Markowitzova teorie portfolia

Portfolio theory Markowitz ( anglicky mean-variance analysis - přístup založený na analýze očekávaných průměrů a variací náhodných veličin ) - vyvinutá Harrym Markowitzem , metodika pro tvorbu investičního portfolia , zaměřená na optimální výběr aktiv na základě požadovaný poměr výnos / riziko . Myšlenky, které formuloval v 50. letech 20. století , tvoří základ moderní teorie portfolia [1] [2] .

Origins

Hlavní ustanovení teorie portfolia formuloval Harry Markowitz při přípravě své doktorské disertační práce v letech 1950-1951 .

Za zrod teorie Markowitzova portfolia je považován článek „Portfolio Choice“ publikovaný ve Financial Journal v roce 1952 [3] . V něm nejprve navrhl matematický model pro vytvoření optimálního portfolia a poskytl metody pro konstrukci portfolií za určitých podmínek [4] . Hlavní Markowitzovou zásluhou bylo navrhnout pravděpodobnostní formalizaci pojmů „ziskovost“ a „riziko“, která umožnila převést problém výběru optimálního portfolia do formálního matematického jazyka [5] . Je třeba poznamenat, že během let vytváření teorie pracoval Markowitz ve společnosti RAND Corp. , spolu s jedním ze zakladatelů lineární a nelineární optimalizace – Georgem Dantzigem a on sám se na řešení těchto problémů podílel. Proto jeho vlastní teorie po nezbytné formalizaci dobře zapadla do naznačeného směru.

Markowitz svou teorii neustále zdokonaluje a v roce 1959 vydal první monografii jí věnovanou Portfolio Selection: Effective Diversification of Investments [6] .

V roce 1990 , kdy byla Markowitzovi udělena Nobelova cena , byla vydána kniha „Analýza středních odchylek při výběru portfolia a kapitálovém trhu“ [7] .

Popis teorie

Po formalizaci, kterou provedl Markowitz, byl z matematického hlediska problém sestavení optimálního portfolia kvadratický optimalizační problém s lineárními omezeními [5] . Tato třída problémů je jednou z nejvíce studovaných tříd optimalizačních problémů , pro které existuje velké množství účinných algoritmů [8] .

Pro vytvoření prostoru možných portfolií Markowitz navrhl použít třídu aktiv, vektor jejich průměrných očekávaných výnosů a kovarianční matici [5] .

Na základě těchto údajů je sestavena sada možných portfolií s různými poměry rizika a výnosu [5] .

Vzhledem k tomu, že analýza je založena na dvou kritériích, manažer vybírá portfolia [5] :

Buď hledáním efektivních nebo nezlepšitelných řešení. V tomto případě jakékoli jiné řešení, které je lepší než ty nalezené v jednom parametru, bude nutně horší v jiném.
Nebo výběr hlavního kritéria (například ziskovost by neměla být nižší než určitá hodnota), zbytek použít pouze jako omezení kritérií.
Nebo nastavením nějakého superkritéria, které je superpozicí výše uvedených dvou (například jejich funkce).

Matematická formulace a řešení problémů

Minimální riziko Markowitzovo portfolio

Úkol optimalizace portfolia aktiv s vektorem průměrného výnosu pomocí kovarianční matice lze formulovat následovně $r$ $PROTI$

${\begin{cases}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\rightarrow \min \\d^{T}r=r_{p}\\d^{T}e=1 \\\end{cases}}$

K těmto podmínkám v problému optimalizace portfolia aktiv je třeba přidat pozitivní stav portfolia (akcií). V obecném případě finančních nástrojů se však předpokládá možnost otevírání krátkých pozic (záporné podíly nástrojů v portfoliu). Pak můžeme najít obecné analytické řešení problému. Pokud určíme

$A={\begin{pmatrix}r^{T}\\e^{T}\\\end{pmatrix}}V^{{-1}}(r,e)={\begin{pmatrix}r^ {T}V^{{-1}}r&r^{T}V^{{-1}}e\\e^{T}V^{{-1}}r&e^{T}V^{{- 1}}e\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}\\a_{{21}}&a_{{22}}\\\konec{ pmatrix}}$

pak řešení problému má tvar

$d^{*}=V^{{-1}}(r,e)A^{{-1}}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\\\end{pmatrix}}$

Pak bude mít podobu závislost rozptylu optimalizovaného (efektivního) portfolia na požadovaném výnosu

$\sigma _{p}^{2}=(r_{p},1)A^{{-1}}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\end{pmatrix}}={\frac {a_{{22}}r_{p}^{2}-2a_{{12}}r_{p}+a_{{11}}}{a_{{11}}a_{{22}}-a_{ {12}}^{2}}}=\sigma _{0}^{2}{\frac {(r_{p}-r_{0})^{2}}{r_{0}(r_{1 }-r_{0})}}+\sigma _{0}^{2}$

kde je minimální možný rozptyl výnosu portfolia a odpovídající průměrný výnos $\sigma _{0}^{2}=1/a_{{22}},r_{0}=a_{{12}}/a_{{22}}$

r_{1}=a_{{11}}/a_{{12}}

- výnos portfolia se stejným poměrem rizika a výnosu jako minimální rizikové portfolio (graficky je to jediný průsečík s parabolou přímky procházející počátkem a vrcholem paraboly) Tobinovo portfolio s minimálním rizikem

V případě bezrizikového aktiva (s nulovým rozptylem výnosů) s výnosy se formulace problému mění $r_{f}$

${\begin{cases}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\rightarrow \min \\d^{T}(r-r_{f}e)=r_{p}-r_ {f}\\d_{f}=1-d^{T}e\end{cases}}$

Řešení tohoto problému má formu

$d^{*}={\frac {r_{p}-r_{f}}{(r-r_{f}e)^{T}V^{{-1}}(r-r_{f}e )}}V^{{-1}}(r-r_{f}e)$

Vektor struktury rizikového portfolia (podíl rizikových aktiv nikoli na celém portfoliu, ale na celkové hodnotě rizikového portfolia) se bude rovnat

$d^{{**}}={\frac {V^{{-1}}(r-r_{f}e)}{e^{T}V^{{-1}}(r-r_{ f}e)}}$

Je vidět, že struktura rizikové části portfolia nezávisí na požadovaném výnosu. Požadovaný výnos určuje pouze poměr rizikového portfolia k bezrizikovému aktivu.

Průměrný výnos rizikového portfolia se bude rovnat

$r_{p}^{{**}}=r^{T}d^{{**}}={\frac {r^{T}V^{{-1}}(r-r_{f} e)}{e^{T}V^{{-1}}(r-r_{f}e)}}={\frac {a_{{11}}-r_{f}a_{{12}} }{a_{{12}}-r_{f}a_{{22}}}}={\frac {r_{0}(r_{1}-r_{f})}{r_{0}-r_{ F}}}$

Směrodatná odchylka optimálního (efektivního) portfolia závisí lineárně na požadovaném výnosu, a to následovně

$\sigma _{p}={\frac {r_{p}-r_{f}}{{\sqrt {(r-r_{f}e)^{T}V^{{-1}}(r- r_{f}e)}}}}={\frac {\sigma _{0}(r_{p}-r_{f})}{{\sqrt {(r_{f}-r_{0})^ {2}-r_{0}(r_{1}-r_{0})}}}}$

Snadno lze také určit vztah mezi průměrným výnosem jednotlivých instrumentů a průměrným výnosem portfolia. K tomu definujeme vektor koeficientů

$\beta ={\frac {Vd^{*}}{\sigma _{p}^{2}}}={\frac {r-r_{f}e}{r_{p}-r_{f}} }\Rightarrow r-r_{f}e=\beta (r_{p}-r_{f})$

Z toho získáme, že pokud jsou investoři racionální, pak lze tržní portfolio podmíněně považovat za efektivní, proto na trhu průměrná ziskovost nástroje souvisí se ziskovostí tržního portfolia následujícím lineárním způsobem

$r-r_{f}=\beta (r_{M}-r_{f})$

Jedná se o model oceňování finančních aktiv – CAPM

Viz také

Model Black-Litterman

Poznámky

↑ Gitman L. J., Jonk M. D. Základy investování. Za. z angličtiny. - M.: Delo, 1997. - 1008 s. ISBN 0-06-0423625 (anglicky) ISBN 5-7749-0011-8 (ruština). Strana 810
↑ Krass M.S., Chuprynov B.P. Matematika pro ekonomy. - Petrohrad, Petr, 2009. - str. 251
↑ Markowits Harry M. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. 7. č. 1 s. 71-91
↑ Evsenko Olga Sergejevna. Investice do otázek a odpovědí. Tutorial.
↑ 1 2 3 4 5 Yu. F. Kasimov. Základy teorie optimálního portfolia cenných papírů - M: Information and Publishing House "Filin", 1998. - 144 s. ISBN 5-89568-086-0
↑ Markowitz HM Portfolio Selection: Efektivní diverzifikace investic. Wiley. New York. 1959.
↑ Markowitz HM, Analýza střední odchylky při výběru portfolia a kapitálových trzích. Bazalka. Blackwell. 1990.
↑ Bazaraa MS, Sherali HD, Shetty CM nelineární programování (2. vydání) Wiley & Sons, 1994.

Literatura

Harry Markowitz. Výběr portfolia archivován 3. června 2017 na Wayback Machine

Trh s akciemi a body
Typy trhu	primární trh Sekundární trh OTC trh cenných papírů Čtvrtý trh
Druhy cenných papírů	Skladem Běžná akcie zlatý podíl Vázané cenné papíry Sledování propagace preferovaný podíl Pouto
Základní kapitál	Povolený kapitál Nesplacené akcie Vydané akcie pokladniční podíl
členové	Tvůrce trhu Obchodník denní obchodník Obchodník s cennými papíry rekvizitář Equity Trader upisovatel Makléř Transaction Broker Obchodník Investor kvantitativní analytik Regulátor
Burza	Výpis Odstranění seznamu Cross-listing Nekótované cenné papíry
Seznamy burz	Obecný seznam burz Seznam afrických burz Seznam evropských burz Seznam amerických burz Seznam jihoasijských burz Elektronická komunikační síť
Odhad hodnoty a ziskovosti akcií	Alfa koeficient Teorie arbitrážních cen Beta Šíření Účetní hodnota společnosti CAPM Linie kapitálového trhu Dividendový slevový model Dividendový výnos Zisk z akcie Ziskovost Model Feda Čistá hodnota aktiv Charakteristická řada cenných papírů Linie trhu cenných papírů T-model Beta neutrální portfolio Ostrý poměr Sortino koeficient Treynorův koeficient Míra rizika Hodnota v ohrožení Model Black-Litterman
Teorie a strategie obchodování	Algoritmické obchodování Strategie nákupu a držení Opačné investování denní obchodování Průměrování nákladů Hypotéza efektivního trhu Fundamentální analýza Rychle rostoucí akcie Výběr okamžiku transakce Moderní teorie portfolia Momentum investování Teorie mozaiky Párové obchodování Postmoderní teorie portfolia Hypotéza náhodné chůze Rotace odvětví Stylizované investování Swingové obchodování Technická analýza Trend následující Průměrování hodnot Hodnotové investování Fraktální analýza trhu Dow teorie Elliottova teorie vln Efekt Marka Twaina Lednový efekt
Finanční ukazatele	Zisk na akcii (EPS) Cena/výdělek (P/E) Cena/výnos (P/S) Cena/budoucí zisk (PEG) Cena/účetní hodnota (P/B)

Finanční riziko a řízení finančních rizik

Typy

Úvěrové riziko	Riziko koncentrace Rizika spotřebitelských úvěrů Kreditní derivát Sekuritizace CVA Riziko před vypořádáním PFE
Tržní riziko	Komoditní riziko Objemové riziko základní riziko Tvarové riziko Riziko držby akciové riziko Měnové riziko Maržové riziko Úrokové riziko Riziko volatility Riziko likvidity Riziko refinancování
Operační risk	Řízení operačních rizik BIA TSA AMA IMA Právní riziko Politické riziko Reputační riziko Riziko odhadu Riziko modelu
Jiná rizika	Riziko ztráty zisku Odhadované riziko Systémové riziko

Modelování

Tržní portfolio
Markowitzova teorie portfolia
RAROC
Bezriziková úroková sazba
Parita rizika
Ostrý poměr
Sortino koeficient
VaR
Zisk v ohrožení
Marže v ohrožení
Likvidita v ohrožení

Jiné pojmy