Inverze křivky

Inverze křivky je výsledkem aplikace inverzní  operace na danou křivku C . Vzhledem k pevné kružnici se středem O a poloměrem k je inverzí bodu Q  bod P ležící na paprsku OQ a OP • OQ = k 2 . Inverze křivky C  je množina všech bodů P , které jsou inverzemi bodů Q , které patří křivce C . Bod O v této konstrukci se nazývá střed inverze , kružnice se nazývá inverzní kružnice a k  je poloměr inverze .

Inverze aplikovaná dvakrát poskytne identickou transformaci , takže inverze aplikovaná na inverzi křivky vzhledem ke stejnému kruhu dá původní křivku. Body samotné kružnice se transformují do sebe, takže inverzní kružnice se během operace nemění.

Rovnice

Převrácená hodnota bodu ( x , y ) vzhledem k jednotkové kružnici je ( X , Y ), kde:

nebo ekvivalentně:

Takže inverze křivky definované rovnicí f ( x , y ) = 0 vzhledem k jednotkové kružnici je dána rovnicí:

Z této rovnice vyplývá, že inverze algebraické křivky stupně n vzhledem ke kružnici dává algebraickou křivku stupně nejvýše 2 n .

Stejným způsobem převrácením křivky dané parametrickými rovnicemi:

vzhledem k jednotkovému kruhu bude:

Z toho vyplývá, že kruhová inverze racionální křivky je také racionální křivkou.

Obecněji řečeno, inverze křivky dané rovnicí f ( x , y ) = 0 vzhledem ke kružnici se středem v ( a , b ) a poloměru k je

Invertováním křivky definované parametricky:

s ohledem na stejný kruh bude:

V polárním souřadnicovém systému jsou rovnice jednodušší, pokud je inverzní kružnice jednotkovou kružnicí. Převrácená hodnota bodu ( r , θ) vzhledem k jednotkové kružnici je ( R , Θ), kde

nebo ekvivalentně:

Inverze křivky f ( r , θ ) = 0 je tedy dána rovnicí f (1/ R , Θ) = 0 a inverze křivky r = g (θ) by byla r = 1/ g ( θ ).

Příklady

Použití výše uvedené transformace na Bernoulliho lemniscate

dá

je rovnice hyperboly. Protože inverze je biracionální transformace a hyperbola je racionální křivka, ukazuje to, že lemniskát je také racionální křivka, jinými slovy, křivka má rod nula. Pokud použijeme inverzi na Fermatovu křivku x n + y n = 1, kde n je liché, dostaneme

Jakýkoli racionální bod na Fermatově křivce má odpovídající racionální bod na této křivce, což dává ekvivalentní tvrzení Fermatovy poslední věty .

Speciální případy

Pro jednoduchost je v příkladech jako inverzní kružnice použita jednotková kružnice. Výsledek inverze pro další kružnice lze získat transformací původní křivky.

Přímý

Pokud přímka prochází počátkem, její rovnice v polárních souřadnicích bude θ = θ 0 , kde θ 0 je konstantní. Rovnice se při inverzi nemění.

Rovnice v polárních souřadnicích přímky neprocházející počátkem,

a rovnice inverze křivky bude

který definuje kružnici procházející počátkem. Aplikování inverze již na tuto kružnici ukazuje, že inverze kružnice procházející počátkem bude přímka.

Kruhy

V polárních souřadnicích je obecná rovnice kružnice neprocházející počátkem

kde a  je poloměr a ( r 0 , θ 0 ) jsou polární souřadnice středu. Rovnice pro inverzní křivku je

nebo

Toto je rovnice kruhu s poloměrem

a střed, jehož souřadnice

Všimněte si, že R 0 může být záporné.

Pokud se původní kružnice protíná s jednotkovou kružnicí, pak středy těchto dvou kružnic a průsečík tvoří trojúhelník o stranách 1, a, r0 a tento trojúhelník bude pravoúhlý, pokud

Ale z výše uvedené rovnice vyplývá, že původní kružnice se shoduje se svou inverzí pouze v případě, kdy

Inverze kružnice se tedy shoduje s původní kružnicí právě tehdy, když kružnice protíná jednotkovou kružnici v pravém úhlu.

Shrnutí a zobecnění dvou částí:

1. Inverzí čáry nebo kružnice bude čára nebo kružnice.
2. Pokud je původní křivka přímá, pak její inverze projde středem inverze. Pokud původní křivka prochází středem inverze, pak inverze bude přímka.
3. Obrácená křivka se bude shodovat s originálem přesně tehdy, když křivka protíná jednotkovou kružnici v pravém úhlu.

Paraboly se středem inverze ve vrcholu

Rovnice paraboly, je-li otočena tak, aby se osa stala vodorovnou, je x = y 2 . V polárních souřadnicích se to stane

Rovnice pro inverzní křivku by pak byla

a toto je cissoid Diocles .

Kuželosečky se středem inverze v ohnisku

Rovnice v polárních souřadnicích kuželosečky s ohniskem v počátku je až do podobnosti

kde e je excentricita. Inverzní k této křivce by bylo:

a toto je Pascalova hlemýždí rovnice . Pokud e = 0, jedná se o kružnici inverze. Je-li 0 < e < 1, původní křivka je elipsa a její inverzní je uzavřená křivka s izolovaným bodem v počátku. Je-li e = 1, původní křivka je parabola a její inverzní je kardioida s hrotem v počátku. Je-li e > 1, původní křivka je hyperbola a její inverze tvoří dvě smyčky s průsečíkem v počátku.

Elipsy a hyperboly se středy inverze ve vrcholech

Obecná rovnice elipsy nebo hyperboly je:

Transformace rovnice tak, aby se počátek stal vrcholem:

a po transformaci:

nebo změnou konstant:

Všimněte si, že výše diskutovaná parabola nyní spadá do tohoto schématu nastavením c = 0 a d = 1. Rovnice pro inverzní křivku je:

nebo

Tato rovnice popisuje rodinu křivek nazývaných Sluze conchoids . Tato rodina zahrnuje kromě výše popsané Dioklovy cissoidy Maclaurinův trisektor ( d = − c /3) a pravý strofoid ( d = − c ).

Elipsy a hyperboly se středy inverze ve středu

Elipsa nebo rovnice hyperboly:

po invertní operaci:

a tohle je Boothův lemniscate . Jestliže d = − c , jedná se o Bernoulliho lemniskát .

Kuželosečky s libovolným inverzním bodem

Inverze kuželosečky (jiné než kružnice) je kruhová křivka třetího řádu, pokud střed inverze leží na křivce, a v opačném případě dvoukruhová křivka čtvrtého řádu. Kuželosečky jsou racionální, proto jsou racionální i obrácené křivky. Naopak jakákoli racionální kruhová křivka třetího řádu nebo racionální dvoukruhová křivka čtvrtého řádu je inverzí kuželosečky. Ve skutečnosti každá z těchto křivek musí mít singularitu, a pokud vezmeme tento bod jako střed inverze, bude inverzní křivka kuželosečkou. [1] [2]

Analagmatické křivky

Analagmatická křivka  je křivka, která se při inverzi promění v sebe. Patří mezi ně kruh , Cassiniho ovál a Maclaurinův trisektor .

Viz také

• Inverzní geometrie
• Inverze (geometrie)

Poznámky

1. ↑ „Cubique Circulaire Rationnelle“ v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables . Získáno 9. listopadu 2014. Archivováno z originálu 12. června 2021. (neurčitý)
2. ↑ „Quartique Bicirculaire Rationnelle“ v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables . Získáno 9. listopadu 2014. Archivováno z originálu 12. června 2021. (neurčitý)

Odkazy

• JW Stubbs. O aplikaci nové metody na geometrii křivek a křivkových ploch // Philosophical Magazine Series 3. - 1843. - Vol . — S. 338–347 .
• J. Dennis Lawrence. Katalog speciálních rovinných křivek . - Dover Publications, 1972. - S. 43-46,121 . - ISBN 0-486-60288-5 .
• Weisstein, Eric W. Inverse Curve  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Anallagmatic Curve  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• „Inverze“ na webových stránkách Visual Dictionary Of Special Plane Curves
• „Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point“ v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Definice na webu MacTutor "Famous Curves" . Tato stránka také obsahuje příklady inverzních křivek a Java applet pro zobrazení inverzních křivek ze seznamu.