol Schläfli	{6,3} t{3,6}
symbol Wythoff	3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Coxeterův graf
Skupina symetrie	p6m , [6,3], (*632)
Rotační symetrie	p6 , [6,3] + , (632)
Duální obklad	trojúhelníková mozaika
Vlastnosti	Vertex-transitive , edge-transitive , face-transitive

Šestiúhelníkové parkety ( šestiúhelníkové parkety [1] ) nebo šestiúhelníková mozaika je obklad roviny se stejnými pravidelnými šestiúhelníky umístěnými vedle sebe.

Šestihranný obklad je duálem trojúhelníkového obkladu - pokud spojíte středy sousedních šestiúhelníků, pak nakreslené segmenty vytvoří trojúhelníkový obklad [1] [2] . Symbol Schläfli šestihranné parkety je {6,3} (to znamená, že tři šestiúhelníky se sbíhají v každém vrcholu parkety), nebo t {3,6}, pokud je obklad považován za komolý trojúhelníkový obklad.

Anglický matematik Conway nazval obklady hextille (šestiparkety).

Vnitřní úhel šestiúhelníku je 120 stupňů, takže tři šestiúhelníky ve stejném vrcholu tvoří dohromady 360 stupňů. Jedná se o jednu ze tří běžných rovinných obkladů . Další dvě mozaiky jsou trojúhelníkové parkety a čtvercové parkety .

Aplikace

Obložení roviny pravidelnými šestiúhelníky je základem pro šestihranné šachy a další hry na kostkovaném poli , polyhexy , varianty modelu Life a další dvourozměrné buněčné automaty , prstencové flexagony atd .

Šestihranný obklad je nejhustší způsob, jak zabalit kruhy do 2D prostoru. Voštinová domněnka , že šestiúhelníkový obklad je nejlepším způsobem, jak rozdělit povrch na oblasti stejné plochy s nejmenším celkovým obvodem. Optimální trojrozměrnou strukturu voštiny (spíše mýdlové bubliny) prozkoumal Lord Kelvin , který věřil, že Kelvinova struktura (neboli tělesně centrovaná kubická mřížka) je optimální. Méně pravidelná struktura Waeaire–Phelan je však o něco lepší.

Tato struktura existuje v přírodě ve formě grafitu , kde každá vrstva grafenu připomíná drátěné pletivo, kde roli drátu hrají silné kovalentní vazby. Trubkové listy grafenu byly syntetizovány a jsou známé jako uhlíkové nanotrubice . Mají mnoho potenciálních aplikací díky své vysoké pevnosti v tahu a elektrickým vlastnostem. Silicen je podobný grafenu .

• Nejhustší balení kruhů má strukturu podobnou šestihrannému obkladu

• Chick síťovina

• Grafen

• Uhlíkové nanotrubice lze považovat za hexagonální mozaiku na válcovém povrchu

Šestihranná mozaika se objevuje v mnoha krystalech. Ve 3D prostoru se v krystalech často nachází krychlová struktura se středem obličeje a šestiúhelníková uzavřená struktura. Jsou to nejhustší koule ve 3D prostoru. Strukturálně se skládají z rovnoběžných vrstev šestihranné mozaiky podobné struktuře grafitu. Liší se typem posunu úrovně vůči sobě navzájem, zatímco krychlová struktura centrovaná na plochu je správnější. Čistá měď tvoří mezi jinými materiály plošně centrovanou kubickou mřížku.

Jednotné barvy

Existují tři různé jednotné barvy šestiúhelníkového obkladu, všechny získané ze zrcadlové symetrie Wythoffových konstrukcí . Záznam ( h , k ) představuje periodické opakování barevné dlaždice s šestiúhelníkovými vzdálenostmi h a k .

k-homogenní	1 - homogenní			2- homogenní		3- homogenní
Symetrie	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		p6, (632)
Obrázek
Barvy	jeden	2	3	2	čtyři	2	7
(h,k)	(1,0)	(1.1)		(2.0)		(2.1)
Schläfli	{6,3}	t{3,6}	t{3 [3] }
Wiethoff	3 | 6 2	2 6 | 3	3 3 3 |
coxeter
Conway	H	tA		CH

3barevný obklad je tvořen permutačním mnohostěnem řádu 3.

Zkosený šestihranný obklad

Zkosení šestihranného obkladu nahradí hrany novými šestihrany a převede na jiný šestihranný obklad. V limitu zmizí původní plochy a nové šestiúhelníky se přemění na kosočtverce, čímž se obklad změní na kosočtverečný .

Šestiúhelníky (H)	Zkosené šestiúhelníky (CH)			kosočtverec (daH)

Související mozaiky

Šestiúhelníky lze rozdělit na 6 trojúhelníků. Výsledkem jsou dva 2 jednotné obklady a trojúhelníkový obklad :

Správná mozaika	štěpení	2-homogenní obklady		Správná mozaika
Počáteční		zlomené 1/3 šestiúhelníků	zlomené 2/3 šestiúhelníků	plný oddíl

Šestihranný obklad lze chápat jako podlouhlý kosočtvercový obklad , ve kterém je každý vrchol kosočtvercového obkladu „natažen“ tak, aby vytvořil nový okraj. Je to podobné jako spojení teselací kosočtvercovým dvanáctistěnem a kosočtvercovým šestihranným dvanáctistěnem v trojrozměrném prostoru.

Kosočtverečná mozaika

Šestihranná mozaika

Mřížka zobrazující takové spojení

Prototily některých šestiúhelníkových obkladů lze také rozdělit na dva, tři, čtyři nebo devět identických pětiúhelníků:

Pětiúhelníkový obklad typu 1 s překrývajícími se pravidelnými šestiúhelníky (každý šestiúhelník se skládá ze 2 pětiúhelníků).

Pětiúhelníkový obklad typu 3 s překrývajícími se pravidelnými šestiúhelníky (každý šestiúhelník se skládá ze 3 pětiúhelníků).

Pětiúhelníkový obklad typu 4 s překrývajícími se polopravidelnými šestiúhelníky (každý šestiúhelník se skládá ze 4 pětiúhelníků).

Pětiúhelníkový obklad typu 3 s překrývajícími se pravidelnými šestiúhelníky dvou velikostí (šestiúhelníky sestávají ze 3 a 9 pětiúhelníků).

Možnosti symetrie

Tento obklad topologicky souvisí se sledem pravidelných obkladů s šestihrannými plochami, které začínají šestihranným obkladem. Mozaiky nekonečné posloupnosti mají Schläfliho symbol {6,n} a Coxeterův diagram .

Rodina homogenních antihranolů n .3.3.3

* Možnosti symetrie n 62 pro běžné obklady: {6, n }
Sférický	euklidovský	Hyperbolické obklady
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

Šestihranný obklad je topologicky příbuzný (jako součást sekvence) k pravidelným mnohostěnům s vrcholem n 3 .

* Možnosti symetrie n 32 pro běžné obklady: n 3 nebo { n ,3}

Sférický				euklidovský	Kompaktní hyperbolické.		Paracompact .	Nekompaktní hyperbolické.
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}{101}

Obdobným způsobem se obklad vztahuje k jednotným komolým mnohostěnům s vrcholem č . .6.6.

* n 32 mutací zkrácené dlaždicové symetrie: n .6.6
Symetrie * n 32 [n,3]	kulovitý		euklidovský	Kompaktní hyperbolické				Paracompact.	Nekompaktní hyperbolické
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Zkrácené postavy
Conf.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis postavy
Conf.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Obklad je také součástí komolých kosočtvercových mnohostěnů a obkladů s Coxeterovou symetrií skupin [n,3]. Na kostku lze pohlížet jako na kosočtverečný šestistěn, ve kterém jsou všechny kosočtverce čtverce. Zkrácené tvary mají místo zkrácených vrcholů pravidelné n-úhelníky a nepravidelné šestiúhelníkové plochy.

Symetrie duálních duálních kvazipravidelných obkladů: V(3.n) 2

	Sférický			euklidovský	Hyperbolický
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Mozaika
Conf.	V(3.3) 2	V(3.4) 2	V(3,5) 2	V(3.6) 2	V(3,7) 2	V(3,8) 2	V(3.∞) 2

Wythoffova konstrukce šestihranných a trojúhelníkových obkladů

Stejně jako jednotné mnohostěny existuje osm jednotných obkladů založených na pravidelných šestiúhelníkových obkladech (nebo dvojitých trojúhelníkových obkladech ).

Pokud obarvíme dlaždice původních ploch červeně, původní vrcholy (výsledné polygony) žlutě a původní hrany (výsledné polygony) modře, existuje 8 tvarů, z nichž 7 je topologicky odlišných. ( Zkrácený trojúhelníkový obklad je topologicky shodný s šestihranným obkladem.)

Homogenní šestihranné/trojúhelníkové obklady
Základní domény	Symetrie : [6,3], (*632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Konfigurace	6 3	3.12.12	(6.3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Monoedrické konvexní šestihranné obklady

Existují 3 typy monoedrických [3] konvexních šestihranných obkladů [4] . Všechny jsou izoedrické . Každý má parametrické varianty s pevnou symetrií. Typ 2 obsahuje posuvné symetrie a udržuje chirální páry odlišné.

3 typy monoedrických konvexních šestihranných obkladů

jeden	2		3
p2, 2222	str, 22×	p2, 2222	p3,333
b=e B+C+D=360°	b=e, d=fB +C+E=360°		a=f, b=c, d=e B=D=F=120°
mřížka ze dvou dlaždic	mřížka ze čtyř dlaždic		mřížka ze tří dlaždic

Topologicky ekvivalentní obklady

Šestiúhelníkové dlaždice mohou být totožné s {6,3} běžnou topologií dlaždic (3 šestiúhelníky v každém vrcholu). K dispozici je 13 variant šestihranného obkladu s izoedrickými plochami. Z hlediska symetrie mají všechny plochy stejnou barvu, přičemž zbarvení na obrázcích představuje pozici v mřížce [5] . Jednobarevné (1-dlaždicové) mřížky se skládají z šestiúhelníkových rovnoběžníků .

13 šestihranných izoedrických obkladů

pg (××)		p2 (2222)	p3 (333)	pmg (22*)
pgg (22x)			p31m (3*3)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p6m (*632)

Jiné topologicky isoedrické šestiúhelníkové obklady se jeví jako čtyřúhelníkové a pětiúhelníkové, nedotýkají se ze strany na stranu, ale jejichž polygony lze považovat za kolineární sousední strany:

Izoedrické čtyřúhelníky

pmg (22*)		pgg (22x)			cmm (2*22)	p2 (2222)
Rovnoběžník	Trapéz	Rovnoběžník	Obdélník	Rovnoběžník	Obdélník	Obdélník

Izoedricky dlážděné pětiúhelníky

p2 (2222)	pgg (22x)	p3 (333)

2-stejnoměrné a 3-stejnoměrné mozaiky mají rotační stupeň volnosti, který deformuje 2/3 šestiúhelníků, včetně případu kolineárních stran, které lze považovat za dlaždice šestiúhelníků a velkých trojúhelníků s nesourodými stranami (ne strany k sobě -strana) [6] .

Mozaika může být stočena do chirálních 4-barevných propletených vzorů ve třech směrech, přičemž některé šestiúhelníky se mění v rovnoběžníky . Propletené vzory se 2 barevnými plochami mají rotační symetrii 632 (p6) .

Opravit	otočený	Opravit	vázaný
p6m, (*632)	p6, (632)	p6m (*632)	p6 (632)
p3m1, (*333)	p3, (333)	p6m (*632)	p2 (2222)

Balící kruhy

Šestihranný obklad lze použít k balení kruhů umístěním kruhů se stejným poloměrem se středem ve vrcholech obkladu. Každý kruh se dotýká 3 dalších kruhů balíčku ( kontaktní číslo ) [7] . Kruhy lze malovat ve dvou barvách. Prostor v každém šestiúhelníku umožňuje umístit jeden kruh, čímž se vytvoří nejhustěji zaplněný trojúhelníkový obklad , přičemž každý kruh se dotýká co největšího počtu kruhů (6).

Související pravidelná komplexní nekonečna

Existují 2 pravidelné komplexní apeirogony se stejnými šestiúhelníkovými vrcholy dlaždic. Hrany pravidelných komplexních apeirogonů mohou obsahovat 2 nebo více vrcholů. Pravidelné apeirogony p { q } r mají omezení: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Hrany mají p vrcholů a obrazce vrcholů jsou r - úhly [8] .

První apeirogon se skládá ze 2 hran, tři kolem každého vrcholu, druhý má šestiúhelníkové hrany, tři kolem každého vrcholu. Třetí komplexní apeirogon, který má stejné vrcholy, je kvazipravidelný a střídá se mezi 2-hranami a 6-hranami.

2{12}3 nebo	6{4}3 nebo

Viz také

• Šestihranná mříž
• Trojhranná hranolová voština
• Mozaiky konvexních pravidelných mnohoúhelníků na euklidovské rovině
• Seznam jednotných obkladů
• Seznam pravidelných vícerozměrných mnohostěnů a sloučenin
• Šestihranné mozaikové plástve

Poznámky

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 , str. 147.
2. ↑ Weisstein, Eric W. Dual Tessellation  na webu Wolfram MathWorld .
3. ↑ Obklad se nazývá monoedrický, pokud se skládá ze shodných dlaždic.
4. ↑ Grünbaum a Shephard 1987 , s. Sek. 9.3 Ostatní Monoedrické obklady konvexními polygony.
5. ↑ Grünbaum a Shephard 1987 , s. 473–481, seznam 107 izoedrických obkladů.
6. ↑ Grünbaum a Shephard 1987 , s. jednotné obklady, které nejsou od okraje k okraji.
7. ↑ Critchlow, 1987 , str. 74–75, vzor 2.
8. ↑ Coxeter, 1991 , str. 111-112, 136.

Literatura

• S.V. Golomb. Polyomino \ u003d Polyominoes / Per. z angličtiny. V. Firsová. Úvodní slovo a ed. I. Yagloma. - M. : Mir, 1975. - S. 147. - 207 s.
• HSM Coxeter . Pravidelné komplexní polytopy. — 2ed. - New York, Port Chester, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - ISBN 0-521-39490-2 .
• HSM Coxeter . Tabulka II: Pravidelné plástve //Pravidelné polytopy . — 3. - Dover, 1973. - S.  296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• B. Grünbaum , G. C. Shephard. Obklady a vzory . - New York: W. H. Freeman & Co., 1987. - S.  58-65 . - ISBN 0-7167-1193-1 .
• R. Williams. Geometrický základ přírodní struktury: Zdrojová kniha designu . - New York: Dover Publications , 1979. - S.  35 . — ISBN 0-486-23729-X .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Symetrie věcí . - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Archivováno19. září 2010 naWayback Machine
• Keith Critchlow. Objednávka ve vesmíru: Zdrojová kniha designu. - New York: Thames & Hudson, 1987. - ISBN 0-500-34033-1 .

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Hexagonal Grid  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
  • Weisstein , Eric W. Regular tessellation  ve Wolfram MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. Uniform tessellation  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Klitzing, Richard. 2D euklidovské obklady o3o6x-hexat-O3
• Amit Patel. Matematika mřížky: čtverec, šestiúhelník, trojúhelník . — Algoritmy pro reprezentaci šestiúhelníkových a trojúhelníkových sítí v počítačových strategických hrách. (neurčitý)

Základní konvexní pravidelné a jednotné plástve v prostorech dimenzí 2–10

Rodina / / Homogenní mozaika {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Šestihranný Homogenní konvexní plástve {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 jednotná pětirozměrná plástev {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Plástev o 24 buňkách jednotná šestirozměrná plástev {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 jednotná sedmirozměrná plástev {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ jednotná osmirozměrná plástev {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 jednotná devítirozměrná plástev {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Jednotné n -rozměrné plástve {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21

geometrické mozaiky
Pravidelné	Pythagorejský kosočtverečné švarcovský trojúhelník Obdélníkový Domino Pětiúhelníkový Homogenní mozaika Honeycombs Barvení konvexní Dělená mozaika Plochá krystalografická skupina Wythoffova konstrukce
aperiodický	Ammann-Binker Aperiodická sada mozaikových dlaždic Seznam Jedna dlaždicová výzva Sokolara — Taylor Gilbert Penrose větrník klenutý Dělící a samolepicí sady Sfinga Truche
jiný	Non -isohedral a isohedral Architektonické a reflexní Circle Limit III Počítačová grafika voštiny Hrana tranzitivní Balík Úkoly dodávka heesh kvadratura Mozaikové dlaždice Conwayovo kritérium Girih Pravidelné dělení letadla Pravidelná mříž Náhrady Voronoiův diagram Foderberg
Podle konfigurace vrcholu	Sférický 2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _ opravit 2∞ _ 3 6 4 4 6 3 polosprávné _ 3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 ,4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2.∞ _ 4.6.12 4,8 2 hyperbolický _ 3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 38 _ 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3,8) 2 3,14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 45 _ 4 6 4 7 48 _ 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4,8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4,14 2 4,16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5,8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6,8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6,16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7,14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8,6 2 8,16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞, 6 2 ∞, 8 2