Lissajousovy postavy

Lissajousovy obrazce  jsou trajektorie kreslené bodem, který současně vykonává dva harmonické kmity ve dvou vzájemně kolmých směrech.

Nejprve studoval francouzský vědec Jules Antoine Lissajous .

Popis

Tvar obrazců závisí na vztahu mezi periodami ( frekvencemi ), fázemi a amplitudami obou kmitů. V nejjednodušším případě rovnosti obou period jsou obrazci elipsami, které se při fázovém rozdílu 0 nebo degenerují do úseček a při fázovém rozdílu a rovnosti amplitud přecházejí do kruhu.

Jsou-li periody obou kmitů blízké, pak se fázový rozdíl lineárně mění, v důsledku čehož se pozorovaná elipsa neustále deformuje. Tento jev se používá v elektronice k porovnání frekvencí a přizpůsobení jedné frekvence druhé – referenční frekvenci.

S periodami oscilací, které se mnohonásobně liší velikostí, jsou Lissajousovy obrazce matoucím obrazem a nejsou pozorovány například na obrazovce osciloskopu - v tomto případě je pozorován svítící obdélník.

Je-li poměr period racionálním číslem , pak se po časové periodě rovné nejmenšímu násobku obou period, pohybující se bod vrátí do své původní polohy a vektor rychlosti bodu se shoduje s počátečním , což má za následek uzavřené trajektorie. Pokud je poměr teček iracionální číslo , pak jsou generovány neuzavřené trajektorie.

Lissajousovy obrazce jsou vepsány do obdélníku, jehož střed se shoduje s počátkem a strany jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami a jsou umístěny na obou stranách ve vzdálenostech rovných amplitudám kmitů.

Matematický výraz pro Lissajousovu křivku

Závislost souřadnic x a y na čase t je popsána systémem

kde A , B  jsou amplitudy kmitání, a , b  jsou frekvence, δ  je fázový posun.

Tvar křivky silně závisí na poměru a / b . Když je poměr 1, Lissajousův obrazec vypadá jako elipsa, za určitých podmínek vypadá jako kruh ( A = B , δ = π /2 radiánů ) a úsečka ( δ = 0).

Dalším příkladem Lissajousovy figury je parabola ( b / a = 2, δ = π/4). S jinými poměry jsou Lissajousova čísla složitějšími obrazci, které jsou uzavřené za předpokladu, že a / b  je racionální číslo .

Lissajousovy figury, kde a = 1, b = N ( N  je přirozené číslo ) a

jsou Čebyševovy polynomy prvního druhu stupně N (viz jejich trigonometrická definice ).

Příklady

Animace ukazuje změnu křivek při δ = 0 a neustále se zvyšující poměr a / b z 0 na 1 v krocích po 0,01:

Příklady Lissajousových obrazců s δ = π /2, lichým přirozeným číslem a , a také přirozeným číslem b , a | a − b | = 1:

• a = 1, b = 2 (1:2)

• a = 3, b = 2 (3:2)

• a = 3, b = 4 (3:4)

• a = 5, b = 4 (5:4)

• a = 5, b = 6 (5:6)

• a = 9, b = 8 (9:8)

Inženýrské aplikace - frekvenční srovnání

Pokud jsou na vstupy "X" a "Y" osciloskopu přivedeny signály blízkých frekvencí , na obrazovce lze vidět Lissajousovy číslice. Tato metoda je široce používána pro porovnání frekvencí dvou zdrojů signálu a pro naladění jednoho zdroje na frekvenci druhého. Když jsou frekvence blízko, ale nejsou stejné, číslo na obrazovce se otáčí a perioda rotačního cyklu je převrácenou hodnotou rozdílu frekvencí, například s periodou rotace 2 sekundy, rozdíl frekvencí signál je 0,5 Hz. Při shodných frekvencích figurka nehybně zamrzne, v jakékoli fázi se však v praxi v důsledku krátkodobých nestabilit signálu obvykle figurka na obrazovce osciloskopu trochu chvěje. Pro srovnání můžete použít nejen stejné frekvence, ale i ty ve vícenásobném poměru, například pokud vzorový zdroj dokáže produkovat frekvenci pouze 5 MHz a laditelný zdroj - 2,5 MHz.

Viz také

• kolísání
• Frekvence dávkového zpracování
• Foucaultovo kyvadlo
• Kuželosečky
• Spojené hvězdy

Literatura

• Příručka rádiových elektronických zařízení. Ve 2 svazcích / Ed. D. P. Linde. - M.: Energie, 1978 .
• Yavorsky B. M., Detlaf A. A. Handbook of Physics. - M.: Nauka, 1981 .

Odkazy

• Online stavba figurek Lissajous
• Obvody. Přes pasivní obvody. Lissajous čísla

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)
V bibliografických katalozích	NDL : 00576967